初高中教學(xué)的有效銜接

遲童心

【摘要】新時(shí)代課程改革背景下，初高中教學(xué)銜接的意義愈發(fā)凸顯.函數(shù)內(nèi)容在初中教材和高中教材中均有涉及，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》明確說(shuō)明將函數(shù)納入預(yù)備知識(shí)中.本文以函數(shù)內(nèi)容為例，進(jìn)行初高中教學(xué)銜接的研究，旨在幫助學(xué)生適應(yīng)初中數(shù)學(xué)到高中數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)變.

【關(guān)鍵詞】函數(shù);初高中;教學(xué)銜接

一、引言

新時(shí)代教育背景下，由于初中數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)的層次不同、跨度較大、側(cè)重點(diǎn)不一致、抽象性差異等原因?qū)е聦W(xué)生在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段數(shù)學(xué)思維很難轉(zhuǎn)變，對(duì)于新的知識(shí)內(nèi)容無(wú)法準(zhǔn)確理解.很多高中教師也反映學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)不夠扎實(shí)，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成不夠完善.這對(duì)于教師的教學(xué)工作來(lái)說(shuō)無(wú)疑是嚴(yán)峻的挑戰(zhàn).因此，初高中的銜接問(wèn)題也成為教育界乃至社會(huì)各界廣泛關(guān)注的重點(diǎn).

函數(shù)通過(guò)構(gòu)建模型來(lái)刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而通過(guò)對(duì)數(shù)量關(guān)系的探索解釋現(xiàn)實(shí)世界，這體現(xiàn)在數(shù)學(xué)、物理等多個(gè)學(xué)科以及各個(gè)領(lǐng)域中.函數(shù)內(nèi)容作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主線(xiàn)之一貫串學(xué)生的整個(gè)初中、高中、大學(xué)以及研究生的學(xué)習(xí)階段.函數(shù)與初高中數(shù)學(xué)中的方程、不等式有著十分密切的聯(lián)系.因此，函數(shù)內(nèi)容對(duì)于中學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是不言而喻的，而函數(shù)概念作為函數(shù)知識(shí)內(nèi)容的基礎(chǔ)也是函數(shù)內(nèi)容的核心，它的關(guān)鍵作用更加突出.

函數(shù)已經(jīng)成為初高中數(shù)學(xué)的重要紐帶之一.從初中到高中的學(xué)習(xí)階段，函數(shù)部分由淺入深、層層遞進(jìn)，高中階段的部分函數(shù)相關(guān)知識(shí)內(nèi)容建立在初中階段的基礎(chǔ)上，做好初高中教學(xué)的銜接對(duì)函數(shù)部分的學(xué)習(xí)有著至關(guān)重要的作用.

二、初高中教學(xué)不易銜接的原因

（一）初高中學(xué)生認(rèn)知發(fā)展不同

初中學(xué)生和高中學(xué)生相比無(wú)論是信息加工處理、空間想象能力，還是思維整體結(jié)構(gòu)發(fā)展都具有不同的階段性發(fā)展特征.因此，高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更加抽象化、復(fù)雜化，比較脫離生活實(shí)際.而高中函數(shù)的學(xué)習(xí)是在高一階段，這個(gè)時(shí)候?qū)W生處于由一個(gè)階段向另一個(gè)階段發(fā)展的過(guò)程中，但各種認(rèn)知水平還沒(méi)有完全達(dá)到標(biāo)準(zhǔn).初中學(xué)生處于具體運(yùn)算階段，思維的進(jìn)行很難脫離具體事物的支持，邏輯結(jié)構(gòu)比較單一.高中學(xué)生已經(jīng)進(jìn)入了形式運(yùn)算階段，思維水平相對(duì)進(jìn)入了新的階段，而這一階段學(xué)生的表現(xiàn)就是邏輯思維進(jìn)入高級(jí)階段，抽象能力得到提升.此外，每個(gè)人的認(rèn)知發(fā)展具有差異性，若學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平較差，或者是抽象能力不足、想象力不夠等，都會(huì)影響初高中課程銜接的連貫性，尤其函數(shù)這一部分知識(shí)很難借助具體事物或者生活實(shí)例幫助學(xué)生理解.

（二）高中教師對(duì)初中教材了解程度不夠

由于各種原因，不少高中數(shù)學(xué)教師并沒(méi)有承擔(dān)過(guò)初中數(shù)學(xué)課程講解的任務(wù)，而且，許多高中數(shù)學(xué)教師并沒(méi)有系統(tǒng)研究過(guò)初中數(shù)學(xué)的教材，從而使得這部分教師對(duì)于剛剛升入高中的學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)非常陌生，不了解學(xué)生在初中形成的數(shù)學(xué)思想方法以及學(xué)生思維發(fā)展程度.將原本為整體狀態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容分裂成兩個(gè)部分對(duì)學(xué)生進(jìn)行教學(xué)，會(huì)讓學(xué)生在進(jìn)入新的學(xué)習(xí)階段后很難利用初中的數(shù)學(xué)知識(shí)作基礎(chǔ).數(shù)學(xué)知識(shí)不連貫，就無(wú)法形成整體的數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng).甚至，初中數(shù)學(xué)沒(méi)有學(xué)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)有的老師也一筆帶過(guò)，變成了學(xué)生的知識(shí)盲區(qū).這部分老師將初中數(shù)學(xué)階段和高中數(shù)學(xué)階段完全分散，進(jìn)入了一個(gè)只要將高中數(shù)學(xué)知識(shí)完全傳授給學(xué)生就可以提高學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的誤區(qū).事實(shí)上，這樣的高中教師忽略了數(shù)學(xué)學(xué)科的整體性、思想上的一致性，更不符合高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中強(qiáng)調(diào)的基本理念之一——聚焦學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成，這對(duì)于初高中教學(xué)的銜接是非常不利的.只有高中教師熟悉學(xué)生初中的數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容、整體框架結(jié)構(gòu)、具體思想方法，再換位到學(xué)生的立場(chǎng)和知識(shí)積累狀態(tài)去向?qū)W生傳授高中數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容，才能夠達(dá)到初高中教學(xué)有效銜接的目標(biāo).

（三）初高中數(shù)學(xué)教學(xué)方法不同

和高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段相比，初中學(xué)習(xí)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)較少，教學(xué)進(jìn)度較慢，教師有充分的時(shí)間和精力帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí).細(xì)摳難點(diǎn)，重復(fù)重點(diǎn)，習(xí)題鞏固，再加上初中階段的習(xí)題類(lèi)型一致，思想方法比較單一，學(xué)生經(jīng)過(guò)大量的練習(xí)后很容易掌握數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容.而高中階段教學(xué)進(jìn)度很快，教師重點(diǎn)在知識(shí)的引入、思想方法的形成、核心素養(yǎng)的建立，如果學(xué)生想要通過(guò)大量的練習(xí)來(lái)提升成績(jī)是不現(xiàn)實(shí)的，這就對(duì)學(xué)生建立數(shù)學(xué)思想體系提出了新的要求.

（四）函數(shù)概念的發(fā)展歷史

函數(shù)一詞最早是由“function”一詞轉(zhuǎn)譯而來(lái)，最早出現(xiàn)于數(shù)學(xué)家李善蘭的《代數(shù)學(xué)》中.李善蘭認(rèn)為“函”可以表達(dá)出“包含”的意思，書(shū)中的函數(shù)指的是變量的意思.在17世紀(jì)時(shí)伽利略在他的著作《兩門(mén)新科學(xué)》中突出了函數(shù)和變量的思想.17世紀(jì)時(shí)牛頓也抽離出了函數(shù)的思想，這里他用“流量”來(lái)表示變量關(guān)系.18世紀(jì)時(shí)約翰·伯努利將函數(shù)進(jìn)行定義，他認(rèn)為只要是變量x和常量所構(gòu)成的等式都可以稱(chēng)之為函數(shù)，并對(duì)函數(shù)的表示方法進(jìn)行了突出強(qiáng)調(diào).在18世紀(jì)時(shí)歐拉也在其著作中將函數(shù)進(jìn)行重新定義，他對(duì)函數(shù)的定義強(qiáng)調(diào)的是前面的量隨著后面的量的變化而變化的依賴(lài)關(guān)系.到了19世紀(jì)的1821年，柯西對(duì)于函數(shù)概念部分進(jìn)行了進(jìn)一步的探究，他不僅在前人的基礎(chǔ)上對(duì)函數(shù)的概念進(jìn)行了更嚴(yán)密的定義，而且給出了自變量的定義.歷史上首次提出自變量的定義的就是柯西.就在第二年，傅里葉提出了有關(guān)函數(shù)問(wèn)題的新思路，他發(fā)現(xiàn)函數(shù)可以用曲線(xiàn)來(lái)表示，可以用某個(gè)單一式子來(lái)表示，也可以用多個(gè)復(fù)合式子來(lái)表示.這一發(fā)現(xiàn)使函數(shù)概念的研究又進(jìn)一步深入.1837年狄利克雷提出了經(jīng)典的函數(shù)概念，他對(duì)函數(shù)的依賴(lài)關(guān)系進(jìn)行淡化，指出：“對(duì)于在某個(gè)區(qū)間上任一確定的x值，都有一個(gè)確定的y值和它對(duì)應(yīng)，那么y叫作x的函數(shù).”這個(gè)函數(shù)的全新定義用更清晰的語(yǔ)言去描述函數(shù)，也更容易被大眾所接受.1921年庫(kù)拉托夫斯基用集合的概念來(lái)定義函數(shù)，使得函數(shù)概念更加嚴(yán)密、嚴(yán)謹(jǐn).1930年是這樣對(duì)函數(shù)進(jìn)行重新定義的：“若對(duì)集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)在集合M上定義一個(gè)函數(shù)，記為y=f（x）.元素x稱(chēng)為自變量，元素y稱(chēng)為因變量.”這是函數(shù)概念的現(xiàn)代定義，這與今天我們?cè)谡n本上學(xué)習(xí)的函數(shù)概念內(nèi)容基本類(lèi)似.D2357F07-1EC1-47E7-916D-2212900B0125

函數(shù)概念歷經(jīng)三個(gè)世紀(jì)的發(fā)展才逐漸完備，貫串古今，曠日持久.研究表明，中學(xué)生對(duì)于函數(shù)概念的定義方式與歷史上對(duì)函數(shù)的定義具有很強(qiáng)的相似性.學(xué)生對(duì)于函數(shù)的認(rèn)識(shí)過(guò)程與科學(xué)家們?cè)跉v史上對(duì)于函數(shù)的認(rèn)識(shí)過(guò)程十分貼近.這就說(shuō)明在學(xué)習(xí)函數(shù)概念時(shí)，了解函數(shù)概念的歷史發(fā)展會(huì)幫助學(xué)生掌握函數(shù)概念的本質(zhì).

三、初高中函數(shù)內(nèi)容的區(qū)別和聯(lián)系

（一）初高中函數(shù)概念的區(qū)別

初中和高中階段的函數(shù)概念具有不同的表示方法.初中階段函數(shù)概念屬于描述性定義，強(qiáng)調(diào)變量之間的相互聯(lián)系，以運(yùn)動(dòng)的觀(guān)點(diǎn)進(jìn)行探究，以自變量x和因變量y來(lái)定義函數(shù)概念，生動(dòng)，立體，形象，貼近生活實(shí)際，使初中階段的學(xué)生容易理解.高中階段函數(shù)的概念是建立在集合知識(shí)基礎(chǔ)之上的，強(qiáng)調(diào)定義域、值域，以及對(duì)應(yīng)法則，通過(guò)設(shè)定兩個(gè)特殊的集合，再根據(jù)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行定義.集合的知識(shí)內(nèi)容較為抽象，代表性不強(qiáng)，學(xué)生不易理解.

上表對(duì)于函數(shù)知識(shí)在初高中的不同進(jìn)行了對(duì)比，可以明顯地看出初中階段的函數(shù)內(nèi)容更加簡(jiǎn)單，所研究的函數(shù)類(lèi)型比較單一，函數(shù)性質(zhì)的涉獵也比較少.高中階段的函數(shù)內(nèi)容無(wú)論是函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)類(lèi)型還是函數(shù)與其他知識(shí)內(nèi)容的聯(lián)系都比較深?yuàn)W復(fù)雜.

（二）初高中函數(shù)教學(xué)目標(biāo)的區(qū)別

無(wú)論是從初高中學(xué)生的思維發(fā)展階段不同來(lái)說(shuō)，還是從初高中知識(shí)的考查側(cè)重方向不同來(lái)說(shuō)，初中和高中階段函數(shù)內(nèi)容的教學(xué)目標(biāo)都不一致，這一點(diǎn)從課程標(biāo)準(zhǔn)上可以充分體現(xiàn).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中對(duì)函數(shù)內(nèi)容的要求側(cè)重對(duì)常量以及變量的情況分析.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》中對(duì)函數(shù)內(nèi)容的要求是以提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為背景，重視變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，同時(shí)，對(duì)函數(shù)性質(zhì)的掌握也做出了要求.

（三）初高中函數(shù)教材呈現(xiàn)方式的區(qū)別

初高中教材中函數(shù)內(nèi)容為便于學(xué)生的理解都是從具體生活實(shí)例中進(jìn)行歸納，但呈現(xiàn)的方式具有不同的特征.比如，初中教材中函數(shù)部分更多的是以文字介紹，而高中教材中函數(shù)部分主要使用符號(hào)語(yǔ)言.再如，初中教材中函數(shù)部分知識(shí)內(nèi)容較少，而高中階段在了解函數(shù)概念后對(duì)于函數(shù)的幾個(gè)重要性質(zhì)進(jìn)行了深入研究.

（四）初高中函數(shù)內(nèi)容的聯(lián)系

初中與高中函數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)是螺旋式上升的過(guò)程，雖然側(cè)重點(diǎn)不同，但是實(shí)質(zhì)是相同的，并且它們?cè)趹?yīng)用過(guò)程中經(jīng)常將數(shù)與圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系相聯(lián)系，也就是經(jīng)常采用數(shù)形結(jié)合的方法，這是研究探討函數(shù)性質(zhì)過(guò)程中最為清晰直觀(guān)的方法.在函數(shù)性質(zhì)中，函數(shù)的單調(diào)性這一性質(zhì)是在高中教材中給出的，但是函數(shù)變化增減的思想早在初中階段的學(xué)習(xí)過(guò)程中就有涉獵，初中階段用y隨著x的增大而增大這樣的語(yǔ)言去描述函數(shù)變化特征.函數(shù)內(nèi)容其實(shí)是一個(gè)整體的數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容，只是在初中和高中的不同階段，我們根據(jù)學(xué)生的不同思想發(fā)展水平用不同的數(shù)學(xué)語(yǔ)言去描述和形容，但究其本質(zhì)其實(shí)是相同的.初中函數(shù)內(nèi)容和高中函數(shù)內(nèi)容是相互滲透、相互作用的關(guān)系.

四、初高中函數(shù)部分教學(xué)銜接具體實(shí)例

（一）有關(guān)函數(shù)概念引入的銜接

在高中引入函數(shù)概念之前，學(xué)生已經(jīng)在初中就掌握了從運(yùn)動(dòng)變化的角度所歸納的函數(shù)概念.因此，教師可以通過(guò)提問(wèn)復(fù)習(xí)的方式幫助學(xué)生喚醒初中階段的較為直觀(guān)的函數(shù)概念，以加強(qiáng)初高中函數(shù)概念的聯(lián)系.接著，教師可以通過(guò)實(shí)例創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，舉例如下：

例1 小明到某文具店去采購(gòu)筆記本，每本的價(jià)格為3元，設(shè)小明買(mǎi)了x本，購(gòu)買(mǎi)筆記本共花費(fèi)了y元.

此函數(shù)的解析式為y=3x（x≥0），重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)函數(shù)的定義域.我們進(jìn)一步設(shè)疑：此函數(shù)與y=3x是相同函數(shù)嗎？這樣的做法打破初中函數(shù)學(xué)習(xí)的局限，使學(xué)生通過(guò)實(shí)際問(wèn)題認(rèn)識(shí)到初高中函數(shù)部分的區(qū)別和聯(lián)系.教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)集合的表達(dá)方式，以對(duì)應(yīng)關(guān)系為背景建立高中函數(shù)知識(shí)體系，對(duì)比初高中函數(shù)的不同使學(xué)生對(duì)高中函數(shù)產(chǎn)生疑問(wèn)，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

（二）有關(guān)函數(shù)性質(zhì)的銜接

高中數(shù)學(xué)中不少函數(shù)內(nèi)容的分析都采用了數(shù)形結(jié)合的方法，而在初中階段其實(shí)也有很多關(guān)于數(shù)形結(jié)合思想的滲透.比如，對(duì)于函數(shù)y=ax2+bx+c，若a>0，則開(kāi)口向上;若a<0，則開(kāi)口向下.這給學(xué)生在高中數(shù)學(xué)中函數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)建立了思想基礎(chǔ).高中函數(shù)易引導(dǎo)學(xué)生思考研究未知系數(shù)a，b，c對(duì)方程的影響，尤其是在冪函數(shù)y=xa、指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0，且a≠1）、對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax（a>0且a≠1）中探索研究|a|對(duì)函數(shù)圖像的影響，以及研究二次函數(shù)中探索b值對(duì)函數(shù)圖像（對(duì)稱(chēng)軸）的影響.教師應(yīng)在初中所學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)，銜接初高中函數(shù)內(nèi)容知識(shí)，建立系統(tǒng)的函數(shù)知識(shí)體系.

（三）有關(guān)函數(shù)習(xí)題的銜接

在初中階段系統(tǒng)學(xué)習(xí)函數(shù)內(nèi)容時(shí)，其實(shí)對(duì)函數(shù)的性質(zhì)——單調(diào)性已經(jīng)做了簡(jiǎn)單的闡述：“隨著x增大，y逐漸增大”或者“隨著x增大，y逐漸減小”.雖然沒(méi)有像高中函數(shù)那樣將性質(zhì)進(jìn)行抽象，運(yùn)用符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行描述，但是也體現(xiàn)出了單調(diào)性的核心思想.在初中學(xué)習(xí)函數(shù)內(nèi)容時(shí)，教師可以通過(guò)練習(xí)題向?qū)W生滲透高中函數(shù)的思維方式.

例2 下列函數(shù)中，自變量x在什么范圍內(nèi)，y隨著x的增大而增大？自變量x在什么范圍內(nèi)，y隨著x的增大而減小？

（1）y=3x2-6x+3;

（2）y=-2x-6;

（3）y=8x;

（4）如下圖所示.

在初中階段編排此類(lèi)習(xí)題具有兩方面的意義：一方面，（1）（2）（3）分別是二次函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)，考查它們的目的是使學(xué)生鞏固函數(shù)的單調(diào)性，為高中學(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，幫助高中階段的學(xué)生形成全面深化的知識(shí)體系和思維體系.另一方面，（4）可以拓展學(xué)生的知識(shí)領(lǐng)域，與高中函數(shù)內(nèi)容進(jìn)行銜接.這個(gè)特殊的分段函數(shù)需要學(xué)生針對(duì)不同的x的取值范圍進(jìn)行討論，在這里高中函數(shù)思想得到滲透，從而能幫助學(xué)生的知識(shí)體系向上兼容.

五、結(jié)束語(yǔ)

函數(shù)內(nèi)容作為中學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主線(xiàn)之一，無(wú)論是中考還是高考都有重要占比.初高中函數(shù)教學(xué)銜接對(duì)于初中階段學(xué)生或高中階段學(xué)生的知識(shí)掌握都具有重要意義.第一，將初高中內(nèi)容進(jìn)行銜接有助于學(xué)生整體把握

函數(shù)內(nèi)容，將函數(shù)內(nèi)容形成系統(tǒng)的知識(shí)體系，有助于學(xué)生建立數(shù)學(xué)思想方法.第二，將高中數(shù)學(xué)函數(shù)內(nèi)容涉獵的數(shù)學(xué)思想滲透進(jìn)初中數(shù)學(xué)中，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的立體化形成具有深刻意義.初高中函數(shù)教學(xué)銜接對(duì)初中學(xué)生來(lái)說(shuō)不僅可以拓展其數(shù)學(xué)思維，還給中考的拉分題提供了思路.第三，不少初中生在進(jìn)入高中后，表示很難充分掌握高中數(shù)學(xué)中比較抽象的知識(shí)內(nèi)容，對(duì)高中數(shù)學(xué)的思維方式不適應(yīng)，而有效地銜接初高中數(shù)學(xué)內(nèi)容無(wú)疑能解決這部分學(xué)生的問(wèn)題.

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[3]秦萍萍. 新課標(biāo)下高中函數(shù)概念的教學(xué)研究：以海南師范大學(xué)附屬中學(xué)為例[D]. 海口：海南師范大學(xué)， 2014.

[4]孫明俠. 新課程下高考中函數(shù)概念的易錯(cuò)點(diǎn)剖析[J]. 吉林省教育學(xué)院學(xué)報(bào)， 2016（7）：7-10.D2357F07-1EC1-47E7-916D-2212900B0125