徐東

[摘? 要] 受《九章算術(shù)》運(yùn)用“鱉臑”解決大量實際問題的啟發(fā)，以該歷史名“體”設(shè)計了三個層次的探究：采用“問題鏈”的方式，引導(dǎo)學(xué)生以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评眚炞C直觀想象，以系統(tǒng)的知識體系感受公理化思想，以“鱉臑”解構(gòu)形式各樣的幾何體、深刻體會我國古代數(shù)學(xué)的建模思想，培養(yǎng)空間意識與科學(xué)精神，感受數(shù)學(xué)史的教育價值.

[關(guān)鍵詞] 鱉臑;立體幾何;單元復(fù)習(xí);歷史名題;數(shù)學(xué)文化

[?]引言

徐光啟在評論《幾何原本》時曾說過，“舉世無一人不當(dāng)學(xué)幾何”. “立體幾何初步”位于人教A版必修第二冊第八章，其主要任務(wù)是研究空間中物體的形狀、大小與位置關(guān)系. 在課程設(shè)置上，它是初中平面幾何的延續(xù)，從二維增加到三維，又是高中必修第二冊6.4.3“余弦定理、正弦定理”的具體應(yīng)用，是高中數(shù)學(xué)課程的重要板塊.

現(xiàn)實中，不少學(xué)生在學(xué)習(xí)立體幾何之初感到困難較多，引入空間向量、空間直角坐標(biāo)系后，反而覺得簡單了. 從解題的角度來看，有了“坐標(biāo)法”的幫助，立體幾何的教學(xué)任務(wù)似乎已經(jīng)完成了，但從“立體幾何初步”的教育價值來看，卻仍然存在著較大差距. 主要體現(xiàn)在：一是高中立體幾何中的兩大位置關(guān)系——平行與垂直. “平行”在立體幾何直觀圖中能得到形象的表現(xiàn)，而“垂直”往往不能僅憑觀察獲得，有時甚至與圖形相距甚遠(yuǎn)，需要用幾何推理、論證才能判斷與確定，即用推理來豐富直觀想象. 二是我國日常教學(xué)中，隨著課時計劃的推進(jìn)，學(xué)生的立體幾何知識是逐步獲得的，其認(rèn)知發(fā)展是線性的，若僅滿足于解題而忽視知識體系的整體建構(gòu)，不易形成公理化思想，有悖于“立體幾何初步”的教學(xué)初衷. 以上兩點是這一單元復(fù)習(xí)課需要解決的主要問題.

“鱉臑”是我國古代數(shù)學(xué)的一個常用幾何模型，比正方體更為精簡，但它蘊(yùn)含的位置關(guān)系和幾何特征卻更豐富. 如何利用這一歷史名“體”破解上述困難，筆者在教學(xué)中進(jìn)行了嘗試.

[?]史料

“鱉臑”是我國古代對三棱錐的稱謂. 《九章算術(shù)》第五卷“商功”第十五問[1]：

今有陽馬，廣五尺，袤七尺，高八尺. 問積幾何？

答曰：九十三尺、少半尺.

術(shù)曰：廣袤相乘，以高乘之，三而一.

劉徽（約公元225年—295年）注：邪解立方，得兩塹堵，邪解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑，陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也.合兩鱉臑成一陽馬，合三陽馬而成一立方，故三而一.

如圖1所示，將一個長方體沿一對角面截開，就得到兩個三棱柱，即“塹堵”.

如圖2所示，將一個“塹堵”分解成一個四棱錐和一個三棱錐，所得的四棱錐就是“陽馬”，三棱錐是“鱉臑”.

第五卷“商功”主要講的是土石工程的計算和各種立體體積的計算，包括正四棱柱、圓柱、圓臺、正圓錐等10種立體體積. 該卷共提出了28個立體幾何問題，而涉及“鱉臑”的有18個問題：直接應(yīng)用的有1題，間接使用的有17題，按使用方式統(tǒng)計如表1所示，相應(yīng)占比分析如圖3所示.

可見我國古代先民以“鱉臑”為基本幾何構(gòu)件，解決了大量的空間度量問題.筆者受此啟發(fā)，選取“鱉臑”為重要模型，進(jìn)行“立體幾何初步”單元復(fù)習(xí).

[?]教學(xué)實踐

1. 創(chuàng)設(shè)情境

課前發(fā)放《預(yù)習(xí)單》，向?qū)W生介紹“鱉臑”的幾何結(jié)構(gòu)及史料. 要求學(xué)生溫故教材，梳理出課本中與“鱉臑”相關(guān)的例題或練習(xí)題.

《預(yù)習(xí)單》的回收情況表明教材中存在著大量的與“鱉臑”相關(guān)的問題，摘錄若干如下：

人教A版必修第二冊第八章“立體幾何初步”，第158頁第3題和第171頁第13題，題目自身幾何體即“鱉臑”;第164頁第19題可以通過連接頂點得到三棱錐A-ABC即“鱉臑”;第152頁例4可以通過連接頂點得到三棱錐A-BBC即“鱉臑”;第170頁第11題過B作BE⊥CD于E，從而得到三棱錐A-BDE即“鱉臑”.

這與表1統(tǒng)計《九章算術(shù)》中“鱉臑”的使用方式相似，這為課堂教學(xué)創(chuàng)造了有利條件.

2. 課堂探究

上課伊始，教師發(fā)放《學(xué)習(xí)單》.《學(xué)習(xí)單》中設(shè)計了三個層次的探究，每一層次的探究配置了若干問題，以“問題鏈”的方式，采取步驟“直觀感知→操作確認(rèn)→推理論證→度量計算”，引導(dǎo)學(xué)生溫故知識、整理方法，形成系統(tǒng)的立體幾何知識網(wǎng)絡(luò)，提升空間觀念.

探究1：驗證直觀感知.

問題1-1：我們知道，空間中任意三點必共面，但是任意四點卻未必共面.如圖4所示，取AC，BC，BD，AD的中點分別為E，F(xiàn)，G，H，連接EFGH，請觀察“鱉臑”中四邊形EFGH是否為平面圖形;如果是，猜想是什么圖形.

問題1-2：由問題1-1得到的平行四邊形EFGH與AB是什么位置關(guān)系？

問題1-3：記AC，BC的中點分別為E，F(xiàn)，過EF的平面α交BD，AD（不包括端點）于G，H兩點，直線AB與直線GH是什么位置關(guān)系？

問題1-4：如圖5所示，取AC，BC，CD的中點分別為E，F(xiàn)，G，平面EFG與平面ABD是什么位置關(guān)系？

問題1-5：取AC，BC的中點分別為E，F(xiàn)，過EF且與平面ABD平行的平面α交CD于G，BD與FG是什么位置關(guān)系？

問題1-6：在問題1-5中，平面α內(nèi)的任意一條直線與平面ABD是什么位置關(guān)系？

問題1-7：“鱉臑”四個表面是否都為直角三角形？

通過以上7個問題的探究引導(dǎo)，師生共同梳理了相應(yīng)的知識（如圖6所示），并讓學(xué)生口述相應(yīng)位置關(guān)系的數(shù)學(xué)定義.

本輪探究以學(xué)生易于想象的平行關(guān)系為基礎(chǔ)，在他們猜想出共面、平行的情況下，促使他們主動提取平面的基本事實、線面平行判定定理、線面平行性質(zhì)定理等知識，對一個顯而易見的事實進(jìn)行證明，為下一步探究樹立大膽猜想、嚴(yán)密論證的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀;問題1-7為垂直關(guān)系的學(xué)習(xí)埋下了伏筆.08AA3884-264E-415B-A096-A806850E2679

探究2：體驗嚴(yán)謹(jǐn)思維與精確度量.

問題2-1：如圖7所示，直線AB與平面BCD是什么位置關(guān)系？

問題2-2：線段BD上有一動點E，直線AB與CE是什么位置關(guān)系？

問題2-3：思考并證明平面ABD與平面BCD的位置關(guān)系.

問題2-4：在平面BCD內(nèi)過C作CE⊥BD于E，直線CE與平面ABD是什么位置關(guān)系？

問題2-5：若

AB

=

BC

=

CD

=2，則直線AD與平面BCD所成角的正弦值為多少？

問題2-6：若

AB

=

BC

=

CD

=2，則二面角B-AD-C的大小是多少？

問題2-7：若

BC

=

CD

=2，二面角A-CD-B的大小為，則直線AD與平面ABC所成角的正弦值為多少？

通過以上7個問題的探究引導(dǎo)，師生共同梳理了相應(yīng)的知識（如圖8所示）.

本輪探究以垂直關(guān)系為主線，在無法可視化獲得是否垂直這一結(jié)論的情形下，處理方式與平行關(guān)系已經(jīng)大為不同，必須依靠嚴(yán)密論證來找到垂直的位置關(guān)系，再系統(tǒng)規(guī)范地思辨、論證得到結(jié)果，“采用演繹的形式用文字、數(shù)學(xué)符號和普通的邏輯來表達(dá)”[2]. 為此，教師應(yīng)幫助學(xué)生將這些貌似雜亂的結(jié)論用邏輯鏈條重新鋪排，追根溯源至其原始概念——平面[3].

“垂直”在立體幾何中具有特殊地位.求線面角時，需要通過垂線得到斜線在平面內(nèi)的射影. 求二面角時，需要二面角的棱與兩個半平面的射線同時垂直，得到其平面角. 如圖9所示，當(dāng)l⊥OA且l⊥OB時，∠AOB是二面角的平面角.

在具體問題中，與二面角的棱垂直的兩條射線往往不是現(xiàn)成就有的.給出較多的是某半平面內(nèi)的斜線AC，如圖10所示，需要我們自己去作垂線AB⊥β，從圖中可以發(fā)現(xiàn)，幾何體A-BOC就是“鱉臑”.

計算線面角的關(guān)鍵就是找由斜線段、垂線高、射影組成的直角三角形. 高可以通過面面垂直的性質(zhì)定理得到，也可以通過線面平行等距轉(zhuǎn)化、相似三角形等比例轉(zhuǎn)化、等體積法轉(zhuǎn)化等間接得到.

平行關(guān)系、垂直關(guān)系是立體幾何中最基本的關(guān)系，體現(xiàn)了從空間問題到平面問題的轉(zhuǎn)化，需要教師幫助學(xué)生提升圖形識別、空間想象、邏輯推理等能力.

探究3：解構(gòu)與建構(gòu).

很多立體幾何問題中都能找到“鱉臑”的身影. 為進(jìn)一步深化學(xué)生對于“鱉臑”的體驗與認(rèn)知，教師給出了以下6個探究問題，讓學(xué)生在復(fù)雜的幾何結(jié)構(gòu)中尋找“鱉臑”.

問題3-1：如圖11所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，已知∠ABC=120°，AB=1，BC=4，PA=，M，N分別為BC，PC的中點，PD⊥DC，PM⊥MD. （1）證明：AB⊥PM;（2）求直線AN與平面PDM所成角的正弦值.

注：三棱錐P-MCD即“鱉臑”.

問題3-2：如圖12所示，在三棱臺ABC-DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，

DC

=2

BC

. （1）證明：EF⊥DB;（2）求直線DF與平面DBC所成角的正弦值.

注：求線面角時可過D作DG⊥AC于G，連接GB，三棱錐D-GBC即“鱉臑”.

問題3-3：如圖13所示，已知三棱柱ABC-ABC，平面AACC⊥平面ABC，∠ABC=90°，∠BAC=30°，AA=AC=AC，E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點. （1）證明：EF⊥BC;（2）求直線EF與平面ABC所成角的余弦值.

注：過C作CG⊥AC于G，三棱錐G-ABC即“鱉臑”.

問題3-4：如圖14所示，已知多面體ABCABC，AA，BB，CC均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，AA=4，CC=1，AB=BC=BB=2. （1）證明：AB⊥平面ABC;（2）求直線AC與平面ABB所成角的正弦值.

注：延長AB，使得AG=2AB，則三棱錐A-AGC即“鱉臑”.

以上4個問題分別為浙江省2021年、2020年、2019年、2018年高考第19題.由此可見，“鱉臑”這一歷史名“體”融匯了立體幾何的多種知識與方法，成了高考的熱點問題.

問題3-5：北京冬奧會的美好回憶始于一片雪花，講述了“世界大同，天下一家”的故事，完美契合了“更團(tuán)結(jié)”的奧運(yùn)精神. 北京冬奧會主火炬由一個六邊形及六個等腰三角形組成. 如圖15所示，ABCDEF是邊長為2的正六邊形，GHIJKL沿著正六邊形的各條邊向上翻折到同一點P，形成正六棱錐P-ABCDEF.

（1）定義：多面體頂點的“曲率”是指“2π與這一點的面角之和的差”.若正六棱錐P-ABCDEF的側(cè)棱長為+，求正六棱錐P-ABCDEF的各個頂點曲率之和.

（2）若平面ABP⊥平面DEP，求直線AP與平面DEP所成角的正弦值.

解：（1）各個頂點的曲率之和為4π;

（2）如圖16所示，取AB的中點為R，ED的中點為K，連接PR，PK，記平面ABP與平面DEP的交線為l. 可得l⊥PR且l⊥PK，故平面ABP與平面DEP所成二面角為∠RPK，即∠RPK=90°. 不妨設(shè)正六邊形的邊長為2，則在直角三角形RPK中，RP=，側(cè)棱長PA=. 由直線AB∥平面PED得點A到平面PED的距離等于R到平面PED的距離RP，故直線AP與平面DEP所成角的正弦值為=.

注：三棱錐P-OKE即“鱉臑”.08AA3884-264E-415B-A096-A806850E2679

問題3-6：有一種柳葉精銑刀，截面如圖17所示，其中

AF

=

DF

=4，

DB

=

EB

=5，

FC

=

EC

=. 現(xiàn)將D，E，F(xiàn)三點分別沿著AB，BC，AC翻轉(zhuǎn)到點P. （1）△ABC是什么三角形？（2）求直線PD與平面PAB所成角的正弦值;（3）在三棱錐P-ABC與底面及側(cè)面都相切的球的最大體積為多少？

解：（1）△ABC是直角三角形;（2）直線PD與平面PAB所成角的正弦值為;（3）用“割補(bǔ)法”得球半徑為，球體積為π.

注：三棱錐P-ABC即“鱉臑”.

[?]學(xué)生反饋

（1）本節(jié)課哪個環(huán)節(jié)對你留下了深刻印象？

學(xué)生甲：本節(jié)課給我印象最深刻的是“解構(gòu)”環(huán)節(jié)，高考題連續(xù)出現(xiàn)了“鱉臑”，沒想到已經(jīng)熱門到這個程度.

學(xué)生乙：“知識梳理”環(huán)節(jié)給我的印象最深刻，可以有效地幫助我搭建知識網(wǎng)絡(luò).

（2）“鱉臑”對你解決問題時帶來的啟示有哪些？

學(xué)生丙：“鱉臑”是一個基本的模型，我們以“體”制“體”，可以化繁為簡.

（3）“鱉臑”這一歷史名“體”給你的學(xué)習(xí)帶來了哪些影響？

學(xué)生?。簩W(xué)習(xí)立體幾何需要想象，但也不能單憑想象，還需要有公理化思想.

學(xué)生戊：我國古代數(shù)學(xué)成就比我想象的還要大，我感到很自豪，也增強(qiáng)了學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.

[?]教學(xué)反思

借助于“鱉臑”這一幾何體，為系統(tǒng)、規(guī)范復(fù)習(xí)立體幾何帶來了極大的便捷，在復(fù)習(xí)的過程中，要注意證明的規(guī)范性、表達(dá)的嚴(yán)密性、思維的完整性.教師在立體幾何教學(xué)時，可以借助于GGB等數(shù)學(xué)信息化工具，能夠極大程度上幫助學(xué)生認(rèn)清幾何體的各個結(jié)構(gòu)特征.在處理立體幾何問題時，樹立起空間到平面的轉(zhuǎn)化方法，三維降低到二維的觀念能夠幫助學(xué)生較快地掌握具體的解題方法. 運(yùn)用直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量計算等認(rèn)識和探索空間圖形的性質(zhì)，建立空間觀念[4].

華羅庚說：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)一定要經(jīng)歷‘由薄到厚以及‘由厚到薄的過程.”通過教師指導(dǎo)作用下的系統(tǒng)整理，做到知識的結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化，能夠?qū)崿F(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何時‘由薄到厚的過程.

數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)，其最終目的是促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，為未來的發(fā)展打下良好的基礎(chǔ)[5]. 在立體幾何復(fù)習(xí)中，引入歷史名題，能夠增進(jìn)師生交流，加深學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗，促進(jìn)數(shù)學(xué)文化的提升，在培養(yǎng)核心素養(yǎng)的過程中，打造富有生命力的數(shù)學(xué)課堂.

參考文獻(xiàn)：

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[2]? 菲利克斯·克萊因. 高觀點下的初等數(shù)學(xué)（第一卷）[M]. 上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2008.

[3]? 王芳. 序言課：學(xué)科大概念教學(xué)的HPM路徑[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)，2021（08）：30-34.

[4]? 中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[5]? 余慶純，汪曉勤. 基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵實證研究[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2020，29（03）：68-74.08AA3884-264E-415B-A096-A806850E2679