宋曉娟，王宏偉，岳寶增

(1. 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，呼和浩特 010051；2. 內(nèi)蒙古自治區(qū)特種服役智能機(jī)器人重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,呼和浩特 010051；3. 西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，西安 710072； 4. 北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100081)

0 引 言

現(xiàn)代大型航天器要求攜帶大量的液體燃料推進(jìn)劑用于支撐自身機(jī)體完成一系列航天任務(wù)，例如太空在軌服務(wù)，航天器交會(huì)和對(duì)接，以及航天器編隊(duì)飛行等。部分充液航天器的耦合系統(tǒng)為典型的未知?jiǎng)討B(tài)欠驅(qū)動(dòng)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，在描述被控對(duì)象及建立數(shù)學(xué)模型的過程中，由于含有一些未知因素和隨機(jī)因素，從而導(dǎo)致被控系統(tǒng)有很強(qiáng)的不確定性，在建模過程中多以等效力學(xué)模型來描述液體燃料的晃動(dòng)。文獻(xiàn)[6]采用球擺模型推導(dǎo)了充液撓性航天器的耦合動(dòng)力學(xué)模型，進(jìn)而設(shè)計(jì)了自適應(yīng)反步控制策略獲得期望的控制目標(biāo)。文獻(xiàn)[7]利用質(zhì)心面等效力學(xué)模型建立了充液航天器的耦合動(dòng)力學(xué)模型，提出了一種抑制姿態(tài)振蕩的補(bǔ)償控制策略。文獻(xiàn)[8]將液體燃料晃動(dòng)等效為球擺模型，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)無源控制律完成充液航天器大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)任務(wù)。文獻(xiàn)[9]采用復(fù)合等效球擺模型研究了液體大幅度晃動(dòng)的動(dòng)力學(xué)建模問題，進(jìn)而推導(dǎo)出了等效系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程。

由于航天器在軌運(yùn)行不可避免地受到外部未知干擾和自身參數(shù)不確定的影響，一些學(xué)者將先進(jìn)控制方法引入到航天器控制的研究中以獲得到更好的效果，如滑?？刂啤⒆赃m應(yīng)控制、反步控制和基于觀測(cè)器的控制等。在設(shè)計(jì)控制律過程中，需進(jìn)一步考慮執(zhí)行機(jī)構(gòu)和傳感器的老化及故障問題，為了提高航天工程的安全性和可靠性，航天器閉環(huán)系統(tǒng)須考慮容錯(cuò)控制。文獻(xiàn)[18]針對(duì)剛體航天器，采用積分類型的滑模面流形和自適應(yīng)估計(jì)技術(shù)設(shè)計(jì)了魯棒容錯(cuò)控制。文獻(xiàn)[19]基于故障辨識(shí)技術(shù)設(shè)計(jì)了主動(dòng)容錯(cuò)控制器獲得期望的控制目標(biāo)。文獻(xiàn)[20-22]研究了剛體航天器存在干擾不確定和執(zhí)行器故障的問題，采用變結(jié)構(gòu)控制策略設(shè)計(jì)了魯棒容錯(cuò)控制實(shí)現(xiàn)了良好的控制性能。文獻(xiàn)[23-24]考慮剛體航天器系統(tǒng)中存在集總擾動(dòng)和執(zhí)行器故障的問題，然后基于干擾觀測(cè)器的控制技術(shù)設(shè)計(jì)魯棒容錯(cuò)控制器，保證了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)除了考慮執(zhí)行器故障和干擾不確定性，還需考慮測(cè)量不確定問題。測(cè)量不確定會(huì)降低控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)精度?？紤]航天器控制系統(tǒng)為典型的串級(jí)結(jié)構(gòu)，文獻(xiàn)[25]在反步控制策略中分別設(shè)計(jì)了范數(shù)自適應(yīng)估計(jì)算法和層級(jí)模糊邏輯系統(tǒng)來補(bǔ)償包含測(cè)量不確定的集總擾動(dòng)。文獻(xiàn)[26]針對(duì)剛體航天器存在集總擾動(dòng)問題，將反步控制方法結(jié)合非線性干擾觀測(cè)器設(shè)計(jì)了魯棒控制策略。文獻(xiàn)[27]在反步控制方案中設(shè)計(jì)了有限時(shí)間積分滑模干擾觀測(cè)器，有效地估計(jì)系統(tǒng)的集總擾動(dòng)，保證了航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)穩(wěn)定性。

本文研究了執(zhí)行器失效和測(cè)量不確定的充液航天器大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)魯棒容錯(cuò)控制問題。主要內(nèi)容包含：1)將部分充液貯箱內(nèi)液體晃動(dòng)等效為粘性球擺模型，利用動(dòng)量矩守恒定律推導(dǎo)出航天器的耦合動(dòng)力學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上考慮姿態(tài)的測(cè)量不確定性，進(jìn)一步得到測(cè)量的動(dòng)力學(xué)模型；2)采用時(shí)變變結(jié)構(gòu)控制策略和自適應(yīng)控制算法設(shè)計(jì)魯棒自適應(yīng)容錯(cuò)控制，其中自適應(yīng)控制算法用于估計(jì)匹配集總擾動(dòng)和失配集總擾動(dòng)的范數(shù)上界，以及用于估計(jì)描述液體晃動(dòng)的位移變量；3)與文獻(xiàn)[25-27]利用反步控制方法設(shè)計(jì)的控制器相比，本文在變結(jié)構(gòu)控制器的設(shè)計(jì)過程中考慮了測(cè)量不確定的估計(jì)和補(bǔ)償算法，同時(shí)還考慮了執(zhí)行器的失效故障問題；4)基于Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了容錯(cuò)閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)變量的一致有界性，實(shí)際的姿態(tài)和角速度會(huì)最終收斂到平衡位置的較小鄰域內(nèi)。

圖1 充液航天器示意圖和力學(xué)模型Fig.1 Schematic diagram and mechanical model of liquid-filled spacecraft

1 充液航天器動(dòng)力學(xué)建模

1.1 航天器的數(shù)學(xué)模型

圖1(a)展示了充液航天器，-坐標(biāo)系表示航天器本體坐標(biāo)系，-表示球擺坐標(biāo)系。假設(shè)為剛體部分的質(zhì)心，表示貯箱中心，也是球擺懸掛點(diǎn)，假設(shè)球擺懸掛點(diǎn)位于航天器本體坐標(biāo)系的軸上，球擺的擺長(zhǎng)為，球擺質(zhì)量為，球擺相對(duì)于的位移矢量為，到的位移矢量為。假設(shè)球擺質(zhì)量的位置在本體坐標(biāo)系中表示為點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)連線上的一點(diǎn)C是主剛體和球擺所組成的系統(tǒng)的質(zhì)心。C到的位移矢量為，C到的位移矢量為。點(diǎn)相對(duì)于球擺懸掛點(diǎn)的位移矢量為。

應(yīng)用動(dòng)量矩定理建立充液航天器動(dòng)力學(xué)方程以及液體燃料晃動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程

(1)

(2)

式中：為剛體航天器和液體燃料未發(fā)生晃動(dòng)時(shí)總的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；為耦合矩陣；表示描述液體晃動(dòng)的廣義坐標(biāo)矢量；表示施加在航天器上的控制力矩；()表示航天器受到的外部干擾力矩；為液體晃動(dòng)質(zhì)量的慣性矩陣；阻尼矩陣；剛度矩陣；和為方程中的高階項(xiàng)。以上方程參數(shù)具體計(jì)算方法可參考文獻(xiàn)[28]。

1.2 姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程描述

考慮到克服參數(shù)奇異性的優(yōu)點(diǎn)，本文使用歐拉四元數(shù)描述航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程，表示為

(3)

1.3 測(cè)量的動(dòng)力學(xué)模型

考慮到航天器的姿態(tài)和角速度是由多個(gè)機(jī)載傳感器測(cè)量得到的，同時(shí)由于空間中存在的復(fù)雜環(huán)境干擾，傳感器的測(cè)量值一般是不確定的，通常含有噪音的成分。因此本文考慮的不確定性包括：未知的外部干擾()，航天器慣性矩陣的不確定Δ和航天器上姿態(tài)傳感器的測(cè)量不確定，分別表示為Δ和Δ。測(cè)量的姿態(tài)四元數(shù)和角速度表示為

(4)

(5)

根據(jù)式(9)和式(11)，可以得到

(6)

考慮航天器執(zhí)行姿態(tài)機(jī)動(dòng)任務(wù)，假設(shè)液體為小幅度晃動(dòng)，可將式(1)和式(2)做線性化處理，即省略掉式(1)和式(3)中的高階小量。為了控制系統(tǒng)推導(dǎo)方便，以及后文控制器設(shè)計(jì)方便，對(duì)于式(2)引入新的變量，將得到的方程結(jié)合假設(shè)1，同時(shí)考慮執(zhí)行器存在失效故障的情形，測(cè)量的充液航天器動(dòng)力學(xué)模型表示為

(7a)

(7b)

(8)

式中：=+Δ，Δ為參數(shù)不確定矩陣。

圖2展示了本文的控制目標(biāo)，其中期望的姿態(tài)和角速度等于零。考慮充液航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)存在外部未知干擾，參數(shù)不確定，測(cè)量不確定和執(zhí)行器部分失效的魯棒控制問題，本文的控制目標(biāo)為：

1)容錯(cuò)閉環(huán)系統(tǒng)中的所有狀態(tài)向量信號(hào)都是最終一致有界的(GUUB)。

圖2 控制器設(shè)計(jì)問題描述示意圖Fig.2 Schematic diagram describing the controller design problems

2)測(cè)量的姿態(tài)和角速度是一致最終有界的，實(shí)際的姿態(tài)和角速度同時(shí)收斂到原點(diǎn)的較小鄰域內(nèi)。

3)性能指標(biāo)定義為

(9)

是有界的，其中和為輔助變量，定義為

(10)

(11)

式中：()是待設(shè)計(jì)的時(shí)變函數(shù)；是正常數(shù)，其決定整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)。

2 魯棒容錯(cuò)控制律設(shè)計(jì)和穩(wěn)定性分析

針對(duì)控制系統(tǒng)式(7)存在不匹配集總擾動(dòng)和匹配集總擾動(dòng)。本文將變結(jié)構(gòu)控制策略結(jié)合自適應(yīng)估計(jì)算法，提出了一種自適應(yīng)魯棒容錯(cuò)控制方法，用于實(shí)現(xiàn)上述控制目標(biāo)。為了便于控制器設(shè)計(jì)，先考慮以下合理的假設(shè)：

存在足夠大的控制增益滿足不等式

≥

式中：為待設(shè)計(jì)的控制參數(shù)。

假設(shè)3反映了故障信息的不確定性，因?yàn)?<≤1，所以假設(shè)3的合理性在于，可由兩個(gè)極限值進(jìn)行限定。假設(shè)4描述了足夠大的控制增益抑制執(zhí)行器故障的不確定性，該假設(shè)滿足實(shí)際應(yīng)用條件，從而實(shí)現(xiàn)期望的姿態(tài)機(jī)動(dòng)任務(wù)。

考慮充液航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)控制系統(tǒng)式(7)存在擾動(dòng)不確定，測(cè)量不確定和執(zhí)行器失效的問題，如果假設(shè)1～4得到滿足，設(shè)計(jì)如下的自適應(yīng)魯棒容錯(cuò)控制律和自適應(yīng)更新律，閉環(huán)系統(tǒng)的軌跡是全局一致最終有界的。

=1, 2, 3

(12a)

自適應(yīng)控制律設(shè)計(jì)為

(12b)

(12c)

(12d)

考慮Lyapunov函數(shù)

(13)

將式(13)對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)

(14)

將式(7)，(12a)，(12b)和(12c)代入式(14)可得

(15)

將式(12 d)代入式(15)，并結(jié)合假設(shè)2和3，進(jìn)一步簡(jiǎn)化可得

(16)

同時(shí)，注意到以下不等式成立

(17)

(18)

(19)

正切雙曲函數(shù)具有性質(zhì)

0≤||-||tanh()≤

式中：=02785；>0；∈。使用這個(gè)性質(zhì)可以證明

(20)

考慮式(10)和式(11)，并且將式(17)～(20)代入式(16)，進(jìn)一步化簡(jiǎn)可得

(21)

姿態(tài)增益的自適應(yīng)算法設(shè)計(jì)為

(22)

將式(22)代入式(21)得到

(23)

式(23)可以進(jìn)一步寫為

(24)

接下來，證明閉環(huán)系統(tǒng)的一致有界性。首先定義一個(gè)新的變量

根據(jù)式(13)定義的Lyapunov函數(shù)滿足≤，并且以下不等式關(guān)系成立

(25)

注意到如下不等式成立

(26)

根據(jù)假設(shè)4，式(23)可以寫為

(27)

式中：=()。

引入新的變量0<<1，式(27)可進(jìn)一步寫為:

(28)

(29)

式(28)可以寫為

(30)

將式(30)兩邊積分可得

0≤()≤((0)-)e-+

(31)

因此，根據(jù)式(13)和式(31)，可以得到

(32)

(33)

根據(jù)以上得到的結(jié)論，可以得到姿態(tài)增益也是有一致界的。根據(jù)式(4)和式(5)，并且結(jié)合假設(shè)2可以得到

(34)

(35)

根據(jù)式(34)和式(35)可得：實(shí)際的角速度和實(shí)際的姿態(tài)也是一致有界的，他們會(huì)收斂到平衡位置的較小鄰域內(nèi)。證畢。

根據(jù)式(12)和(22)，所提出的控制器不依賴于故障的準(zhǔn)確信息，僅使用估計(jì)故障信息的上限和下限。在不存在故障檢測(cè)與隔離(FDI)的情況下，這些值可用故障信息的極值來代替以獲得良好的控制性能，例如=01,=1。

3 數(shù)值模擬

在數(shù)值仿真中，剛體航天器轉(zhuǎn)動(dòng)慣量選取為

航天器受到的外部干擾設(shè)置為

不確定性慣性矩陣Δ=05，假設(shè)測(cè)量不確定為

執(zhí)行機(jī)構(gòu)的有效性為

式中：=03+01sin(05+π3),=1, 2, 3。

控制器參數(shù)選擇=5,=0.01,=01,=10,==0.2,==05,=01,=1,=15,=。

[(0)(0)]=

為了驗(yàn)證本文提出控制方法的魯棒性和有效性，給出兩種情形下的仿真結(jié)果。

：采用本文設(shè)計(jì)的控制器式(12)，進(jìn)行數(shù)值仿真研究，仿真結(jié)果如圖3～8所示。

圖3 角速度時(shí)間歷程圖Fig.3 Time history of angular velocities

圖4 姿態(tài)四元數(shù)時(shí)間歷程圖Fig.4 Time history of attitude quaternions

圖5 估計(jì)的晃動(dòng)位移變量時(shí)間歷程圖Fig.5 Time history of estimated sloshing variables

圖6 姿態(tài)增益時(shí)間歷程圖Fig.6 Time history of attitude gain

圖7 參數(shù)估計(jì)時(shí)間歷程圖Fig.7 Time history of parameter estimation

圖8 控制力矩時(shí)間歷程圖Fig.8 Time history of control torque

：選擇文獻(xiàn)[20]中針對(duì)剛體航天器設(shè)計(jì)的魯棒容錯(cuò)控制器進(jìn)行對(duì)比研究。為了便于控制效果對(duì)比，將其設(shè)計(jì)的控制器在本文充液航天器的控制系統(tǒng)式(7)的環(huán)境下進(jìn)行數(shù)值仿真研究。仿真結(jié)果圖9～11分別給出了航天器姿態(tài)角速度，姿態(tài)四元數(shù)以及控制力矩的響應(yīng)曲線圖。

圖9 基于文獻(xiàn)[20]控制器的角速度時(shí)間歷程圖Fig.9 Time history of angular velocities by[20]

圖10 基于文獻(xiàn)[20]控制器的姿態(tài)四元數(shù)時(shí)間歷程圖Fig.10 Time history of attitude quaternions by[20]

圖11 基于文獻(xiàn)[20]控制器的控制力矩時(shí)間歷程圖Fig.11 Time history of control torque by[20]

通過以上仿真結(jié)果，可以得到以下結(jié)論：

1)對(duì)比圖3和圖9中角速度的響應(yīng)曲線，可以看出在本文控制器式(12)的仿真下，角速度響應(yīng)需要花費(fèi)大約20 s的時(shí)間收斂到平衡位置，同時(shí)在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)階段的穩(wěn)態(tài)誤差精度可以達(dá)到||≤1×10rad·s，能夠擁有較高的控制精度。在文獻(xiàn)[20]設(shè)計(jì)控制策略仿真下，角速度響應(yīng)需要花費(fèi)大約50 s的時(shí)間收斂到平衡位，穩(wěn)態(tài)區(qū)間的誤差精度為||≤5×10rad·s。同時(shí)，對(duì)比兩種控制策略在瞬態(tài)響應(yīng)區(qū)間的控制效果，相比較圖9而言，可以很明顯地看出圖3擁有較好的瞬態(tài)響應(yīng)。

2)對(duì)比如圖4和圖10姿態(tài)四元數(shù)的響應(yīng)曲線，可以看出在本文設(shè)計(jì)控制律式(12)的仿真下，姿態(tài)四元數(shù)需要花費(fèi)大約20 s的時(shí)間收斂到平衡位置，并且在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)區(qū)間的穩(wěn)態(tài)誤差精度可以達(dá)到||≤1×10。在文獻(xiàn)[20]的控制策略仿真下，姿態(tài)四元數(shù)需要花費(fèi)大約50 s的時(shí)間收斂到平穩(wěn)位置，在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)區(qū)間的穩(wěn)態(tài)精度誤差可以達(dá)到||≤5×10。在對(duì)比瞬態(tài)響應(yīng)區(qū)間的控制效果，很清楚的看出圖4擁有相對(duì)較好的瞬態(tài)響應(yīng)。

通過以上分析可以得出，通過比較描述系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)的性能收斂指標(biāo)，容易得出在相同外部未知干擾、參數(shù)不確定，測(cè)量不確定和執(zhí)行器失效的條件下，對(duì)比文獻(xiàn)[20]，本文所提出自適應(yīng)變結(jié)構(gòu)控制方法能夠?qū)崿F(xiàn)更好的控制性能。

5 結(jié) 論

本文以三軸穩(wěn)定充液航天器的動(dòng)力學(xué)建模和控制策略為研究對(duì)象，研究了其姿態(tài)控制系統(tǒng)中存在外部未知干擾，參數(shù)不確定，測(cè)量不確定和未知執(zhí)行器故障的魯棒容錯(cuò)控制問題，提出了一種基于變結(jié)構(gòu)控制的自適應(yīng)魯棒容錯(cuò)姿態(tài)控制方案。

在姿態(tài)控制器設(shè)計(jì)中，將時(shí)變變結(jié)構(gòu)控制器結(jié)合自適應(yīng)算法設(shè)計(jì)了自適應(yīng)魯棒容錯(cuò)控制器，提出的控制算法在繼承變結(jié)構(gòu)控制策略優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)，又能利用自適應(yīng)算法估計(jì)和補(bǔ)償系統(tǒng)的集總擾動(dòng)。采用Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了整個(gè)容錯(cuò)系統(tǒng)中狀態(tài)變量的一致最終有界穩(wěn)定性。最后與現(xiàn)有的變結(jié)構(gòu)控制方法進(jìn)行了仿真對(duì)比研究，仿真結(jié)果表明，本文設(shè)計(jì)的控制器可以實(shí)現(xiàn)充液航天器控制系統(tǒng)的快速收斂性能和魯棒容錯(cuò)能力。