切片分析：小學(xué)數(shù)學(xué)教材分析新路徑
——以“因數(shù)和倍數(shù)”為例

◎毛文波

教材是學(xué)生獲取知識的主要來源和教師教學(xué)的主要依據(jù)。[1]教材資源效益最大化是教師專業(yè)素養(yǎng)的重要體現(xiàn)。目前，我國小學(xué)數(shù)學(xué)教材有近十個版本，給一線教師帶來很大的學(xué)習(xí)研究空間。從豐富的教材資源中，博采眾長，豐富“用教材去教”的理念，理應(yīng)成為一線教師的行動自覺。“雙減”時代，一線教師更要注重教材教法的深入研究，提高課堂教學(xué)效率。

一、問題的提出

2020年，筆者有幸參加江蘇省某市A區(qū)鄉(xiāng)村小學(xué)數(shù)學(xué)骨干教師培育站暑期培訓(xùn)和山東省某市B區(qū)小學(xué)高年級段數(shù)學(xué)教師暑期培訓(xùn)活動，對接受培訓(xùn)的教師進(jìn)行現(xiàn)場調(diào)查，了解了兩區(qū)教材的使用情況。兩區(qū)使用的教材分別是蘇教版、青島版，手機(jī)現(xiàn)場掃碼采集數(shù)據(jù)，共收到296份有效信息。通過數(shù)據(jù)分析，筆者發(fā)現(xiàn)：兩區(qū)教師的教齡結(jié)構(gòu)相似，其中21～30年教齡段人數(shù)占比最多，達(dá)32%，其余依次是4～10年、1～3年、11～20年，31年及以上最少，占8%。此外，調(diào)查顯示，教師對教材研究存在如下問題：

(一)青年教師對不同版本教材的關(guān)注度需提高

從閱讀不同版本教材人數(shù)占各教齡段人數(shù)的百分比看，經(jīng)常閱讀不同版本教材的教師為工作1～3年的年輕教師，A區(qū)經(jīng)常閱讀的教師占比19%，B區(qū)經(jīng)常閱讀的教師占比41.2%。把“經(jīng)?！?、“有時”兩個選項(xiàng)的百分比相加可得：入職1～3年的教師對各版本的教材關(guān)注度也最高，A區(qū)占本段人群的52.3%，B區(qū)占本段人群的67.7%，遠(yuǎn)超過其他教齡段的教師。

(二)經(jīng)常深入研讀不同版本教材的教師不多

調(diào)查“您曾經(jīng)深入地比較分析研究兩種及以上不同版本教材的同一內(nèi)容嗎？” 兩區(qū)調(diào)查結(jié)果較為相似，有近一半的教師沒有深入研究分析不同版本的教材，其中研究不同版本教材的頻次達(dá)到3次及以上的僅占15%～20%。

(三)研讀教材沒有成為教師教學(xué)設(shè)計(jì)智慧的重要來源

研讀教材最顯性的價(jià)值就是改進(jìn)教學(xué)，有效促進(jìn)學(xué)生發(fā)展。對于調(diào)查中“最近一次公開教學(xué)備課時，您的教學(xué)設(shè)計(jì)的靈感主要來自哪里？”這一問題，兩區(qū)答題統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表1所示。

表1 兩區(qū)答題方式統(tǒng)計(jì)表

在七種教學(xué)設(shè)計(jì)智慧來源中，“研讀多個版本的教材”的回答占比居第五位，位次較低。在最近一次的公開教學(xué)中，僅有6.5%～9.1%(單選)的教師從研究多版教材中獲得設(shè)計(jì)靈感；有35.7%～41.3%(多選)的教師選擇多種策略，包含研讀多版教材。

通過以上的調(diào)查發(fā)現(xiàn)，絕大部分教師沒有深入地研究多版同類教材的經(jīng)歷，教材資源利用率低，通過訪談得知教師不會研讀教材是主因。

二、切片式教材分析框架

(一)切片式教材分析內(nèi)涵

數(shù)學(xué)教材如何研讀？仁者見仁智者見智。生活是智慧之源，會給我們很多啟示。切片面包是很多人的最愛，因?yàn)閷⒁徽麎K面包切開后，可以有多種吃法，隨意取幾片，可以蘸奶酪、番茄醬、果醬吃，中間也可以夾果蔬，夾煎蛋、培根等，根據(jù)自己的口味，豐富搭配，吃出個性。2000年后“一標(biāo)多本”打破了“一本書教遍天下”的局面，教材呈百花齊放的態(tài)勢。如何充分利用教材資源改善教學(xué)？

如果把一本教材中的一個單元、一課內(nèi)容等看作一整塊面包，根據(jù)編排內(nèi)容的次序依次切開，每個切片就如面包的切片。對每個切片進(jìn)行分析，充分研究后再進(jìn)行加工，就如在面包中蘸醬、夾果蔬等進(jìn)行個性化、深度理解的設(shè)計(jì)。如果對相同內(nèi)容的兩個版本及以上的教材用這種方法切開，進(jìn)行橫向比較分析，更深入地思考教學(xué)內(nèi)容，這種研究教材的方法就叫“切片式”教材分析。這種教材分析法是把教材進(jìn)行解構(gòu)，切開后，再分析內(nèi)部各元素之間、部分與整體之間的關(guān)系，然后重構(gòu)教學(xué)。

(二)切片式教材分析框架

根據(jù)教學(xué)三要素：內(nèi)容、學(xué)生和教師，切片式教材分析分為三個維度：切片內(nèi)容、分析目標(biāo)和教學(xué)設(shè)計(jì)。切片內(nèi)容根據(jù)顯性的教材編排順序和隱性的方法思想，分為這幾塊：內(nèi)容所處位置、學(xué)習(xí)內(nèi)容、引入方式、內(nèi)容層次結(jié)論方式及方法思想、編寫特色和練習(xí)特點(diǎn)。根據(jù)結(jié)構(gòu)化學(xué)學(xué)理分析的要素[2]，分析目標(biāo)可分為學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律、知識結(jié)構(gòu)、學(xué)習(xí)情境、認(rèn)知結(jié)構(gòu)、思維結(jié)構(gòu)、素養(yǎng)結(jié)構(gòu)、表征結(jié)構(gòu)等。現(xiàn)代教學(xué)設(shè)計(jì)是用系統(tǒng)化的方法將教學(xué)過程中的各元素進(jìn)行結(jié)構(gòu)化[3]設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)主要分為教和學(xué)這兩個系統(tǒng)，因此教學(xué)設(shè)計(jì)要關(guān)照教學(xué)目標(biāo)、任務(wù)分析、教學(xué)方法和教學(xué)評價(jià)。根據(jù)解構(gòu)與重構(gòu)的結(jié)構(gòu)觀，可以按教材編排的順序?qū)滩倪M(jìn)行切片分析，下面以一課時教學(xué)內(nèi)容為例，構(gòu)建切片式教材分析框架(如圖1)。

圖1 切片式教材分析框架

三、切片式教材分析實(shí)例

(一)教材切片實(shí)例分析

以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級下冊的“因數(shù)和倍數(shù)”這課為例進(jìn)行切片分析。

1．切片的劃分

人教版數(shù)學(xué)教材“因數(shù)和倍數(shù)”這課被切成七片，第一片是學(xué)習(xí)內(nèi)容所處的位置；第二片是本課的學(xué)習(xí)內(nèi)容；第三片是學(xué)習(xí)內(nèi)容引入方式；第四、五、六片是學(xué)習(xí)內(nèi)容展開的層次和方法思想；第七片是結(jié)論方式2。不同的學(xué)習(xí)內(nèi)容，切片數(shù)量也存在差異，例如處在單元中間的內(nèi)容，第二個切片在教材中不好切，則需要提煉；有的沒有引入情境，如本課的例2和例3，則可以作為一大切片，然后將它再分項(xiàng)切成兩至三個小切片來處理。

2．切片的分析

根據(jù)以上教材切片，下面重點(diǎn)對“引入方式”、“內(nèi)容層次、方法思想”、“結(jié)論方式”這三個切片作以下分析：

(1)引入方式分析。在前面整數(shù)和小數(shù)除法的基礎(chǔ)上，將9道除法算式進(jìn)行分類，比較分類結(jié)果，進(jìn)行歸納與概括。對除法算式分類時，是基于學(xué)生學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，從數(shù)學(xué)內(nèi)在的邏輯結(jié)構(gòu)展開，對接舊知，聯(lián)系新知。

(2)內(nèi)容層次與方法思想分析。本課有三個例題，即三個大的切片，每個例題在內(nèi)容層次、方法思想方面存在緊密聯(lián)系，例1是概念，例2、例3是概念的應(yīng)用。例1的內(nèi)容聚焦在除法分類結(jié)果中的第一類(整除)，在歸納這類除法算式共同特點(diǎn)的基礎(chǔ)上給因數(shù)和倍數(shù)下定義，然后用定義來闡釋算式中兩個數(shù)間的因數(shù)或倍數(shù)關(guān)系，體現(xiàn)了由具體到抽象再到具象應(yīng)用的思想。例2和例3教材編排層次基本相同，注重介紹找一個數(shù)因數(shù)或倍數(shù)的策略——一一列舉，這種策略滲透了集合思想。

(3)結(jié)論方式分析。結(jié)論主要指數(shù)學(xué)的概念、規(guī)律、公式、定理等，這些數(shù)學(xué)結(jié)論呈現(xiàn)的方式體現(xiàn)了對學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的尊重和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)發(fā)展的不斷完善。本課有兩個結(jié)論：一個是因數(shù)和倍數(shù)的概念，采用下定義的方式；另一個是一個數(shù)的因數(shù)或倍數(shù)的規(guī)律，采用不完全歸納法。下定義，純文字是抽象的，對學(xué)生的理解能力要求高；歸納是基于具體的實(shí)例，有具象支撐，也可驗(yàn)證(具體分析見表2)。

(二)多版本教材切片對比分析

下面以“因數(shù)和倍數(shù)”這課為例，選擇三個版本教材進(jìn)行切片比較(如表2)。

表2 “因數(shù)和倍數(shù)”四個版本教材切片式對比分析情況

(三)追問究理，統(tǒng)整教材的教學(xué)實(shí)踐

1．反思追問

問題1：整除的概念有必要引入嗎？整除是因數(shù)和倍數(shù)的上位概念，如果引入教學(xué)，則增加了學(xué)習(xí)任務(wù)量，也會增大難度，影響學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)。[4]從以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)學(xué)生很容易混淆“誰能被誰整除”和“誰整除誰”。但是從知識整體性看，學(xué)生需要弄清“誰能被誰整除”和“誰整除誰”，這需要教師將整除概念的內(nèi)涵向?qū)W生闡釋清楚。

問題2：集合圖要教學(xué)嗎？必須滲透集合的思想嗎？自然數(shù)、整數(shù)、因數(shù)和倍數(shù)的數(shù)學(xué)科學(xué)概念都是從集合論的角度來定義的，因此，教學(xué)中滲透集合思想是必需的。

問題3：枚舉法是用乘法好、除法好、還是兩種方法都用好？方法好不好可以從兩個角度來判斷：一是學(xué)生選不選，好不好用；二是兩種方法是否都必須掌握。從方法的完整性來說，這兩種都要教學(xué)，但選哪種？適合的才是最好的，由學(xué)生自己確定。

問題4：怎樣培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力？合情推理在同類型同結(jié)構(gòu)的情況下才易發(fā)生，所以推理前要豐富實(shí)例。

問題5：本課知識的本質(zhì)是什么？因數(shù)和倍數(shù)兩個概念的本質(zhì)是非零自然數(shù)域內(nèi)數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系。

2．刨根究理

(1)數(shù)學(xué)科學(xué)概念。自然數(shù)是數(shù)學(xué)中最基本的概念，是指“一類等價(jià)的非空有限集合的標(biāo)記，它表示非空有限集合中元素的個數(shù)”[5]，或“有限集合的基數(shù)”[6]。這兩種界定方式大同小異，都是從集合論的角度來界定，此外還有公理化的界定。在幾種自然數(shù)的界定中，這種集合論的界定與小學(xué)生能理解的描述性定義關(guān)系更近一些。因此，某些版本教材的編寫者就從自然數(shù)作為數(shù)學(xué)科學(xué)概念的角度在此部分教材中呈現(xiàn)了集合圖，以滲透集合思想。

因數(shù)與倍數(shù)是數(shù)論中的基本概念，數(shù)論中的因數(shù)與倍數(shù)的定義為：“如果整數(shù)a能被自然數(shù)b整除，那么a叫做b的倍數(shù)，b叫做a的約數(shù)，約數(shù)有時也叫因數(shù)?！盵7]還有一種定義為：“對于整數(shù)a與b(b≠0)，如果存在一個整數(shù)q使a=bq成立，那么稱b整除a，記為b│a。這時a稱為b的倍數(shù) ，b稱為a的約數(shù)或因數(shù)。”[8]前一種定義中“整除”是屬概念，是因數(shù)和倍數(shù)概念的根，后一種定義則是將相乘關(guān)系作為屬概念，整數(shù)是研究數(shù)的范圍。在以上三個版本的教材中，人教版教材主要依據(jù)前一種定義來介紹因數(shù)和倍數(shù)，其他兩個版本教材則根據(jù)后一種定義引入因數(shù)和倍數(shù)。從小學(xué)生當(dāng)前的認(rèn)知水平看，在學(xué)習(xí)此內(nèi)容之前學(xué)生已有豐富的乘法和除法運(yùn)算基礎(chǔ)，但乘、除兩種運(yùn)算中，乘法屬于順向思維，所以對于因數(shù)和倍數(shù)的界定，后一種方式更利于小學(xué)生理解和掌握。

(2)課程標(biāo)準(zhǔn)中相關(guān)內(nèi)容的表述。與本課內(nèi)容相關(guān)的教學(xué)標(biāo)準(zhǔn)有：在1～100的自然數(shù)中，能找出10以內(nèi)自然數(shù)的所有倍數(shù)，能找出一個自然數(shù)的所有因數(shù)，了解自然數(shù)、整數(shù)等。[9]在數(shù)學(xué)思考方面，與本課聯(lián)系緊密的有：在一系列思維活動中，發(fā)展合情推理能力，獨(dú)立、有條理地思考，清楚表達(dá)思考過程與結(jié)果。體會數(shù)學(xué)的基本思想。[10]在情感態(tài)度方面的要求則為：“在運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和方法解決問題的過程中，認(rèn)識數(shù)學(xué)的價(jià)值?！盵11]

(3)教材單元知識結(jié)構(gòu)。梳理教材知識結(jié)構(gòu)(如圖2)，我們會發(fā)現(xiàn)本課學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)是整數(shù)的乘、除法，整除是因數(shù)與倍數(shù)的根概念，因數(shù)與倍數(shù)又是后面其他知識學(xué)習(xí)的核心概念，因此乘除法(積、商)是學(xué)生認(rèn)識和掌握因數(shù)倍數(shù)的橋梁(圖2)。

圖2 “因數(shù)和倍數(shù)”單元知識結(jié)構(gòu)

3．統(tǒng)整教材的教學(xué)實(shí)踐

在教材切片分析和學(xué)理分析的基礎(chǔ)上，統(tǒng)整三個版本教材資源，設(shè)計(jì)教學(xué)可以充分發(fā)揮教材資源的作用，優(yōu)勢互補(bǔ)，對教師的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行適當(dāng)?shù)某鋵?shí)與完善。這樣獲得的“因數(shù)和倍數(shù)”的教學(xué)思路如下：畫出12個小正方形拼成的長方形——描述乘除法算式中的因數(shù)與倍數(shù)關(guān)系——任意兩數(shù)間的關(guān)系——引導(dǎo)學(xué)生通過反例——找因數(shù)及規(guī)律——找倍數(shù)及規(guī)律——實(shí)踐情境演練。在教學(xué)實(shí)踐中，我們會發(fā)現(xiàn)：學(xué)生在判斷任意兩個數(shù)因數(shù)和倍數(shù)關(guān)系時，明顯比直接根據(jù)乘、除法算式思考的時間要長，學(xué)生思考時十分依賴乘、除法算式，在說算理的過程中，學(xué)生想乘法算式的人數(shù)明顯比想除法的要多得多。學(xué)生只要想出了算式，就能判斷兩數(shù)間的關(guān)系；反例的學(xué)習(xí)可以促進(jìn)學(xué)生正確建構(gòu)核心概念，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)主動性。

切片式教材分析是分析教材的一個新視角和新方法，通過縱、橫分析與比較，教師可以更深入地理解教材，發(fā)現(xiàn)差異，通過深入思考發(fā)現(xiàn)知識間的內(nèi)在邏輯關(guān)系。這樣，教師就可以根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)出適合學(xué)生學(xué)習(xí)、有自己獨(dú)特理解的教學(xué)流程，在提高教師自身專業(yè)素養(yǎng)的同時促進(jìn)學(xué)生更好地發(fā)展。切片式教材分析的框架只是按教材本身的編排順序進(jìn)行初步的建構(gòu)，操作容易，但它的合理性、科學(xué)性還有待在實(shí)踐中進(jìn)一步完善。

(毛文波，南京市金陵小學(xué)，南京 210046)