借問考生錯(cuò)何處，題意暗指素養(yǎng)故

周穎穎

摘要：本文通過錯(cuò)例示范法，研究立體圖形中的最短路徑問題，分析學(xué)生產(chǎn)生錯(cuò)誤的本質(zhì)原因，從而啟發(fā)教師在平時(shí)教學(xué)過程中，從五個(gè)方面重視學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng).

關(guān)鍵詞：錯(cuò)例示范;最短路徑;數(shù)學(xué)素養(yǎng);

原題呈現(xiàn)與試題分析

【原題呈現(xiàn)】

在幾何體表面上，螞蟻怎樣爬行路徑最短？

如圖①，圓錐的母線長為12cm，B為母線OC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在底面圓周上，的長為4πcm，在圖②所示的圓錐的側(cè)面展開圖畫出螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)B的最短路徑，并標(biāo)出它的長（結(jié)果保留根號）.

圖③中的幾何體由底面半徑相同的圓錐和圓柱組成，O是圓錐的頂點(diǎn)，點(diǎn)A在圓柱的底面圓周上. 設(shè)圓錐的母線長為l，圓柱的高為h.

①螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)O的最短路徑的長為_______（用含h，l的代數(shù)式表示）.

②設(shè)的長為a，點(diǎn)B在母線OC上，OB=b，圓柱的側(cè)面展開圖如圖④所示，在圖中畫出螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)B的最短路徑的示意圖，并寫出求最短路徑的長的思路.

【試題分析】

本題是立體圖形表面爬行的最短路徑問題，需要學(xué)生將立體圖形轉(zhuǎn)化成平面圖形，第一問也正是為這一點(diǎn)做好鋪墊：將立體圖形展開成平面圖形，繼而在平面圖形上找到最短路徑. 第二問是在組合的立體圖形表面找最短路徑，難點(diǎn)是將立體圖形展開成平面圖形，這里需要學(xué)生具有類比聯(lián)想的能力：圓錐的平面展開圖是一個(gè)扇形和一個(gè)圓，它們通過一個(gè)點(diǎn)連接，從而可以類比出本題的組合圖形的平面展開圖.而且還考察了學(xué)生的臨界思想：展開后找最短路徑轉(zhuǎn)化成兩條線段的和的最小值，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最小.本題對學(xué)生的綜合能力要求高，考察了學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想、化歸思想以及臨界思想.

二、解法與思路分析

解（1）如圖①，AB即為最短路徑.

（2）①h+l

②如圖②，AB即為最短路徑.

求最短路徑的長的思路如下：

設(shè)切點(diǎn)為E，作AF⊥EC，連接OE，作BG⊥OE.

第一步，設(shè)EF=x，則=EC=a-x，于是∠EOC=? ? ? ? ? ? ? .

第二步，解Rt?OBG可得BG=b·cos∠EOC ，OG=b·sin∠EOC ，

于是EG=l-b·cos∠EOC

第三步，由ΔAEF∽ΔEBG得，可求出x的值.

第四步，根據(jù)勾股定理求出AE和BE，則最短路徑的長為AB=AE+BE.

特別地，若點(diǎn)B在O或者C處，易得最短路徑長.

三、典型錯(cuò)例與錯(cuò)誤分析

錯(cuò)例分析：有走直線的意識，但對組合圖形中的圓錐展開圖不清楚，平面展開圖不會(huì)處理.

錯(cuò)例分析：有走直線的意識，但對組合圖形的平面展開圖不會(huì)處理.

錯(cuò)例分析：有走直線意識，掌握了圓錐與圓柱的展開圖，但沒有動(dòng)態(tài)意識，認(rèn)為兩個(gè)圖形只能靠C點(diǎn)連接.

錯(cuò)例分析：有走直線意識，掌握了圓錐與圓柱的展開圖，有動(dòng)態(tài)問題中的臨界意識，但對B點(diǎn)的位置認(rèn)識不準(zhǔn)。沒有意識到點(diǎn)C在扇形上的位置。

錯(cuò)誤分析：有走直線意識，掌握了圓錐與圓柱的展開圖，有動(dòng)態(tài)問題中的臨界意識，沒有意識到點(diǎn)C在扇形上與點(diǎn)E構(gòu)成的弧長等于EC.

四、教學(xué)啟示

（一）在幾何教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生“降維式”思維方式

初中生更擅長解決平面幾何問題，該題的難點(diǎn)是給出的圖形是由圓柱與圓錐組成的立體幾何問題.如何把螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)B的最短路徑的立體幾何問題，轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，是一大難點(diǎn).大多數(shù)學(xué)生均能想到將立體幾何展開，可這道題與以往的立體幾何平面展開圖不同：圓柱和圓錐的展開圖如何合成一個(gè)圖.這需要借鑒立體圖形的平面展開圖獲得的經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生聯(lián)想.

（二）經(jīng)歷由“靜”到“動(dòng)”的思維過程，培養(yǎng)學(xué)生化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想

在幾何問題中，很多看似靜態(tài)的問題，在嘗試、分析、挖掘題目后其實(shí)本質(zhì)是一個(gè)動(dòng)態(tài)問題.如本題：圓錐的展開圖扇形與圓柱的展開圖矩形是通過一個(gè)點(diǎn)來連接的，這個(gè)點(diǎn)是任意的，這就相當(dāng)于可以將扇形在矩形上滾動(dòng)，是一個(gè)動(dòng)態(tài)問題，在這個(gè)動(dòng)態(tài)問題中找出最值.在平時(shí)的教學(xué)中，碰到此類問題，要鼓勵(lì)學(xué)生去挖掘、去分析、去化歸，以獲取這類經(jīng)驗(yàn).

（三）利用最近發(fā)展域，培養(yǎng)學(xué)生類比猜想能力

兩點(diǎn)之間線段最短，學(xué)生對這個(gè)結(jié)論是比較熟悉的。本題問的是螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)B的最短路徑，學(xué)生根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，猜想：線段最短，進(jìn)而會(huì)去尋求何時(shí)為線段，從而想到使得點(diǎn)A，E，B在一條直線上時(shí).至于猜想正確與否，題目中并沒有要求證明，因?yàn)橐玫礁咧械膶?dǎo)數(shù)知識.“猜想——驗(yàn)證”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方法，有時(shí)候猜想比驗(yàn)證更重要，如果在平時(shí)的教學(xué)過程中，有意識地利用學(xué)生已有的知識，引導(dǎo)其進(jìn)行類比猜想，那初中生的猜想能力以及創(chuàng)新能力均能得到有效地發(fā)展，為后期的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

（四）強(qiáng)化臨界意識，培養(yǎng)學(xué)生特殊與一般的數(shù)學(xué)思想

在教學(xué)中，學(xué)生面對一些“動(dòng)態(tài)型”的應(yīng)用問題常常會(huì)束手無策.如果能想象問題的動(dòng)態(tài)情景，尋找臨界條件，問題就能迎刃而解.比如本文中研究的這道題，求螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)B的最短路徑，就是一個(gè)動(dòng)態(tài)問題.最終把其轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)A，E，B在一條直線上時(shí)最短，此時(shí)點(diǎn)E的位置就是一個(gè)臨界點(diǎn).在教學(xué)的過程中，鼓勵(lì)學(xué)生由一些特殊的情況進(jìn)行大膽的猜想，再嘗試用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法進(jìn)而論證一般情況，培養(yǎng)學(xué)生特殊與一般的數(shù)學(xué)思想，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生敢于質(zhì)疑，勇于創(chuàng)新的科學(xué)品質(zhì).

（五）在日常教學(xué)與解題教學(xué)中，注重分析的過程，有大局觀

平時(shí)解題過程中，學(xué)生傾向于想到一步，就求解一步，以“量”的形式解題，缺乏對題目的定性認(rèn)識：這可求嗎？為什么可求？要想提高學(xué)生的定性認(rèn)識，我們在平時(shí)的教學(xué)中要有意識地去讓學(xué)生定性的分析求解的過程，有哪些條件可求什么，進(jìn)而可求什么，這樣的分析方式;在代數(shù)教學(xué)時(shí)滲透各個(gè)公式中有幾個(gè)未知量，知道其中幾個(gè)量其余幾個(gè)量就可求的思想;在幾何教學(xué)中滲透“確定即可求”的思想：如三角形的兩邊及其夾角確定，三角形也隨之確定，進(jìn)而三角形的其他基本元素也是確定的，可求解的等等.