涂強(qiáng) 陳立 向妮 陸偉

摘要針對(duì)“常微分方程”課程存在的問題，文章以線上線下混合式“金課”建設(shè)為目標(biāo)，考慮線上資源的構(gòu)建和線下教學(xué)模式的改進(jìn)以及如何將線上線下模式進(jìn)行融合，給出調(diào)整課程建設(shè)方案、豐富教學(xué)手段、改良評(píng)價(jià)考核方式的改革措施。通過多年的實(shí)踐與建設(shè)，“常微分方程”混合式“金課”在課程體系重構(gòu)、學(xué)生實(shí)踐與創(chuàng)新能力培養(yǎng)等方面取得了一定的成效。

關(guān)鍵詞金課;常微分方程;線上線下混合式;翻轉(zhuǎn)課堂

中圖分類號(hào)：G424文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A????????? DOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2022.06.029

Create an Online and Offline Hybrid "Golden Class"???? —— Take the course of "ordinary differential equations" as an example

TU Qiang， CHEN Li， XIANG Ni， LU Wei

（Faculty of Mathematics and Statistics， Hubei University， Wuhan， Hubei 430061）

Abstract? In view of the problems existing in the course of ordinary differential equation， this paper takes the construction of online and offline hybrid "golden course" as the goal， considers the construction of online resources， the improvement of offline teaching mode and how to integrate the online and offline mode， and gives reform measures to adjust the course construction scheme， enrich teaching means and improve the evaluation and assessment methods. Through years of practice and construction， the mixed "golden course" ofordinary differential equation has achieved certain results in the reconstruction of the curriculum system and the cultivation of students' practical and innovative ability.

Keywords? golden class; ordinary differential equation; online and offline hybrid; flipped classroom

“金課”的模式包含線下式、線上式和線上線下混合式、虛擬仿真式和社會(huì)實(shí)踐式。線上線下混合式教學(xué)是將現(xiàn)代信息技術(shù)與傳統(tǒng)課堂教育相融合的一種全新教學(xué)模式，這需要教學(xué)團(tuán)隊(duì)秉承“金課”建設(shè)理念，科學(xué)催化團(tuán)隊(duì)教師“主導(dǎo)”和學(xué)生“主體”作用。在此背景下，湖北大學(xué)教學(xué)團(tuán)隊(duì)結(jié)合學(xué)校實(shí)際情況，研究探討如何合理利用數(shù)字化的教學(xué)工具和手段，將線下面對(duì)面?zhèn)魇诤途€上自主學(xué)習(xí)有機(jī)結(jié)合起來，積極推進(jìn)“常微分方程”的慕課建設(shè)，打造出在線課程與傳統(tǒng)教學(xué)相融合的混合式常微分方程“金課”。

1“常微分方程”課程教學(xué)現(xiàn)狀

“常微分方程”是大學(xué)本科數(shù)學(xué)專業(yè)十分基礎(chǔ)的專業(yè)必修課，同時(shí)也是常微分方程學(xué)科本身近代發(fā)展方向的重要基礎(chǔ)。特別是在互聯(lián)網(wǎng)和計(jì)算機(jī)等新技術(shù)的推動(dòng)下，近幾十年來常微分方程在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用不管是在廣度還是深度上都有重大突破，也使得常微分方程的應(yīng)用前景更為廣泛和重要。因此，針對(duì)常微分方程課程進(jìn)行教學(xué)改革，以適應(yīng)新時(shí)代的發(fā)展需要，有著重要的價(jià)值。目前不少高校教師已在該方面進(jìn)行了深入探索，比如國忠金、孫丹[1]從師范專業(yè)認(rèn)證視角下從課程教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)評(píng)價(jià)等方面提出了常微分方程課程教學(xué)改革的策略;林媛、劉偉明[2]分析了如何將常微分方程課程與思政教育進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，并提出了一些改革方法;劉倩[3]提出了推動(dòng)常微分方程課程教學(xué)模式創(chuàng)新與實(shí)踐探索的策略。

然而，經(jīng)教學(xué)團(tuán)隊(duì)了解，當(dāng)前“常微分方程”課程除了比較經(jīng)典性的傳統(tǒng)內(nèi)容外，通過簡(jiǎn)單實(shí)例引入常微分方程學(xué)科的前沿領(lǐng)域鮮有人涉及。同時(shí)從現(xiàn)實(shí)生活遇到的實(shí)際問題出發(fā)設(shè)計(jì)問題，以數(shù)學(xué)建模為基礎(chǔ)引導(dǎo)學(xué)生開展專題研究和討論也是應(yīng)該考慮的方向。這些對(duì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，加強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力，擴(kuò)寬人才培養(yǎng)途徑也有著重要意義。[4]

2 傳統(tǒng)常微分方程課程教學(xué)存在的問題

2.1 教學(xué)內(nèi)容過于注重理論以及計(jì)算，弱化了知識(shí)的應(yīng)用

作為一門大學(xué)本科數(shù)學(xué)專業(yè)必修課，常微分方程課程中包含許多定理以及證明推導(dǎo)，特別是一階常微分方程解的存在唯一性定理、解對(duì)初值的連續(xù)依賴性和可微性、高階常微分方程解的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)等。這些知識(shí)點(diǎn)作為這門課程的理論核心，且與數(shù)學(xué)分析、線性代數(shù)有著密不可分的聯(lián)系，在課堂上的講解對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性和邏輯性是個(gè)很好的鍛煉，但是過于頻繁地強(qiáng)調(diào)這些理論的推導(dǎo)和證明，難以激起學(xué)生的興趣，容易令學(xué)生感覺枯燥無味，注意力難以集中，從而導(dǎo)致課堂效率低下。而且事實(shí)上很多常微分方程模型都來自人們的日常生活以及學(xué)科領(lǐng)域，比如物理、化學(xué)、生物、經(jīng)濟(jì)、機(jī)械等領(lǐng)域的實(shí)際問題。常微分方程學(xué)科發(fā)展的過程就是不斷從實(shí)踐中抽象出理論，再用理論指導(dǎo)實(shí)踐的過程。大多數(shù)老師對(duì)于常微分方程的實(shí)踐應(yīng)用上投入不多，沒有充分將課程知識(shí)點(diǎn)和學(xué)科的前沿知識(shí)滲透到平時(shí)的教學(xué)中。這樣會(huì)導(dǎo)致學(xué)生體會(huì)不到常微分方程的科學(xué)價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值。

2.2 授課形式單一，師生互動(dòng)較少

在當(dāng)今這個(gè)處處信息化、智能化的時(shí)代，傳統(tǒng)的三尺講臺(tái)、一塊黑板、一支粉筆的教學(xué)技術(shù)和手段亟需改變。長(zhǎng)期以來老師將數(shù)學(xué)課翔實(shí)的理論推理、繁重的計(jì)算步驟單項(xiàng)灌輸，學(xué)生被動(dòng)接受，不同基礎(chǔ)的學(xué)生都是采取統(tǒng)一的教學(xué)模式，教學(xué)過程中缺少師生的互動(dòng)，學(xué)生對(duì)傳統(tǒng)“填鴨式”教學(xué)方式已經(jīng)厭倦。同時(shí)在2020年疫情期間，各高校普遍采取網(wǎng)課這一新興上課模式，給學(xué)生的學(xué)習(xí)和教師的教學(xué)帶來了很多問題和挑戰(zhàn)。一方面網(wǎng)課這一新的信息化教學(xué)方式依然擺脫不了老師單項(xiàng)灌輸，學(xué)生被動(dòng)接受這一學(xué)習(xí)模式，自覺性較差的學(xué)生很難堅(jiān)持跟上老師上課的節(jié)奏，課上互動(dòng)性不強(qiáng)。另一方面目前信息化的教學(xué)手段更多地停留在使用教學(xué)課件等比較初級(jí)的階段，如何合理地利用線上資源，以及結(jié)合互聯(lián)網(wǎng)中新興事物，比如動(dòng)畫、彈幕、短視頻等方式增加課堂趣味性等，依然還需探索?；谶@些現(xiàn)狀，結(jié)合當(dāng)前互聯(lián)網(wǎng)發(fā)展熱點(diǎn)，轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)教學(xué)理念和模式以適應(yīng)學(xué)生多元化的需求和個(gè)性化發(fā)展勢(shì)在必行。2.3 考核方式單一，無法體現(xiàn)學(xué)生的綜合素質(zhì)

傳統(tǒng)課程的考核方式主要是由“平時(shí)成績(jī)（30%）+期中考試成績(jī)（10%）+期末考試成績(jī)（60%）”組成，其中平時(shí)成績(jī)的考核主要由學(xué)生考勤和平時(shí)作業(yè)成績(jī)組成。這種考核方式雖然在一定程度上避免了一次考試或一張?jiān)嚲韥碓u(píng)定整個(gè)課程的學(xué)習(xí)情況這種不合理現(xiàn)象，但是考核方式還是體現(xiàn)在做題、解題的能力上。學(xué)生為了提高成績(jī)往往對(duì)課程的概念、定理、解題方法死記硬背，考試時(shí)生搬硬套，缺乏對(duì)理論的理解和深入思考。這種考核方式?jīng)]有考核出學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力，更無法體現(xiàn)學(xué)生的綜合素質(zhì)。這與當(dāng)前人才培養(yǎng)的核心理念背道而馳。

3 建設(shè)線上線下混合式金課的改革措施

3.1 調(diào)整課程建設(shè)方案

一直以來，我國各大高校課堂使用的常微分方程教材都涵蓋了常微分方程學(xué)科的經(jīng)典知識(shí)框架，對(duì)雙一流大學(xué)的數(shù)學(xué)專業(yè)本科生來說，無論在理論性還是全面性方面都是一本經(jīng)典的教材。但是對(duì)于大多數(shù)普通高校的數(shù)學(xué)專業(yè)本科生和非數(shù)學(xué)專業(yè)本科生而言，教材內(nèi)容太多而課程課時(shí)太少，而且由于本課程理論性和實(shí)踐性都很強(qiáng)，學(xué)生普遍認(rèn)為該門課程重要但難學(xué)?；诖宋覀兘虒W(xué)團(tuán)隊(duì)根據(jù)多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)以及我校培養(yǎng)應(yīng)用型復(fù)合人才的教學(xué)目標(biāo)，對(duì)常微分方程內(nèi)容進(jìn)行了重新規(guī)劃和調(diào)整。團(tuán)隊(duì)精選了五章教學(xué)內(nèi)容，主要包括常微分方程的基本解法，包含一階常微分方程的初等解法，常系數(shù)高階線性微分方程以及線性微分方程組的解法;基本概念，包括常微分方程與偏微分方程的定義與分類、高階線性微分方程以及方程組解的結(jié)構(gòu)與性質(zhì);定性理論，常微分方程解的存在唯一性定理等。

我們教學(xué)團(tuán)隊(duì)對(duì)精選的五章教學(xué)內(nèi)容按照“基礎(chǔ)模塊+? 輔導(dǎo)模塊+實(shí)踐模塊”三位一體模塊化課程內(nèi)容，根據(jù)教學(xué)目標(biāo)要求和章節(jié)特點(diǎn)，分塊選擇適合的混合式教學(xué)方式?！盎A(chǔ)模塊”主要通過線上學(xué)習(xí)讓學(xué)生掌握“常微分方程”的一般理論和基本解法;“輔導(dǎo)模塊”主要是通過線下對(duì)知識(shí)點(diǎn)的輔導(dǎo)和習(xí)題課的講解，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解和把握;“實(shí)踐模塊”主要是以數(shù)學(xué)建模為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)問題，引導(dǎo)學(xué)生開展專題研究和討論。

我們以常微分方程緒論部分為例，介紹三位一體模塊化設(shè)計(jì)，首先結(jié)合線上的網(wǎng)絡(luò)資源介紹常微分方程的發(fā)展歷史，從17世紀(jì)微積分和微分方程的建立到18世紀(jì)利用微分方程推算海王星的存在，再到19世紀(jì)龐卡萊和李雅普諾夫?qū)ΤＮ⒎址匠潭ㄐ岳碚摵头€(wěn)定性理論，再到20世紀(jì)60年代以后定性理論發(fā)展到現(xiàn)代微分動(dòng)力系統(tǒng)的理論。讓學(xué)生清晰地了解到目前常微分方程這門學(xué)科龐大理論體系的發(fā)展歷程和歷史意義。同時(shí)作為常微分方程的延伸和應(yīng)用熱點(diǎn)，可以介紹目前微分方程領(lǐng)域國內(nèi)外數(shù)學(xué)家的成果，比如2018年菲爾茲獎(jiǎng)得主之一 Alessio Figalli 所研究的最優(yōu)傳輸問題;中國數(shù)學(xué)家彭實(shí)戈院士所開創(chuàng)的“倒向隨機(jī)微分方程”;第二十九屆諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)創(chuàng)立和發(fā)展的布萊克—斯克爾斯期權(quán)定價(jià)模型（Black-Scholes Op-? ?tion Pricing Model）等等。在實(shí)踐模塊，注重充分發(fā)揮學(xué)生的課堂主人翁意識(shí)，我們從新冠疫情等實(shí)際問題出發(fā)，引入常微分方程中的幾類傳染病模型：SI 模型和 SIR 模型。通過這些實(shí)例，讓學(xué)生既深入?yún)⑴c了課堂教學(xué)，從中獲得一種極大的滿足感和自豪感，同時(shí)又對(duì)所學(xué)內(nèi)容印象深刻，興趣十足，讓學(xué)生更有代入感和參與感。最后，由教師幫助學(xué)生對(duì)觀點(diǎn)進(jìn)行梳理和總結(jié)，達(dá)成一致的認(rèn)識(shí)和理解，同時(shí)帶領(lǐng)學(xué)生一起領(lǐng)略數(shù)學(xué)建模的過程：模型建立-模型的求解-模型的檢驗(yàn)。當(dāng)然學(xué)生也可以結(jié)合線上資源分小組學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容，在課堂上采用翻轉(zhuǎn)課堂的形式將學(xué)習(xí)心得，微分方程建模案例與同學(xué)分享、討論和交流。使線上線下兩個(gè)渠道緊密配合，引導(dǎo)學(xué)生開展“自助式，討論式”學(xué)習(xí)。

3.2 豐富教學(xué)手段

傳統(tǒng)的教學(xué)手段主要采取板書和多媒體并用的形式，新冠疫情以后在網(wǎng)課的帶動(dòng)下也出現(xiàn)了一些新興的互聯(lián)網(wǎng)教學(xué)方式，比如彈幕、直播、短視頻等。這些互聯(lián)網(wǎng)互動(dòng)方式比較能引起學(xué)生興趣和吸引注意力。本教學(xué)團(tuán)隊(duì)嘗試將這一互動(dòng)方法引入到常微分方程的教學(xué)過程當(dāng)中。本團(tuán)隊(duì)將所有的課程內(nèi)容都錄制成一段段十來分鐘的短視頻，方便學(xué)生平時(shí)預(yù)習(xí)和復(fù)習(xí)，特別針對(duì)常微分方程重要定理和理論的推導(dǎo)，通過短視頻的方式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)邏輯推理過程，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。同時(shí)借助學(xué)習(xí)通平臺(tái)，適當(dāng)增加反思總結(jié)，發(fā)起問卷調(diào)查以及問題討論，第一時(shí)間掌握學(xué)生真實(shí)的學(xué)習(xí)情況，然后根據(jù)學(xué)生的反饋調(diào)整教學(xué)節(jié)奏和側(cè)重點(diǎn)。特別針對(duì)疑難部分以及錯(cuò)題難題，可以借助學(xué)習(xí)通平臺(tái)與學(xué)生進(jìn)行在線講解和交流，打破了傳統(tǒng)的學(xué)生只有上課才能找到老師解答問題的尷尬?；趯W(xué)生對(duì)常微分方程的整體把握和認(rèn)識(shí)，啟發(fā)學(xué)生從實(shí)際問題中體會(huì)常微分方程怎么用，并在教學(xué)內(nèi)容中注意融入課程思政的元素。這些也離不開豐富的教學(xué)手段，特別是對(duì)于常微分方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用，需要將反映前沿性和時(shí)代性的課程內(nèi)容引入到課堂，這對(duì)老師專業(yè)知識(shí)面的廣度和深度都有一定的要求。本教學(xué)團(tuán)隊(duì)成員從偏微分方程研究和指導(dǎo)數(shù)學(xué)建模的經(jīng)歷中收集了很多反映前沿性和深度的實(shí)例，以視頻講解、Matlab 軟件數(shù)值模擬以及指導(dǎo)學(xué)生查閱整理文獻(xiàn)等多種方式來完成教學(xué)實(shí)踐。比如從最優(yōu)傳輸問題出發(fā)引入介紹目前微分方程領(lǐng)域的研究前沿——蒙日安培方程;通過天氣預(yù)測(cè)的混沌理論從思政教育的角度教育學(xué)生勿以善小而不為，勿以惡小而為之，貫徹了習(xí)近平總書記[5]提出的把思想政治工作貫穿教育教學(xué)全過程的精神;通過歷年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽以及美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽真題的分析，帶領(lǐng)學(xué)生一起印證課程知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用。

3.3 改良評(píng)價(jià)考核方式

“常微分方程”課程考核體系由線上學(xué)習(xí)和線下學(xué)習(xí)兩個(gè)部分構(gòu)成。線上學(xué)習(xí)成績(jī)包括視頻學(xué)習(xí)，平臺(tái)課后作業(yè)和完成發(fā)布任務(wù)三個(gè)方面，占總成績(jī)的30%;線下學(xué)習(xí)成績(jī)包括課堂表現(xiàn)，平時(shí)測(cè)驗(yàn)成績(jī)，期末考試成績(jī)?nèi)齻€(gè)方面，占總成績(jī)的70%。

考核內(nèi)容能力化，將對(duì)學(xué)生的結(jié)果評(píng)價(jià)轉(zhuǎn)為過程評(píng)價(jià)。在每個(gè)章節(jié)學(xué)習(xí)完畢，增加學(xué)習(xí)總結(jié)報(bào)告，作為平時(shí)測(cè)驗(yàn)成績(jī)的一部分，提升課程學(xué)習(xí)的深度;強(qiáng)化應(yīng)用和建模能力考查，提升課程學(xué)習(xí)的廣度;期末試卷中增加微分方程適定性問題，提升課程學(xué)習(xí)的難度。

4 總結(jié)

通過教學(xué)評(píng)價(jià)反饋可以看出，大部分學(xué)生對(duì)混合式教學(xué)，翻轉(zhuǎn)課堂模式給出了高度肯定，學(xué)生上課的積極性和認(rèn)同感明顯提高。改革成效主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：（1）線上學(xué)習(xí)作為預(yù)習(xí)和補(bǔ)充，網(wǎng)上豐富的資源和資料擴(kuò)展了學(xué)生的視野和知識(shí)面，同時(shí)也使老師在課堂上有更多的時(shí)間擴(kuò)充知識(shí)的廣度和深度;（2）增強(qiáng)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力和團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神;（3）引入數(shù)學(xué)建模和科研成果，讓學(xué)生通過拓展閱讀，了解微分方程的應(yīng)用及現(xiàn)狀。線上線下混合式的教學(xué)模式對(duì)“常微分方程”有很大的改革優(yōu)勢(shì)，充分體現(xiàn)了“以學(xué)生為中心，以能力培養(yǎng)為導(dǎo)向”。

基金項(xiàng)目：2019湖北大學(xué)研究生教育教學(xué)改革項(xiàng)目“數(shù)學(xué)學(xué)科研究生拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)模式研究”（070014544）。

參考文獻(xiàn)

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