例談證明兩直線垂直的條件甄別與構(gòu)建

歐陽先平

【摘要】垂直的證明是高考空間幾何體的熱點(diǎn)問題。兩直線垂直的證明問題，是空間幾何體中證明垂直問題的核心，也是基礎(chǔ)。證明兩直線垂直的方法不是單一的。那么，如何培養(yǎng)學(xué)生對(duì)條件的甄別能力，以快速、合理地選擇方法，并對(duì)不足的條件進(jìn)行必要的構(gòu)建，使問題得以順利解決呢？這是本文要努力解決的問題。

【關(guān)鍵詞】高中;兩直線垂直;條件甄別;條件構(gòu)建

兩直線垂直的證明問題，是空間幾何體中證明垂直問題的核心，也是基礎(chǔ)。線面垂直與面面垂直的證明最終都得歸結(jié)到線與線垂直的證明。證明兩直線垂直，通常有以下三種方法：

方法一：通過計(jì)算，由勾股定理得出結(jié)論

條件情境：給出某些線段的長(zhǎng)度或某些線段的關(guān)系，兩條直線共面或平移后共面，且能確定一個(gè)可求三邊長(zhǎng)度的三角形。

方法二：轉(zhuǎn)證線與面的垂直關(guān)系，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理獲證

條件情境：直接給出一些垂直關(guān)系，如矩形，直角或面與面的垂直等，或間接給出一些垂直關(guān)系，如菱形或等腰三角形等。

方法三：向量法，通過數(shù)量積的計(jì)算，來證明兩直線的垂直關(guān)系

條件情境：從條件出發(fā)，能夠比較容易確定三條相互垂直的直線，以及可以直接建系，并確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，用坐標(biāo)法求證;如果能求出共頂點(diǎn)的三條線段的長(zhǎng)度與夾角，以此三條線段所對(duì)應(yīng)的向量為基向量構(gòu)造基底，就可以應(yīng)用基向量的關(guān)系進(jìn)行數(shù)量積的計(jì)算求證。有時(shí)可以把兩條線平移至同一平面，構(gòu)建平面向量的基底進(jìn)行求證。

教育不是簡(jiǎn)單的復(fù)制，也不是簡(jiǎn)單的模仿，如何讓學(xué)生知其然，并知其所以然，才是教育之真諦。下文通過例題的講解，引導(dǎo)學(xué)生通過甄別情境條件合理選擇方法，并通過構(gòu)建必要的條件情境以保障方法得以順利實(shí)施。

例，《九章算術(shù)》記錄形似“楔體”的所謂“羨除”，就是三個(gè)側(cè)面都是梯形或平行四邊形（其中最多只有一個(gè)平行四邊形）、兩個(gè)不平行對(duì)面是三角形的五面體。如圖，羨除ABCDEF中，ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且△EAD，△FBC均為正三角形，棱EF平行于平面ABCD，EF=2AB，求證：AE⊥CF.

證明：【甄別與構(gòu)建一】條件中給出了所有線段的長(zhǎng)度，參照條件情境，可以運(yùn)用方法一，即先進(jìn)行線段的平移，使之相交，然后通過構(gòu)建三角形并通過計(jì)算三邊，用勾股定理直接求證。

證法I：設(shè)P為EF的中點(diǎn)，邊結(jié)PB，PD，易證EA//PB，PD//FC，根據(jù)夾在兩平行線間的線段相等，可知PB=EA=1，PD=FC=1，∵ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，BD為對(duì)角線，∴BD=，顯然：PB2+PD2=BD2，∴PB⊥PD，即EA⊥CF.

證法II：延長(zhǎng)AB至G，使得AB=BG，連接FG，CG，計(jì)算過程與方法（1）基本相同，此處略。

題后反思（1）：此題三角形確定后，三條邊都是可求的，可以直接用勾股定理進(jìn)行求證。而有些題可能只知道三邊其中的一邊，而另兩邊都與某一不定邊的長(zhǎng)度有關(guān)系，此時(shí)可以設(shè)不定邊為參數(shù)，然后用參數(shù)表示另外兩邊，但勾股定理是一定存在的。

【甄別與構(gòu)建二】此題條件既有直接的垂直關(guān)系，如ABCD是正方形，也有間接的垂直關(guān)系，如⊿EAD，⊿FCB都是正三角形，可以考慮轉(zhuǎn)證線面垂直。由于圖形不是規(guī)則的幾何體，且兩異面直線之間的距離比較遠(yuǎn)，不易直觀發(fā)現(xiàn)點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，可以考慮“拉近距離”重構(gòu)幾何圖形，即將一條線進(jìn)行平移，近距離地觀察幾何圖形中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系。其實(shí)不難發(fā)現(xiàn)，幾何體P-ADE是一個(gè)正四面體，那么AE與PD的垂直關(guān)系是顯見的。

證法III：如圖，設(shè)P是EF的中點(diǎn)，連接DP、PA，易證DP//CF，要證EA⊥CF，只需證EA⊥DP。設(shè)Q是EA的中點(diǎn)，連PQ，DQ.∵DE=DA，PE=PA，∴EA⊥DQ，EA⊥PQ，又∵DQ∩PQ=Q，∴EA⊥平面PDQ，∴EA⊥DP，∵DP//CF，∴EA⊥CF.

題后反思（2）：構(gòu)建線與面的垂直關(guān)系，通常會(huì)涉及到雙向選擇，“線”垂直于“面”，那么兩條線中哪一條是“線”？“面”如何確定？這也是構(gòu)建線面垂直模型需要突破的關(guān)鍵。往往是先判斷哪一條線涉及到的垂直關(guān)系較多，多的是“線”，少的是面中的一條線，定面的方法往往根據(jù)“兩條相交直線或平行直線確定一個(gè)平面”。因此，還需從與“線”垂直的直線中找出確定平面的另一條線。

【甄別與構(gòu)建三】本題條件中數(shù)據(jù)比較充足，各棱之間的關(guān)系固定，可以考慮構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)法求證。坐標(biāo)法的關(guān)鍵是建系與求點(diǎn)的坐標(biāo)。本例中ABCD是一個(gè)正方法，可證線段EF的投影剛好與正方形的中位線重合。因此，空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)可以選擇正方形的中心，中心與相關(guān)中點(diǎn)的連線作為x，y，z軸建立坐標(biāo)系。

證法IV：設(shè)M，N分別是AD與BC的中點(diǎn)，O為線段MN的中點(diǎn)，P是EF的中點(diǎn)，Q是AB的中點(diǎn)，則MN//AB.連接OP，OQ.∵EF//平面ABCD，據(jù)線面平行的性質(zhì)定理知：EF//AB，∴EF//MN，即EFNM四點(diǎn)共面。易證AD⊥EM，AD⊥MN，EM∩MN=M，∴AD⊥面EFNM，即面EFNM面ABCD. 易證OM，OP，OQ兩兩垂直。分別以O(shè)M，OQ，OP為x，y，

z軸建立空間直角坐標(biāo)系。則A（，，0），E（1，0，）， C（-，- ，0），F(xiàn)（-1，0，） .

∵ =（，-，）， =（-，，）， ∴ =0 ，即AE⊥CF.

【甄別與構(gòu)建四】題目條件提供了共頂點(diǎn)的三條線段EA、ED、EF的長(zhǎng)度，且能求出彼此之間的夾角，可以構(gòu)建共頂點(diǎn)的三個(gè)向量為基向量，應(yīng)用基底法來進(jìn)行證明。

證法V：在等腰梯形ABFE中，過點(diǎn)A作AP⊥EF，垂足為P，則EP= ，cos∠AEP=

=，∠AEP=60o ，同理，∠DEP=60o.

∵ ，∴ cos60o=0.所以EA⊥CF .

題后反思（3）：基底法主要應(yīng)用平面向量基本定理與運(yùn)算法則，并結(jié)合數(shù)量積公式計(jì)算求證?；追ㄖ型耆珬l件是六個(gè)量——三邊、三角，如果所證兩線中恰有一條是三線之一，那么，條件可以不完全;建系法，通過選擇建立坐標(biāo)系，并求點(diǎn)的坐標(biāo)，然后應(yīng)用坐標(biāo)運(yùn)算實(shí)現(xiàn)求證目標(biāo)。兩種方法各有優(yōu)劣，孰優(yōu)孰劣需視具體條件情境而定。

歸納小結(jié)：證明線與線垂直的方法與條件雙向細(xì)目表。

總結(jié)：方法的選擇，因題而異，因條件而異。條件與方法的雙向聯(lián)系與條件情境的準(zhǔn)確構(gòu)建離不開教師平時(shí)的引導(dǎo)，也離不開學(xué)生認(rèn)真的甄別與歸納。同一種方法所適用的條件情境大同小異，甄別異同并合理構(gòu)建，就是證明空間線與線垂直的思路與策略。對(duì)于某一種方法中存在的困難，如何引導(dǎo)學(xué)生克服是解決問題的關(guān)鍵，也是情境構(gòu)建的關(guān)鍵。

變式訓(xùn)練：

1.如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，O，M，N分別是BC，AA1，BB1的中點(diǎn)， P為線段AC1上的動(dòng)點(diǎn)，AA1=16，AC=8.

（1）若AO= BC，試證：C1N⊥CM;

（2）在（1）的條件下，當(dāng)AB=6時(shí)，試確定動(dòng)點(diǎn)P的位置，使線段MP與平面BB1C1C所成角的正弦值最大。

2. 在如圖所示的長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，AA1=2m，點(diǎn)E、F、分別為DD1、BD、的中點(diǎn)。

（1）若m=1，求證：EF⊥平面B1CF;

（2）若三棱錐B1-CEF的體積為，求AA1的長(zhǎng)。

責(zé)任編輯? 陳? 洋