鄧瓊

摘 要：數(shù)學(xué)是概念的學(xué)科，概念的學(xué)習(xí)是重中之重，數(shù)學(xué)概念的理解有賴于數(shù)學(xué)閱讀。依概念邏輯體系和學(xué)習(xí)內(nèi)容的跨單元或跨學(xué)科整合，設(shè)計(jì)合適的閱讀學(xué)習(xí)材料，是數(shù)學(xué)閱讀教學(xué)的重要途徑。兼具預(yù)習(xí)、拓展概念視野的閱讀學(xué)案則是利用數(shù)學(xué)閱讀進(jìn)行概念教學(xué)的良好平臺(tái)。文章闡述融合課前學(xué)案、數(shù)學(xué)閱讀及概念教學(xué)“閱讀研學(xué)案”的設(shè)計(jì)策略。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念;數(shù)學(xué)閱讀;研學(xué)案

數(shù)學(xué)是具體的知識(shí)技能，是一種思維語(yǔ)言，也是一種思維，概念作為數(shù)學(xué)的基本要素對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成有基礎(chǔ)性作用。小學(xué)高年級(jí)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)起著承上啟下的作用，既對(duì)之前所學(xué)概念的深化，又是為初中學(xué)習(xí)作鋪墊。因此不能局限于“講中教”方式來(lái)教授數(shù)學(xué)概念。應(yīng)以整體的思維，分析教材結(jié)構(gòu)，找準(zhǔn)結(jié)構(gòu)的聯(lián)系與整合點(diǎn)，以此重組單元內(nèi)容，同時(shí)引入補(bǔ)充課內(nèi)外的閱讀材料，進(jìn)行課前研學(xué)閱讀案探究，課后延伸研讀形成概念鏈，引導(dǎo)學(xué)生形成對(duì)數(shù)學(xué)概念的深入理解。數(shù)學(xué)閱讀指學(xué)生個(gè)體根據(jù)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)感知、分析和使用數(shù)學(xué)材料，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)語(yǔ)言，構(gòu)建數(shù)學(xué)意義與方法，發(fā)展數(shù)學(xué)思維的建構(gòu)活動(dòng)。數(shù)學(xué)材料包括：靜態(tài)的數(shù)學(xué)文本，圖表、符號(hào)語(yǔ)言，動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)活動(dòng)、不同情境的數(shù)學(xué)過(guò)程等。數(shù)學(xué)閱讀的核心在于理解，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)也在于理解。結(jié)合番禺區(qū)研學(xué)后教理念，嘗試把學(xué)案、數(shù)學(xué)閱讀以及概念學(xué)習(xí)三者整合成“研學(xué)閱讀案”用以高年級(jí)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)。

一、研學(xué)閱讀案是數(shù)學(xué)課程的組成部分

傳統(tǒng)的研學(xué)案是基于課堂教學(xué)視域，只作為課堂教學(xué)的前沿，作用主要在預(yù)習(xí)。課本內(nèi)容講什么，學(xué)案就以學(xué)習(xí)支架的方式引導(dǎo)學(xué)生提前自學(xué)。主要目的在于讓學(xué)生在正式學(xué)習(xí)新知前，提取出相應(yīng)的前構(gòu)知識(shí)，并讓教師了解學(xué)生對(duì)所學(xué)新課內(nèi)容的前經(jīng)驗(yàn)，以更有針對(duì)性地進(jìn)行教學(xué)。數(shù)學(xué)學(xué)科概念知識(shí)有其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹R(shí)結(jié)構(gòu)與邏輯體系，小學(xué)數(shù)學(xué)受限于學(xué)生的思維水平，教材中的概念大多是描述性定義，易于學(xué)生初識(shí)概念，但在割裂的知識(shí)編排下，不利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念本質(zhì)。在以素養(yǎng)為核心的學(xué)習(xí)時(shí)代，學(xué)案也不能只圍繞單一知識(shí)點(diǎn)，而應(yīng)基于核心素養(yǎng)，著眼于知識(shí)塊及整體視角將學(xué)案作為數(shù)學(xué)課程的有機(jī)部分設(shè)計(jì)使用。學(xué)案的設(shè)計(jì)更應(yīng)強(qiáng)調(diào)情境性、結(jié)構(gòu)性、開(kāi)放性、長(zhǎng)周期性等原則，以此為學(xué)生提供更多綜合性、結(jié)構(gòu)性的數(shù)學(xué)閱讀學(xué)習(xí)材料，作為學(xué)生理解數(shù)學(xué)關(guān)鍵概念的有效途徑之一。

二、增加跨文化數(shù)學(xué)材料，提升對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解

“跨文化數(shù)學(xué)材料”是指某一數(shù)學(xué)概念在東西方不同呈現(xiàn)及相關(guān)發(fā)展歷程。數(shù)學(xué)概念發(fā)展并不是一蹴而就的，而是經(jīng)過(guò)不同時(shí)期、在不同區(qū)域發(fā)展起來(lái)的。了解這一過(guò)程，有助于學(xué)生感受與理解概念的本質(zhì)?！把袑W(xué)閱讀案”以課前研學(xué)為載體，在正式課堂學(xué)習(xí)前，學(xué)生補(bǔ)充學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念有關(guān)的跨文化數(shù)學(xué)材料，拓展數(shù)學(xué)概念的相關(guān)知識(shí)，積累更豐富的理解數(shù)學(xué)概念語(yǔ)言的素材與背景知識(shí)，形成更為完整的概念知識(shí)鏈，能促使學(xué)生更好地理解概念。

如五年級(jí)教材將關(guān)于方程的概念定義為“含有未知數(shù)的等式”。只學(xué)習(xí)這一定義，學(xué)生很難理解方程的本質(zhì)及其思想方法。因?yàn)椴⒉皇撬泻形粗獢?shù)的等式都是方程，如三角形面積字母公式，這一定義只是順應(yīng)西方的方程說(shuō)法把方程解讀為“含有未知數(shù)的等式”。中西方對(duì)“方程”的理解不盡相同。法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)在著作《分析法入門(mén)》中，首次系統(tǒng)地使用符號(hào)表示未知量的值進(jìn)行運(yùn)算。而后法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾用字母表中后幾個(gè)字母代表未知數(shù)，成了當(dāng)今的標(biāo)準(zhǔn)用法，形成現(xiàn)在的方程。而在我國(guó)的《九章算術(shù)》第八章，篇名就叫“方程”，內(nèi)容為“由線性方程組的系數(shù)排列而成的長(zhǎng)方陣”故稱方程，文中介紹的是“上禾、中禾、下禾”的消元解法，其本質(zhì)是求解線性方程的一種算法規(guī)則，也就是通過(guò)式的運(yùn)算，化簡(jiǎn)、對(duì)消，最終方程中的未知數(shù)X求出來(lái)。而發(fā)展到現(xiàn)在，“方程”內(nèi)涵也不斷豐富，更為本質(zhì)的內(nèi)涵是指“方程思想方法——利用已知量與未知量的等量關(guān)系通過(guò)消元、還原，‘求’出未知數(shù)”。小學(xué)生受限于抽象思維能力，雖然不可能對(duì)方程具有透徹的理解與掌握，但引導(dǎo)學(xué)生積累全面的方程概念表象以促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的本質(zhì)與全貌的理解是作為概念起始課的主要目的。

三、增加跨學(xué)科場(chǎng)景，促進(jìn)數(shù)學(xué)概念情境理解與再構(gòu)能力

數(shù)學(xué)語(yǔ)言是數(shù)學(xué)思維的載體，同時(shí)數(shù)學(xué)語(yǔ)言學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)閱讀的一個(gè)重要工具。在語(yǔ)言學(xué)習(xí)中，學(xué)習(xí)環(huán)境是關(guān)鍵因素，數(shù)學(xué)語(yǔ)言的學(xué)習(xí)需要重視在多樣化情境中進(jìn)行，以獲得對(duì)相關(guān)概念更加彈性的表征。對(duì)不同情境的分析學(xué)習(xí)過(guò)程，本質(zhì)上是數(shù)學(xué)閱讀的過(guò)程，它是學(xué)生溝通情境與書(shū)本標(biāo)準(zhǔn)語(yǔ)言的橋梁。如六年級(jí)上冊(cè)“比”的概念，教材給出的定義是：“兩上數(shù)相除，又叫作兩個(gè)數(shù)的比”，把比與除法相等同，除法是一種運(yùn)算，有“包含”與“平均分”兩種主要含義。而比表示兩個(gè)量之間的關(guān)系，描述兩個(gè)量之間的一種狀態(tài)與對(duì)比，是比倍數(shù)。比并不單純是除法的附屬或等同，只是在計(jì)算比值時(shí)需要用到除法。比還是后續(xù)初中正比例函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)。在初學(xué)比時(shí)，把比定義成除法可方便計(jì)算比值，溝通與除法的聯(lián)系。但對(duì)于比的本質(zhì)需要提供大量多類型情境幫助學(xué)生理解。同時(shí)比的類型又分為“同類量的比”與“不同類量的比”兩大類。同類量的比是學(xué)習(xí)比含義的基礎(chǔ)與主要內(nèi)容，因此閱讀學(xué)案宜整理含有簡(jiǎn)單的整數(shù)比的和面粉、調(diào)制飲料等情境讓學(xué)生進(jìn)行閱讀學(xué)習(xí)。同時(shí)比與除法的關(guān)系密切，初學(xué)的學(xué)生容易混淆，需要找到比兩者更高一位的“大概念”統(tǒng)籌設(shè)計(jì)情境材料，以更好地整合兩者，溝通學(xué)生舊知識(shí)（除法）與新知識(shí)（比），促進(jìn)新知的理解。下面以比的閱讀學(xué)案設(shè)計(jì)為例，進(jìn)行探討：

日常面包制作、飲料調(diào)配、扎制鮮等都需要按一定的配比準(zhǔn)備材料。如何表達(dá)這些配比呢？我們可以利用不同的數(shù)學(xué)知識(shí)或模型：第一種是用“比”來(lái)表達(dá);第二種則是我們熟悉的用“除法”（倍）或分?jǐn)?shù)來(lái)表達(dá)。仔細(xì)閱讀下面材料，思考后面的問(wèn)題。

（一）“比”的形式表達(dá)

1. 制作不同的面包其面粉搭配會(huì)不同，如做丹麥面包的用3杯高筋面料配2杯低筋面粉，高筋面粉與低筋面粉之比是3∶2;而做法棍面包，高筋面粉與低筋面粉之比則為4∶1。

2. 調(diào)制姜撞奶，1杯姜汁配10杯水牛奶，姜汁與水牛奶之比為1∶10;而50克新鮮老姜大概能榨取15毫升姜汁，新鮮老姜與姜汁轉(zhuǎn)化之比為10∶3。

3. 在中午11點(diǎn)，校園第一棵榕樹(shù)的高度與其影子的長(zhǎng)度，形成2∶1的關(guān)系;同時(shí)第二棵榕樹(shù)的高度與其影子的長(zhǎng)度，形成3∶1的關(guān)系。

（二）用“除法”（倍）或分?jǐn)?shù)表達(dá)

1. 制作不同的面包其面粉搭配會(huì)不同，如做丹麥面包，高筋面粉用量是低筋面粉的[32]倍;而做法棍面包高筋面粉用量是低筋面粉的4倍。

2. 調(diào)制姜撞奶，姜汁用量是水牛奶的[110];而50克新鮮老姜大概能榨取15毫升姜汁，新鮮老姜與姜汁轉(zhuǎn)化之比為10∶3。

3. 在中午11點(diǎn)，校園第一棵榕樹(shù)的高度是其影子的長(zhǎng)度的2倍;同時(shí)第二棵榕樹(shù)的高度是其影子的長(zhǎng)度的3倍。

（三）思考

1. 對(duì)比兩種表達(dá)方式，說(shuō)一說(shuō)“比”的含義是什么？

2. 對(duì)同一問(wèn)題的數(shù)學(xué)表達(dá)，哪一種方式便于我們?cè)谌粘Ｉ钍褂?，指?dǎo)我們完成相應(yīng)的工作？為什么？

3. 思考第3個(gè)例子，樹(shù)高與影長(zhǎng)的關(guān)系，如果樹(shù)的高度發(fā)生變化，影子長(zhǎng)度會(huì)怎樣變化？

我們將繼續(xù)研究“比”。在現(xiàn)實(shí)生活中，我們還會(huì)遇到不同類數(shù)量之間的比較，需要以某一種量為單位去衡量另一種量，比如路程和時(shí)間的比等。

四、結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)是概念的學(xué)科，概念的學(xué)習(xí)是重中之重，數(shù)學(xué)概念的理解也有賴于數(shù)學(xué)閱讀。依概念邏輯體系和學(xué)習(xí)內(nèi)容的跨單元或跨學(xué)科整合，設(shè)計(jì)合適的閱讀學(xué)習(xí)材料，是數(shù)學(xué)閱讀教學(xué)的重要途徑。數(shù)學(xué)閱讀不應(yīng)只停留在審題、明題意、解決問(wèn)題的基礎(chǔ)技能層面上，而應(yīng)著眼于促進(jìn)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)與理解。閱讀是手段，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解才是最終目的。

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