李嘉揚(yáng) 張昆

[摘 要]隨著素質(zhì)教育的普及，教師要重視對(duì)學(xué)生合情推理能力的培養(yǎng)，這也是新課標(biāo)的明確要求。文章首先介紹合情推理的基本內(nèi)涵及教學(xué)價(jià)值，然后提出指向合情推理的教學(xué)設(shè)計(jì)策略，最后以“等差數(shù)列前項(xiàng)和”為例，闡述如何有效進(jìn)行合情推理的教學(xué)設(shè)計(jì)，并從中凝練出合情推理教學(xué)的反思和啟示。

[關(guān)鍵詞]合情推理;教學(xué)策略;等差數(shù)列

合情推理的主要表現(xiàn)形式就是猜想，猜想不僅是數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生的思維起點(diǎn)，也是構(gòu)建數(shù)學(xué)觀念系統(tǒng)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。由此可見，合情推理在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中有非常重要的作用。

一、合情推理的內(nèi)涵及教學(xué)價(jià)值

合情推理最早由美籍匈牙利數(shù)學(xué)家G·波利亞在《數(shù)學(xué)與猜想》中提出，是人們?cè)诮?jīng)驗(yàn)、感覺等非智力因素的影響下，在已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，運(yùn)用觀察、類比、聯(lián)想等非演繹手段進(jìn)行合乎情理的推理過程。波利亞表示：“數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過程是與其它知識(shí)的創(chuàng)造過程一樣的。在證明一個(gè)數(shù)學(xué)定理之前，你先得猜測(cè)這個(gè)定理的內(nèi)容，在你完全作出證明之前，你得推測(cè)證明的思路，只要數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)稍能反映出數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)過程的話，那么就應(yīng)當(dāng)讓猜想、合情推理占有適當(dāng)?shù)奈恢?。?/p>

具體來說，合情推理主要有以下三方面的數(shù)學(xué)教學(xué)價(jià)值。一是構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系，使得知識(shí)體系更加科學(xué)和完備。二是推動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)展。由于數(shù)學(xué)教學(xué)呈現(xiàn)出一定的目的性，注重嚴(yán)謹(jǐn)性、抽象性和形式化，有時(shí)會(huì)限制學(xué)生發(fā)散性思維的養(yǎng)成。而滲透合情推理的教學(xué)能夠讓學(xué)生切實(shí)體驗(yàn)求知的整個(gè)過程，學(xué)生通過獨(dú)立思考、動(dòng)手實(shí)踐，不斷提高他們主動(dòng)探索知識(shí)的意識(shí)。三是促進(jìn)學(xué)生自身發(fā)展。合情推理的課堂教學(xué)模式常以問題為中心，這種教學(xué)模式有助于激發(fā)學(xué)生的求知欲和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，發(fā)展批判性思維。

二、指向合情推理的教學(xué)設(shè)計(jì)的應(yīng)用策略

為落實(shí)合情推理的教學(xué)觀念，教師要建立合適的合情推理教學(xué)模式。

（一）挖掘教材，尋找生長點(diǎn)

合情推理遍布在高中數(shù)學(xué)教材的各個(gè)章節(jié)之中，因此教材是培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力的重要載體。以人教A版教材選擇性必修2第四章“數(shù)列”為例，本章中類比推理的應(yīng)用滲透在等差、等比數(shù)列的概念及性質(zhì)學(xué)習(xí)中，歸納推理的應(yīng)用則滲透在對(duì)等差、等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的探索中。這里的“等差、等比數(shù)列的概念和性質(zhì)”就是學(xué)生頭腦中的生長點(diǎn)。學(xué)生根據(jù)這些生長點(diǎn)可以發(fā)現(xiàn)概念的本質(zhì)特征，深入理解內(nèi)涵，把概念納入到認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，便于與新知關(guān)聯(lián)。因此，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中必須牢牢抓住教材，提供給學(xué)生“再創(chuàng)造”的機(jī)會(huì)。

（二）選擇素材，滲透合情推理

數(shù)學(xué)教材中含有數(shù)學(xué)公式、定理、公理、法則等原理性知識(shí)，這些數(shù)學(xué)知識(shí)處處閃爍著數(shù)學(xué)家的智慧，也是合情推理的素材典范。盡管學(xué)生的抽象能力不足以探索出和數(shù)學(xué)家一樣的“發(fā)現(xiàn)過程”，但如果教師能在挖掘教材的基礎(chǔ)上選擇合適的教學(xué)素材，對(duì)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)過程加以啟發(fā)和引導(dǎo)，學(xué)生或許能被激發(fā)出靈感，成為小“數(shù)學(xué)家”。而這就需要教師明確兩個(gè)過程，一是猜想發(fā)現(xiàn)過程，二是推理證明過程。合情推理要滲透在這兩個(gè)過程之中，缺一不可，在已有素材的鋪墊下獲得新知，使學(xué)生參與到知識(shí)發(fā)生的過程中。

三、滲透合情推理的教學(xué)設(shè)計(jì)示例

淮北師范大學(xué)張昆老師執(zhí)教的“等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式”一課精彩紛呈，實(shí)現(xiàn)了培養(yǎng)學(xué)生合情推理的目標(biāo)。下面是關(guān)于這節(jié)課的教學(xué)片段及反思。

（一）等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的猜想與證明

師：同學(xué)們，上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了如下知識(shí)：等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式和它的中心對(duì)稱性質(zhì)，即若，則。下面我們將利用這些知識(shí)解決等差數(shù)列求和問題。數(shù)學(xué)上，我們將等差數(shù)列的前項(xiàng)和用表示，即，記為①式。若用①式逐個(gè)累加求和，這將是一個(gè)十分繁雜的計(jì)算。大家能否根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)使①式變得簡單些？

生1：我們可以根據(jù)上節(jié)課關(guān)于等差數(shù)列的若干性質(zhì)，嘗試推導(dǎo)出①式的一種簡單的表達(dá)式。

師：這個(gè)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)形式是什么樣呢？能否猜想出表達(dá)式中存在哪些組成元素？

生1：表達(dá)式中可能有項(xiàng)數(shù)，因?yàn)橹档牟煌瑫?huì)直接導(dǎo)致的變化，例如與是不同的。

師：很好！還有其他同學(xué)有不同見解嗎？

生2：該表達(dá)式中還可能含有①式右端項(xiàng)中的兩項(xiàng)。解釋如下：由于是等差數(shù)列中的所有項(xiàng)之和，所以它的表達(dá)式中一定包含這個(gè)數(shù)列的所有項(xiàng)。又因?yàn)橐阎炔顢?shù)列其中兩項(xiàng)就能確定它的所有項(xiàng)，所以中含有等差數(shù)列中的兩項(xiàng)，且這兩項(xiàng)以相加的形式作為一個(gè)整體出現(xiàn)。

師：好！我們不妨設(shè)定這兩個(gè)特殊的項(xiàng)為和，于是的表達(dá)式中的元素就包含，，，且+必定會(huì)作為一個(gè)整體出現(xiàn)。

生3：如果的表達(dá)式能用，，表示，那么由，這個(gè)表達(dá)式也可以用，，來表示。

師：好！生3能夠迅速從頭腦中檢索出相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，很有洞察力！相信你能繼續(xù)思考和探究下去，最終得出不一樣的結(jié)論！現(xiàn)在我們還是先考慮用，，來確定。因?yàn)楹褪菙?shù)列中的已知項(xiàng)，只有是變量，所以可以看作是的函數(shù)，那么如何確定這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式呢？

生4：可以先從特例入手。

師：生4的想法非常好！這種試探能促使激發(fā)大家的靈感。要注意的是，①式的右端必須要用來表示，那么我們?cè)撊绾伪硎灸兀?/p>

生4：可以這樣表示， ?。

師：精彩！再看如何處理。

生5：根據(jù)前面的猜想，中應(yīng)當(dāng)含有3，和由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，，化簡即可得到。

師：生5突破了關(guān)鍵的一步，那么的表達(dá)式是什么？根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)知，，又因?yàn)楸仨毎?，效仿生5的做法化簡可以得到。

師：好！現(xiàn)在觀察上述四個(gè)特例求和結(jié)果的表現(xiàn)形式和規(guī)律，大家能否猜想和歸納出的表達(dá)式？

生：。

師：同學(xué)們?nèi)绾巫C明這個(gè)猜想呢？你們?nèi)绾蝸碚f服老師？

生6：由等差數(shù)列的中心對(duì)稱性質(zhì)，可以采用首尾配對(duì)的方式進(jìn)行計(jì)算。

生7：但是這種方法需要分類討論等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)的奇偶性，運(yùn)算較為麻煩。

生6：感謝生7的提醒，我找到了另一種方法解決這個(gè)問題：將①式按照正序和逆序分別寫成兩行，然后將上下兩式相加，接著利用等差數(shù)列的中心對(duì)稱性質(zhì)進(jìn)行化簡，便可以得到最終的公式。

師：生6驗(yàn)證了我們的猜想。在數(shù)學(xué)上，我們將生6提及的這種數(shù)學(xué)方法命名為倒序相加法。另外，大家課下可以繼續(xù)對(duì)生3的想法進(jìn)行探究，試一試能否得到新的表達(dá)式。

（二）反思

1.分析知識(shí)性質(zhì)，建構(gòu)新舊知識(shí)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。教師在本節(jié)課開始時(shí)，帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)等差數(shù)列的若干概念及性質(zhì)，為接下來的猜想和證明進(jìn)行了鋪墊，這是關(guān)鍵一步。在這個(gè)過程中，學(xué)生通過分析知識(shí)性質(zhì)，建構(gòu)新舊知識(shí)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，加強(qiáng)了合情推理能力培養(yǎng)的連貫性。

2.把握認(rèn)知特點(diǎn)，活躍創(chuàng)造性與批判性思維。教師在進(jìn)行合情推理的課堂教學(xué)時(shí)，要先了解學(xué)生的認(rèn)知特征和建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的心理過程，鼓勵(lì)學(xué)生產(chǎn)生歸納的目標(biāo)意識(shí)，再根據(jù)歸納的結(jié)果引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行猜想。在教師的循循善誘下，學(xué)生敢于質(zhì)疑，在合情推理時(shí)充分展現(xiàn)了自己的批判性思維。

3.落實(shí)以生為本，踐行數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)?；谝陨鸀楸镜睦砟睿處熯x擇“用教材教”，而不是“教教材”，實(shí)現(xiàn)了“教師主導(dǎo)，學(xué)生主體”。學(xué)生經(jīng)歷了從特殊到一般的類比推理和歸納的數(shù)學(xué)思想，在合情推理中一次次突破自我，最終體會(huì)到成功的喜悅。課堂中教師能準(zhǔn)確抓住學(xué)生思維的生長點(diǎn)，把握問題的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，恰到好處地給予學(xué)生提示，引導(dǎo)學(xué)生化繁為簡，不僅突出了數(shù)學(xué)學(xué)科的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性，更達(dá)到了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目標(biāo)。

培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)之一。但合情推理能力的培養(yǎng)并非一蹴而就，需要教師挖掘教材、精選素材，將其細(xì)化到每個(gè)環(huán)節(jié)中。開展合情推理教學(xué)不止前面提到的“等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)”，還可以借助數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)習(xí)題進(jìn)行合情推理教學(xué)。無論使用哪種方式，教師都要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)特征，設(shè)計(jì)出適合學(xué)生進(jìn)行猜想的數(shù)學(xué)教學(xué)模式。

參考文獻(xiàn)：

[1] G·波利亞.數(shù)學(xué)與猜想：數(shù)學(xué)中的歸納和類比（第一卷）[M].李心燦等譯.北京：科學(xué)出版社， 2004.

[2] 張昆.分析知識(shí)性質(zhì) 促進(jìn)學(xué)生猜想——推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)[J].數(shù)學(xué)通訊， 2011，（22）.

（責(zé)任編輯 付淑霞）