王 鋒， 張 帆

(上海工程技術大學 機械與汽車工程學院， 上海 201620)

0 引 言

折紙是根據其折痕分布折疊，不需要剪切和粘貼就可以把完整紙張折疊為所需形狀的一種特殊的藝術活動。從折紙衍生出的折紙機構，因為具有節(jié)省空間、便于存儲運輸的優(yōu)點而在實際中應用廣泛。在日常生活中，便攜式折疊餐具[1]、易于搭建的折疊庇護所[2]等設計都為人們的生活提供了極大的便利。在航天領域，基于折紙原理的太陽能帆板[3]和空間天線反射面[4]等設計不僅提供了更高的空間利用率，而且也為航天事業(yè)的順利進行提供了保障。在醫(yī)療方面，折紙的應用使得微創(chuàng)手術抓取器[5]和心臟支架[6]等手術器械能夠更好地在人體內的狹小腔道工作，從而提高了手術的成功率。

折紙能否實現(xiàn)剛性折疊一直是學者們研究的重點之一。在過去的研究中，有學者提出了四元數和對偶四元數法來判斷折疊過程的自相交能力[7]，利用非線性迭代算法來預測折紙機構的折疊行為[8]，也有利用折紙機構自由度分析[9]或利用折角乘數根據扇面角分布[10]等方式來判斷折紙機構的剛性可折疊性。然而，折疊平面是否發(fā)生變形仍然是判斷折紙機構剛性折疊特性的最直接顯著的方法。若折疊平面發(fā)生變形，則該平面內相鄰折痕之間的相對距離發(fā)生變化。因此，計算折疊過程中折痕的空間位置對判斷折紙機構剛性折疊特性具有重要意義。

單頂點折紙是最簡單的折紙單元，同時也是多頂點折紙的重要組成部分[11]。由多個單頂點折紙所圍成的中心平面的存在不會影響多頂點折紙的折疊效果[12]，但是多個頂點的存在產生了不共點折痕這一多頂點折紙中的典型折痕分布形式。匯交于同一個頂點的折痕之間位置變換只有相對折痕的旋轉，而若要確定不共點折痕的空間位置不僅有旋轉運動還有平移運動，因此不共點折痕增加了折疊過程中折痕空間位置的計算難度?，F(xiàn)有的繞任意軸的旋轉變換矩陣為坐標系變換，坐標系原點空間位置始終保持不變，變化的只是X、Y和Z軸的方向[13]。然而，在確定全局坐標系后，折紙機構折疊過程中折痕上點的空間位置不斷變化，現(xiàn)有方法使用時并不簡便。為簡化折疊過程中折痕空間位置的計算分析過程，本文通過構造原折痕的平行折痕把各不共點折痕匯交于同一頂點，將不共點折痕的空間運動分解為旋轉運動和平移運動兩部分，使得在分析多頂點折紙時計算不共點折痕的空間位置更加簡便，也為確定折紙機構不可折疊時折疊平面的變形形式做了鋪墊。

1 一對不共點折痕折疊過程位置分析

大多數折紙使用軟質紙或其他柔性材料制成，但是在實際應用中的一些特殊環(huán)境要求折紙機構既具有折紙便于折疊提高空間利用率的特點，又不允許折疊平面發(fā)生變形。折紙的剛性折疊特性是指在折疊過程中折紙平面始終保持剛性，而不可發(fā)生拉伸彎曲和扭轉變形。若折紙不能實現(xiàn)剛性折疊，則折疊平面必然發(fā)生某種變形。又因為相鄰折痕所夾折疊平面在折疊過程中的位置變化可以根據平面內兩條折痕的相對位置確定，若折疊平面變形說明該平面不滿足剛性條件[14]，平面內相鄰折痕的相對位置發(fā)生變化。因此，可以通過相鄰折痕在折疊過程中相對位置變換判斷折紙機構的剛性折疊特性。由于多折痕折紙中相鄰折痕的空間位置變化較為復雜，將位置變化分解計算對確定折痕空間位置有著重要意義。通過三頂點折紙機構中一對相鄰不共點折痕的簡單位置變化說明不共點折痕運動分解的過程如下：

將折痕視作旋轉關節(jié)，把折疊平面視作繞旋轉關節(jié)轉動的連桿[15]。取折痕Lith長度相等，令Sith為折痕Lith和L(i+1)th所夾折疊平面，θith為折疊平面S(i+1)th繞折痕Lith相對Sith旋轉的旋轉角。若不匯交于同一頂點的折痕L1和L2分別交直線AB于點A和點B，在旋轉角θith=0的初始狀態(tài)下，折痕位置如圖1(a)所示。令s=sin，c=cos，下文不再描述。

(a) 三頂點折紙

(b) 相鄰的不共點折痕圖1 不共點折痕初始狀態(tài)位置分布Fig. 1 Initial position distribution of non-intersect creases

以點A為原點，沿折痕L1遠離A點方向為Y軸正方向，向量BA方向為X軸正方向，建立全局坐標系{A}如圖2(a)所示，其中Z軸正方向滿足右手定則。將折疊平面S1固定為基座，L1作為旋轉軸，因為折痕L1和L2不匯交于同一點，為確定折痕L2在繞折痕L1旋轉θ1后的空間位置，過點A作折痕L2的平行線段l2，其中點D是折痕l2上一點，點B、C是折痕L2上兩點，則L1、L2和l2在初始狀態(tài)下如圖2(b)所示。令折痕長度lAB=lL1=lL2=l，折痕L2與Y軸夾角為α，則點B、C和D相對于全局坐標系{A}的位置向量分別如式(1)所示：

(1)

(a) 以點A為原點對該不共點折痕初始狀態(tài)建立坐標系

(b) 在初始狀態(tài)下構造折痕L2的平行折痕l2圖2 一對不共點折痕位置分析

1.1 直接旋轉

折痕的位置變化可通過折痕上兩個點的位置變化來判斷，所以可以通過點B、C的位置變化來確定折痕L2在繞折痕L1旋轉θ1之后的位置。且折痕L1與Y軸重合，將折痕L2直接繞折痕L1旋轉θ1得L2′，其旋轉矩陣如下:

(2)

所以折痕L2在繞折痕L1旋轉θ1后點B′、C′相對全局坐標系的位置向量如下:

(-l·(1+cα)·cθ1l·sαl·(1+cα)·sθ1)T

(3)

1.2 先旋轉后平移

將l2繞折痕L1旋轉θ1得l2′，如圖3(a)所示。此時l2繞折痕L1旋轉的旋轉矩陣如下：

(4)

則l2′上點D′的位置向量如下：

(-l·cα·cθ1l·sαl·cα·sθ1)T

(5)

由于點B是L2與線段AB的交點，所以線段AB繞L1旋轉θ1后得到的點B″同時也是L2′上的點。如圖3(b)所示，線段AB繞L1旋轉θ1后得AB″，此時點B″的位置向量如下:

(6)

根據點A和點D′相對全局坐標系的位置向量，可以得到l2′在全局坐標系的位置。

如圖3(c)所示，將l2′沿向量AB″方向平移|AB″|得l2″，其平移矩陣如下:

(7)

因此l2″上點A″和D″相對全局坐標系的位置向量如下：

(8)

(a) 平行折痕l2繞折痕L1旋轉θ1

(b) 線段AB繞折痕L1旋轉θ1

(c) l2′沿向量AB″平移圖3 不共點折痕運動分解

通過點A″和D″相對全局坐標系的位置向量，可以得到l2″在全局坐標系的位置，且根據式(3)和式(8)可知l2″與L2′重合。綜上所述，折痕L2直接繞折痕L1旋轉θ1所得折痕空間位置與l2先繞折痕L1旋轉θ1再沿向量AB″方向平移|AB″|所得折痕空間位置一致。因此,在計算不共點折痕折疊過程空間位置時，可以將折痕運動分解為旋轉和平移兩部分。

2 多條不共點折痕位置分析

2.1 3條不共點折痕折疊過程位置變換

前文中敘述了折紙機構的一對不共點折痕在折疊過程中的位置分析，但是對于一個完整的首尾相連的多頂點折紙機構需要判斷的是給定折疊平面繞折痕旋轉一定角度后各條折痕的空間位置變化。這一節(jié)利用前文不共點折痕的運動分析方法，通過給定幾何參數驗證3條不共點折痕中末端折痕的位置變化，并利用AutoCAD軟件進行空間坐標驗證。

如圖4(a)所示，三頂點折紙的3條相鄰折痕L1、L2和L3分別交于中心三角形的3個頂點A、B和C。在折疊過程折痕L3的空間位置由繞折痕L1轉動的旋轉角θ1和繞折痕L2轉動的旋轉角θ2共同決定。以點A為原點，向量AF方向為Y軸正方向，Y軸正方向順時針旋轉90°為X軸正方向，建立全局坐標系{A}，如圖4(b)所示，其中Z軸正方向滿足右手定則。點A和F為折痕L1上兩點，點B和E為折痕L2上兩點，而點C和D則為折痕L3上兩個點。將折疊平面S1在XY平面上固定為基座，取lAF=lBE=lCD=lAB=lCD=100，AB和折痕L2與Y軸正方向夾角都為30°，AC和折痕L3與Y軸正方向夾角都為60°。點B、C、D和E在旋轉角為0的初始狀態(tài)下相對全局坐標系的位置向量如下:

(9)

(a) 三頂點折紙初始狀態(tài)各折痕分布

(b) 以點A為原點對該3條不共點折痕初始狀態(tài)建立坐標系

(10)

l3繞l2旋轉θ2的旋轉矩陣如下:

(11)

(12)

又因為點B是L2與線段AB的交點，所以線段AB繞L1旋轉θ1后得到的點B′同時也是L2′上的點，同理可得點線段AC繞AB旋轉θ2后得到的點C′同時也是L3′上的點。線段AC繞AB旋轉θ2的旋轉矩陣如下：

(13)

將線段AB繞L1旋轉θ1，且線段AC繞AB旋轉θ2后得AC′，此時點C′的位置向量如下：

(14)

如圖5(b)所示，將l3′沿向量AC′方向平移|AC′|得l3″，其平移矩陣如下：

(15)

因此l3″上點A″和D?相對全局坐標系的位置向量如下：

(16)

當θ1=θ2=30°時，根據式(9)—式(16)可得此時點A″和D?在全局坐標系下的位置向量為

通過點A″和D?在全局坐標系下的位置向量，可以得到點A″和D?在全局坐標系下的三維坐標為A″(-99.551 3 92.403 8 107.476 0)和D″(-157.027 2 145.753 2 169.527 2)，所以確定了l3″在全局坐標系的位置。

因為折痕L3在折疊平面S3內，折痕L2在折疊平面S2內。若折疊平面S3直接繞折痕L2旋轉θ2，然后折疊平面S2直接繞折痕L1旋轉θ1。當θ1=θ2=30°時，利用AutoCAD測得旋轉之后L3上點C?L3′和點D?L3′三維坐標為C?L3′(-99.551 3 92.403 8 107.476 0)和D?L3′(-157.027 2 145.753 2 169.527 2)。

綜上所述，折疊平面S3直接繞折痕L2旋轉θ2，然后折疊平面S2直接繞折痕L1旋轉θ1所得折痕L3的空間位置，與l2繞折痕L1旋轉θ1且l3繞l2旋轉θ2再沿向量AC′方向平移|AC′|所得折痕空間位置一致。

(a) 構造折痕L2和L3的平行折痕l2和l3

(b) 平行折痕l3旋轉后沿向量AC′平移

2.2 三頂點折紙不共點折痕位置分析及剛性折疊 特性判斷

分析不共點折痕位置的主要目的是為了方便判定并確定折紙機構是否具有剛性折疊特性，下文以具有一對平行折痕的三頂點六折痕折紙機構進行分析。如圖6(a)所示，令6條折痕為等長折痕，頂點A、B和C處各扇形角均滿足對角互補條件，且折痕L1與L6平行，機構逆時針運動。

固定折痕L1為X軸，取LAB=LAC=Lith=1，i=1,2,…,6，且α=110°，β=35°，γ=90°，ε=55°，γ=δ=125°。各折疊平面厚度取為10，折痕在折疊平面邊緣中心線處。利用前文所述方法計算在旋轉角θith從0到π之間變化的折疊過程中折痕L6的空間位置變化，其中相鄰折痕L1與L6之間相對位置變化如圖6(b)所示。在旋轉角θith從0到π之間變化的折疊過程中BD長度始終保持不變，然而DE和AE長度先增大后減小。利用ADAMS剛柔耦合模塊進行運動仿真和有限元分析，折痕L6與L1所夾折疊平面S6變形情況如圖7所示，其結果與圖6(b)分析相符合，所以折疊平面發(fā)生變形，該折紙機構不具有剛性折疊特性。

(a) 三頂點六折痕折紙機構

(b) 折痕L1與L6之間相對位置變化圖6 折紙機構剛性可折疊性判斷

(a) 旋轉角為30°時折疊平面S6變形情況

(b) 旋轉角為90°時折疊平面S6變形情況圖7 ADAMS剛柔耦合分析

3 結 論

為研究折紙機構在折疊過程中不共點折痕的空間位置變化，提出通過構造不共點折痕的平行折痕將各不共點折痕匯交于同一頂點的方法將不共點折痕的空間位置變化分解進行分析，并根據折痕空間位置變化對折疊平面變形的影響確定折紙機構的剛性折疊特性。

通過對一對不共點折痕和3條不共點折痕的運動分解和具體參數下的驗證分析，結果表明：將不共點折痕的空間運動分解為旋轉運動和平移運動兩部分進行計算，這種方法簡化了折疊過程中多條不共點空間位置的計算過程，并且計算所得折痕位置與折痕繞既定折痕直接旋轉所得折痕的空間位置一致。通過判斷相鄰不共點折痕之間相對空間位置變化可以更直觀地確定折疊平面是否發(fā)生變形以及該折紙機構是否具有剛性折疊特性。