馮 澤,張曉紅 ,羅元庚 ,胡尚舉
(1.太原科技大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院,太原 030024;2.山西太鋼不銹鋼精密帶鋼有限公司,太原030032)
維修問題在工業(yè)系統(tǒng)的運(yùn)營中一直扮演一個(gè)很重要的角色。系統(tǒng)的故障有可能會(huì)造成無法估計(jì)的損失。預(yù)防維修是改善系統(tǒng)可靠性的有效手段之一,但復(fù)雜的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和技術(shù)同時(shí)也增大了維修的復(fù)雜度,使得維修的成本居高不下。最優(yōu)維修決策問題成為了系統(tǒng)工程師和專家學(xué)者們共同關(guān)注的焦點(diǎn)問題。
近年來,越來越多的專家和學(xué)者關(guān)注可修系統(tǒng)的維修決策問題,提出了針對(duì)可修系統(tǒng)維修方式以及不同狀態(tài)下的維修策略。Rosmaini Ahmad[1]等綜述了文獻(xiàn)中廣泛討論的兩種維修技術(shù),分析了TBM和CBM技術(shù)在維修決策中的作用,以及進(jìn)展。祁鑫,左德承[2]、 Horenbeek A V,Bure J,Cattrysse D[3]對(duì)可修系統(tǒng)的維修與備件做了一些綜述。張曉紅[4]研究了基于壽命的多部件維修決策。林琳[5]針對(duì)可修系統(tǒng)壽命預(yù)測(cè)受不確定性因素影響較大的問題,建立了一個(gè)基于視情維修的機(jī)隊(duì)多目標(biāo)維修決策優(yōu)化模型。
前期的研究中,先后提出了T,N多種不同的維修策略。Barlow和Hunter[6]最早在1960年中提出了年齡更換策略,他認(rèn)為系統(tǒng)達(dá)到年齡T但是沒有發(fā)生故障時(shí)進(jìn)行更換,或系統(tǒng)未達(dá)到T時(shí)故障也對(duì)其立即更換。Nakagawa[7]中提出故障次數(shù)限制策略,也稱N策略,他的模型是系統(tǒng)故障后進(jìn)行維修,當(dāng)維修次數(shù)達(dá)到N時(shí)進(jìn)行更換。文獻(xiàn)[8-11]對(duì)不同系統(tǒng)不同狀態(tài)的基于壽命的更換策略有不同的描述。文獻(xiàn)[12]對(duì)故障次數(shù)N策略進(jìn)行過研究。文獻(xiàn)[13-15]都對(duì)(T,N)策略以及N、T策略進(jìn)行比較研究,分析了各自的優(yōu)劣勢(shì)。近年來,大部分學(xué)者運(yùn)用(T,N)策略以及衍生策略對(duì)基于時(shí)間和狀態(tài)的可修系統(tǒng)進(jìn)行建模研究[16-19]。
以往的研究中,對(duì)于可修系統(tǒng)維修問題的策略,無論是T策略、N策略,還是(T,N)策略,均采用在線維修方式,維修期間的系統(tǒng)停機(jī)對(duì)其生產(chǎn)造成極大的影響。為了減少停機(jī)時(shí)間,張曉紅[20]針對(duì)可修系統(tǒng)提出了一種離線式預(yù)防維修策略,在原定的預(yù)防周期時(shí)刻,用一個(gè)同型的部件對(duì)缺陷部件進(jìn)行替換,替換后系統(tǒng)繼續(xù)運(yùn)行,并對(duì)缺陷件進(jìn)行離線的維修,運(yùn)行時(shí)間與維修時(shí)間同步。這種維修方式可大大縮短維修對(duì)系統(tǒng)的干預(yù)停機(jī)時(shí)間,提高生產(chǎn)效率,降低生產(chǎn)損失。
維修投入度是對(duì)系統(tǒng)維修之前所有需要準(zhǔn)備的維修工具、人員、備件等維修資源的總和。對(duì)可修系統(tǒng)而言,系統(tǒng)的維修投入度的不同直接招致了不同的維修的成本與維修時(shí)間,且不同的維修投入度系統(tǒng)的可靠性恢復(fù)程度也不盡相同。較小的維修投入程度,雖然因維修資源的投入較少而節(jié)省維修成本,但要達(dá)到相同的維修效果,需要的維修時(shí)間增多,且因維修不充分而導(dǎo)致系統(tǒng)運(yùn)行性能下降,進(jìn)而使得生產(chǎn)質(zhì)量的下降,招致成本懲罰。相反,較大的投入程度,可以在有限的時(shí)間內(nèi)達(dá)到較好的維修效果,但因所需的維修資源較多而成本較高。適度的維修不僅可以節(jié)約維修成本,也可以延遲系統(tǒng)的使用壽命。本文引入的維修度的概念對(duì)系統(tǒng)維修活動(dòng)的投入程度進(jìn)行建模,通過對(duì)維修度的最優(yōu)控制,保證滿足系統(tǒng)維修及運(yùn)行性能需求的同時(shí),降低維修成本。
綜上,在以往的研究中很少有把離線更換式維修和維修投入結(jié)合起來研究可修系統(tǒng)的最優(yōu)維修決策。尤其是諸如煤礦通風(fēng)系統(tǒng)長期在礦井環(huán)境中運(yùn)行,如若長時(shí)間停機(jī)井下風(fēng)流壓力降低,有可能使采空區(qū)瓦斯流出量增加,造成瓦斯?jié)舛冗^大發(fā)生爆炸等安全事故。離線更換式預(yù)防維修可以有效的減少停機(jī)時(shí)間,提高安全性。但同時(shí)需要定期預(yù)防維修,每次預(yù)防維修成本若控制不好,會(huì)加大成本浪費(fèi),而本文引入維修度,可以更好的控制每次預(yù)防維修所需成本以及維修時(shí)間。因此離線式預(yù)防維修與維修度結(jié)合,既可以在有限的時(shí)間內(nèi)達(dá)到較好的維修效果,節(jié)約維修成本,又可以延遲系統(tǒng)的使用壽命,提高安全性。
本文在離線式預(yù)防維修策略的基礎(chǔ)上,引入了維修度的概念。以分析維修度對(duì)維修效果、維修時(shí)間及成本的影響關(guān)系,以及離線更換式維修影響下的系統(tǒng)可靠性建模問題。在此基礎(chǔ)上,構(gòu)建系統(tǒng)的最優(yōu)維修費(fèi)用率模型,以確定最優(yōu)的運(yùn)行間隔T、維修次數(shù)N、維修度m,使得更新周期內(nèi)費(fèi)用率最小。
本文關(guān)注的是一個(gè)可修系統(tǒng),系統(tǒng)包含一個(gè)修理后可以運(yùn)行的關(guān)鍵部件,該部件的劣化可近似表征整個(gè)系統(tǒng)劣化。系統(tǒng)的壽命服從概率密度函數(shù)為f(t)的隨機(jī)分布。
為了節(jié)省因維修而導(dǎo)致的系統(tǒng)停機(jī)時(shí)間,保證系統(tǒng)連續(xù)運(yùn)行,對(duì)系統(tǒng)采用離線更換式維修策略。該策略下,除運(yùn)行部件外,另需庫存一件相同的部件,與運(yùn)行部件進(jìn)行交替使用和修理。具體策略如下:
(1)當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行預(yù)定的時(shí)間間隔T后,用備用件替換運(yùn)行件,系統(tǒng)繼續(xù)運(yùn)行。相對(duì)于較長的運(yùn)行時(shí)間,替換時(shí)間可以忽略不計(jì),單次離線更換成本Csr.
(2)替換后立即對(duì)替換下來的缺陷部件執(zhí)行離線式預(yù)防維修,維修要考慮修理能力,本文引入維修度m來表示賦予維修活動(dòng)的投入。離線式預(yù)防維修效果、維修成本Cp均與維修度m相關(guān)的隨機(jī)變量。
(3)由于修理時(shí)間τ的隨機(jī)性,可能會(huì)導(dǎo)致替換時(shí)備件的不可用而停機(jī)。若τ≤T,修理活動(dòng)在間隔T內(nèi)完成,下一次更換活動(dòng)可順利進(jìn)行,系統(tǒng)可以正常運(yùn)行;若τ>T,運(yùn)行一個(gè)間隔T系統(tǒng)需要替換時(shí),缺陷件的修理活動(dòng)仍未結(jié)束,無法及時(shí)更換,此時(shí)系統(tǒng)停機(jī)等待修理活動(dòng)結(jié)束后再實(shí)施更換,系統(tǒng)的停機(jī)時(shí)長W=τ-T,單位時(shí)間的停機(jī)成本為Cw.維修是非完美的,在每一次預(yù)防維修后,系統(tǒng)的故障率隨維修次數(shù)的增加逐漸遞增,故障率遞增因子b是與維修度m相關(guān)的函數(shù)b(m).
(4)系統(tǒng)在運(yùn)行過程中,系統(tǒng)故障隨機(jī)發(fā)生,對(duì)更換周期內(nèi)的故障,需要進(jìn)行小修恢復(fù)系統(tǒng)運(yùn)行,但故障率不變,小修時(shí)間忽略,每次小修費(fèi)用Cm.
(5)系統(tǒng)在經(jīng)歷過2NT運(yùn)行后,運(yùn)行件和缺陷件均被離線更換N次,對(duì)其執(zhí)行報(bào)廢,兩個(gè)部件的報(bào)廢總成本Cdis.由于訂購時(shí)間較長,為保證備件的可用率。在第(2N-2)T的周期結(jié)束后同時(shí)訂購兩個(gè)同類型部件,訂購時(shí)間L服從概率密度函數(shù)為S(L)的隨機(jī)分布。訂購時(shí)間過長也會(huì)造成系統(tǒng)停機(jī)。停機(jī)時(shí)間為W=L-2T,單位停機(jī)成本Cw,訂購活動(dòng)結(jié)束后系統(tǒng)開始全新的運(yùn)行周期。
為保證系統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)運(yùn)行,以系統(tǒng)的平均費(fèi)用率為目標(biāo)建立最優(yōu)決策模型:
(1)
R表示一個(gè)更新周期,C(R)表示更新周期內(nèi)的系統(tǒng)運(yùn)行成本。由于系統(tǒng)中兩部件是交替運(yùn)行的,當(dāng)部件1運(yùn)行(2N-2)T后報(bào)廢重新訂購,訂購活動(dòng)發(fā)生在部件1和部件2最后一個(gè)運(yùn)行間隔內(nèi)。因此對(duì)于系統(tǒng)而言,更新周期由2N運(yùn)行區(qū)間T、系統(tǒng)的停機(jī)時(shí)間組成。
綜合整個(gè)更新周期內(nèi)選取更換間隔T、更換次數(shù)N,維修度m為決策變量,使之成本最小,最小費(fèi)用率公式可由決策變量的函數(shù)如下表示:
(2)
由所定義的策略可得:
E(C(R))=
(3)
其中,Csr為單次預(yù)防更換成本,Cp(m,k)為離線式預(yù)防維修成本函數(shù),Pw為因修理時(shí)間導(dǎo)致的停機(jī)概率;Cw為因修理時(shí)間導(dǎo)致的單位時(shí)間停機(jī)成本,停機(jī)時(shí)間為變量W1;Pow、Cow、W2在分別為因訂購時(shí)間導(dǎo)致的停機(jī)概率和單位時(shí)間成本、停機(jī)時(shí)間;Cdis在為報(bào)廢成本,Cmin整個(gè)周期內(nèi)的系統(tǒng)小修費(fèi)用。k1、k2分別為部件1和部件2的離線式更換次數(shù)。
(4)
類似地,部件2的任意更換周期內(nèi)小修發(fā)生的次數(shù)
(5)
(6)
(7)
設(shè)F(x)為系統(tǒng)的壽命分布函數(shù),f(x)為工作時(shí)間概率密度函數(shù),G(τ)為維修時(shí)間的分布函數(shù);g(τ)為維修時(shí)間的概率密度函數(shù);S(L)為訂購時(shí)間的分布函數(shù),s(L)為訂購時(shí)間的概率密度函數(shù)。兩個(gè)部件的維修時(shí)間服從相同的概率密度函數(shù),兩個(gè)部件均服從相同分布。
系統(tǒng)在第一個(gè)周期由部件1在運(yùn)行,部件2處于準(zhǔn)備狀態(tài),第一個(gè)周期結(jié)束時(shí),部件1被更換進(jìn)行離線維修狀態(tài),部件2開始運(yùn)行第二個(gè)周期,因?yàn)榈谝粋€(gè)周期結(jié)束時(shí),部件2是新的,不會(huì)存在停機(jī)。第二個(gè)周期結(jié)束,需要部件1進(jìn)行替換部件2,此時(shí)會(huì)出現(xiàn)兩種情況,部件1維修完畢可以按時(shí)替換;部件1未完成維修,無法準(zhǔn)時(shí)替換。故在第三個(gè)周期開始時(shí)系統(tǒng)可能會(huì)出現(xiàn)停機(jī)等待。部件1的一個(gè)完整周期包括一個(gè)運(yùn)行間隔T和維修時(shí)間。
總之,系統(tǒng)在一個(gè)運(yùn)行過程中的期望成本可表示為:
(8)
E(R)為該更新周期內(nèi)的期望長R=2NT+W.
兩個(gè)部件因?yàn)樾蘩韺?dǎo)致停機(jī)時(shí)間和因?yàn)橛嗁徳斐傻耐C(jī)時(shí)間的期望長度:
(9)
(10)
(11)
系統(tǒng)的期望停機(jī)時(shí)間:
策略:平面鏡所成像與物體大小相等,關(guān)于平面鏡對(duì)稱,利用數(shù)學(xué)上的“對(duì)稱法”作圖,注意像與輔助線用虛線表示。
(12)
通常的研究將預(yù)防維修的成本設(shè)定為一個(gè)常量,與系統(tǒng)的劣化程度和修理程度無關(guān),這樣的假設(shè)是不合理的。文獻(xiàn)[19]將預(yù)防維修成本建模為維修效果、維修次數(shù)的線性函數(shù)。文獻(xiàn)[22]中運(yùn)用二次函數(shù)建模了預(yù)防維修與役齡回退量之間的關(guān)系。
以部件1為例,圖1顯示了三種關(guān)系模型的示意圖。從圖中可看出,指數(shù)函數(shù)增長的速率比較快,線性函數(shù)稍次之,對(duì)數(shù)函數(shù)最小。具體選取哪一個(gè)應(yīng)該與實(shí)際的研究對(duì)象有關(guān)。本文以指數(shù)函數(shù)為例進(jìn)行研究。a=10是邊際成本,b=20是每次維修的固定成本。
圖1 部件1的維修成本與維修度、維修次數(shù)的關(guān)系模型比較Fig.1 Comparison of maintenance cost and number of repairs of part 1
仍以部件1為例,假設(shè)其維修時(shí)間服從的威布爾分布W(β,η),圖2顯示了不同維修度下,不同參數(shù)對(duì)應(yīng)的維修時(shí)間的概率密度函數(shù)。
圖2 維修度對(duì)維修時(shí)間的影響關(guān)系圖Fig.2 The impact diagram of maintenance degree on maintenance time
圖2分別顯示了維修度為0.5,0.8對(duì)于維修時(shí)間概率密度的影響,如果投入度變大,維修準(zhǔn)備充分,維修時(shí)間會(huì)相應(yīng)的縮小,期望停機(jī)時(shí)間有所減少。
由于部件1和部件2是相同類型部件,設(shè)其初始?jí)勖植紴閃(β1,η1),則初始故障率函數(shù)為:
(13)
圖3 故障率因子與維修度關(guān)系圖Fig.3 Plot of failure rate factor and maintenance degree
實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)定如表1所示。單位為萬元,軋輥的壽命服從分布W(β1,η1),維修時(shí)間服從W(β,η)分布,訂購時(shí)間服從E(θ),預(yù)防維修固定成本為b,邊際成本a,小修成本Cm,報(bào)廢成本Cdis,更換成本Csr,訂購成本Cow,單位停機(jī)成本Cw.
表1 實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置
圖4(a)m,T固定時(shí),在前期,隨著維修次數(shù)的增加,故障發(fā)生趨勢(shì)較緩,小修次數(shù)以及成本少,費(fèi)用率自然下降,后期隨著故障率遞增因子的變大,更換成本和維修成本增加,費(fèi)用率變大;圖4(b)N,T固定,前期劣化慢,維修度雖小但是修理合格,維修成本少,費(fèi)用率下降,之后,隨著維修度不斷變大,維修成本變大,費(fèi)用率變大;圖4(c)m,N固定時(shí),費(fèi)用率隨著運(yùn)行間隔T增加,出現(xiàn)先降后升趨勢(shì)。通過對(duì)三個(gè)變量與費(fèi)用率目標(biāo)值關(guān)系的研究,發(fā)現(xiàn)三個(gè)變量單獨(dú)都會(huì)使費(fèi)用率存在一個(gè)最低值,因此驗(yàn)證了模型的正確性。
圖4 三個(gè)變量對(duì)費(fèi)用率的影響Fig.4 The effect of three variables on expense rates
利用GA尋找最優(yōu)解,設(shè)置種群大小設(shè)置為10,最大遺傳代數(shù)為30,通過輪盤賭的方式進(jìn)行選擇,相應(yīng)的算子概率為0.8,交叉類型為兩點(diǎn)交叉,每次交叉的概率為0.8,同時(shí)算術(shù)變異的概率為0.2.可以得到近似最優(yōu)解T=14,N=10,m=0.413 6,成本費(fèi)用率CR(T,N,m)=800.505 8.
模型的有效性一般取決于該模型對(duì)于參數(shù)的適應(yīng)度,分別對(duì)模型中的成本參數(shù)進(jìn)行縮小或放大,分析其對(duì)決策結(jié)果的影響。
表2-表4是對(duì)涉及到的成本參數(shù)縮小或者變大去分析參數(shù)對(duì)于總體費(fèi)用率的影響。該模型中出現(xiàn)的各項(xiàng)費(fèi)用增加都會(huì)導(dǎo)致維修費(fèi)用增加,費(fèi)用率也增加,這種情況符合費(fèi)用率的定義,因此驗(yàn)證了模型的可行性。當(dāng)調(diào)整因子變大時(shí),故障率遞增因子反而變小,小修成本變小,費(fèi)用率自然變小。
表2 小修、報(bào)廢成本費(fèi)用率影響
表3 更換成本與訂購導(dǎo)致停機(jī)成本對(duì)費(fèi)用率影響Tab.3 The impact of replacement cost and ordering cost on cost rate
表4 單位停機(jī)成本、故障率調(diào)整因子對(duì)費(fèi)用率影響Tab.4 The impact of unit shutdown cost and failure rate adjustment factor on cost rate
本文在非完美預(yù)防維修的基礎(chǔ)上,加入了離線式預(yù)防維修方式,減少在線維修不必要的等待時(shí)間,分析了維修度對(duì)于維修時(shí)間,維修效果的影響,分別構(gòu)建了與維修時(shí)間和效果相關(guān)的更新函數(shù)模型,并以此模型為基石,提出了離線式預(yù)防維修策略下的考慮維修度的定周期離線式預(yù)防維修決策模型,利用了遺傳算法,尋找到一個(gè)全局最優(yōu)解,對(duì)相關(guān)參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析,確定了該模型的正確性。
本文研究的是定周期更換策略,實(shí)際生活中,定周期不能適用于所有系統(tǒng)維修,因此,接下來考慮基于幾何過程的不定周期的離線式更換策略。若部件的狀態(tài)可以被檢測(cè),則可以更好的把握系統(tǒng)劣化情況及維修時(shí)刻,進(jìn)一步對(duì)基于視情維修的離線更換式維修決策進(jìn)行研究。