曾玲莉，周雨佳

(西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，西安 710127)

1 研究背景

1.1 洛必達(dá)法則

極限理論作為數(shù)學(xué)分析的理論基礎(chǔ)，主要研究?jī)?nèi)容包含兩個(gè)部分：首要任務(wù)是對(duì)極限能否存在，即存在性進(jìn)行研究[1]，其次是求解極限的值。求極限值一直以來(lái)是眾多學(xué)者探討的問(wèn)題，然而沒(méi)有形成一致的方法和步驟，只能根據(jù)具體情況進(jìn)行分析再采取合適的方法進(jìn)行求解。求極限值的方法有許多種，大家熟知的有夾逼準(zhǔn)則、單調(diào)有界原理、Stolz公式等，但最常用最簡(jiǎn)潔的是L’Hospital法則。

1.2 多元函數(shù)洛必達(dá)法則的發(fā)展背景

多元函數(shù)的極限有累次極限和重極限，因?yàn)楹瘮?shù)自變量個(gè)數(shù)的增多，函數(shù)所處區(qū)域的不確定性，重極限變得十分復(fù)雜。求極限值，首先要保證這個(gè)極限是存在的，而關(guān)于多元函數(shù)的極限是否存在的問(wèn)題便是一個(gè)難題，多元函數(shù)極限存在的條件比一元函數(shù)的洛必達(dá)法則更為嚴(yán)格。

綜上所述，現(xiàn)有研究主要是通過(guò)將多元函數(shù)不定式極限轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)或其他形式進(jìn)行求解，很少有學(xué)者基于多元函數(shù)極限本身性質(zhì)進(jìn)行探究。

1.3 研究?jī)?nèi)容和目的

一元函數(shù)的洛必達(dá)法則在數(shù)學(xué)以及其他學(xué)科的運(yùn)用中起到很大作用，無(wú)論是對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的建設(shè)，還是學(xué)生在考試中的應(yīng)用上都十分重要。因此，對(duì)于多元函數(shù)的洛必達(dá)法則的研究具有重要意義，多元函數(shù)洛必達(dá)法則是否和一元函數(shù)具有相似的性質(zhì)值得進(jìn)一步探索。

本文在已有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，總結(jié)了二元函數(shù)不定式的洛必達(dá)法則，并給出了二元函數(shù)洛必達(dá)法則的充分必要條件以及多元函數(shù)的洛必達(dá)法則，希望可以更便捷地求解多元函數(shù)不定式的極限值，豐富洛必達(dá)法則的內(nèi)容，使洛必達(dá)法則的使用范圍更加廣泛。

2 預(yù)備知識(shí)

定義3[4]：設(shè)函數(shù)y=f(x)，若自變量在點(diǎn)x的改變量Δx與函數(shù)相應(yīng)的改變量Δy有關(guān)系Δy=A×Δx+ο(Δx)，其中A與Δx無(wú)關(guān)，則稱(chēng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x可微，并稱(chēng)AΔx為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x的微分，記作dy，即dy=A×Δx，當(dāng)x=x0時(shí)，則記作dy|x=x0。

3 主要結(jié)果與證明

引理1[10]海涅定理

引理2[11]二元函數(shù)的柯西中值定理

設(shè)二元函數(shù)f(x,y)，g(x,y)滿(mǎn)足以下條件：

(ⅰ)f(x,y)g(x,y)在去心矩形區(qū)域D:0<|x-x0|≤a,0<|y-y0|≤b內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且g1(x,y)dx+g2(x,y)dy≠0；

設(shè)二元函數(shù)f(x,y)，g(x,y)滿(mǎn)足下列條件：

(ⅰ)去心矩形區(qū)域D:0<|x-x0|≤a,0<|y-y0|≤b內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且g1(x,y)dx+g2(x,y)dy≠0；

設(shè)二元函數(shù)f(x,y)，g(x,y)滿(mǎn)足下列條件：

(ⅰ)去心矩形區(qū)域D:0<|x-x0|≤a,0<|y-y0|≤b內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且g1(x,y)dx+g2(x,y)dy≠0；

證明：

充分性：

必要性：

4 應(yīng)用舉例