陸 彪

（南京航空航天大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，江蘇 南京 211106）

引言

“運(yùn)籌學(xué)”是經(jīng)濟(jì)管理類專業(yè)的重要基礎(chǔ)課程之一。運(yùn)籌學(xué)致力于解決經(jīng)濟(jì)管理領(lǐng)域的決策問(wèn)題，通過(guò)采用定量方法，輔助管理者做出優(yōu)化決策。運(yùn)籌學(xué)涉及十幾個(gè)分支，如線性規(guī)劃、運(yùn)輸問(wèn)題、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、圖論與網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃、決策分析、存儲(chǔ)論、排隊(duì)論等。各分支都有一套獨(dú)特的方法體系，各方法體系之間的關(guān)聯(lián)性較弱。從該角度而言，“運(yùn)籌學(xué)”是一個(gè)內(nèi)涵非常豐富的課程。對(duì)于經(jīng)管專業(yè)的學(xué)生而言，學(xué)好運(yùn)籌學(xué)，掌握其思想和方法，可以為從事經(jīng)濟(jì)管理方面的工作或研究打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

由于“運(yùn)籌學(xué)”包含的分支眾多，而且各分支方法差異較大，因此學(xué)好運(yùn)籌學(xué)并非易事。同時(shí)，各分支方法都要求建立和解析數(shù)學(xué)模型，而經(jīng)管類學(xué)生數(shù)學(xué)功底較弱，這增加了他們學(xué)好該門(mén)課程的難度。因此，作為經(jīng)管類專業(yè)運(yùn)籌學(xué)授課教師，必須尋求有效的教學(xué)方法以引導(dǎo)學(xué)生學(xué)好該門(mén)課程。事實(shí)上，雖然運(yùn)籌學(xué)中各分支方法差異較大，但它們都遵循同樣的底層邏輯：首先根據(jù)實(shí)際問(wèn)題構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，然后解析模型的最優(yōu)解，最后根據(jù)模型最優(yōu)解確定問(wèn)題的最佳方案。這三個(gè)環(huán)節(jié)逐步遞進(jìn)、由淺入深、由易入難，這啟發(fā)我們采用一種漸進(jìn)式的教學(xué)方法。

漸進(jìn)式教學(xué)是一種應(yīng)用較廣的教學(xué)模式。文獻(xiàn)調(diào)研顯示，漸進(jìn)式教學(xué)在初中物理教學(xué)、微生物實(shí)驗(yàn)教學(xué)、機(jī)械制圖課程教學(xué)、國(guó)際貿(mào)易專業(yè)課程教學(xué)及在外科門(mén)診臨床實(shí)習(xí)教學(xué)等各層次、各類型的教學(xué)中都實(shí)現(xiàn)了良好的效果。漸進(jìn)式教學(xué)的核心思想是循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)課程進(jìn)行學(xué)習(xí)，最終實(shí)現(xiàn)良好的教學(xué)效果?！斑\(yùn)籌學(xué)”遵循著“問(wèn)題建模—模型解析—最優(yōu)解反饋”的邏輯，因此非常適合于采用漸進(jìn)式教學(xué)方法。

本文旨在為經(jīng)管類專業(yè)“運(yùn)籌學(xué)”教學(xué)探索一種“建模—解析—反饋”的漸進(jìn)式教學(xué)方法。首先分析“運(yùn)籌學(xué)”教學(xué)中存在的問(wèn)題，然后探索一種“建?！馕觥答仭钡臐u進(jìn)式教學(xué)方法以應(yīng)對(duì)存在的問(wèn)題，從而實(shí)現(xiàn)經(jīng)管類專業(yè)“運(yùn)籌學(xué)”的教學(xué)目標(biāo)。

一、“運(yùn)籌學(xué)”教學(xué)中的問(wèn)題分析

筆者近年來(lái)為經(jīng)管類專業(yè)學(xué)生講授“運(yùn)籌學(xué)”課程，通過(guò)觀察和交流，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在運(yùn)籌學(xué)的學(xué)習(xí)中還存在以下突出問(wèn)題。

第一，學(xué)生對(duì)“運(yùn)籌學(xué)”的學(xué)習(xí)興趣普遍不高。雖然“運(yùn)籌學(xué)”對(duì)經(jīng)管類專業(yè)學(xué)生是一門(mén)非常重要的課程，但在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生沒(méi)有對(duì)“運(yùn)籌學(xué)”表現(xiàn)出很強(qiáng)的興趣。通過(guò)與學(xué)生交流得知，很多學(xué)生感覺(jué)“運(yùn)籌學(xué)”是一門(mén)偏數(shù)學(xué)的課程，與自己專業(yè)的關(guān)聯(lián)性不是很強(qiáng)。事實(shí)上，由于“運(yùn)籌學(xué)”涉及大量的數(shù)學(xué)優(yōu)化問(wèn)題，在一些學(xué)院被劃歸在數(shù)學(xué)學(xué)科之下。對(duì)于經(jīng)管類專業(yè)的學(xué)生偏重?cái)?shù)學(xué)解析的“運(yùn)籌學(xué)”，自然難以引起他們的興趣。因此，只有從實(shí)際管理問(wèn)題出發(fā)引出數(shù)學(xué)模型，才能夠激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣。

第二，學(xué)生對(duì)“運(yùn)籌學(xué)”存在恐懼心理?！斑\(yùn)籌學(xué)”模型解析以最優(yōu)化理論作為基礎(chǔ)，其中涉及大量的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和計(jì)算。經(jīng)管類專業(yè)學(xué)生大多是文科生，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較薄弱，很難輕易掌握其中的數(shù)學(xué)解析，從而產(chǎn)生恐懼心理。因此，在數(shù)學(xué)模型解析的教學(xué)中，教師需要傾注更多的心力，探索有效的方法，循循善誘。

第三，學(xué)生對(duì)模型最優(yōu)解實(shí)際意義的認(rèn)知不深。大多數(shù)學(xué)生在得到模型最優(yōu)解后，通常不會(huì)去思考最優(yōu)解的實(shí)際含義。模型最優(yōu)解與實(shí)際問(wèn)題最優(yōu)方案之間存在一定距離，學(xué)生需要把最優(yōu)解“翻譯”成最優(yōu)方案，這樣可以幫助他們深入地認(rèn)識(shí)“運(yùn)籌學(xué)”。

為解決以上問(wèn)題，在“運(yùn)籌學(xué)”教學(xué)中應(yīng)該首先以實(shí)際問(wèn)題為牽引，講授數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，其次探索有效方法以講授數(shù)學(xué)模型的解析，最后講授模型最優(yōu)解對(duì)于實(shí)際問(wèn)題的反饋，即采用一種“建?！馕觥答仭钡臐u進(jìn)式教學(xué)方法。

二、“運(yùn)籌學(xué)”漸進(jìn)式教學(xué)方法

“運(yùn)籌學(xué)”漸進(jìn)式教學(xué)遵循“建模—解析—反饋”三個(gè)遞進(jìn)的教學(xué)環(huán)節(jié)，如圖1所示。首先從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，講授如何根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型，其次講授如何解析數(shù)學(xué)模型獲得其最優(yōu)解，最后講授如何將模型最優(yōu)解反饋到實(shí)際問(wèn)題以得到最優(yōu)方案。

圖1 “運(yùn)籌學(xué)”漸進(jìn)式教學(xué)模式

（一）建模環(huán)節(jié)：從實(shí)際問(wèn)題到數(shù)學(xué)模型

“運(yùn)籌學(xué)”立足于解決實(shí)際問(wèn)題。對(duì)于經(jīng)管類專業(yè)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，只有讓他們意識(shí)到“運(yùn)籌學(xué)”在解決實(shí)際問(wèn)題中的價(jià)值，才能激發(fā)他們對(duì)“運(yùn)籌學(xué)”的學(xué)習(xí)興趣。為此在每個(gè)分支教學(xué)伊始，選取一個(gè)實(shí)際問(wèn)題作為引導(dǎo)案例。一方面引起學(xué)生對(duì)本分支的學(xué)習(xí)興趣，另一方面讓學(xué)生初步了解本分支將解決哪類問(wèn)題。例如，在給經(jīng)管類專業(yè)學(xué)生講授線性規(guī)劃時(shí)，筆者用某人力資源規(guī)劃問(wèn)題作為引導(dǎo)案例；在講授運(yùn)輸問(wèn)題時(shí)，用某汽車(chē)公司的生產(chǎn)基地與分銷(xiāo)中心的運(yùn)輸問(wèn)題作為引導(dǎo)案例。從課堂情況來(lái)看，學(xué)生表現(xiàn)出很強(qiáng)的興趣。

雖然不同的實(shí)際問(wèn)題對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型不一樣，但它們都是由決策變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件三部分組成。因此，在講授建模的過(guò)程中，著重培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)，以及正確定義決策變量和正確表示目標(biāo)函數(shù)和約束條件的建模能力。

（二）解析環(huán)節(jié)：從數(shù)學(xué)模型到最優(yōu)解

在建立數(shù)學(xué)模型之后，需要講授如何解析數(shù)學(xué)模型以得到其最優(yōu)解，這是最難的，也是最重要的一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)。實(shí)際上，每類數(shù)學(xué)模型都有對(duì)應(yīng)的優(yōu)化方法。例如，線性規(guī)劃模型對(duì)應(yīng)單純形算法，運(yùn)輸模型對(duì)應(yīng)表上作業(yè)法，整數(shù)規(guī)劃模型對(duì)應(yīng)分支定界法或割平面法，最短路模型對(duì)應(yīng)Dijkstra 算法或Floyd-Warshall 算法。這些方法的共同特點(diǎn)是既有邏輯步驟，每個(gè)步驟下又有具體操作細(xì)節(jié)。例如，分支定界算法的邏輯步驟是對(duì)線性規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行反復(fù)的分支和定界，直至找到整數(shù)最優(yōu)解，而如何分支和如何定界又是操作細(xì)節(jié)。

筆者在教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，有些學(xué)生能夠掌握方法的邏輯步驟，卻在操作細(xì)節(jié)上不熟練；有些學(xué)生能夠較好地掌握細(xì)節(jié)，卻無(wú)法把握方法的整體邏輯步驟。因此，對(duì)于優(yōu)化方法的教學(xué)應(yīng)該使得學(xué)生既能把握方法的整體脈絡(luò)，又能掌握具體的操作細(xì)節(jié)。在此目標(biāo)下，對(duì)于每種方法可以繪制一個(gè)方法流程圖，明晰該方法的整體邏輯步驟。例如，見(jiàn)單純形算法的流程圖圖2。在講解一種方法的過(guò)程中，采用該方法的流程圖作為引導(dǎo)。即按照流程圖一步一步地講授，講到每個(gè)步驟時(shí)跳到該步驟對(duì)應(yīng)的操作細(xì)節(jié)進(jìn)行詳細(xì)講解，講完該步驟下的具體操作之后再跳回到流程圖的下一步，依次往下，直至講完方法。通過(guò)此方法讓學(xué)生既能掌握方法的整體邏輯，又能掌握具體的操作細(xì)節(jié)。

圖2 單純形算法流程圖

（三）反饋環(huán)節(jié)：從模型最優(yōu)解到問(wèn)題最優(yōu)方案

在獲得模型最優(yōu)解之后，需要將模型最優(yōu)解反饋到實(shí)際問(wèn)題，以獲得實(shí)際問(wèn)題的最優(yōu)方案，形成一個(gè)教學(xué)閉環(huán)。這是最容易的一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，但也是不可或缺的一個(gè)環(huán)節(jié)，否則就無(wú)法形成教學(xué)閉環(huán)。在這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，需要教授學(xué)生將模型最優(yōu)解“翻譯”成問(wèn)題的最優(yōu)方案。例如，生產(chǎn)計(jì)劃問(wèn)題最優(yōu)解為X=（10，20，25，0，0），其對(duì)應(yīng)的最優(yōu)生產(chǎn)方案為生產(chǎn)A產(chǎn)品10件，生產(chǎn)B產(chǎn)品20件，生產(chǎn)C產(chǎn)品25件。X的最后兩個(gè)分量等于0，表示松弛變量或人工變量取值為0，沒(méi)有實(shí)際含義。又例如，表1所示為某運(yùn)輸問(wèn)題的最優(yōu)解。通過(guò)該最優(yōu)解可知=5，=3，=1，=6，其余的x=0。根據(jù)該最優(yōu)解，可得到最優(yōu)運(yùn)輸方案為：從產(chǎn)地A運(yùn)往銷(xiāo)地B物資5個(gè)單位，從A運(yùn)往B物資3個(gè)單位，從A運(yùn)往B物資6個(gè)單位，其余產(chǎn)銷(xiāo)地之間則不進(jìn)行物資運(yùn)輸。注意到，雖然=1，但是由于B是虛擬的銷(xiāo)地，因此實(shí)際上A并沒(méi)有生產(chǎn)這1個(gè)單位物資，也就不會(huì)往B運(yùn)輸物資了。通過(guò)最后的反饋環(huán)節(jié)，使學(xué)生加深對(duì)模型最優(yōu)解實(shí)際意義的理解，也加深對(duì)于運(yùn)籌學(xué)思想的理解，有利于夯實(shí)學(xué)生對(duì)于“運(yùn)籌學(xué)”的學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)而提高運(yùn)籌學(xué)的教學(xué)效率。

表1 某運(yùn)輸問(wèn)題的最優(yōu)解

結(jié)語(yǔ)

本文為經(jīng)管類專業(yè)“運(yùn)籌學(xué)”課程教學(xué)提出了一種“建?！馕觥答仭睗u進(jìn)式教學(xué)方法。該教學(xué)方法將“運(yùn)籌學(xué)”教學(xué)劃分為“數(shù)學(xué)建?！薄澳Ｐ徒馕觥焙汀白顑?yōu)解反饋”三個(gè)環(huán)節(jié)。這三個(gè)環(huán)節(jié)層層遞進(jìn)，首尾相連，形成一個(gè)教學(xué)閉環(huán)。建模環(huán)節(jié)著重培養(yǎng)學(xué)生對(duì)實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型的能力，解析環(huán)節(jié)重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生熟練掌握各種優(yōu)化方法的邏輯脈絡(luò)和具體操作，而反饋環(huán)節(jié)則培養(yǎng)學(xué)生對(duì)于模型最優(yōu)解實(shí)際意義的理解。通過(guò)該漸進(jìn)式教學(xué)模式，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)“運(yùn)籌學(xué)”的興趣，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力，引導(dǎo)學(xué)生掌握各種優(yōu)化方法，夯實(shí)學(xué)生對(duì)“運(yùn)籌學(xué)”的理解，最終實(shí)現(xiàn)“運(yùn)籌學(xué)”的教學(xué)目標(biāo)。

在實(shí)施該漸進(jìn)式教學(xué)方法的過(guò)程中也會(huì)遇到諸多問(wèn)題。例如，如何根據(jù)學(xué)生的專業(yè)背景選擇合適的實(shí)際問(wèn)題，如何應(yīng)對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)能力的個(gè)體差異問(wèn)題，以及如何在優(yōu)化方法講解中營(yíng)造積極的學(xué)習(xí)氛圍等。這些問(wèn)題需要在教學(xué)的過(guò)程中得到有效解決，才能夠保證該漸進(jìn)式教學(xué)實(shí)現(xiàn)更好的效果。