分塊初等變換在判定抽象矩陣可逆性中的應(yīng)用

薛維順

（山西晉中理工學(xué)院，山西晉中 030600）

矩陣是線性代數(shù)最重要的工具之一，在計(jì)算和處理數(shù)據(jù)方面都有非常重要的作用。矩陣的逆是眾多學(xué)者研究的重要課題。分塊矩陣由于其抽象性，研究難度相對(duì)較大[1-6]。楊欣芳[5]給出了廣義初等變換和廣義初等矩陣的定義并對(duì)簡(jiǎn)單分塊矩陣的廣義初等變換進(jìn)行驗(yàn)證。張新育[2]定義了分塊初等變換和分塊初等矩陣，給出了相關(guān)性質(zhì)并對(duì)抽象矩陣的逆和秩進(jìn)行了研究。孫霞[3]和成立花[6]利用分塊初等變換對(duì)兩個(gè)互素矩陣多項(xiàng)式的秩進(jìn)行了研究。劉俊同[4]對(duì)分塊矩陣行列式對(duì)行列式進(jìn)行了推廣。繼續(xù)利用分塊矩陣的初等變換對(duì)抽象矩陣的可逆性進(jìn)行研究，給出三類抽象矩陣可逆性的判定，并得出應(yīng)用。文中用到的數(shù)字都是實(shí)數(shù)。

1 相關(guān)概念和性質(zhì)

定義1將m×n矩陣A做如下分塊

（1）用一個(gè)可逆矩陣左(右)乘分塊矩陣的某一行(列)塊；

（2）分塊矩陣的某一行(列)塊左(右)乘一個(gè)矩陣加到另外一行(列)塊；

（3）交換某兩行(列)塊。

分塊矩陣的行初等變換與列初等變換統(tǒng)稱為分塊初等變換[2]。

定義2分塊初等矩陣是分塊單位矩陣

經(jīng)過一次分塊初等變換所得到的分塊矩陣。其中Elr為lr階單位矩陣[2]。

性質(zhì)1分塊初等變換不改變矩陣的秩[3]。

性質(zhì)2設(shè)A是m階方陣,B是n階方陣，則=R(A) +R(B)[3]。

2 主要結(jié)論及證明

多個(gè)數(shù)為零的情形與一個(gè)數(shù)為零的情形證明過程類似。

綜上，對(duì)任意的實(shí)數(shù)ai(i=1,2,…,n)，n階方陣C總可逆。

3 應(yīng)用舉例

例1已知A,B,A+B均為n階可逆方陣，證明A-1+B-1也可逆。

在證明A-1+B-1可逆的時(shí)候，通過定義找到A-1+B-1的逆矩陣進(jìn)行了證明。這種證明一般很難通過定義判定A-1+B-1的可逆性。如果利用分塊矩陣的初等變換能很容易判定A-1+B-1的可逆性。

證明

例2若n階矩陣A滿足A2-2A-4E=O,證明:A+E可逆。

以往證明此類抽象矩陣可逆時(shí)一般采用“湊因式”的方法化為AB=E的形式來判定可逆。通過分塊矩陣的初等變換能開拓學(xué)生的解題思路，從而進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力。是定理1 中k=的情形，故可逆。

利用分塊矩陣的初等變換不僅可以判斷矩陣可逆，也可以很巧妙的對(duì)行列式進(jìn)行計(jì)算。在2020 年的研究生入學(xué)考試（數(shù)一）中有一道對(duì)行列式的計(jì)算。如果按照常規(guī)思路就是“化零降階”或者直接按行按列展開，計(jì)算量相對(duì)較大。如果采用分塊矩陣的初等變換會(huì)簡(jiǎn)化計(jì)算。

可以看出分塊初等變換不僅在判定抽象矩陣的可逆性中作用巨大,在計(jì)算行列式中也應(yīng)用廣泛。