利用不變量化簡二次曲線方程*

常家文 韓 潔 胡 婷

(揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,225002)

一、二次曲線的不變量

二次曲線在直角坐標(biāo)系下的方程為

a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0.

①

設(shè)在直角坐標(biāo)變換

②

下,方程①變?yōu)?/p>

③

則稱關(guān)于方程系數(shù)的非常值函數(shù)I為二次曲線的不變量,如果

④

引入以下幾個函數(shù):

I1=a11+a22,

⑤

⑥

⑦

直接計算可知I1,I2,I3是二次曲線的不變量[2].

二、利用不變量化簡二次曲線方程

首先,利用旋轉(zhuǎn)變換

⑧

可以消去二次曲線方程①中的交叉乘積項(xiàng).事實(shí)上,將⑧代入①得到新方程中的交叉乘積項(xiàng)系數(shù)為

⑨

⑩

可以化簡一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng).例如,方程中如果出現(xiàn)某個元的平方項(xiàng),則可用移軸變換消去相應(yīng)的一次項(xiàng);方程中如果出現(xiàn)一次項(xiàng),則可用移軸變換消去常數(shù)項(xiàng).

于是，經(jīng)過直角坐標(biāo)變換,任意二次曲線方程總能化為如下三個簡化方程中的一種:

上述簡化方程中的系數(shù)可以用二次曲線的不變量表示出來.這是因?yàn)?對于情形1,由于

λ2-I1λ+I2=0

其中λ1,λ2是特征方程的兩個根.

對于情形2,由于

由于情形3是退化二次曲線,這里略去討論.

三、應(yīng)用舉例

下面給出幾個用不變量化簡二次曲線方程的例子.

例1化簡二次曲線方程

3x2-2xy+3y2+4x+4y-4=0.

解因?yàn)?/p>

所以特征方程為λ2-6λ+8=0,

所以曲線方程可化為2x′2+4y′2-8=0,

例2化簡二次曲線方程

x2+6xy+y2+6x+2y-1=0.

例3化簡二次曲線方程

x2-4xy+4y2+2x-2y-1=0.

應(yīng)用不變量化簡二次曲線方程，雖然沒有在中學(xué)教材中提出明確要求,但作為教師,在遇到此類問題并且化簡較為繁瑣時,可先行利用這一方法求出正確結(jié)果,再去按圖索驥,將會事半功倍．