利用比較比值法判定正項(xiàng)級數(shù)的發(fā)散

◎任秋道 汪元侖

(綿陽師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院,四川 綿陽 621000)

一、引入

拉貝判別法：

拉貝判別法的極限形式：

二、泰勒公式判別法

定理1 (比值比較法) 設(shè)兩個(gè)正數(shù)列{un}與{vn}，且存在正整數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，有

(1)

于是un+1=rnun=rnrn-1un-1=…=rnrn-1…rNuN，

vn+1≥rnvn≥rnrn-1vn-1≥…≥rnrn-1…rNvN.

由此可得，

≥rNvN+rNrN+1vN+…+rNrN+1…rn-1vN+…

(2)

那么:(1)當(dāng)0≤a<1時(shí)級數(shù)收斂，當(dāng)a>1時(shí)級數(shù)發(fā)散；

(2)當(dāng)a=1，b<-1時(shí)，級數(shù)收斂；當(dāng)a=1，b>-1時(shí)，級數(shù)發(fā)散；

(3)當(dāng)a=1，b=-1時(shí)，無法判定級數(shù)的斂散性.

根據(jù)比值審斂法(達(dá)朗貝爾判別法)可得，當(dāng)0≤a<1時(shí)，此級數(shù)收斂；當(dāng)a>1時(shí)，此級數(shù)發(fā)散；當(dāng)a=1時(shí)，此級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.

(2)當(dāng)a=1時(shí)，有

根據(jù)拉貝判別法的極限形式可得，當(dāng)-b>1，即b<-1時(shí)，此級數(shù)收斂；當(dāng)-b<1，即b>-1時(shí)，此級數(shù)發(fā)散；當(dāng)b=-1時(shí)，無法判定級數(shù)的斂散性.證畢.

(3)

則級數(shù)發(fā)散.

證明設(shè)c=-m(m+1)<0，其中m為正整數(shù)，忽略高階無窮小，可得

由此可得，存在正整數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，有

(4)

當(dāng)c<0，c≠-k(k+1)(k∈N+)或c≥0時(shí)，一定存在一個(gè)正整數(shù)m(可取m=-[c](c<0))，使得c>-m(m+1).記

綜上所述，結(jié)論成立.證畢.

利用定理1、定理3，我們可獲得：

(5)

利用洛必達(dá)法則，可得

利用洛必達(dá)法則，可得

當(dāng)rk>-1時(shí)，根據(jù)定理3，可獲得結(jié)論.