章飛等

摘要：針對《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》突出的概念、強(qiáng)調(diào)的理念及其如何在教學(xué)中落地，采用線上“十人談”的方式展開研討。對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在課程內(nèi)容中的體現(xiàn)和“三會”表達(dá)、代數(shù)推理、概念產(chǎn)生的必要性、教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化、數(shù)學(xué)教學(xué)中的一致性、解題教學(xué)中序的思想、數(shù)學(xué)德育、數(shù)學(xué)教學(xué)生活化以及跨學(xué)科學(xué)習(xí)、綜合與實踐等話題結(jié)合教學(xué)實踐做了解讀。

關(guān)鍵詞：新課標(biāo)；初中數(shù)學(xué)；核心素養(yǎng)；跨學(xué)科學(xué)習(xí)；代數(shù)推理

趙維坤：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）頒布后，按照教育部的要求，我們未來的教學(xué)，包括2022—2023這個依然使用老教材的學(xué)年的教學(xué)，就應(yīng)該要較好地體現(xiàn)新課標(biāo)的理念。所以，《教育研究與評論》雜志就組織了這樣一個線上“十人談”活動，請大家來談?wù)勥@個話題。下面，我們就圍繞大家預(yù)先提出的一些感興趣的子話題來談一談。首先請章飛教授給我們開篇。

章飛：新課標(biāo)多次明確核心素養(yǎng)導(dǎo)向。這一點從課程內(nèi)容的選擇來看，就已經(jīng)很清楚了。對每個課程內(nèi)容領(lǐng)域，都首先把對應(yīng)的核心素養(yǎng)表現(xiàn)說得很清楚。比如，初中部分的統(tǒng)計與概率領(lǐng)域，就是數(shù)據(jù)觀念。對于數(shù)據(jù)觀念，在課程目標(biāo)里，有一段具體、全面的描述，把它的內(nèi)涵、外延、價值都講得很清楚。那么，我就在想：在課程內(nèi)容里，到底怎么體現(xiàn)這一核心素養(yǎng)呢？

我只談這次增加的兩個內(nèi)容。一個是“經(jīng)歷數(shù)據(jù)分類的活動，知道按照組內(nèi)離差平方和最小的原則對數(shù)據(jù)進(jìn)行分類的方法”，另一個是“會計算四分位數(shù)，了解四分位數(shù)和箱線圖的關(guān)系，感悟百分位數(shù)的意義”。這兩個內(nèi)容，實際上一線教師都不熟悉。對“征求意見稿”提建議時，很多人都問：為什么要講這兩個內(nèi)容？我現(xiàn)在的理解是，總的來講，它們確實關(guān)注了學(xué)生的未來發(fā)展，關(guān)注了對數(shù)據(jù)本身的一種整體認(rèn)識（這是統(tǒng)計學(xué)最核心的東西），所以是有很清晰的核心素養(yǎng)導(dǎo)向的。

先來看第一個內(nèi)容——數(shù)據(jù)分類，從思維的要求上來講，實際上很簡單——人們對很多東西都會進(jìn)行分類，比如一堆蘋果，其中可能有大、中、小之分。在現(xiàn)代社會，很多互聯(lián)網(wǎng)公司，需要對用戶進(jìn)行“畫像”——具體地知道這個用戶到底有什么需求。比如閱讀網(wǎng)站，可能就要了解用戶的興趣、喜歡的風(fēng)格等。這時候?qū)嶋H上，對每一個維度，就要對用戶進(jìn)行分類了。比如，作品的風(fēng)格有哪幾類？什么樣的人喜歡這個作品的風(fēng)格？也就是，在現(xiàn)代社會，有了大數(shù)據(jù)以后，自然就要進(jìn)行分類，所以，新課標(biāo)希望將這個內(nèi)容放進(jìn)來。但是，二維數(shù)據(jù)的分組（分類）是很難的，學(xué)生的能力要求也不夠，所以，新課標(biāo)新增的是一維數(shù)據(jù)，也就是一組數(shù)的分組。一維數(shù)據(jù)的分組要遵循“組內(nèi)差不多，組間差得多”的原則，那么，怎么實現(xiàn)這個原則？實際上，沒有絕對統(tǒng)一的辦法。新課標(biāo)提供了一個傳統(tǒng)的方法，即組內(nèi)離差平方和最小的方法——這實際上是統(tǒng)計與概率領(lǐng)域十分重要的最小二乘法（一維數(shù)據(jù)的均值、二維數(shù)據(jù)的線性回歸方程都是由它得到的）的體現(xiàn)。可見，選這個內(nèi)容就是因為學(xué)生未來真的需要它。所以，新課標(biāo)的課程內(nèi)容選擇特別關(guān)注學(xué)生的未來發(fā)展。

再來看第二個內(nèi)容——箱線圖、四分位數(shù)。過去，拿到一組數(shù)據(jù)，一般是求均值、方差。但是，只有均值、方差，并不能完全反映一組數(shù)據(jù)的整體分布。在數(shù)據(jù)分布比較正態(tài)的情況下，只要均值、方差定了，數(shù)據(jù)的整體狀況就有了，刻畫百分之多少的數(shù)據(jù)也都是很清楚的。但問題是，生活中的數(shù)據(jù)不一定是正態(tài)的，偏態(tài)的數(shù)據(jù)很多。比如，學(xué)生的考試成績一般都是偏態(tài)的。再者，即使數(shù)據(jù)是正態(tài)的，如果沒有分布的圖像，只有均值和方差，要初中生直觀地感受到數(shù)據(jù)的分布，也是很困難的。而新課標(biāo)增加的箱線圖，就可以很好地反映數(shù)據(jù)的分布。箱線圖中有中位數(shù)，還有25%、75%這兩個四分位數(shù)，此外有最高值、最低值，相當(dāng)于100%、0%的數(shù)。這樣，就相當(dāng)于把一組數(shù)據(jù)用五個點分成四段，清清楚楚。所以，通過箱線圖一下子就能看出數(shù)據(jù)的分布狀況。我想，這一點修改可能也表明，新課標(biāo)對整個統(tǒng)計的認(rèn)識發(fā)生了變化。也就是說，教統(tǒng)計不只要教數(shù)據(jù)的具體的特征數(shù)值（如均值、方差等），更重要的是對整個數(shù)據(jù)的總體把握。

趙維坤：感謝章教授給我們開了個頭，后面還需要您繼續(xù)把脈、指點。章教授結(jié)合具體的課程內(nèi)容，告訴了我們新課標(biāo)在課程目標(biāo)上最重要的一個變化。下面請朱建明主任再給我們指指方向。

朱建明：2021年年初，我們把史寧中校長請到南京，給我們做了關(guān)于新課標(biāo)的一個培訓(xùn)。史校長特別提出，新課標(biāo)在兩個方面有了比較大的變化：一個是代數(shù)推理，另一個是幾何作圖。我個人的認(rèn)識是，這兩個方面其實都是推理能力或者說推理素養(yǎng)培養(yǎng)的重要載體。所以從這個角度來講，以素養(yǎng)為導(dǎo)向的新課標(biāo)應(yīng)該說對教育教學(xué)提出了更高的要求。

這里，我想就代數(shù)推理談一些想法。我們南京的初中數(shù)學(xué)團(tuán)隊領(lǐng)銜了一個課題，就是代數(shù)推理的研究。推理是數(shù)學(xué)基本的思維方式，也是思維過程。推理包括合情推理和演繹推理。在以往的數(shù)學(xué)教學(xué)中，推理（特別是演繹推理）應(yīng)該說在圖形與幾何這一領(lǐng)域中體現(xiàn)得更為充分，而相對來說在數(shù)與代數(shù)這一領(lǐng)域中體現(xiàn)得還不夠充分——當(dāng)然，運算也是推理?，F(xiàn)在，我們將代數(shù)推理分成兩個方面：一是運算推理，二是命題推理。對運算推理，不管是新課標(biāo)還是舊課標(biāo)，都非常重視；而對命題推理，重視程度則是不足的。

我們查閱了一些資料，發(fā)現(xiàn)美國、英國、澳大利亞這些國家或者它們一些州的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，對代數(shù)推理也提出了專門的要求。我們還研究了一些教材。比如，從20世紀(jì)80年代末到21世紀(jì)初這十幾年，南京的一些學(xué)校實驗過一套教材，即著名華人數(shù)學(xué)家項武義先生主編的《中學(xué)數(shù)學(xué)實驗教材》。在這套教材中，有大量的代數(shù)命題推理。這套教材是從結(jié)構(gòu)的觀點出發(fā)編寫的，邏輯上比較嚴(yán)謹(jǐn)——當(dāng)然，也就有一定的難度。我認(rèn)為，使用這套教材的學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是比較好的，或者說是有一些優(yōu)勢的。最為典型的是南京市第一中學(xué)的初中，在使用這套教材期間，他們在南京市中考數(shù)學(xué)考試中，連續(xù)十多年取得了很好的成績。

我也做過高中教研員。在高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中，有大量的代數(shù)命題推理。比如函數(shù)的單調(diào)性證明、奇偶性證明，還有導(dǎo)數(shù)中的一些證明、數(shù)列中的一些證明、復(fù)數(shù)中的一些證明。那么，從初高銜接的角度來講，初中在代數(shù)命題推理這一方面，從內(nèi)容到教學(xué)確實都存在著很大的缺失。

現(xiàn)在，新課標(biāo)在代數(shù)推理方面，明確地提出了兩個基本事實：一個是相等關(guān)系的傳遞性，另一個是等式的基本性質(zhì)（以及不等式的基本性質(zhì)）。依據(jù)這兩個基本事實，可以對一些相關(guān)的內(nèi)容進(jìn)行一些代數(shù)推理（特別是命題推理）的教學(xué)，并開展一些研究。我們在這個方面已經(jīng)開設(shè)了十幾節(jié)課，感覺到非常有意思：在控制好難度、精選好內(nèi)容的情況下，應(yīng)該說能達(dá)到非常好的效果。

舉一個例子，學(xué)完不等式的基本性質(zhì)后，我們讓學(xué)生比較一些式子的大小，并且說明理由。比如，比較a+3與a的大小，要學(xué)生利用不等式的基本性質(zhì)來說明得到的結(jié)論。再如，比較b-1與b、c-2與c+1等的大小。這是一種，還有一種就是已知一定的條件，比較式子的大小，并且說明理由。比如，已知a＜1，比較a和a+12的大小。

學(xué)生經(jīng)過演繹推理三段論的訓(xùn)練后，應(yīng)該說還是能很好地掌握的。當(dāng)然，這里有方法上的一些選擇，如比較法、分析法、綜合法等。對此，我們又形成了一些結(jié)論：使用綜合法作為主流的方法，而將比較法作為輔助的方法，分析法作為工具（分析的工具）來使用。當(dāng)然，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中滲透代數(shù)命題推理，要把控好難度：三步（三個推斷）以內(nèi)，學(xué)生完全是可以掌握的。而且，對代數(shù)推理進(jìn)行方法上的學(xué)習(xí)，對后面幾何證明的學(xué)習(xí)有非常大的促進(jìn)作用。

趙維坤：謝謝！下面請錢德春主任接著談?wù)勥@個話題。

錢德春：好的。其實，關(guān)于這個話題，我在2017年和2020年都寫過文章，發(fā)表在《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》上。剛才，朱主任講到，代數(shù)推理有它的內(nèi)涵。我覺得，它可以分為三個方面。一個是代數(shù)運算，它本身就是推理。什么叫演繹推理？就是從條件出發(fā)，根據(jù)定義、基本事實、定理、公式、法則等得到結(jié)論。代數(shù)運算就是這樣做的。第二個是代數(shù)變形。很多問題的解決都需要代數(shù)變形。代數(shù)運算一般指向結(jié)果的最簡化，而代數(shù)變形是將代數(shù)式向特定的代數(shù)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化。再一個就是剛才朱主任說的一些命題的證明。所以，我想講的第一點是，不要把代數(shù)推理神秘化。當(dāng)然，也不要把代數(shù)推理窄化，不要以為只有證明才是推理。

我想講的第二點是，要把代數(shù)推理的教學(xué)融入日常的課堂中。以“一元二次方程根的判別式”為例。比如方程x2+3x+1=0，它的判別式算出來等于5，大于0，所以它有兩個不相等的實數(shù)根。這個過程看上去很簡單，但是如果把它分解的話，就是一個標(biāo)準(zhǔn)的三段論。大前提是這樣一個一般的命題：一般的一元二次方程在判別式大于0時，有兩個不相等的實數(shù)根。小前提是，具體的一元二次方程x2+3x+1=0的判別式大于0。結(jié)論是，這個方程有兩個不相等的實數(shù)根。這個過程就是典型的演繹推理——從一般到特殊的推理。我們講課時，可以適當(dāng)?shù)貪B透這種思想。

除了代數(shù)推理，新課標(biāo)還強(qiáng)調(diào)了什么？我關(guān)注到的是概念產(chǎn)生的必要性、概念名稱的合理性、概念定義的科學(xué)性。我們聽課也好，教學(xué)也好，可能都沒有很好地關(guān)注到這些內(nèi)容。

比如，一元二次方程概念的教學(xué)，蘇科版初中數(shù)學(xué)教材給了一些現(xiàn)實生活中的例子，然后讓學(xué)生列方程；列了以后，沒有整理，就讓學(xué)生歸納這些方程有什么共同的特點；最后得到“它們含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣的方程就叫一元二次方程”。這樣的教學(xué)好像也可以，但是我們應(yīng)該考慮：學(xué)生列出方程之后，最關(guān)心什么？我認(rèn)為，他們可能并不關(guān)心概念是什么；對于根據(jù)實際問題列出的方程，他們關(guān)心的是怎么解、答案是多少。其中有一個方程是x2=2，這個方程開平方好解。還有一個增長率問題，列出的方程是（1+x）2=1.96，這個方程開平方也可以解。但是還有一些方程，學(xué)生就沒辦法解了。遇到問題后，學(xué)生就會想：能不能把它轉(zhuǎn)化為我學(xué)過的方程？但是，他們只學(xué)過一元一次方程、二元一次方程，一下子不能轉(zhuǎn)化，也就產(chǎn)生認(rèn)知沖突了。這時，他們才覺得這個方程有研究、學(xué)習(xí)的價值。這就是概念產(chǎn)生的必要性。

再來看概念名稱的合理性。其實，這里的方程叫什么方程，教師不講，而直接問學(xué)生，學(xué)生也會知道：叫一元二次方程。如果教師繼續(xù)問：為什么叫一元二次方程？學(xué)生就會把初一學(xué)過的一元一次方程、二元一次方程拿來比較，發(fā)現(xiàn)：“一元”“二元”指未知數(shù)的個數(shù)，“一次”指未知數(shù)的次數(shù)。

還有概念定義的科學(xué)性。究竟什么叫一元二次方程呢？可能“學(xué)優(yōu)生”不會有問題，但中等生和“學(xué)困生”就有問題了。他們會機(jī)械地模仿：只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)為2的方程。這個定義是有問題的：縮小了概念的內(nèi)涵，擴(kuò)大了概念的外延。舉個例子：x2+3x+1=0這個方程，未知數(shù)的次數(shù)是2嗎？顯然，3x這一項未知數(shù)的次數(shù)是1。由此，可逐步完善定義，得到：未知數(shù)的最高次數(shù)為2。

當(dāng)然，還有一致性的問題，我就不多說了?，F(xiàn)在的課堂上，如果教師不講，學(xué)生往往也不會提出這些疑問。因為他們習(xí)慣了“你講我聽”，聽懂了以后考試有用，而不去思考概念產(chǎn)生的必要性，不去研究它的合理性、科學(xué)性。

再如，圓周角概念的教學(xué)，很多教師都先引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)圓心角的概念；再在有圓心角的圖上畫幾個圓周角，讓學(xué)生歸納這些圓周角有什么共同的特點；最后說，頂點在圓周上，兩邊與圓周相交的角，叫圓周角。這樣的教學(xué)好像也沒有毛病，但是對學(xué)生來說，還是不知道為什么要學(xué)習(xí)圓周角。

其實，我們可以給每個學(xué)生發(fā)一張紙，紙上印好一個圓周，標(biāo)出一段圓弧；然后請學(xué)生在平面內(nèi)任意取點，再把這個點和圓弧的兩個端點連起來，量一量連線的夾角，發(fā)現(xiàn)大家量出的角的大小不一樣；接著讓學(xué)生把點取在圓周上，發(fā)現(xiàn)即使各人所取點的位置不一樣，量出的角的大小也基本上是一樣的。由此，學(xué)生就能發(fā)現(xiàn)這樣的角具有“變中不變”的特性，從而覺得有必要去研究。

當(dāng)然，還有合理性問題、科學(xué)性問題。這樣的角叫什么角？圓周角。為什么叫圓周角？我們前面學(xué)了頂點在圓心上的角叫圓心角，那么頂點在的圓周上的角就叫圓周角。進(jìn)而，什么叫圓周角？學(xué)生可能會說：頂點在圓周上的角叫圓周角。這個定義顯然不對，我們可以舉一些反例來精致這個概念，使定義更準(zhǔn)確。

趙維坤：好的，謝謝！剛才，朱主任和錢主任都提到了代數(shù)推理。根據(jù)我的了解，潘小梅老師也很關(guān)注代數(shù)推理。下面歡迎潘老師發(fā)表她的見解。

潘小梅：好的。我是這樣想的。推理是數(shù)學(xué)的三大基本思想之一，是一種思維方式。之前，我們按照推理的不同形式，把它分成歸納推理、類比推理、演繹推理。歸納、類比統(tǒng)稱為合情推理，是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺進(jìn)行推斷——我發(fā)現(xiàn)，新課標(biāo)已經(jīng)把“合情推理”這個詞去掉了，而用“推斷”這個詞來代替。演繹是從已有的事實，包括定義、公理、定理和確定的規(guī)則（如運算的定義、法則）出發(fā)，按照邏輯推理的法則進(jìn)行證明和計算。所以，我認(rèn)為，代數(shù)推理不是新的東西，只是對推理用另外一種方式分類得到的結(jié)果，是相對于幾何推理而言的。代數(shù)推理的內(nèi)容是以“數(shù)與代數(shù)”為主的——當(dāng)然，它在幾何中也有運用，但同時也運用了“數(shù)與代數(shù)”的工具。幾何推理關(guān)注的是圖形數(shù)量和位置的變化，相對而言，代數(shù)推理更加關(guān)注數(shù)與式的變化。所以，我覺得，新課標(biāo)把“代數(shù)推理”這個詞提出來，更像是給它正名。就是說，它原來其實也是存在的，現(xiàn)在要加以突出，來引起大家的重視。

那么，要加強(qiáng)代數(shù)推理的教學(xué)，是不是也可以從推理的形式上進(jìn)行？我們剛才講推理的形式有歸納、類比，還有演繹?！皵?shù)與代數(shù)”的內(nèi)容，比如剛才朱老師講到的等式的基本性質(zhì)、不等式的基本性質(zhì)，此外還有分式的基本性質(zhì)、根式的基本性質(zhì)等，這些代數(shù)性質(zhì)在目前的教材中普遍采取從特殊到一般、從具體到抽象的歸納方式獲得。所以，歸納推理其實在代數(shù)教學(xué)中廣泛存在。還有類比推理，我們可以類比分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)得到分式的基本性質(zhì)，類比異分母分?jǐn)?shù)的加減法則得到異分母分式的加減法則。還有演繹推理，這里面更多的就是數(shù)的運算和代數(shù)式的變形。我覺得，要特別重視各步運算的邏輯關(guān)系和代數(shù)變形的依據(jù)。

此外，我認(rèn)為，要加強(qiáng)代數(shù)推理的話，還要特別重視解題步驟的訓(xùn)練（明確每一步的道理、依據(jù)）。比如解方程，去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1，每一步其實都是一個代數(shù)推理的過程。把解題步驟做好了，解題過程中的邏輯就更加清楚了。而且，如果在剛開始學(xué)習(xí)時，能按照這樣的步驟進(jìn)行訓(xùn)練，那么熟練了以后，實際上就形成了一種習(xí)慣。就像我們剛開始學(xué)習(xí)駕駛汽車時都需要有一些步驟，但是到后來就把這些動作全部連在一起了。

這里，順便提一個我還在思考的問題。我在新課標(biāo)的“教學(xué)建議”部分，看到相比于舊課標(biāo)突出的一點，就是“整體把握教學(xué)內(nèi)容”。其中的第一小點是“注重教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化”，里面有這樣的一句話：“通過合適的主題整合教學(xué)內(nèi)容，幫助學(xué)生學(xué)會用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題……”我就在思考：為什么要提這三個眼光？怎樣理解這三個眼光？我是這樣理解的：

“整體的眼光”也就是說，一節(jié)課不是孤立的，我們要把它放在整個單元中來研究。所以，我覺得，“整體的眼光”可能是一種教學(xué)的視角。第二個，“聯(lián)系的眼光”就是要建立知識之間、知識與生活之間的聯(lián)系，使得知識結(jié)構(gòu)化、方法系統(tǒng)化。所以，我覺得，“聯(lián)系的眼光”可能是一種數(shù)學(xué)的視角。第三個，“發(fā)展的眼光”就是要著眼于核心素養(yǎng)，也就是說，我們教學(xué)的不是一節(jié)課的知識內(nèi)容（它只是一個載體），而是內(nèi)容所蘊含的思想方法和學(xué)習(xí)內(nèi)容的過程中獲得的經(jīng)驗，因為是把所學(xué)的知識內(nèi)容全部忘掉以后留下的思想和經(jīng)驗，成就了一個人的發(fā)展。所以，我覺得，“發(fā)展的眼光”可能是一種學(xué)生的視角。這樣理解的話，這三個眼光也就指向我們常說的理解教學(xué)、理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生三個視角。

此外，我又進(jìn)一步思考?！罢w的眼光”是對一個事物從整體上去看，也可以理解成用“望遠(yuǎn)鏡”去看一個事物。那么，“聯(lián)系的眼光”可以理解成用“顯微鏡”去看事物之間的一些聯(lián)系。而“發(fā)展的眼光”則可以理解成從事物變化的角度去看。

對此，我也做過具體的課例研究。比如，《直線和圓的位置關(guān)系》這節(jié)課，用“整體的眼光”看，所有幾何圖形的位置關(guān)系研究都是一個從定性描述到定量刻畫的過程；用“聯(lián)系的眼光”看，直線和圓的位置關(guān)系是按照公共點的個數(shù)分類的，而直線和直線的位置關(guān)系也是按照公共點的個數(shù)分類的，所以，可以借助直線和直線的位置關(guān)系來學(xué)習(xí)直線和圓的位置關(guān)系，而不是像通常一樣，借助點和圓的位置關(guān)系來學(xué)習(xí)直線和圓的位置關(guān)系；用“發(fā)展的眼光”看，要研究幾何圖形的位置關(guān)系，和研究其他所有物體的相對位置關(guān)系一樣，都可用控制變量的方法。

趙維坤：謝謝潘老師！潘老師實際上給我們提供了一種學(xué)習(xí)新課標(biāo)的方法，就是在研讀新課標(biāo)時，要看到文本背后所蘊含的內(nèi)容。這樣，我們在教學(xué)實施過程中，才能夠不偏離方向。劉東升老師很關(guān)注一致性的問題，這個問題其實和推理也有一定的關(guān)系。下面請劉東升老師說一說。

劉東升：好的。我就結(jié)合最近這個暑期做的一些關(guān)于新課標(biāo)的教師培訓(xùn)，以及一些實踐，談?wù)勎业睦斫?。這個暑期，我們做了兩個方面的專題培訓(xùn)：一個是教學(xué)中的一致性，另一個是解題教學(xué)中序的思想。

新課標(biāo)中提到核心素養(yǎng)的一致性、階段性、整體性。我選了一致性來研究，就是教學(xué)中從新授課到習(xí)題課，有哪些地方可以體現(xiàn)一致性。這里很難詳細(xì)展開，我就結(jié)合剛才幾位專家談的代數(shù)推理來談——它們之間有或多或少的關(guān)聯(lián)。為什么新課標(biāo)要突出代數(shù)推理？因為代數(shù)教學(xué)整體上的一個特點是更偏重于程序化的運算——其實，在20世紀(jì)80年代，北京師范大學(xué)曹才翰教授就已經(jīng)認(rèn)識到這個問題了。所以，為了適當(dāng)糾偏代數(shù)的程序化運算，新課標(biāo)要突出代數(shù)推理。突出代數(shù)推理，可以使代數(shù)教學(xué)在推理（尤其是演繹推理）素養(yǎng)培養(yǎng)方面很好地和幾何教學(xué)進(jìn)行銜接——這個就可以看成一種一致性。平面幾何學(xué)習(xí)，常常是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個分化點。分化的成因非常復(fù)雜，相關(guān)的變量很多，但是一個重要的原因可能是，之前的代數(shù)學(xué)習(xí)過于側(cè)重程序化的運算，通過機(jī)械的“刷題”和超量的訓(xùn)練，確實能達(dá)到熟能生巧的效果，而幾何學(xué)習(xí)是完全不同的思維風(fēng)格，即側(cè)重于要素分析、邏輯推理——當(dāng)然，代數(shù)學(xué)習(xí)也是有比較靈活的一面的，尤其是對式子結(jié)構(gòu)的觀察與轉(zhuǎn)化，將其與看上去不相關(guān)的那些極具一般性的代數(shù)公式、運算性質(zhì)聯(lián)系起來，只是與幾何學(xué)習(xí)相比，可能沒有那么靈活。

再來談?wù)勑虻乃枷?。新課標(biāo)在“教學(xué)建議”“教材編寫建議”等多個部分都談到要“引發(fā)學(xué)生思考”。其實，引發(fā)學(xué)生思考的關(guān)鍵，就在于素材或問題呈現(xiàn)的順序，也就是，哪個材料（問題）先出現(xiàn)，哪個材料（問題）后出現(xiàn)。這肯定是與教學(xué)方式、教學(xué)技藝有關(guān)的。有時，材料鋪墊的密集程度可能要高一點；有時，問題呈現(xiàn)又要更具有挑戰(zhàn)性。

這個序的選擇，在新授課中肯定是存在的，而在習(xí)題課中可能更需要加強(qiáng)。我在學(xué)習(xí)新課標(biāo)的時候，有一個很強(qiáng)烈的觀感：與一線教學(xué)形成巨大反差的是，新課標(biāo)對習(xí)題課，或者說解題教學(xué)，談得不是很多。而初中數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)實是，解題教學(xué)占比很大，甚至可能達(dá)到一半的課時比例。所以，把新課標(biāo)的一些理念、方法體現(xiàn)在解題教學(xué)中，是很重要的。而且，對新授課，將來還有教材跟進(jìn)，教師可以從教材中選取一些材料和問題。但是，對大量的習(xí)題課，教師怎么給學(xué)生提供材料和問題？怎么體現(xiàn)新課標(biāo)中的選題理念、教學(xué)思想？習(xí)題教學(xué)怎樣才能引發(fā)學(xué)生思考？因此，這個序的選擇，是值得我們好好研究的。比如，對一個比較難的題目，是先呈現(xiàn)，等學(xué)生答不出來，再做比較強(qiáng)的教學(xué)干預(yù)呢？還是先引導(dǎo)學(xué)生回顧一個基本問題（如基本圖形及其性質(zhì)），再對這個問題做一些變式，或者再讓學(xué)生圍繞這個問題做一些開放式的討論，最終讓學(xué)生在這些鋪墊的基礎(chǔ)上順利地解決那個比較難的題目？如果學(xué)生能在鋪墊式回顧復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上獨立解決比較難的題目，那么教師不但完成了解題教學(xué)的任務(wù)，更重要的是在這個過程中，培養(yǎng)了學(xué)生的思考能力，激發(fā)了學(xué)生的解題自信。這個話題也很復(fù)雜，雖然我們這個暑期研究了好幾次，但是我感覺，還有很多需要深入研究的地方。

趙維坤：好的。劉老師拋出了很好的研究課題，給了我們很多啟發(fā)，也告訴我們研讀新課標(biāo)的目的是走進(jìn)課堂，在課堂上落實。在數(shù)學(xué)課堂上，特別是新時代背景下，德育也是一個很重要的話題。上海的孫琪斌老師在這方面做了很多研究。下面請孫老師分享他的研究成果。

孫琪斌：謝謝！我就借今天早晨給一家報紙的德育專欄寫的一個稿子的草稿，向各位專家匯報一下我的一些思考。

現(xiàn)在有一個非常普遍的現(xiàn)象：學(xué)生到了初中畢業(yè)時，就已經(jīng)失去了繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，喪失了終身學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。面對這樣的現(xiàn)象，我們要不要反思一下：我們還能心安理得地認(rèn)為自己是一個合格甚至優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師嗎？對學(xué)生而言，成績和分?jǐn)?shù)、思維和方法、興趣和自信、品德和素養(yǎng)，哪些更重要？

我很認(rèn)同剛才劉東升老師的觀點：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開解題。但是，我感覺到，現(xiàn)在學(xué)生也說“刷題”，家長也說“刷題”，一些教師和教研員在上課和評課時也把“刷題”當(dāng)作一種時尚。面對這樣的現(xiàn)象，我們要不要反思一下：我們內(nèi)心深處期望的數(shù)學(xué)教育真的是現(xiàn)在這個樣子嗎？解題教學(xué)的過程能不能培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑問難的品質(zhì)？數(shù)學(xué)教學(xué)的過程能不能培養(yǎng)學(xué)生專注和堅持的品質(zhì)？

我在看新課標(biāo)的時候，專門關(guān)注了這方面的論述。比如“課程性質(zhì)”中提到的：“數(shù)學(xué)在形成人的理性思維、科學(xué)精神和促進(jìn)個人智力發(fā)展中發(fā)揮著不可替代的作用?！睂Υ?，一線教師要真正地理解數(shù)學(xué)的“不可替代”體現(xiàn)在哪里，然后在課堂教學(xué)中讓學(xué)生也認(rèn)識到這一點。再如“課程性質(zhì)”中提到的：“激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，養(yǎng)成獨立思考的習(xí)慣和合作交流的意愿……增強(qiáng)社會責(zé)任感，樹立正確的世界觀、人生觀、價值觀。”解釋“三會”中的數(shù)學(xué)思維時提到的“發(fā)展質(zhì)疑問難的批判性思維，形成實事求是的科學(xué)態(tài)度，初步養(yǎng)成講道理、有條理的思維品質(zhì)，逐步形成理性精神?！边@些實際上都是“立德樹人”的“德”的體現(xiàn)。下面稍微具體地談一談。

談到數(shù)學(xué)的“不可替代”，我認(rèn)為在理性思維（精神）的基礎(chǔ)上，還可以有定量意識與計算思維、邏輯意識和推理論證、統(tǒng)計意識和概率思維以及符號化意識和公理化思想等。這些可能是其他學(xué)科不如數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)注和強(qiáng)調(diào)的，因而是數(shù)學(xué)學(xué)科“不可替代”的東西。

而M.克萊因和米山國藏都認(rèn)為，數(shù)學(xué)首先是一種精神的體現(xiàn)。談到數(shù)學(xué)的精神，我認(rèn)為，除了理性的精神，還有探究的精神、執(zhí)著的精神、質(zhì)疑的精神、實證的精神等。關(guān)于數(shù)學(xué)的精神，應(yīng)該在數(shù)學(xué)教學(xué)，尤其是解題教學(xué)的過程中，進(jìn)行一些潤物細(xì)無聲的滲透。

下面，重點談?wù)劺硇运季S（精神）。先看新課標(biāo)中還有哪些表述。其一，在描述推理能力時，談到它“有助于逐步養(yǎng)成重論據(jù)、合乎邏輯的思維習(xí)慣，形成實事求是的科學(xué)態(tài)度與理性精神”。其二，在描述創(chuàng)新意識時，談到它“有助于形成獨立思考、敢于質(zhì)疑的科學(xué)態(tài)度與理性精神”。其三，在談到教學(xué)內(nèi)容與核心素養(yǎng)的關(guān)聯(lián)時，指出對核心素養(yǎng)的感悟要由感性上升為理性。其四，在解釋行為動詞“感悟”時，指出感悟的表現(xiàn)就是“獲得初步的理性認(rèn)識”。與此同時，新課標(biāo)始終沒有對理性精神做一個比較清晰的界定。

而我對理性精神有一個界定：在發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的過程中（包括離開學(xué)校之后做事的過程中），能夠自覺地運用數(shù)學(xué)的方式進(jìn)行有邏輯的思考，習(xí)慣于運用數(shù)據(jù)和事實進(jìn)行有證據(jù)的表達(dá)和交流。在此基礎(chǔ)上，我認(rèn)為，理性思考首先是有序思考?！坝行颉本腕w現(xiàn)在面對一個問題，教師是如何思考的，學(xué)生是如何思考的；首先想到了什么，其次想到了什么；為什么要這樣思考，還可以怎樣思考。這一點和數(shù)學(xué)解題教學(xué)的關(guān)系是非常密切的。其次，理性思考也是有據(jù)思考?！坝袚?jù)”就體現(xiàn)在講證據(jù)、重邏輯、求實證。具體來說，就是代數(shù)計算、幾何證明等都強(qiáng)調(diào)步步有據(jù)、邏輯連貫，統(tǒng)計分析則強(qiáng)調(diào)用數(shù)據(jù)來說話。再次，理性思考還是有趣思考?！坝腥ぁ本腕w現(xiàn)在進(jìn)入思維狀態(tài)后會發(fā)現(xiàn)不同的想法，在分享的過程中就會覺得很有趣。

這里，我舉今年上海市中考的第25題為例。該題的第（1）小題為：

如圖1，在平行四邊形ABCD中，P為邊BC的中點，AP交BD于點E，連接CE。

（1） 若AE=CE，① 求證：平行四邊形ABCD是菱形；② 如果AB=5，AE=3，求線段BD的長。

很多學(xué)生都被這一小題卡住了，不僅是學(xué)習(xí)基礎(chǔ)不好的學(xué)生，還有一些學(xué)習(xí)成績很好（一模、二?？嫉?40分以上）的學(xué)生。學(xué)生為什么會被卡??？被卡在哪里了？在訪談時，我發(fā)現(xiàn)，對于中點，學(xué)生只按照他們習(xí)慣的方式來思考，而沒有想過一般應(yīng)該怎樣思考。實際上，已知中點時，可以形成如圖2所示的一種理性思考。所以，從思維層面進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，應(yīng)該加強(qiáng)一些。

還是這一小題，已知兩條線段相等時，應(yīng)該怎樣進(jìn)行理性的思考？要證菱形時，一般是怎樣思考的？這其實就是新課標(biāo)提及的一般觀念。這些東西，實際上是很多一線教師所缺乏的。

趙維坤：謝謝孫老師！孫老師給了我們很多的啟發(fā)，特別是在立德樹人的落實方面。其實，新一輪課程改革的主要方向就是讓立德樹人真正落地。所以，孫老師的研究還是很有價值的。石樹偉老師，下面請你再和我們聊聊核心素養(yǎng)等重要話題。

石樹偉：好的。我覺得新課標(biāo)最大的一個變化就是將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)凝練為“三會”，我就想談?wù)勎覍Α叭龝钡睦斫?。我覺得，將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)凝練為“三會”非常好，好在這樣幾個方面：

第一個方面是，“三會”的表述體現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的大眾性。大家知道，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)有六條，包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等。這六條核心素養(yǎng)的專業(yè)性非常強(qiáng)，不是數(shù)學(xué)專業(yè)的一般人可能難以理解。而且，也不是所有人都能形成這六條核心素養(yǎng)的。比如數(shù)學(xué)建模，大家知道，大學(xué)里面有專門的數(shù)學(xué)建模課程。而新課標(biāo)把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)凝練成“三會”，則非常通俗易懂。而且，這個“三會”是所有人都應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)。所以，我覺得，它是大眾素養(yǎng)、公民素養(yǎng)，符合義務(wù)教育的特征。

第二個方面是，“三會”的表述體現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的貼切性。首先，“三會”精簡了條數(shù)，變成了三條，體現(xiàn)了“核心”的意蘊。高中的六條核心素養(yǎng)，和大家平常所理解的核心還是有差距的：六條怎么能說是核心呢？其次，數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)語言這樣的“三會”與一般意義、平常理解的素養(yǎng)是一致的，體現(xiàn)了“素養(yǎng)”的意蘊。而數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等更像是一種能力，是關(guān)鍵能力。再次，數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)語言體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的特征。而抽象、推理、模型并不是數(shù)學(xué)學(xué)科所獨有的。比如，物理學(xué)科也有抽象，也有推理，也有模型。

第三個方面是，“三會”的表述體現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)性。義務(wù)教育階段對學(xué)生的素養(yǎng)要求不能太高，應(yīng)該有基礎(chǔ)性。比如，數(shù)學(xué)眼光聚焦于抽象的數(shù)量關(guān)系和空間形式，雖然主要表現(xiàn)為數(shù)學(xué)抽象，但不完全等同于數(shù)學(xué)抽象，而其實相當(dāng)于數(shù)學(xué)抽象的門檻，就是一種從數(shù)學(xué)的角度去看問題的眼光。再如，數(shù)學(xué)語言雖然主要表現(xiàn)為數(shù)學(xué)建模，但還達(dá)不到數(shù)學(xué)建模的要求，而只是數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)。大家知道，數(shù)學(xué)建模其實包括模型建立、模型求解、模型檢驗、模型完善這樣一個完整的過程。要完成這樣一個完整的過程，對學(xué)生的素養(yǎng)（能力）要求還是非常高的。而數(shù)學(xué)語言其實僅僅是模型建立這一塊，就是用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)出數(shù)量之間的關(guān)系。

趙維坤：好的。石老師站在一個更高的層面，讓我們看到了核心素養(yǎng)的基本表達(dá)在義務(wù)教育階段和高中階段之間的差異性。確實，“三會”的表達(dá)更能夠反映出義務(wù)教育的特點。關(guān)于核心素養(yǎng)更多的思考，我們來聽聽楊麗娟校長的發(fā)言。

楊麗娟：大家好！作為一線教師，我最關(guān)心的就是怎么從內(nèi)容到教學(xué)，或者說怎么在自己的課堂上既順利地傳授知識，又很好地培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，從而體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程的育人價值。下面，結(jié)合我的教學(xué)經(jīng)驗，簡單地講一講我對新課標(biāo)的一些粗淺的理解。

根據(jù)新課標(biāo)的表述，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有一致性、階段性和整體性。剛剛劉東升老師談到了一致性，這里我再談?wù)勲A段性。從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)來看，初中階段不同于小學(xué)階段：小學(xué)階段側(cè)重于經(jīng)驗的感悟，初中階段就要開始側(cè)重于概念的理解、定理的論證等。所以，初中階段，數(shù)學(xué)的抽象性、邏輯性開始逐步增強(qiáng)，難度也就逐步增大。那么，如何培養(yǎng)初中生的“三會”核心素養(yǎng)？我的經(jīng)驗是，盡量讓數(shù)學(xué)課更有生活味，從而讓學(xué)生更容易接受、理解。也就是，在課堂教學(xué)中，更多地關(guān)注社會生活中與數(shù)學(xué)相關(guān)的一些信息，在解決這樣的數(shù)學(xué)問題的過程中，幫助學(xué)生克服困難，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。因為初中階段，尤其是初二年級，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個分水嶺，很多學(xué)生在這一階段對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生了恐懼的心理，覺得自己學(xué)不好。那么，我們就要想方設(shè)法提供學(xué)生感興趣的元素，讓他們覺得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是有趣、有用的。而且，如果我們能在數(shù)學(xué)教學(xué)中充分利用生活信息，那么必然也可以發(fā)展學(xué)生的“三會”核心素養(yǎng)——簡單來說，就是會觀察、會思考、會表述。

首先，我們可以選取一些生活素材，幫助學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界。如果能從社會生活和學(xué)生已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗等方面入手，選取盡可能貼近學(xué)生現(xiàn)實的教學(xué)素材，那么，相應(yīng)的教學(xué)任務(wù)也就比較貼近學(xué)生的年齡特征和認(rèn)知特點了。這樣也就利于學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實情境中抽象出數(shù)學(xué)知識與方法的過程，幫助學(xué)生發(fā)展抽象能力、推理能力。

具體來說，從初一進(jìn)校開始，首先學(xué)習(xí)“有理數(shù)”，這對大多數(shù)學(xué)生來說問題不大，因為其還是建立在小學(xué)學(xué)習(xí)的數(shù)與運算的理解上的。之后，學(xué)習(xí)整式的有關(guān)內(nèi)容——首先學(xué)習(xí)單項式、多項式等概念，然后學(xué)習(xí)同類項的概念，接著進(jìn)行一些相關(guān)的計算。而在學(xué)習(xí)同類項的概念時，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生會卡殼。其實，我們可以借助生活中一個簡單的例子——買早點的問題，很通俗地解釋同類項的概念。比如，一家三口，爸爸要吃兩個包子、一根油條、一杯豆?jié){，媽媽要吃一個包子、一根油條、一杯豆?jié){，小明要吃一個包子、一杯豆?jié){，提問題給小明：讓你去買，該如何買？這時，小明利用生活經(jīng)驗，就會按照包子、油條、豆?jié){不同的種類進(jìn)行計算（統(tǒng)計），順利地知道應(yīng)該買四個包子、兩根油條、三杯豆?jié){。在這個過程中，學(xué)生就利用了生活經(jīng)驗：包子、油條、豆?jié){就相當(dāng)于數(shù)學(xué)中的同類項概念，計算買多少的數(shù)量則類比于數(shù)學(xué)中的合并同類項。這樣一來，學(xué)生就覺得很有趣，生活經(jīng)驗和數(shù)學(xué)知識可以緊密地聯(lián)系在一起。

其次，我們可以設(shè)計一些生活情境問題，幫助學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界。如果能圍繞一個主題，由簡單到復(fù)雜，開展一系列層次性的探究，引導(dǎo)學(xué)生一步一步、沉浸式地解決問題，那么必然可以培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)態(tài)度和理性精神，發(fā)展他們的數(shù)學(xué)思維。

以我曾經(jīng)上過的一節(jié)專題研究課——《軸對稱視覺下線段和的最小值問題》為例。初中數(shù)學(xué)中有一個被稱為“牧童飲?！保ɑ颉皩④婏嬹R”）的經(jīng)典問題：牧童從放牛的地方出發(fā)，先到河邊讓牛飲水，再回家，求其所走的最短路程。這個問題學(xué)生學(xué)過之后都會解決：建立一個簡單的數(shù)學(xué)模型，即在一條定直線上找一個動點，使其到定直線同側(cè)的兩個定點的距離之和最小，由此不難想到，作一個定點關(guān)于定直線的對稱點，轉(zhuǎn)化為到定直線異側(cè)的兩個定點的距離之和最小的問題，從而可以利用“兩點之間線段最短”解決。在此基礎(chǔ)上，我設(shè)計了變式問題，引導(dǎo)學(xué)生開展一系列層次性的探究。比如，我設(shè)計了一個有一定難度的變式問題：一片草地的邊緣和一條河形成∠AOB，∠AOB內(nèi)部的一點P處栓著一頭牛，牧童先牽牛去草地OB上吃草，再牽牛去河OA邊飲水，最后回到點P，請你幫助牧童設(shè)計一個最短路線。這個生活情境問題，讓學(xué)生陷入了困境。于是，我引導(dǎo)學(xué)生分析題目中涉及的點哪些是定點、哪些是動點，以及它們之間有怎樣的位置關(guān)系，然后構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。這個問題其實就是，已知平面內(nèi)的一個定點，找兩個動點。學(xué)生慢慢深入，做了知識的延伸和拓展后，就知道要利用兩次對稱，再將兩個對稱點連接起來，從而找到所需要的兩個動點。

再次，我們可以借助一些生活經(jīng)驗，幫助學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界。這里，可以引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷分析、比較的過程，不斷優(yōu)化、完善描述研究對象的數(shù)學(xué)語言，從而充分發(fā)掘?qū)W生數(shù)學(xué)應(yīng)用和生活實踐的潛能。

比如，在初中階段學(xué)習(xí)函數(shù)概念時，學(xué)生常常覺得非常抽象，很難理解。其實，我們可以通過豐富多彩的生活實例，在引導(dǎo)學(xué)生理解事物的運動變化過程時滲透函數(shù)的思想，然后水到渠成地揭示函數(shù)的本質(zhì)?？梢耘e生活中爸爸媽媽到加油站給汽車加油的例子，展示加油表示數(shù)的動態(tài)變化情況，讓學(xué)生觀察什么是不變的、什么是在變的，從而知道：油的單價是不變的，所以是常量；油的數(shù)量和油的總價是在不斷變化的，所以是變量。由此，讓學(xué)生感受到油的數(shù)量和油的總價一一對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。也可以舉用火柴棒搭小魚圖案的例子，讓學(xué)生以表格的形式填空：一條“小魚”用幾根火柴棒？兩條“小魚”用幾根火柴棒？……最后總結(jié)出n條“小魚”用多少根火柴棒。從而感受到火柴棒的根數(shù)與“小魚”的條數(shù)一一對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。還可以舉水波蕩漾的例子，讓學(xué)生觀看一滴水滴到水面后水波層層泛開的視頻，感知圓的面積隨半徑的變大而變大的過程，從而感受到圓的半徑與面積一一對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。通過這些例子，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)一個共性：在一個變化過程中，有兩個變量；當(dāng)一個變量變化時，另一個變量也隨之變化；當(dāng)一個變量確定時，另一個變量也隨之確定。通過生活經(jīng)驗，總結(jié)出幾個例子的共性之后，就可以得到抽象的函數(shù)概念了。

所以，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們需要更多地“從生活中來，到生活中去”，讓學(xué)生通過對生活的觀察、對生活的思考、對生活的表達(dá)做到數(shù)學(xué)的自然生成。

趙維坤：謝謝楊校長！楊校長提出了一個課堂教學(xué)如何落實核心素養(yǎng)培養(yǎng)的問題。

和劉東升老師一樣，我也注意到，新課標(biāo)在“教學(xué)建議”中明確地提出了一條：“選擇能引發(fā)學(xué)生思考的教學(xué)方式?！辈⑶覐娜齻€方面具體闡述：一是“豐富教學(xué)方式”，二是“重視單元整體教學(xué)設(shè)計”，三是“強(qiáng)化情境設(shè)計與問題提出”。這里要提一下的是，我看到一個資料上說，在新課標(biāo)中，“情境”一詞一共出現(xiàn)了138次。我就打開新課標(biāo)找了一下，發(fā)現(xiàn)確實有很多關(guān)于情境的描述，有具體情境、簡單情境、合理情境、問題情境、實際情境、現(xiàn)實情境、真實情境、生活情境、社會情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境、科技情境，等等。

實際上，我們研讀新課標(biāo)最主要的目的是在課堂教學(xué)中落實。對此，我也思考了一下，認(rèn)為主要是三點。第一點，關(guān)注知識本質(zhì)的教學(xué)。數(shù)學(xué)教師應(yīng)該用數(shù)學(xué)的方式教數(shù)學(xué)。比如，一些概念的教學(xué)究竟應(yīng)該怎么做？對此，章建躍先生提出了很多關(guān)于一般觀念的教學(xué)建議。第二點，關(guān)注知識結(jié)構(gòu)的教學(xué)。對于這一點，有幾位專家已經(jīng)闡述或?qū)⒁U述自己的觀點。第三點，關(guān)注學(xué)科融合的教學(xué)。我認(rèn)為，學(xué)科融合既包括跨學(xué)科學(xué)習(xí)，也包括與數(shù)學(xué)文化的融合。新課標(biāo)在“課程性質(zhì)”中明確指出：“數(shù)學(xué)承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分。數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的重要基礎(chǔ)，在社會科學(xué)中發(fā)揮著越來越重要的作用……”因此，提出了跨學(xué)科學(xué)習(xí)（包括以跨學(xué)科學(xué)習(xí)為主的綜合與實踐活動）和數(shù)學(xué)文化滲透的要求。

這里特別要提一下跨學(xué)科學(xué)習(xí)。我看了一下《義務(wù)教育課程方案（2022年版）》。義務(wù)教育階段有9522節(jié)課，其中13%—15%是數(shù)學(xué)課。初中每年課時要比小學(xué)多一點，那么一年應(yīng)該有大約150多節(jié)數(shù)學(xué)課。如果按照10%的跨學(xué)科學(xué)習(xí)來算的話，那么一年應(yīng)該有15—20節(jié)課。這么多跨學(xué)科學(xué)習(xí)的課應(yīng)該怎么上？新課標(biāo)中這方面的課程內(nèi)容（包括具體案例）還不是太多。對此，有幾位專家有觀點要表述，稍后會請他們再做一些闡述。

另外，關(guān)于信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)之間的關(guān)系，新課標(biāo)中有兩個建議特別值得關(guān)注。第一個是，利用數(shù)學(xué)專用軟件等教學(xué)工具開展數(shù)學(xué)實驗。關(guān)于數(shù)學(xué)實驗，江蘇已有很好的研究和實踐，也有很多的案例和經(jīng)驗，可能還需要在實物之外進(jìn)一步發(fā)揮數(shù)學(xué)專用軟件的作用。第二個是，開展線上線下融合的混合式教學(xué)，包括加強(qiáng)線上網(wǎng)絡(luò)空間與線下物理空間的融合。這一方面也值得我們進(jìn)一步去研究。

由于時間關(guān)系，下面我們再重點聊一下跨學(xué)科學(xué)習(xí)（包括綜合與實踐活動）這個話題。對此，孫學(xué)東老師申報了專門的課題，我們先請他來談一談。

孫學(xué)東：好的。但是，我想先談?wù)勎覍诵乃仞B(yǎng)的認(rèn)識。我對新課標(biāo)進(jìn)行了檢索，發(fā)現(xiàn)其中沒有“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)”的提法，而講的是“數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)”“核心素養(yǎng)（在學(xué)科課程中）的主要表現(xiàn)”。結(jié)合剛才石樹偉老師提到的“數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)更多是一種公民素養(yǎng)、大眾素養(yǎng)”，我覺得其原因可能是，課程更多強(qiáng)調(diào)過程和經(jīng)歷，學(xué)科更多強(qiáng)調(diào)學(xué)術(shù)性質(zhì)或知識劃分，而初中以及小學(xué)的學(xué)習(xí)，與高中乃至大學(xué)的學(xué)習(xí)，畢竟是不同的，即學(xué)術(shù)性質(zhì)不那么明顯。此外還有一個理由：剛才孫琪斌老師提到數(shù)學(xué)的精神包括理性的精神、探究的精神、執(zhí)著的精神、質(zhì)疑的精神、實證的精神，那么，跳出數(shù)學(xué)學(xué)科來看物理、化學(xué)等其他學(xué)科，它們同樣提倡這些精神，還有科學(xué)的思維、態(tài)度、責(zé)任等，所以，這些本質(zhì)上就是各個學(xué)科共通的課程的核心素養(yǎng)。

關(guān)于核心素養(yǎng)，我有這樣幾點理解。第一個理解是，核心素養(yǎng)是不斷發(fā)展的，是沒有上限和終極狀態(tài)的。我們很難說出“三會”的終極狀態(tài)是怎樣的。第二，核心素養(yǎng)往往既具有本學(xué)科的特征，也具有其他學(xué)科的特征。比如，推理是很重要的一種素養(yǎng)，語文學(xué)科在培養(yǎng)，英語學(xué)科在培養(yǎng)，物理、化學(xué)等學(xué)科也在培養(yǎng)。那么，數(shù)學(xué)學(xué)科所要培養(yǎng)的推理核心素養(yǎng)是什么呢？就是剛才孫琪斌老師提到的數(shù)學(xué)學(xué)科“不可替代”的東西。第三，核心素養(yǎng)不是教師教出來的，而是學(xué)生悟出來的，是在經(jīng)歷的過程中產(chǎn)生的經(jīng)驗的結(jié)果。正因為此，“四基”中的基本活動經(jīng)驗，應(yīng)該是與核心素養(yǎng)目標(biāo)最接近的。第四，核心素養(yǎng)的本意是使人能夠恰當(dāng)應(yīng)對具體情境的各種能力的綜合。也就是說，核心素養(yǎng)產(chǎn)生在面對具體情境的活動中，自然，核心素養(yǎng)的評價也應(yīng)通過處理具體情境的活動。第五，核心素養(yǎng)還和人的知識儲備和現(xiàn)實生活經(jīng)驗有關(guān)。比如，有時，煤氣灶打著后，一松開關(guān)就熄滅了，需要調(diào)整風(fēng)門的大小。如果有數(shù)學(xué)中二分法的知識，就會知道，從中間的位置向兩邊調(diào)試是最快捷的；而有些人沒有二分法的知識，但是有生活經(jīng)驗，所以也會從中間向兩邊去調(diào)節(jié)。

再來談?wù)勞w維坤校長提出的跨學(xué)科學(xué)習(xí)這個話題。我正和我的團(tuán)隊一起做省級重點資助課題“初中數(shù)學(xué)跨學(xué)科綜合實踐的資源整合與項目設(shè)計”，即對數(shù)學(xué)跨學(xué)科的資源進(jìn)行挖掘整合，然后用項目化學(xué)習(xí)的方式設(shè)計出來。實踐中，有這樣幾點認(rèn)識：

首先，新課標(biāo)在“課程內(nèi)容”中提出：綜合與實踐以跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)為主，適當(dāng)采用主題式學(xué)習(xí)和項目式學(xué)習(xí)的方式；小學(xué)階段主要采用主題式學(xué)習(xí)，初中階段主要采用項目式學(xué)習(xí)。我覺得，綜合與實踐并不等于跨學(xué)科學(xué)習(xí)，事實上，綜合與實踐的基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)內(nèi)部各領(lǐng)域知識間的綜合?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：綜合與實踐主要是數(shù)學(xué)知識內(nèi)部的綜合、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的綜合以及數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的綜合。新課標(biāo)中也有類似的明確表述。因此，數(shù)學(xué)學(xué)科完備的知識架構(gòu)和研究方法，應(yīng)該是數(shù)學(xué)跨學(xué)科綜合實踐的基礎(chǔ)。我們很難想象，在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不扎實的情況下能進(jìn)行高質(zhì)量的數(shù)學(xué)跨學(xué)科學(xué)習(xí)。所以，數(shù)學(xué)跨學(xué)科綜合實踐項目的設(shè)計應(yīng)該立足于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展，再去融合其他學(xué)科的核心知識，解決現(xiàn)實世界中的真實問題。

其次，跨學(xué)科的關(guān)鍵不是知識上的跨學(xué)科，而是思想方法的整合與融合。數(shù)學(xué)跨學(xué)科綜合實踐，應(yīng)該以數(shù)學(xué)學(xué)科為原點，融合其他學(xué)科的知識和見解，所以要體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科特征，反映數(shù)學(xué)的核心概念、思想方法、思維方式、表達(dá)方式，等等。

再次，主題式學(xué)習(xí)和項目式學(xué)習(xí)在內(nèi)涵上是有區(qū)別的，主要體現(xiàn)在課程的內(nèi)在結(jié)構(gòu)上。主題式學(xué)習(xí)較多地指向多學(xué)科的內(nèi)容。比如，如果把“水”作為一個主題，那么，數(shù)學(xué)學(xué)科看到的往往只是水的重量、體積（包括它們的單位）等數(shù)和量的關(guān)系，而物理學(xué)科可能就會看到水的三態(tài)，生物學(xué)科可能就會看到水對生物體的重要價值，語文學(xué)科看到的可能就是水這種文化在詩詞方面的表現(xiàn)。但是，這些往往只是同一主題下相互獨立、割裂的內(nèi)容。也就是，不同的學(xué)科從自己的角度去看所需要的內(nèi)容。項目式學(xué)習(xí)就不一樣了，它看到的是同一主題下不可分割的那些聯(lián)系。比如“體育運動中的心率”這個主題，就是通過數(shù)學(xué)建模的方式研究跳繩、跑步等過程中的心率。在這種情況下，數(shù)學(xué)、體育、生物學(xué)（包括生命健康）等相關(guān)學(xué)科的知識、見解和思想、方法都融合在了一起，并且通過持續(xù)的探究解決相關(guān)的問題。因此，主題式學(xué)習(xí)和項目式學(xué)習(xí)反映了不同的學(xué)習(xí)需求。如果只是希望學(xué)生對某個主題有不同角度的理解，則采用主題式學(xué)習(xí)比較合適。如果希望學(xué)生對核心的概念、思想有比較深刻的理解，產(chǎn)生一種遠(yuǎn)遷移，則采用項目式學(xué)習(xí)比較合適。

最后，數(shù)學(xué)跨學(xué)科項目式學(xué)習(xí)的核心特征往往是與“四基”“四能”緊密聯(lián)系的。第一，從現(xiàn)實任務(wù)出發(fā)，運用并發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識解決現(xiàn)實問題。第二，核心目標(biāo)，即明確蘊含的數(shù)學(xué)的、跨學(xué)科的一些目標(biāo)。這種明確的目標(biāo)也便于后期項目式學(xué)習(xí)開展過程中評估的實施。第三，開放性問題，即由學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出隱含問題，進(jìn)一步明確完成任務(wù)的目標(biāo)和解決問題的途徑。這是發(fā)展學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題能力的重要契機(jī)，也是數(shù)學(xué)跨學(xué)科學(xué)習(xí)采用項目式學(xué)習(xí)的一個重要原因。第四，真實實踐，即學(xué)生通過實踐參與明確問題探究的過程，并在這個過程中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)核心知識，應(yīng)用相關(guān)數(shù)學(xué)思想和方法。在這個過程中，教師要提供必要的學(xué)習(xí)支架。我們在研究與實踐的過程中，設(shè)計了一些項目的指導(dǎo)單、報告單、評估書等。第五，師生合作，即面對比較復(fù)雜的情境，教師和學(xué)生共同尋找解決問題的方法。第六，非常突出的一個特征，是成果的展示交流。在解決問題的過程中，會創(chuàng)造一些有形的成果，可以是手工的，也可以是報告等其他可以展示、交流的形式。

趙維坤：感謝孫老師！這個話題確實值得深入研究！還有誰做一些補(bǔ)充？

朱建明：其實，現(xiàn)在很多數(shù)學(xué)教師最擔(dān)憂的就是跨學(xué)科學(xué)習(xí)，一是素材缺乏，二是教學(xué)失范。比如蘇科版初中數(shù)學(xué)教材，我曾參與設(shè)計課題學(xué)習(xí)或者叫綜合與實踐的部分內(nèi)容，但現(xiàn)在回頭看那些東西，包括現(xiàn)在大量的數(shù)學(xué)活動和課題學(xué)習(xí)或者叫研究性學(xué)習(xí)，它們其實與跨學(xué)科學(xué)習(xí)還是有非常大的差距的。所以，現(xiàn)在要落實新課標(biāo)提出的跨學(xué)科學(xué)習(xí)，任務(wù)艱巨，責(zé)任也重大。

錢德春：我插一句。比如，對平面鏡成像這個物理現(xiàn)象的研究，數(shù)學(xué)中也有很多知識可以講。

朱建明：這是一個可以讓數(shù)學(xué)和物理結(jié)合的點。但是，這種跨學(xué)科學(xué)習(xí)既要有跨學(xué)科的內(nèi)容，還要有數(shù)學(xué)教學(xué)的樣態(tài)，就是要適合于數(shù)學(xué)教學(xué)。有的內(nèi)容太復(fù)雜，即邊緣性的知識太多，反而干擾了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。所以，這是非常困難的一件事情，希望能有一些非常好的案例，做示范引領(lǐng)。這可能需要大家群策群力，有更多深入的思考，而且一定要有創(chuàng)新的內(nèi)容挖掘和教學(xué)設(shè)計——當(dāng)然，孫學(xué)東老師在這個方面已經(jīng)先走了一步。

趙維坤：朱主任強(qiáng)調(diào)了一個很重要的方面。今天我把孫學(xué)東老師放在最后一個發(fā)言，就是這個道理：跨學(xué)科學(xué)習(xí)是一個全新的話題，而且，按照10%的課時要求的話，我們至少要做出二十個案例，但是從新課標(biāo)來看、從現(xiàn)狀來看，肯定不夠。另外，我看章飛教授對跨學(xué)科學(xué)習(xí)可能也有一些想法，要不就請章教授再說幾句？

章飛：好的。我認(rèn)為，我們需要通過綜合與實踐活動或者說項目式學(xué)習(xí)的形式進(jìn)行跨學(xué)科學(xué)習(xí)，就像剛才孫老師所介紹的。實際上，目前各版本教材的修訂，也在加大力量研發(fā)跨學(xué)科學(xué)習(xí)素材。但是，對于普通的一線教師而言，可能自主設(shè)計這類跨學(xué)科學(xué)習(xí)的教學(xué)還是很有難度的。因此，普通的一線教師可以多探索如何在日常教學(xué)中做一些跨學(xué)科的融合——其跨學(xué)科的復(fù)雜程度沒有專門的跨學(xué)科學(xué)習(xí)那么大。這可能更好操作一些。

我再稍微談一下剛才幾位老師說的代數(shù)推理。我們可能有時要考慮一下，代數(shù)內(nèi)容的推理和代數(shù)方式的推理是兩個不同的概念。我之前寫過一篇文章，說的是代數(shù)內(nèi)容的推理，也就是代數(shù)學(xué)習(xí)中處處有推理。但是，代數(shù)方式的推理可能是不一樣的。我想新課標(biāo)講代數(shù)推理，可能更多的是代數(shù)方式的推理。另外，我們在日常的代數(shù)教學(xué)中，不可能不教推理，但是我感覺，我們更多的是把代數(shù)推理作為學(xué)習(xí)手段，而沒有把代數(shù)推理作為學(xué)習(xí)目標(biāo)。如果把代數(shù)推理當(dāng)成重要的目標(biāo)，那么可能我們的日常教學(xué)方式就會發(fā)生變化?，F(xiàn)在很多時候是，為了學(xué)習(xí)代數(shù)知識，自然用了推理的方式。當(dāng)然，在這個過程中，學(xué)生的推理能力也提高了。但是，學(xué)生還是沒有習(xí)慣用代數(shù)方式去推理，更多的時候感覺還是在運算，還是在按照步驟解決問題。

趙維坤：謝謝章教授！章教授總是在關(guān)鍵的地方給我們以啟發(fā)！還有哪位老師想交流？

孫琪斌：我覺得，跨學(xué)科學(xué)習(xí)一類是課外活動中的，一類課堂教學(xué)中的。我舉一個課堂教學(xué)中的例子，就是尋找數(shù)學(xué)模型的物理學(xué)科背景：已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時電流與電阻成反比例的函數(shù)關(guān)系，然后給出一個反比例函數(shù)的圖像，第一小題求反比例函數(shù)的解析式，顯然就是數(shù)學(xué)內(nèi)容；第二小題求蓄電池的電壓，第三小題根據(jù)電阻計算電流并填表，這是函數(shù)解析式的簡單應(yīng)用；第四小題是“如果以此蓄電池為電源的用電器的限制電流不超過10A，那么該用電器的可變電阻應(yīng)該控制在什么范圍內(nèi)”，這可以利用不等式的方法或函數(shù)的性質(zhì)求解。我覺得這種微型的跨學(xué)科學(xué)習(xí)的例子用在課堂教學(xué)中就蠻好的。當(dāng)然，從策略的角度看，我們還可以尋找數(shù)學(xué)模型的化學(xué)背景、數(shù)學(xué)模型的生物背景，等等。

石樹偉：我插一句啊。剛才孫老師分享的這個案例，我覺得非常好。但是，現(xiàn)在教材的編排有一個問題，就是物理學(xué)科、化學(xué)學(xué)科和數(shù)學(xué)學(xué)科的進(jìn)度不是太統(tǒng)一。所以，有時在跨學(xué)科問題的使用上比較為難。比如，剛才孫老師舉的這個電學(xué)問題用不等式來解決，但是有關(guān)的物理知識在九年級上學(xué)期學(xué)習(xí)，而數(shù)學(xué)知識在七年級下學(xué)期學(xué)習(xí)，所以這個問題只能在物理教學(xué)或數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中使用。

錢德春：這確實是一個問題。比如，用平面幾何知識證明凸透鏡成像規(guī)律就因為進(jìn)度不太匹配，而同時被物理教材（教學(xué)）和數(shù)學(xué)教材（教學(xué)）忽視。

朱建明：但我想說的是，新課標(biāo)明確指出，跨學(xué)科學(xué)習(xí)是綜合與實踐領(lǐng)域主要的教學(xué)形式，必須保證數(shù)學(xué)課程10%課時的教學(xué)時間為跨學(xué)科學(xué)習(xí)?，F(xiàn)在難就難在這個地方，各個教材編寫組都很頭疼。因為綜合與實踐是一個專門的學(xué)習(xí)領(lǐng)域，需要專門的時間進(jìn)行跨學(xué)科學(xué)習(xí)，不是在其他學(xué)習(xí)領(lǐng)域做一點跨學(xué)科學(xué)習(xí)。

錢德春：這樣看的話，還有一個問題：就是數(shù)學(xué)課程里有一個領(lǐng)域叫綜合與實踐，數(shù)學(xué)課程外好像還有一門課程叫綜合與實踐。

孫學(xué)東：確實，在《全日制義務(wù)教育課程方案（實驗稿）》里，有一門課程叫綜合與實踐活動，主要包括四個領(lǐng)域：信息技術(shù)、研究性學(xué)習(xí)、社區(qū)服務(wù)與社會實踐以及勞動與技術(shù)教育。在《義務(wù)教育課程方案（2022年版）》里，這門課程沒有了，但是新增了兩門課程——勞動和信息科技；同時又以另外一種方式呈現(xiàn)了綜合與實踐活動的內(nèi)容與思想，就是每門課程都必須進(jìn)行10%課時的跨學(xué)科學(xué)習(xí)。

這段時間的實踐中，我有這樣的感受：在所有學(xué)科中，數(shù)學(xué)是開展項目式學(xué)習(xí)最困難的學(xué)科之一。有一份文獻(xiàn)提到，各個學(xué)科進(jìn)行項目式學(xué)習(xí)所獲得的效應(yīng)值（就是產(chǎn)生的效果），最低的是數(shù)學(xué)學(xué)科，最高的是語言類、人文類的學(xué)科。這里的原因和學(xué)生的學(xué)習(xí)方式有關(guān)，也和數(shù)學(xué)學(xué)科的特征有關(guān)，主要是學(xué)生很難用數(shù)學(xué)的方法去表達(dá)和交流，導(dǎo)致項目式學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)學(xué)科很難開展。

趙維坤：好的。非常感謝！今天大家談的話題還是很多的，收獲也是很大的?，F(xiàn)在時間比較晚了，“十人談”活動就到此為止吧，非常感謝大家的參與！

（章飛，江蘇第二師范學(xué)院課程與教學(xué)研究所，教授。朱建明，江蘇省南京市教學(xué)研究室，特級教師，正高級教師。錢德春，江蘇省泰州市教育局教研室，正高級教師。潘小梅，浙江省寧波市鄞州區(qū)基礎(chǔ)教育研究指導(dǎo)中心，特級教師，正高級教師。劉東升，江蘇省南通市教育科學(xué)研究院。孫琪斌，上海市嘉定區(qū)教育學(xué)院，特級教師，正高級教師。石樹偉，江蘇省揚州市廣陵區(qū)教師發(fā)展中心，特級教師，正高級教師。楊麗娟，江蘇省昆山市葛江中學(xué)，特級教師，正高級教師。孫學(xué)東，江蘇省無錫市教師發(fā)展學(xué)院。趙維坤，江蘇省鹽城市毓龍路實驗學(xué)校，特級教師，正高級教師。）