2022年高考理綜全國乙卷25題第（2）問的解法探析

黨維軍，任愛紅

渭南市瑞泉中學，陜西 渭南 714000

1 原題再現(xiàn)

如圖1（a），一質量為m的物塊A與輕質彈簧連接，靜止在光滑水平面上；物塊B向A運動，t=0時與彈簧接觸，到t=2t0時與彈簧分離，第一次碰撞結束，A、B的 v-t圖像如圖1（b）所示。已知從t=0到t=t0時間內，物塊A運動的距離為0.36v0t0。A、B分離后，A滑上粗糙斜面，然后滑下，與一直在水平面上運動的B再次碰撞，之后A再次滑上斜面，達到的最高點與前一次相同。斜面傾角為θ（sinθ=0.6），與水平面光滑連接。碰撞過程中彈簧始終處于彈性限度內。求

圖1 原題題圖

（1）第一次碰撞過程中，彈簧彈性勢能的最大值；

（2）第一次碰撞過程中，彈簧壓縮量的最大值；

（3）物塊A與斜面間的動摩擦因數(shù)。

2 題意分析

該題考查了一個雙彈簧振子的簡諧振動模型。已知物塊A質量為m，由題給的v-t圖像可知：t=0時物塊A、B的速度分別為0和1.2v0，至t0時刻二者速度相等，均為v0，且物塊A運動的距離為0.36v0t0。前兩問只涉及光滑水平面上的運動，根據(jù)動量守恒定律可得質量關系mB=5m，結合能量守恒定律可解得第（1）問彈簧最大彈性勢能。第（2）問求第一次碰撞過程中，彈簧壓縮量的最大值。

3 第（2）問解法探析

3.1 積分思想

物塊A、B受輕彈簧的彈力大小相等、方向相反，根據(jù)牛頓第二定律可知加速度大小滿足aA=5aB，且加速度都隨時間變化。規(guī)定水平向右為正方向，在某時刻t（t≤2t0）二者速度可表示為：，聯(lián)立可得

物塊A、B組成的系統(tǒng)合外力為零，系統(tǒng)動量守恒，即 mB×1.2v0=mvA（t）+mBvB（t），代入質量關系mB=5m，也可以得到（1）式。

對（1）式在0到t0時間內定積分可得

即0到t0時間內二者位移滿足。代入已知條件sA=0.36v0t0，可得sB=1.128v0t0，根據(jù)位移關系可得彈簧的最大壓縮量Δlm=sB-sA，代入數(shù)據(jù)可得Δlm=0.768v0t0。

3.2 質心參考系

設彈簧原長為l0，t=0時，質心C的位置如圖2中所示，設物塊B到質心的距離為l1，物塊A到質心的距離為l2，則有mBl1=ml2，解得，質心相對地面的速度因物塊A、B組成的系統(tǒng)合外力為零，根據(jù)質心運動定理[1]可知，質心相對地面的加速度aC=0，且以速度v0向右做勻速直線運動，為慣性參考系。

圖2 系統(tǒng)運動分析

3.2.1 質心參考系下確定位移關系

t=0時質心C把該輕質彈簧分為自然長度為1:5的左右兩部分，根據(jù)彈簧串聯(lián)的規(guī)律[2]可知兩部分勁度系數(shù)之比為5:1，記為5k和k。設t0時刻物塊A、B相對質心C移動的距離分別為XA、XB，因輕彈簧兩端彈力大小始終相等，則有：kXA=5kXB，即XA=5XB。已知0到t0時間內物塊A相對地面的位移sA=0.36v0t0，根據(jù)位移的牽連關系有

代入后解得 XA=0.64v0t0，則 XB=0.128v0t0，壓縮量的最大值Δlm=XA+XB=0.768v0t0。

3.2.2 質心參考系下的簡諧振動

以質心為參考系，則質心C是靜止的，物塊A、B 的初速度分別變?yōu)椋篤B0=1.2v0-v0=0.2v0、VA0=0-v0=-v0，均是以質心C為固定端做簡諧振動的彈簧振子[3]，t=0時刻均經過平衡位置，設物塊A、B的運動學方程為

二者振動方向始終相反，且初始時物塊A向左運動，故初相位為π。由彈簧振子的圓頻率公式可得 ω1=ω2，即二者為同頻率的簡諧振動。由圖1（b）知t0時刻彈簧壓縮量最大，即A、B簡諧振動的周期均為T=4t0，將其代入，可得A、B的圓頻率均為。彈簧振子從平衡位置經四分之一周期至振幅最大處，動能轉化為彈性勢能且總能量守恒，故有，其中vm為平衡位置的速度，可得振幅，代入圓頻率和各自的初速度，可得物塊A、B的振幅分別為。壓縮量的最大值，代入π可得Δlm≈0.7639v0t0。與前文答案不一致，原因是題給條件0.36v0t0取了近似，根據(jù)位移關系sA=-A1+vCt0，可得0到t0時間內物塊A相對地面的位移，代入π可得sA≈0.3634v0t0，同理可計算出物塊B相對地面的位移，代入 π可得sB≈1.1273v0t0。運用簡諧振動規(guī)律可不用題給條件sA，直接算出準確的結果。

下面對題給v-t圖像進行說明。對（3）式所示的運動學方程關于時間求導，可得A、B在質心參考系下的速度

代入初始條件：t=0時的速度VA0=-v0、VB0=0.2v0及，同樣可解得振幅。根據(jù)速度的牽連關系：物塊A、B相對質心的速度加質心相對地面的速度等于物塊相對地面的速度，即vA（t）=VA（t）+vC，vB（t）=VB（t）+vC，代入對應結果可得

（5）式就是題給v-t圖像的函數(shù)表達式，容易看出該圖像是周期相同、相位差為π的兩個余弦函數(shù)圖像向上平移v0后得到的。確定了v-t圖像的規(guī)律后，可根據(jù)定積分計算圖像面積來求解第（2）問，此處不再贅述。

3.2.3 求彈簧勁度系數(shù)

設題中彈簧勁度系數(shù)為k0，可看作是由勁度系數(shù)為5k和k的左右兩部分串聯(lián)而成，聯(lián)立，可得，根據(jù)彈簧串聯(lián)規(guī)律有，解得，根據(jù)彈性勢能公式，代入第（1）問的結果，同樣可得。

3.3 非慣性參考系

為了方便，以物塊A為參考系研究物塊B的運動。因A受彈力具有加速度，故A為非慣性參考系。以A為參考系B的初速度仍為1.2v0，設經時間 t（t≤2t0）， B 相對 A 的位移記為 x（t），則彈簧彈力為 F=k0x（t），A 的加速度為，方向向右。根據(jù)直線加速非慣性系中的動力學方程有：-k0x（t）+5m（-aA）=5maBA，其中 5m（-aA）為慣性力，aBA為物塊B相對物塊A的加速度，整理得，可見以A為參考系物塊B的運動仍是簡諧振動，由題可知t=t0時彈簧壓縮量最大，則B簡諧振動的周期仍為4t0，圓頻率仍為。 設運動學方程為 x（t）=A3sinωt，A3為振幅，即彈簧的最大壓縮量，初速度即平衡位置的速度，故有，解得。

4 平均力法的錯因分析

平均力法的解題過程如下，設FA、FB為0到t0時間內彈簧對A、B的平均力，根據(jù)動能定理分別有

因彈簧兩端彈力大小時刻相同，故平均力大小相等

聯(lián)立（6）（7）（8）式可得 sB=2.2sA，彈簧最大壓縮量 Δlm=sB-sA，代入 sA=0.36v0t0，可得 Δlm=0.432v0t0，與正確答案不同。

該法的錯因分析如下：物體在方向不變的力的作用下做直線運動，平均力的計算分兩種，一種是對時間的平均值，用于計算力的沖量；一種是對位移的平均值，用于計算力做的功。

就本題而言，在0到t0時間內對A、B分別應用動量定理有，解得，故彈簧兩端彈力對時間的平均值相等。顯然（6）（7）兩式中的平均力應該用力對位移的平均值，因彈簧對A、B做的功不同，且A、B相對地面的位移也不同，那么平均力是否相同？將前文得到的結果sA≈0.3634v0t0和sB≈1.1273v0t0分別代入（6）（7）兩式，解得，可見彈簧兩端彈力對位移的平均值不相同，所以該方法的（6）（7）兩式并沒有問題，錯誤在（8）式，混淆了兩種平均力。

另一種觀點認為從t=0到t=t0時間內彈簧從原長變?yōu)樽疃?，兩端的彈力均?變?yōu)樽畲驠m，平均力都等于。如果力隨時間（位移）線性變化，則力對時間（位移）的平均值相同，本題中力隨時間和位移都不是線性變化，故該結論不適用。