張 昆

(淮北師范大學 數(shù)學科學學院， 安徽 淮北 235000)

任何具體事物都有關于“量”的屬性方面的特征，這些不同屬性的量，通常采用數(shù)(稱為“量數(shù)”)和單位量加以表征與刻畫。對物體量的認識，是對客觀世界認識的一項重要組成部分，通過認識物體量的中介作用，人們能夠?qū)τ诳陀^物質(zhì)世界的數(shù)量特點進行認識、記錄、表達與交流。對于物體量的認識是處于幼兒園與小學學段的學生在自己的生活中經(jīng)常接觸到的數(shù)學內(nèi)容，因而，對于物體量的認識是基礎教育中的一項重要的數(shù)學內(nèi)容。本文從修訂的《義務教育數(shù)學課程標準》中，設定數(shù)學課程目標的量感核心素養(yǎng)要素展開討論。

一、量感核心素養(yǎng)的內(nèi)涵辨析

修訂義務教育數(shù)學課程標準所形成的“預審稿”(后文簡稱“預審稿”)，結合《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》，提出的6項具體的數(shù)學核心素養(yǎng)，再依據(jù)《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》提出的10個關鍵性“核心詞”，抽繹出16項數(shù)學核心素養(yǎng)要素，作為義務教育數(shù)學學科課程目標，“量感”被列為其中的第2項[1]。為了討論作為數(shù)學課程目標的量感核心素養(yǎng)概念內(nèi)涵，首先引用“預審稿”關于量感核心素養(yǎng)的表述：

“量感主要是指對事物的可測量屬性以及大小關系的直觀感知。知道度量的意義，能夠理解統(tǒng)一度量單位的必要性；會對真實的情況選擇合適的度量單位進行度量，會在同一度量方法下進行不同單位的換算；初步感受度量工具和方法引起的誤差，能合理得到和估計度量的結果。建立量感有助于養(yǎng)成用定量的方法認識和解決問題的習慣，是形成抽象能力和數(shù)學的應用意識的經(jīng)驗基礎。”(“預審稿”，頁10)

關于量感核心素養(yǎng)的這段文字，表述了三個層次的意義：首先，“量感主要是指對事物的可測量屬性以及大小關系的直觀感知”，很顯然，在這段文字中，這句話意味著界定了作為義務教育數(shù)學課程量感核心素養(yǎng)目標要素的概念內(nèi)涵；其次，隨后使用兩個分號連結的一句話(即第二句話)，其實是列舉了量感與度量的作用與功能，主要指的是量感的實用價值；最后，第三句話描述的是量感促進學生習慣、能力、思維品質(zhì)等發(fā)展的教育價值。

“預審稿”關于“量感”概念內(nèi)涵的這種界定，存在著就事論事的特點，不論對于數(shù)學課程目標，還是教師將其轉化為教學目標來說，對于其內(nèi)涵，都有必要作出更為合理的界定與解釋。因此，本研究建議應該將“量感”這項核心素養(yǎng)的內(nèi)涵界定為，小學生對于具有可測量屬性的量(由數(shù)據(jù)與標準單位組成)作為判斷客觀物體量化屬性的思維活動的一項工具，即刻畫客觀對象某項屬性的量的多少或程度(這種程度由適合于外在客觀對象特點的一種標準單位所決定，使用一個具體數(shù)據(jù)置于這個“單位”之前，量及其表示的量的數(shù)，雖然屬性各別，但總是結伴而行)的一種心理傾向性，也可以這樣說，“量感”是對于量的意識與運用的一種心理傾向性。

二、幫助學生養(yǎng)成量感核心素養(yǎng)的教學策略探索

眾所周知，選擇合適的教學策略的基礎在于，教師對于教學內(nèi)容及其涵蘊的教學目標的正確認識。當將量感這種學生的心理傾向性設定為教學目標時，教師需要注意的是，與數(shù)感不同，丹齊克例舉了大量的證據(jù)，說明了原始數(shù)感(丹齊克使用的數(shù)覺這個概念)這種心理傾向性是與生俱來的[2]，然而，量感這種心理傾向性不是與生俱來的，而是在數(shù)感的基礎上，學生從自己的長期生活經(jīng)驗積累起來的。小學生關于量感的生活經(jīng)驗，對于后來他們進入學校學習起著十分重要的作用，因此，幫助學生養(yǎng)成量感核心素養(yǎng)，要充分利用經(jīng)驗，也要與幫助學生養(yǎng)成數(shù)感核心素養(yǎng)密切地結合起來。在幫助學生養(yǎng)成量感核心素養(yǎng)的教學設計及其課堂實施中，可以分為如下幾個次第環(huán)節(jié)：

第一環(huán)節(jié)：充分利用生活經(jīng)驗。首先，生活中兩個同類物體(例如，兩棵樹)的長度屬性的量具有大與小、高與矮、長與短的形象，這些比較及其結論，入學以前的學生在生活中，就已經(jīng)認識到了，學生的自然生活提供了必要的經(jīng)驗。其次，在學生入學后，這些生活中關于物體某種屬性的量的經(jīng)驗，需要在教師的逐步幫助與引導下，通過歸納轉化為數(shù)學經(jīng)驗，依據(jù)文化規(guī)范，形成數(shù)學共同體的標準數(shù)學語言予以表述。最后，要求學生在操作具體教具(或?qū)嵨?的基礎上作出大小、多少等物體某種屬性的量的判斷，例如，兩個小積木搭建成一個大積木，則搭建出來的這個大積木的體積當然大于其中的這兩個小積木的體積，由此，可以使用大于號(“>”)表示，為將來使用數(shù)學規(guī)范的語言加以表述埋下伏筆與奠定基礎。

第二環(huán)節(jié)：充分利用學生對于物體某種屬性的量的感知。學生對物體某種屬性的量的認識，最初并非總是采用測量的途徑，而是通過不同的感官感知物體某種屬性的量，例如，要比較同學甲與同學乙的身高，他們讓這兩名同學站在同一個平面上，看一看就能作出具體的判斷。教師要充分利用不同物體的不同屬性的量，鼓勵學生在視覺、觸覺、運動覺，甚至于利用中介物等多種感受物體量感官功能的作用下，感知到物體量的大小、長短、輕重屬性的特征。

教師應該根據(jù)小學生認知活動的心理特點，選擇與提供教學素材，應該利于這個年齡段的小學生進行比較。首先，所選擇的物體量的屬性應該是單一的(即不能使用物體的幾個維度的量進行操作比較活動，這樣容易導致學生所比較的不是物體量的對等的屬性)，否則容易造成學生產(chǎn)生不必要的錯誤；其次，應該突出所要比較的物體某方面的屬性，例如，要比較兩根小棒的長與短，教師所采用的兩個小棒的粗細應該是一樣的，從而容易啟發(fā)學生進行比較；當然，隨著學生年級的升高、知識的增加、經(jīng)驗的積累，逐漸發(fā)展成比較物體二(或多)維屬性中的一維。

第三環(huán)節(jié)：鼓勵學生形成具體的測量操作活動。由于物體某種屬性的量必須有標準單位與具體數(shù)據(jù)進行組合，才能加以描述與說明，這樣就會逼著學生發(fā)現(xiàn)生成關于物體量的某種屬性的標準單位，于是，真實的測量活動也就應運而生了。所謂測量物體的某種屬性的量，是指把一個要測定的物體量同一個作為標準單位的同類量進行比較的過程。用來作為計量標準單位的量，叫做計量單位。用一個計量單位去測量某一個量，結果得到這個量含有計量單位的若干倍，這個數(shù)值叫做這個量的量數(shù)。

總之，小學低年級學生對于物體某種屬性的量的心理傾向性(量感)的外化，離不開入學前生活中長期潛移默化所積累起來的關于物體量的經(jīng)驗，有了這種將量感外化為刻畫具體物體的某種屬性的量的經(jīng)驗，才會有利于比較兩個具有相同屬性的物體量之間的大小或判斷它們的程度；由于比較兩個量之間的關系，其先決條件是要構建出表示物體某種屬性的量的大小或程度的標準單位。這些發(fā)生量感認識的心理活動過程要素的揭示，就為教師幫助學生養(yǎng)成量感核心素養(yǎng)的教學設計及其課堂實施，奠定了基礎，并且提供了努力方向。

三、幫助學生養(yǎng)成量感核心素養(yǎng)的教學示例

從幫助學生養(yǎng)成量感核心素養(yǎng)途徑的上述分析中，能夠認識到，基于實現(xiàn)量感教學目標，數(shù)學教師的教學設計及其課堂實施所要實現(xiàn)的目標是，將學生所內(nèi)含于心智中的量感外化為在生活現(xiàn)實中的有效運用[3]，為了幫助學生完成這種外化過程，教師選擇合適生活情境中的教學素材，使用合適的教學策略，設計合適的教學程序，將量感一步一步地從學生的心智中導引出來。下面依據(jù)筆者的教學實踐活動過程的現(xiàn)實經(jīng)驗，敘述筆者的教學設計及其課堂實施中的關鍵性環(huán)節(jié)。

為了實現(xiàn)幫助學生養(yǎng)成量感核心素養(yǎng)的教學目標，筆者主要通過細心地分析學生心智中的關于物體某種屬性的量感的心理傾向性，設身處地地認識到，這種量感的心理傾向性外化的具有次第的四個具體的心理環(huán)節(jié)。關于這四個環(huán)節(jié)的教學設計及其實施，這里從比較兩個物體長度屬性的量出發(fā)，舉例說明：

第一個心理環(huán)節(jié)：找準認知出發(fā)點，提供學生能夠接近的兩個物體作為素材，展開教學活動。這個環(huán)節(jié)的特點在于，無須選擇長度單位作為中介，可以直接進行比較操作。

第二個心理環(huán)節(jié)：提供學生不能接近的兩個物體，啟發(fā)學生萌生出相關的長度中介(固定的標準長度)，找到將不能接近的兩個物體轉化為可以接近的兩個物體，這個環(huán)節(jié)必須選擇合適的長度中介，在長度中介的幫助下，進行比較操作。

第三個心理環(huán)節(jié)：提供給學生兩個物體，其中有一個物體(或者兩個物體都)學生不能接近，啟發(fā)學生構建標準長度單位，并且?guī)椭鷮W生理解這種長度標準單位不以所在的地理位置而改變，從而利用這種長度標準單位作為中介，比較兩個物體的長短。

第四個心理環(huán)節(jié)：啟發(fā)學生將從生活中完成解決問題所構建的單位長度回歸到數(shù)學(一般)共同體的文化規(guī)范，即采用米制長度單位進行比較與刻畫。

對于第一個心理環(huán)節(jié)，筆者在自己所授課的班級中，選擇兩名同學，要求比較他們的身高。具體的比較活動過程是：首先，選擇兩名身高差距比較大的同學，這兩名同學無須站在一起，就能立即作出判斷；其次，選擇兩名胖瘦與身高體型特點相差不多的同學，比較時，學生要求這兩名同學站到一起來，由于教室的地面是水平的，此時，學生可以通過觀察途徑，比較這兩位同學的身高；最后，筆者選擇一名體胖的同學與一名體廋的同學，學生選擇采用第二種方法加以比較，就達到目的了。

對于第二個心理環(huán)節(jié)，筆者選擇了兩輛相隔一段距離的不同型號的載重汽車，要求學生比較汽車的裝載貨物車廂的長度大小，由于兩輛載重汽車無法像兩名同學那樣進行長度(高矮)比較，如此，構成了所有學生都面臨的一個現(xiàn)實的問題。要解決這個問題，學生首先想到的是將這輛汽車開到一起，將車廂的一個端點并齊，然后比較另一端點位置的情況(這正如比較兩名同學的身高一樣)，但可惜的是，兩輛汽車的司機都不在現(xiàn)場，這種比較方法無法實現(xiàn)。

怎么辦？要完滿地解決這個問題，學生必須要在這兩輛載重車車廂長度之間找到一個中介的標準長度的量，將兩輛載重車車廂長度聯(lián)系起來，因此，學生需要進行與長度單位有關的一系列思維活動，才能想到具體的辦法。這一系列的解決問題的次第環(huán)節(jié)，正是量感心理傾向性外化的現(xiàn)實活動過程。

筆者在自己的實際課堂教學中發(fā)現(xiàn)，這些具體的方法并不是唯一的。有的學生提供給一根固定長度的棍棒、一段固定長度的繩子、米制卷尺等具體的工具；有的學生不提供作為測量長度的具體工具，而是自己創(chuàng)造相關的測量工具，其中有學生想出了使用自己的運動鞋的鞋帶，也有學生使用自己跳繩的繩子等；由于學生使用的鞋帶的長度太短，而使用跳繩的繩長又太長，在筆者的啟發(fā)下，他們創(chuàng)造性地將鞋帶長與繩長結合起來，成功地比較了兩車廂的長短。

接著，通過使用棍棒、鞋帶與跳繩的實際度量長度活動過程，要求孩童比較哪一種測量長度的工具較為可靠？教師通過鼓勵學生分析自己的測量工具與對于關鍵性環(huán)節(jié)的具體演示，學生認識到，由于繩子等長度度量工具具有伸縮性，而固定長度的棍棒不會伸縮，學生理解了使用棍棒工具測量比使用繩子工具測量可靠。此時，教師提出問題，使用米制卷尺測量長度可靠嗎？起初，不少孩子認為，米制卷尺也不可靠，因為它與繩子作為長度度量一樣，有可能是伸縮的，因此，它也是不可靠的，教師打開米制卷尺，鼓勵學生拉直卷尺進行體驗與感受，結果學生發(fā)現(xiàn)，卷尺可以卷起來，但是，它所確定的直線型長度不會改變，從而，幫助學生理解了，作為度量長度的工具，卷尺是可靠的。

關于第三個心理環(huán)節(jié)：完成了這兩個載重汽車車廂的長度比較，筆者再次提出問題，你們有不住在一起年齡差不多大的表兄、表姐，或表弟、表妹嗎？

例如，學生李建說他有和他年齡差不多的表兄，以此為教學素材，筆者又提出一個新問題：在李建與表兄不能見面的情況下，如何知道李建與他的表兄誰高誰矮呢？

為了回答這個問題，學生首先想到了使用固定長度的棍棒，這是因為他們認識到了繩子作為測量長度沒有棍棒可靠，但是，孩童立即認識到，使用這個固定長度的棍棒測量李建的身高，也可以使用棍棒測量李建表兄的身高，如此，經(jīng)由討論，測量李建及其表兄身高的兩根棍棒的長度可能不一樣，在這種情況下，由于兩個棍棒長度不一，還是無法判斷李建與其表兄的身高大小。

到此，筆者肯定學生提出了一個非常好的問題，同時，又一次提出新問題：那么，如何測得李建和他表兄的準確身高，從而將兩者轉化為可以進行比較的兩個量呢？這個問題構成了學生的真實問題，將學生卷入到了這個問題之中。學生在這個問題的刺激下，通過討論，想到了使用相同長度的棍棒，測量李建及其表兄的身高，這樣在得到李建及其表兄相對于這兩根相同長度的身高量數(shù)(例如，李建是棍棒長的4倍，而李建表兄是棍棒長的4倍少一點)，可以得出李建表兄比李建矮一點的結論。

從這種具體的操作途徑中，可以得出用這根棍棒的長度作為單位長度(或長度單位)，用以確定某個物件的長度，進而可以通過教學設計，介紹文化規(guī)范，人們將一米長度的棍棒作為度量長度的單位長度。通過設計這種教學活動過程，鼓勵學生獲得在實際操作活動中的具體測量一個物件長度的長度單位知識及其利用長度單位進入具體測量的操作活動過程。

對于最后一個心理環(huán)節(jié)：此時，又有學生提出了新問題，假定測量李建與李建表兄所使用的棍棒是一樣長的，如果這根棍棒不能恰好測量得李建為棍棒的4倍長，李建表兄恰好是棍棒的4倍長少一點的話，例如，他們兩人都是棍棒的4倍長少一點，那該怎么辦呢？這其實已經(jīng)涉及了單位的細化問題，理解十進制計數(shù)法的心理動力已經(jīng)驀然產(chǎn)生了。到此，這就為依據(jù)測量長度(數(shù)學)共同體的文化規(guī)范，筆者能夠向?qū)W生娓娓道來，這些不是這節(jié)課的要旨，因此，關于其教學活動過程，就略而不記了。

學生通過明確問題、分析問題、解決問題發(fā)生數(shù)學知識認識的結果，首先是通過自己選擇個性化(生活)語言加以表達與交流的，這是數(shù)學教學中的一種自然現(xiàn)象。教師需要依據(jù)學生使用的這種個性化生活語言為基礎，啟發(fā)學生轉化為數(shù)學共同體的歷史文化規(guī)范所使用的語言，這是各個知識點教學都存在的普遍問題，這是數(shù)學教學的一個重要環(huán)節(jié)，要引起數(shù)學教師的注意。

關于幫助學生養(yǎng)成量感核心素養(yǎng)的課堂目標，筆者選擇使用的教學策略是基于導引外化的課堂教學理念，由于筆者先在地認識到，量感雖然不是與生俱來的，但它卻是學生在學前的生活經(jīng)驗中已經(jīng)有效地無意識地塑造形成了，因此，選擇合適的外在生活中的問題，幫助學生將這種量感外化出來，解決實際問題，這樣的教學設計及其課堂實施過程就是非常重要的了[4]。這里，非常好地體現(xiàn)比較兩個物體長度屬性量的教學活動。

四、結束語

皮亞杰指出：“空間測量雖不依賴于數(shù)量而發(fā)展，但和數(shù)量有著密切的同型性(空間測量比數(shù)量的出現(xiàn)約遲六個月，因為在連續(xù)空間內(nèi)各個部分的一致性并非事先就已經(jīng)知道的)。事實上，測量一條線的長度，先是把連續(xù)空間(即連續(xù)體)劃分為各個部分，然后把各個部分連結在一起，這同分類的‘包含’相類似。但是，為了建立和利用這個一致性，必須把其中某一部分作為一個單位，并把這個單位按照一定次序‘位移’(即指彼此毫無重疊)；連貫地運用于全體，這種有次序的位移相當于一種序列的形式。由此可見，空間測量乃是‘位移’和各部分相加的綜合，猶如數(shù)量是序列和包含的綜合一樣?！盵5]通過這段話，皮亞杰強調(diào)了以長度為基礎性維度進行空間測量的理念，這種理念轉化為測量中的心理操作的或現(xiàn)實的肢體操作的活動過程，這對于教師啟發(fā)學生將量感外化具有理論上的指導意義。在實際教學設計及其課堂實施中，教師領會與理解這種理論意義非常重要，同時，數(shù)學教師需要尋找與選擇合適的教學素材，通過自己的教學設計藝術性處理，將這種理論意義轉化為教學實踐中的現(xiàn)實過程也是非常重要的[6]。對于實現(xiàn)幫助學生養(yǎng)成量感核心素養(yǎng)的教學目標來說，數(shù)學教師需要將理論指導與實踐操作完滿地結合起來，才能扎扎實實地完成教學任務?！?/p>