突破傳統(tǒng)思維 拓展因式分解的方法

?甘肅省武威市涼州區(qū)下雙鎮(zhèn)九年制學(xué)校 趙之瑞

1 引言

在北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊教材中，因式分解的方法這部分內(nèi)容只呈現(xiàn)了提公因式法和公式法[1].由于方法比較基礎(chǔ)且少，導(dǎo)致很多學(xué)生只能解決一些常規(guī)的因式分解題，遇到比較靈活的問題仍難以解決.為此，教師不得不額外拓展因式分解的方法.所以，本文基于突破傳統(tǒng)思維模式，整理了幾種教材中沒有介紹的因式分解方法，以期對教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)提供幫助.

2 分組分解法

提公因式法、公式法是因式分解常用的方法，但有的多項(xiàng)式只用這兩種方法無法分解，如m2-4n2-2m+4n等.然而，仔細(xì)觀察之后不難發(fā)現(xiàn)，m2-4n2明顯符合平方差公式，-2m+4n也可利用提公因式法局部因式分解.

例1把m2-4n2-2m+4n分解因式.

解：原式=(m2-4n2)-(2m-4n)

=[m2-(2n)2]-2(m-2n)

=(m+2n)(m-2n)-2(m-2n)

=(m-2n)[(m+2n)-2]

=(m-2n)(m+2n-2).

這種因式分解的方法就是分組分解法.利用這種方法嘗試解決下面的問題：

(1)分解因式：a2-2ab+b2-25.

(2)已知a，b，c是△ABC的三邊，且滿足a2-ab-ac+bc=0，試判斷△ABC的形狀.

分析：本題兩個(gè)小題，利用課本中介紹的提公因式法和公式法無法解出，所以不妨嘗試分組分解法，即把多項(xiàng)式中的某幾項(xiàng)先分組，然后分別因式分解.

解：(1)a2-2ab+b2-25

=(a2-2ab+b2)-52

=(a+b)2-52

=(a+b+5)(a+b-5).

(2)由a2-ab-ac+bc=0，得

(a2-ab)-(ac-bc)=0.

所以，a(a-b)-c(a-b)=0.

即(a-b)(a-c)=0.

所以a-b=0，或a-c=0.

即a=b，或a=c.

所以，△ABC是等腰三角形.

總結(jié)與反思：分組分解法可用于解決比較復(fù)雜且各部分難以找到直接聯(lián)系的因式分解問題，通過分組組合重新找到若干單項(xiàng)式之間的關(guān)系，然后結(jié)合傳統(tǒng)的提公因式法、公式法實(shí)現(xiàn)因式分解的目的[2].所以，分組分解法的步驟是：一、分組；二、分解因式.

3 整體思想法(換元法)

在因式分解時(shí)，常會遇到帶有括號的整式，如(m+n)2+2(m+n)+1等.這類問題明顯無法直接利用提公因式法和公式法.但是，如果對這樣的多項(xiàng)式進(jìn)行如下處理，往往會獲得意想不到的效果.

例2分解因式：(m+n)2+2(m+n)+1.

解：設(shè)m+n=a，則原式可轉(zhuǎn)化為a2+2a+1，且a2+2a+1=(a+1)2.

所以，(m+n)2+2(m+n)+1=(m+n+1)2.

這種因式分解的方法就是整體思想法，即把帶有括號的整式視為一個(gè)整體，用另一個(gè)“元”去代替它，讓原本復(fù)雜的整式變得更簡單.所以，這種方法又叫“換元法”.根據(jù)以上方法完成下面的問題.

分解因式：(1)(2a+b)2-10(2a+b)+25；

(2)(m2-4m+2)(m2-4m+6)+4.

解：(1)設(shè)2a+b=m，則原式可轉(zhuǎn)化為m2-10m+25，且m2-10m+25=(m-5)2.

所以，(2a+b)2-10(2a+b)+25=(2a+b-5)2.

(2)設(shè)m2-4m+2=x，則原式可轉(zhuǎn)化為x(x+4)+4，且x(x+4)+4=x2+4x+4=(x+2)2.

所以

(m2-4m+2)(m2-4m+6)+4

=(m2-4m+2+2)2

=(m2-4m+4)2

=[(m-2)2]2

=(m-2)4.

總結(jié)與反思：整體思想法(換元法)是非常重要的因式分解方法，在許多試題中常會出現(xiàn)，對學(xué)生的要求較高[3].特別是像例2相應(yīng)的練習(xí)題(2)中換元法的利用非常靈活.縱觀整個(gè)解題過程，整體思想法(換元法)的步驟是：一、換元；二、分解因式；三、還原(將“元”還原成之前所設(shè)的多項(xiàng)式).

4 拆項(xiàng)法

我們都知道，對于x2+6x+9這樣的多項(xiàng)式，可以利用公式法中的完全平方公式直接因式分解.但是，如果出現(xiàn)了像x4-3x2+1這樣的多項(xiàng)式，在因式分解時(shí)無法直接利用公式法，那么就需要對它作如下靈活處理.

例3分解因式：x4-3x2+1.

解：x4-3x2+1=x4-(2x2+x2)+1

=x4-2x2-x2+1

=(x4-2x2+1)-x2

=(x2-1)2-x2

=(x2-1+x)(x2-1-x).

這種因式分解的方法就是拆項(xiàng)法，即把其中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之和或差，然后利用“分組分解法”進(jìn)行因式分解.另外，從上述解題過程也可看出，拆項(xiàng)法是分組分解法、公式法的結(jié)合.根據(jù)以上方法完成下面的因式分解：

(1)分解因式：x4-7x2+9.

(2)已知a，b是一個(gè)等腰三角形的兩邊長，且滿足a2+b2-4a-6b+13=0，求這個(gè)等腰三角形的周長.

解：(1)x4-7x2+9=x4-(6x2+x2)+9

=x4-6x2-x2+9

=(x4-6x2+9)-x2

=(x2-3)2-x2

=(x2-3+x)(x2-3-x).

(2)由a2+b2-4a-6b+13=0，得

a2+b2-4a-6b+4+9=0.

所以，a2-4a+4+b2-6b+9=0.

即(a2-4a+4)+(b2-6b+9)=0.

即(a-2)2+(b-3)2=0.

所以a-2=0，b-3=0.

即a=2，b=3.

因?yàn)閍，b是一個(gè)等腰三角形的兩邊長，所以存在兩種情況：

當(dāng)腰為2，底為3時(shí)，等腰三角形的周長為7；

當(dāng)腰為3，底為2時(shí)，等腰三角形的周長為8.

綜上所述，這個(gè)等腰三角形的周長為7或8.

總結(jié)與反思：拆項(xiàng)法首先需要將其中的某一項(xiàng)拆成若干項(xiàng)，然后再分組分解因式[4].所以，拆項(xiàng)法是分組分解法和其它方法的組合.從例3相對應(yīng)的練習(xí)題(1)(2)的解題過程可以看出這種方法的步驟是：一、拆項(xiàng)；二、組合；三、分解因式.

5 結(jié)語

因式分解作為初中數(shù)學(xué)非常重要的知識，它與很多知識點(diǎn)的考查結(jié)合得非常緊密，所以掌握因式分解對學(xué)生而言非常重要.本文中介紹了除課本之外的三種不同方法，當(dāng)然還有其他的方法.但是，不管是何種方法，課本中的提公因式法和公式法都是基礎(chǔ).所以，作為一線數(shù)學(xué)教師，不僅要讓學(xué)生牢固掌握兩種基本方法，還需在加強(qiáng)訓(xùn)練的情況下總結(jié)不同的方法，以不斷拓展學(xué)生的思維和提高解決問題的能力.