鮑慶賀

［摘? 要］ 幾何畫板作為現(xiàn)代化教學(xué)過程中的一種軟件工具，有著強(qiáng)大的功能，廣泛地應(yīng)用在空間幾何以及數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域。借助幾何直觀可以幫助學(xué)生深入理解復(fù)雜、枯燥的概念內(nèi)涵，自主探索內(nèi)在規(guī)律、性質(zhì)，提升解題能力，提高思維水平，構(gòu)建高效課堂。

［關(guān)鍵詞］ 幾何畫板；概念教學(xué)；規(guī)律探索；高效課堂

隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)展和進(jìn)步，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與信息技術(shù)的結(jié)合越來越緊密，信息技術(shù)在數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用亦越來越廣。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，數(shù)學(xué)課程的設(shè)計與實(shí)施應(yīng)重視運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)，要注意將信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程進(jìn)行適當(dāng)整合；教育信息化2.0行動也強(qiáng)調(diào)了信息技術(shù)對教育的促進(jìn)作用。

小學(xué)階段的很多內(nèi)容都可以借助信息化工具來提升學(xué)習(xí)效率，幾何畫板就是一款非常實(shí)用的教學(xué)輔助軟件。將幾何畫板應(yīng)用于課堂教學(xué)，讓學(xué)生觀察圖形的運(yùn)動和變化過程，可以從中找尋變化中隱藏的“變與不變”，探索規(guī)律，幫助學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)。運(yùn)用幾何畫板可以幫助學(xué)生直觀形象地理解數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)；可以拓寬學(xué)生思維，調(diào)動學(xué)習(xí)積極性，讓學(xué)生的抽象思維和形象思維同步發(fā)展，以提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力，提高學(xué)生綜合素養(yǎng)。

[?]一、用幾何畫板深化知識理解，將概念學(xué)習(xí)化抽象為形象

小學(xué)生思考問題主要是以形象思維為主，抽象思維還沒能得到完善發(fā)展，對于一些難以理解的知識性概念、抽象性知識學(xué)習(xí)起來還是有一定的難度。而幾何畫板可以將一些抽象的內(nèi)容直觀、形象地呈現(xiàn)出來，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中化抽象為直觀，化深為淺，降低概念學(xué)習(xí)的難度，透徹理解概念，掌握知識，應(yīng)用起來才會得心應(yīng)手。

1. 動態(tài)演示，直觀呈現(xiàn)點(diǎn)到直線的距離

蘇教版四年級上冊有關(guān)“點(diǎn)到直線的距離”這一概念教學(xué)中，先是讓學(xué)生從直線外一點(diǎn)向直線畫幾條線段，再讓學(xué)生觀察，發(fā)現(xiàn)垂直線段是最短的。當(dāng)然，學(xué)生根據(jù)已有的、模糊的生活經(jīng)驗(yàn)，也可以得知垂直的時候是最短的，但原因是什么？如何理解其深層含義呢？學(xué)生卻無法說清楚。

借助幾何畫板，就可將直線外一點(diǎn)B與直線上任意一點(diǎn)A構(gòu)造出線段，同時度量線段的長度、兩條線之間的夾角。拖動直線上任意一點(diǎn)A在直線上任意移動，學(xué)生便能觀察到角度與線段AB長度的動態(tài)變化：隨著夾角的變化，線段的長度也在發(fā)生變化。當(dāng)夾角變大時，線段AB的長度（即兩點(diǎn)間的距離）逐漸變小；當(dāng)夾角為 90°時，線段最短；再次移動點(diǎn)A，所形成的夾角逐漸變小，而線段AB的長度卻逐漸增加。學(xué)生在觀察中思考，便能得出結(jié)論：連接直線外一點(diǎn)與直線上任意一點(diǎn)，當(dāng)線段與已知直線互相垂直時，線段最短。

借助幾何畫板的演示，學(xué)生就能觀察到線段由長逐漸變短再逐漸變長這樣一個連續(xù)的變化過程，也可以看到實(shí)時測量的數(shù)據(jù)，更能直觀感受到這條線段與直線垂直時最短，“點(diǎn)到直線的距離”也就順勢呈現(xiàn)出來了。

2. 軌跡追蹤，感受圓的“一中同長”

圓是小學(xué)階段所認(rèn)識的第一種曲線圖形，也是所有平面圖形中比較難理解的圖形?！赌印酚涊d：“圓，一中同長也。”教學(xué)時可借助幾何畫板體驗(yàn)“一中同長”（如圖1）：選一點(diǎn)A保持和圓心O距離不變，繞圓心旋轉(zhuǎn)，學(xué)生從直覺上便能感覺到圓；再追蹤點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，便能看到圓的形成。

接著，在圓上取若干個點(diǎn)并同圓心分別構(gòu)造出線段，通過度量這些線段的長度，明確這些線段是等長的。學(xué)生經(jīng)歷這樣的探索、觀察后便會發(fā)現(xiàn)：圓是由無數(shù)個點(diǎn)圍成的，將圓上的點(diǎn)與中心連接起來可以得到無數(shù)條線段，且這些線段長度相等……由此，學(xué)生對圓的形成就有了更直觀的感受，對圓概念以及圓與半徑、直徑之間的關(guān)系也就有了更深的理解和認(rèn)識。

借助幾何畫板度量、追蹤點(diǎn)的痕跡等相關(guān)功能，可以動態(tài)、直觀地呈現(xiàn)出圖形的變化過程，可以將一些與之相關(guān)的概念性知識顯性地呈現(xiàn)出來，以幫助學(xué)生更好地理解概念。學(xué)生經(jīng)歷了這樣的學(xué)習(xí)與探究過程，對概念的認(rèn)知也就更加深刻，真正意義上掌握了這些概念。

[?]二、借幾何畫板提升思維力，把規(guī)律探索由記憶變理解

學(xué)生自主經(jīng)歷一些規(guī)律的探索過程，可以鍛煉思維水平，提升解決問題的能力，對學(xué)生整體能力的提升都有非常大的幫助。教材中也會經(jīng)常涉及一些探尋內(nèi)在規(guī)律的內(nèi)容，比如和、差、積、商的變化規(guī)律等。雖然難度不是太大，學(xué)生通過觀察能夠得到一些相關(guān)規(guī)律，但他們并沒有真正理解其內(nèi)涵，還停留在模糊的階段，最終將規(guī)律學(xué)習(xí)變成了記憶為主。這樣的規(guī)律應(yīng)用起來也并不是那么得心應(yīng)手，所以這一類內(nèi)容考查的時候正確率都不會太高。

這主要是因?yàn)閷W(xué)生對直接講授的教學(xué)并沒有直觀的感受，教師雖然已經(jīng)講解得非常細(xì)，但還需要一定的抽象思維將規(guī)律內(nèi)化為自己的知識。如果教學(xué)過程中借助幾何畫板，將規(guī)律的探索過程通過圖形、數(shù)據(jù)等形式呈現(xiàn)出來，學(xué)生對此就會有一個更深刻、明確的認(rèn)知，就能真正理解相關(guān)規(guī)律，思維能力必定會得到相應(yīng)的發(fā)展。

比如，蘇教版四年級上冊“解決問題的策略——列舉”這一課主要是學(xué)生借助例題來探索出規(guī)律并應(yīng)用規(guī)律。教材中給出22根1米長的小棒，圍成一個長方形，讓學(xué)生找尋面積最大的長方形。學(xué)生想要找到最大的長方形，則必須按順序列舉出能圍成的所有情況，然后再算出所有的面積，比較后找出面積最大的長方形。但是如果只是讓學(xué)生觀察列舉出的部分?jǐn)?shù)據(jù)，那么思維比較薄弱的學(xué)生往往不能理解“差小積大”這一句話，想要應(yīng)用這一結(jié)論去解決問題，更顯得比較困難。

在幾何畫板中構(gòu)造一個周長不變的長方形，拖動其中一個頂點(diǎn)以改變長方形的長和寬，讓學(xué)生在操作中觀察，發(fā)現(xiàn)長和寬在變，面積也在變化，隨著長變小、寬變大，面積也在逐漸變大；當(dāng)長和寬相等時，面積是最大的。

學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中經(jīng)歷這樣的操作，便可直接觀察到形狀的變化、長和寬的變化以及面積的變化，繼而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，學(xué)生對規(guī)律的理解也會更深刻。在此基礎(chǔ)上再發(fā)散學(xué)生的思維：“如果脫離情境不去考慮圖形，觀察這兩個數(shù)，你又能發(fā)現(xiàn)什么？”此時學(xué)生看到的就不再是長和寬，而是變成了兩個數(shù)，它們的和是一定的，隨著兩數(shù)的變化，積也在相應(yīng)地發(fā)生變化，最終得出“差小積大”這樣的結(jié)論。

學(xué)生在探索規(guī)律的過程中，可以借助幾何畫板，將驗(yàn)證規(guī)律的過程在幾何畫板中進(jìn)行操作，使規(guī)律呈現(xiàn)得更為直觀，學(xué)生在理解上更加深刻；不僅如此，借助幾何畫板，還可以解決相應(yīng)的問題，發(fā)現(xiàn)內(nèi)在規(guī)律，并運(yùn)用規(guī)律解決其他問題，挖掘隱藏更深的發(fā)現(xiàn)，拓寬思維視覺，提升個人解題能力和思維能力。

[?]三、借幾何畫板探新知，在動手操作中構(gòu)建實(shí)驗(yàn)課堂

數(shù)學(xué)知識有些可以通過講解、分析訓(xùn)練來獲得，掌握起來也比較容易；但有些內(nèi)容若只通過講解、傳授，學(xué)生并不能真正意義上學(xué)會相應(yīng)內(nèi)容，有時需要實(shí)驗(yàn)、操作等方法，讓學(xué)生經(jīng)歷知識探索的過程，才能加深對知識內(nèi)容的理解和認(rèn)識，幫助學(xué)生從內(nèi)涵深處理解教學(xué)內(nèi)容，才算真正掌握。對于這些內(nèi)容，教師可以借助幾何畫板，把數(shù)學(xué)課堂變成實(shí)驗(yàn)課堂，讓學(xué)生親身經(jīng)歷“探索→發(fā)現(xiàn)→獲得新知”的過程。

例如，對于三角形三邊關(guān)系，由于可使用的教具有限，呈現(xiàn)在課堂上就比較抽象，想要學(xué)生能夠理解第三邊的范圍，是有一定難度的。所以多數(shù)學(xué)生在學(xué)習(xí)這一內(nèi)容時，雖能解決部分問題，但是根本沒有真正理解為什么第三邊要大于兩邊之差、小于兩邊之和，這也是現(xiàn)階段課堂普遍存在的問題。想要制作出一個實(shí)用的、幫助學(xué)生理解三邊關(guān)系的教具，確實(shí)不太容易。但如果借助幾何畫板演示第三邊的變化范圍，學(xué)生就比較容易理解，掌握得也會比較扎實(shí)。

過點(diǎn)A構(gòu)造線段AC長8厘米→以點(diǎn)A為圓心，5厘米為半徑構(gòu)造圓→取圓上任意一點(diǎn)B→隱去圓→連接AB。這樣操作便可以得到一條固定5厘米長的線段，三角形的三個頂點(diǎn)和兩條邊也就出現(xiàn)了。接著，連接BC并度量出長度，再拖動點(diǎn)B進(jìn)行移動。學(xué)生在這樣一個動態(tài)的演示過程中觀察、想象，發(fā)現(xiàn)：隨著兩邊之間角度的變化第三條邊也在變化，角越小第三邊就越短，角（這里所說的角均指兩條線段之間所成的優(yōu)角）越大第三邊就越長（如圖2）。這樣，學(xué)生對第三邊的長度就有了一個初步感知。

接下來，需要學(xué)生去猜想第三邊的范圍：第三邊雖然在不斷變化，但它的長度并不是無限制的，它有什么范圍？與什么有關(guān)系呢？雖然有了長短的變化過程，但要想準(zhǔn)確說出第三邊的范圍，還需要一定的抽象、概括能力，這對大多數(shù)學(xué)生來說還有一定的難度。這時拖動點(diǎn)B呈現(xiàn)出兩種極端情況——三點(diǎn)共線，再引導(dǎo)學(xué)生觀察這時線段AC的長度分別是多少。學(xué)生會發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A和點(diǎn)C之間時，線段AB與BC合起來就是線段AC，即第三邊的長度就是另外兩邊之差；當(dāng)點(diǎn)B在AC的另一側(cè)時，線段BC由線段AB和線段AC組成，即第三邊的長度就是另外兩邊的和（如圖3）。

最后，可以再追問：線段BC的長度可以是4厘米、5厘米、12厘米等整厘米數(shù)，還可以是哪些長度？學(xué)生在追問中便會繼續(xù)思考，發(fā)現(xiàn)BC的長度并不局限于整厘米數(shù)，而是在3厘米～13厘米之間的所有數(shù)都可以，巧妙地將隱含其中的極限內(nèi)容借助圖形直觀呈現(xiàn)出來。繼而引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：三角形第三邊的長度可以是介于兩邊之差與兩邊之和的所有可能。

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師作為學(xué)習(xí)過程中的組織者、引導(dǎo)者，可以借助幾何畫板，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個自主探索、動手實(shí)驗(yàn)的課堂。學(xué)生在這樣的課堂中，既可感受到自己的主體地位，又能在探索、實(shí)驗(yàn)中學(xué)習(xí)新的知識，做到深度學(xué)習(xí)，讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生。

[?]四、提升自身素質(zhì)，助力高效課堂

幾何畫板作為現(xiàn)代化教學(xué)過程中的一種軟件工具，既可以幫助學(xué)生深入理解概念內(nèi)涵，發(fā)散學(xué)生思維；也可以為他們創(chuàng)設(shè)一個實(shí)驗(yàn)場所，引導(dǎo)學(xué)生自主探索隱藏在深處的規(guī)律、性質(zhì)等。在這樣的課堂中，學(xué)生分析問題、解決問題的能力會逐漸提升，學(xué)習(xí)興趣也會越來越濃，綜合素質(zhì)逐步提升。

作為信息化時代的教師，我們需要學(xué)會結(jié)合幾何畫板中的功能來輔助教學(xué)。這就需要教師提升自身素質(zhì)，熟練掌握幾何畫板中的各項功能，仔細(xì)研究教材、分析教學(xué)中的重點(diǎn)、難點(diǎn)，將教學(xué)內(nèi)容與幾何畫板有機(jī)結(jié)合。學(xué)生在這樣的課堂中，便可通過動態(tài)演示、深入思考、操作探究等方式提升學(xué)習(xí)興趣、提高解題能力，學(xué)生的學(xué)習(xí)也就更高效！