抓住關(guān)聯(lián) 在操作中建構(gòu)
——以“角的分類和畫角”為例

江蘇省無錫市新吳區(qū)南豐小學(xué) 劉 穎

江蘇省無錫市新吳區(qū)江溪小學(xué) 吳建亞

“角的分類和畫角”是蘇教版數(shù)學(xué)四年級上冊第八單元“垂線與平行線”第四課時的教學(xué)內(nèi)容。本節(jié)課是在學(xué)生對角已有初步認識并會用量角器量角的基礎(chǔ)上進行教學(xué)的。本節(jié)課的重點是討論角的分類、認識平角和周角，并會用量角器畫出指定度數(shù)的角。教師在教學(xué)中要有意識地滲透數(shù)學(xué)思想，融合新舊知識點，抓住知識間的關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生在多次操作中觀察比較、感悟理解、主動探索、建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)，獲得思維進階。

一、抓住量的關(guān)聯(lián) 建構(gòu)角的分類

【課堂片段】

師：請各學(xué)習(xí)小組根據(jù)“任務(wù)要求”自己動手做一做，并說一說。

任務(wù)要求：

1.小組內(nèi)每個成員利用學(xué)具制作一個角。

2.用量角器量出角的度數(shù)。

3.小組討論，組長匯總。

師：哪個組來展示你們的作品？

第一小組：我們小組在正方形紙上找到了90度的角，對折一次折出了兩個45度的角，對折兩次折出了90度的角，全部打開后又找到了四個90度的角。

第二小組：我們在正方形紙上折出了120度的角，還將兩根硬紙條釘在一起，分開兩根硬紙條形成了角，有30度、55度、80度。

第三小組：我們小組將吸管折疊，折疊處形成了角，分別是75度、47度。

第四小組：打開圓形折扇，兩柄之間形成角，分別是170度、90度。

（學(xué)生展示作品）

師：你能把這些度數(shù)分分類嗎？完成下面表格中角及角的大小部分。（見表1）

表1

學(xué)生交流分類結(jié)果：

生1：我認為應(yīng)該分成三類，我知道像這樣的角就是直角（手指直角），比直角小的角是銳角，比直角大的角是鈍角。

師：你是怎么判斷制作的角比直角大或比直角小的？

生1：通過觀察，或者與直角重合比較。

生2：我發(fā)現(xiàn)，直角都是90度，量出角的度數(shù)大小，比90度小的角是銳角，比90度大的角是鈍角。

生3：我有補充，應(yīng)該是比90度大、比180度小的角是鈍角。

師：說說你的理由。

生3：我知道有一種角是平角，也是比90度大的角。

生4：平角是另外一種角，表1中的角應(yīng)該分成三類，有銳角、直角和鈍角。

師：是的，根據(jù)度數(shù)的特點分成這三種角，這里便是角的分類（改寫表格板書）

（教師演示教具，展示銳角→直角→鈍角的演變過程，直到兩條邊在一條直線上為止）

師：這個角也大于90度，它是鈍角嗎？

師：指一指它的頂點和兩條邊，說一說它與眾不同的地方。

生：兩條邊在一條直線上。（畫圖示）

師：像這樣，角的兩條邊在一條直線上的角就是剛才同學(xué)說的平角。你能制作一個平角嗎？

（學(xué)生把手中的學(xué)具改成平角，展示）

師：平角是多少度？和鈍角相比怎么樣？

（學(xué)生動手操作）

生：180度，比鈍角大。

師：你是怎么知道的？

生1：我用量角器量出來的。

生2：我用兩個三角尺上的直角拼出來的。

生3：我還知道平角是直角的2倍，平角是180度，直角是90度，所以平角是直角的2倍。

師：是呀，同學(xué)們很愛動腦筋，1平角=2直角。

（繼續(xù)轉(zhuǎn)到活動角，當一條邊旋轉(zhuǎn)一圈與另一條邊完全重合時，停止）

師:同學(xué)們，現(xiàn)在有角嗎？

師：我們知道，角有一個頂點和兩條邊，你能找到頂點和兩條邊嗎？試著指一指。

學(xué)生能指出，教師追問：既然大家找到了頂點和兩條邊，大家爭論的點是什么呢？

生：它的兩條邊重合在一起。

師：看來，同學(xué)們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)它的特點了，它確實仍然是角，叫作周角。（畫圖示）

師：你們能用手邊學(xué)具制作一個周角嗎？并說說這個角的特點。

（學(xué)生操作學(xué)具并交流）

師：它的度數(shù)是多少？

生：（展示）這個角包含了兩個平角，就是360度。

師：這就是周角，是360度。（完成表格板書）看著表格，“新朋友”平角和周角與上面的“老朋友們”有什么關(guān)系？（見表2）

表2

【思考】

學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中，初步認識了銳角、直角和鈍角這三類角，知道比直角小的角是銳角，比直角大的角是鈍角。學(xué)生判斷的方法是用眼睛觀察，或者將角與直角重合比較。那么，對于直角的定義是什么，銳角和鈍角的具體范圍是多大，學(xué)生都是模糊不清的。這節(jié)課是深入理解這三類角的重要環(huán)節(jié)，所以，教師在設(shè)計中牢牢抓住量的關(guān)系，從量的角度來對角進行分類，是本節(jié)課再次認識銳角、直角、鈍角的目的。本次銳角、直角、鈍角的分類經(jīng)歷不僅加深了學(xué)生對三種角的直觀感受，還讓學(xué)生對三種角的具體大小有了感知。有了表格的輔助，學(xué)生能清晰地得出三種角的大小范圍，再畫出圖示。整個過程從個別到一般、從一般到個別的歸納演繹，讓學(xué)生真切感受到銳角、直角、鈍角的大小及其關(guān)系。

烏申斯基認為，比較是一切理解和思維的基礎(chǔ)，我們正是通過比較來了解世界上的一切的。平角和周角是學(xué)生首次接觸的新知，通過不斷與學(xué)過的角進行比較，找出它們的共性和特性，學(xué)生理解這樣的角也是角，既清晰指出平角和周角的概念，又揭示了各種角之間的關(guān)系。新知識的建構(gòu)不是一蹴而就的，教師從“指、說、做、思”四個方面完成平角和周角的教學(xué)，每一步都是為下一步做鋪墊?！爸浮笔侵赋鲰旤c與兩條邊，讓學(xué)生依據(jù)角的概念尋找角的組成部分，從而明確這樣的圖形也是角；“說”是要說一說這個角的特點，平角與周角特征明顯，與銳角、直角、鈍角區(qū)別很大，讓新知在學(xué)生的腦中形成表征?！白觥奔从檬种械膶W(xué)具做出平角、周角，在操作中繼續(xù)加深特征印象；“思”是通過表格中縱向?qū)Ρ?，思考幾個角之間的聯(lián)系，內(nèi)化新知。學(xué)生在這四步中，從感官到思維，這樣過渡合理而輕松。學(xué)生能先說出平角和周角的特點，在頭腦中便形成表征，腦中有形，手中才有形，接下來動手制作平角、周角，此時，學(xué)生對平角、周角的印象又一次加深，最后通過表格的縱向?qū)Ρ?，思考幾個角之間的聯(lián)系，在關(guān)聯(lián)中完成知識建構(gòu)。

網(wǎng)絡(luò)圖式結(jié)構(gòu)的優(yōu)點在于能清晰呈現(xiàn)知識點，便于比較。教師設(shè)計了表格貫穿其中，通過生生、師生的多元對話，在一次次補充、糾正后，動態(tài)生成角的分類及大小關(guān)系，在板書中逐步建構(gòu)。最終，完整表格的呈現(xiàn)，既生成了知識結(jié)構(gòu)，也教給學(xué)生學(xué)習(xí)平面圖形的方法。

二、抓住位置關(guān)聯(lián)，感悟畫角的方法

【課堂片段】

師：請同學(xué)們說一說量角的步驟及量角時應(yīng)注意什么。

生：“兩重合一對齊”，頂點與量角器中心點重合，一條邊與零刻度線重合，看另一條邊對準的度數(shù)。要注意看準內(nèi)圈還是外圈。（教師板書）

師：出示圖1，這里標注了∠1、∠2，請你量一量這兩個角的度數(shù)，看誰量得又對又快。你是怎么量的？

圖1

生：分別是20度、35度。量角器放好位置后不需要移動，可以直接看出兩個角的度數(shù)，這樣就很快。

師：為什么量這兩個角不需要移動量角器？

生：這兩個角的一條邊是同一條邊，量角器的零刻度線與這條邊重合，不需要移動，只需要分別看另一條邊的度數(shù)。

師：∠3的一條邊被墨水遮住了，只露出了一點，你能確定這個角有多大嗎？試一試。

生1：可以，量角器不動，只需要看這個點對應(yīng)的度數(shù)，對應(yīng)的度數(shù)是50度，這個角就是50度。

生2：也可以把這個點與頂點連接，就能確定這條邊的位置。量角器依然不動，量出是50度。

師：∠4的一條邊還是這條射線，另一條邊被完全遮住了，但我知道它是70度，你打算怎么確定另一條邊的位置？小組試一試，并討論畫法。

（小組匯報）

生：根據(jù)上面的經(jīng)驗，量角器依然不動，找到70度的位置點上點，最后拿開量角器，把標記的點與頂點連接，就確定了這條邊的位置。

師（強調(diào)）：所以，確定這一條邊位置的前提是什么？

生：量角器不能動。

師：不能動的原因是什么？

生：為了頂點與量角器中心點重合，一條邊與零刻度線重合。

師：不知不覺中，大家就掌握了畫角的精髓——兩重合，我們試一試畫一個110度的角，第一步是什么？

生：畫出頂點和一條邊，就是一條射線。

師：請同學(xué)們畫一畫，并總結(jié)畫角的步驟。

（學(xué)生畫圖并交流）

生（演示畫圖過程）：1.先畫一條射線；2.量角器中心和射線端點重合，零刻度線與射線重合；3.從重合的零刻度線開始找50度的位置并做標記；4.連接頂點和標記點畫另一條射線。

（教師板書步驟）

師：這個同學(xué)畫出來的110度角和剛才的70度角一樣大，你知道為什么嗎？畫角時有什么要提醒大家的？

生：他把內(nèi)圈度數(shù)看成了外圈。我們要從重合的零刻度線看起，看清內(nèi)圈和外圈。

師：現(xiàn)在看一看量角和畫角的步驟及注意點，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：都是“兩重合一對準”，量角是找邊所對準的刻度，畫角是找到刻度并做標記，都要注意內(nèi)圈、外圈不要看錯。

【思考】

考慮到畫角的難點在于如何在量角器上找出指定刻度并做標記，其實，學(xué)生已經(jīng)掌握了量角的方法，知道了“兩重合一對準”，其知識遷移點便是量角器的使用，量角活動就是抓住學(xué)生已知量角器刻度線與角的兩邊重合的位置關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，把一條邊變成一個點，化解畫角難點。學(xué)生會發(fā)現(xiàn)兩點即能確定邊，角的頂點固定不變，只需要根據(jù)量角器刻度確定另一個點便能確定邊，在量角的變化過程中讓學(xué)生領(lǐng)悟畫角的精髓，讓知識的遷移自然而然地發(fā)生。

類比有助于學(xué)生自主探索新知識，改變被動學(xué)習(xí)方式，有助于學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識體系，增強對知識理解的整體性。教師在本部分融入類比的思想，共分為四個層次，層層相連。第一層，從一開始量兩個共用一條邊的已知角，感受量角的第一個步驟“兩重合”的重要性，也為接下來的操作提供思路；第二層次中，學(xué)生明確了通過另一條邊上的某點就能確定角的大??；第三層次里，學(xué)生已經(jīng)深諳“兩重合”，只要模仿第二層的找點——“一對準”，就可以完成要求。最后一層次便是從量角悄悄過渡到畫角的環(huán)節(jié)了。學(xué)生經(jīng)歷了以上三個環(huán)節(jié)，這里的操作便水到渠成了。學(xué)生在這樣環(huán)環(huán)相扣、層層深入的活動中輕松完成了畫角操作。

最后進行對比，形成知識的反芻，利用類比思想將量角、畫角有機結(jié)合起來，貫通關(guān)聯(lián)，這樣抓住畫角與量角方法的關(guān)聯(lián)，抓住操作中兩條邊的位置關(guān)聯(lián)，從而形成畫角建構(gòu)。

三、抓住變的關(guān)聯(lián) 促進思維進階

【課堂片段】

出示兩張透明長方形卡片，一張紅色、一張藍色。

師：在卡片上，你看到了什么角？

生1：各有四個直角。

師：我在每張卡片上各選一個直角，并將這兩個直角用圖釘釘在一起，你看到了什么？（見圖2）

圖2

圖3

生：兩個直角拼成了一個平角。

師：是的，將卡片旋轉(zhuǎn)重疊一部分，重疊的角便是∠3，以圖釘為頂點，你發(fā)現(xiàn)了幾個角？（見圖3）

生：有6個角，∠1、∠2、∠3，還有原來的兩個直角，以及∠1、∠2和∠3合起來的最大的角。

（教師繼續(xù)慢慢旋轉(zhuǎn)卡片）

師：仔細看旋轉(zhuǎn)過程中這些角的變化。

生：∠1和∠2慢慢變小，∠3變大，但兩個直角一直不變。

師：那這∠1、∠2、∠3在變化中有什么聯(lián)系？

生1：∠1和∠2一直一樣大。從直角里去掉∠3就是∠2，從另一個直角里去掉∠3就是∠1，所以∠1和∠2一樣大。

師：看來，不管卡片重疊部分多大，∠1都會等于∠2。如果我將圖釘釘在卡片的一條邊上呢？以圖釘為頂點，你發(fā)現(xiàn)了幾個角？此時的∠1和∠2還一樣大嗎？（見圖4）

圖4

生1：∠1、∠2、∠3，還有兩個平角。

生2：平角去掉∠3就是∠2，同理，另一個平角去掉∠3就是∠1，所以∠1和∠2一樣大。

師：如果圖釘釘在這里，你又能發(fā)現(xiàn)什么？按照剛才的思路，小組討論并匯報想法。（見圖5）

圖5

生：在旋轉(zhuǎn)過程中，平角不變是180度，∠3也不變，一直是90度，從平角里去掉∠3就是∠1和∠2，所以不管怎么旋轉(zhuǎn)，∠1和∠2的和都是90度。

師：是呀，在旋轉(zhuǎn)變化的過程中，我們只要抓住不變的角，再去思考變與不變之間的關(guān)系，就會有奇妙的發(fā)現(xiàn)。同學(xué)們還可以繼續(xù)思考，圖釘還可以釘在哪里，看看還能發(fā)現(xiàn)什么有趣的規(guī)律。

【思考】

教材中的這道思考題給出的圖示是靜止狀態(tài)，學(xué)生對問題中兩角的形成及關(guān)系都比較模糊，直接思考兩角的關(guān)系比較困難。因此，筆者將此題再次精心創(chuàng)編，把問題導(dǎo)向的題目變成規(guī)律探尋題，特別設(shè)計了不同顏色的透明卡片交疊在一起，展示動態(tài)變化的過程，讓學(xué)生可以更清晰地看到∠1、∠2、∠3的形成過程，從而抓住變化過程中變與不變的關(guān)聯(lián)，厘清各個角之間的關(guān)系，這樣∠1和∠2的關(guān)系也就呼之欲出。教學(xué)目標并不能止于解決一道題，要讓學(xué)生從一道題的解答轉(zhuǎn)變?yōu)閷σ活悊栴}的思考，這樣的設(shè)計旨在培養(yǎng)學(xué)生能總結(jié)解決同一類問題的基本方法，在變化中抓住角的大小關(guān)系，發(fā)現(xiàn)其中不變的角，在三種不同擺放位置中抓住不變的量，便是解決這類問題的關(guān)鍵之處，在這樣的探究中形成屬于自己的策略系統(tǒng)，會舉一反三。在最后的思考環(huán)節(jié)中，教師引導(dǎo)學(xué)生自主探索圖釘釘在不同位置上的情況，著眼于鍛煉學(xué)生思維，有意識地從“模仿”到“建構(gòu)”，使學(xué)生能夠解決形式不同但本質(zhì)相同的問題。學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)在潛移默化中得到發(fā)展，思維水平不斷提升。

教師在本節(jié)課緊抓新舊知識之間的密切關(guān)系，加強知識系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，從學(xué)生認知水平出發(fā)，教學(xué)設(shè)計符合學(xué)生的思維特點和認知規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生在知識關(guān)聯(lián)中完成知識建構(gòu)。學(xué)生在角的分類環(huán)節(jié)中，在角度的變化中抓住量的關(guān)聯(lián)；在畫角環(huán)節(jié)中，以量角知識為抓手推動畫角步驟的生成；在探究變化角的活動里，抓住變與不變的關(guān)系，促進思維進階。在多次活動里，學(xué)生自主地思考、獨立地操作、從容地互助、自信地表達，生成了精彩的觀點和深刻見解，不僅獲得了數(shù)學(xué)知識和技能，還收獲了過程性的體驗和感悟，體會到了知識產(chǎn)生與發(fā)展的過程，感悟到了數(shù)學(xué)知識的緊密聯(lián)系。精心設(shè)計的教學(xué)過程讓學(xué)生思維由線性的漸入變成波浪式的卷入，將學(xué)生帶到思維的高地。