關于無窮小的若干比較方法及應用

緒玉珍

(江蘇師范大學科文學院 221000)

極限理論是高等數學的基礎，函數的極限是極限理論的一個重要組成部分.極限為零的變量稱為無窮小量，簡稱“無窮小”，在函數及數列的極限、函數的連續(xù)性、微分和積分的定義中都有無窮小的應用.然而，理解清楚無窮小的概念以及運算有一定的難度.無窮小的比較問題，不僅是高等數學的重要內容，也是歷年全國碩士研究生招生考試的重要考點.本文主要針對無窮小的比較給出了幾種方法，有利于讀者進一步理解無窮小的含義以及更加系統(tǒng)地掌握此類問題的解決方法.

1根據定義比較無窮小

例1 當x→0時，比較2x-x2與x2-2x3的階.

所以2x-x2是比x2-2x3低階的無窮小.

注1 不是任意兩個無窮小都可以比較，因為只有當兩個無窮小量比值的極限存在或為無窮大時，才可以比較這兩個無窮小.特別地，xk+ο(xk)是x的k階無窮小(k>0).類似于這個方法，對于無窮小的比較，除了可以使用定義，還可以通過確定每個無窮小的階，然后比較階的大小來比較兩個無窮小.

2 比較無窮小的階

2.1 等價無窮小定階法

定理1只適用于函數相乘或者相除形式的極限，加減法并不適用.

2.2 與(x-a)k(k>0)比較定階法

2.3 泰勒公式定階法

取x0=0，那么有帶有佩亞諾余項的麥克勞林公式：

對于一些常見函數相加減的形式，用不了等價無窮小替換時，泰勒公式是個很好的選擇.

例4 當x→0時，ex-(ax2+bx+1)是比x2高階的無窮小，求a,b.

泰勒公式在求極限時使用方便，實際上利用泰勒公式還可以找一個無窮小量的等價無窮小.

特別地，若f(x0)=0，f′(x0)≠0，則當x→x0時，f(x)～f′(x0)(x-x0).

注2 在利用泰勒公式求函數相加減后的量的等價無窮小時，要將各函數展開到相同階數，并且在加減運算完成后至少要剩余一個非零項，才可以根據推論1得到函數的等價無窮小.

2.4 求導定階法

此定理由洛必達法則容易證明.

由定理3可知，比較兩個無窮小α與β的階，可以轉化為比較它們各自的導函數α′與β′的階數，α′與β′階數具有什么樣的關系，則α與β階數具有同樣的關系.當前面三種定階法都不能很好地處理無窮小比較的問題時，求導定階法往往可以解決一定的問題.特別地，如果遇到多個無窮小是積分上限的函數，在比較這些無窮小時，求導定階法可以快速地解決問題.

例5 (2020年全國碩士研究生招生考試試題)當x→0+時，下列無窮小量中階數最高的是( ).

解當x→0+時，由于四個選項中的無窮小都是積分上限的函數，比較它們的階數，相當于比較它們各自的導函數的階數.

將以上四種確定無窮小的階數的方法靈活使用，可以更加有效地處理無窮小的比較問題.

4結論

本文主要從無窮小比較的定義、等價無窮小定階法、比較定階法、泰勒公式定階法、求導定階法五種方法系統(tǒng)地歸納了無窮小量的比較問題，并結合實例給出了分析過程，使方法可以很好地結合實例進行應用.靈活使用這些方法，可以做到更加有效地解決無窮小的比較問題.