谷曉凱　張海營

摘? 要：在對2022年全國各地區(qū)100余份中考數(shù)學試卷進行綜合分析的基礎上，將“數(shù)與式”部分的試題特點概括為重視基礎、聚焦能力、指向素養(yǎng). 針對2022年中考“數(shù)與式”部分的試題特點，精選了8道典型試題，重點圍繞試題考查內(nèi)容和解題思路進行剖析. 在此基礎上，提出了三點具有方向性的中考復習建議，并給出了5道模擬題.

關鍵詞：重視基礎；聚焦能力；指向素養(yǎng)；中考試題

2022年全國各地區(qū)中考數(shù)學試卷的命制，恰逢《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準（2022年版）》）正式頒布之際. 雖然2022年的中考試題仍然要依據(jù)《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》的內(nèi)容要求進行命制，但是《標準（2022年版）》提出的“素養(yǎng)立意”的命題理念已經(jīng)滲透在各地區(qū)的中考試卷中，“數(shù)與式”部分的試題也不例外. 具體來看，兩版課程標準對“數(shù)與式”部分的內(nèi)容要求變化不大（《標準（2022年版）》中增加了“了解代數(shù)推理”的內(nèi)容），主要內(nèi)容包括有理數(shù)、實數(shù)、整式和分式的相關概念和性質(zhì)，數(shù)與式的基本運算，因式分解等. 從能力和素養(yǎng)層面來看，本部分內(nèi)容對學生的運算能力和抽象能力有較高要求，同時對學生的推理能力、幾何直觀、應用意識和創(chuàng)新意識也有一定的要求. 通過對2022年全國各地區(qū)中考試題進行分析，發(fā)現(xiàn)“數(shù)與式”部分的試題體現(xiàn)出重視基礎、聚焦能力、指向素養(yǎng)的特點. 下面對2022年全國各地區(qū)中考試卷中“數(shù)與式”部分的試題從解題角度進行歸納分析，在此基礎上提出復習備考建議，并給出模擬題.

一、試題特點分析

1. 重視對基礎知識的考查

“數(shù)與式”部分的內(nèi)容是繼續(xù)學習方程、不等式、函數(shù)等內(nèi)容的基礎. 2022年中考“數(shù)與式”部分的試題高度重視對數(shù)與式的核心概念和基本原理的考查.

（1）考查核心概念.

“數(shù)與式”部分的概念較多，2022年中考相關試題主要圍繞相反數(shù)、數(shù)軸、絕對值、二次根式等核心概念進行了重點考查. 例如，福建卷第1題、內(nèi)蒙古鄂爾多斯卷第1題和內(nèi)蒙古包頭卷第2題等分別從不同角度考查了相反數(shù)的概念. 對數(shù)軸概念的考查，注重與其他知識相結合，如北京卷第4題與實數(shù)結合，四川資陽卷第6題與無理數(shù)的估計相結合等. 廣東卷第1題和湖北黃石卷第1題等考查了絕對值的概念. 對于二次根式概念，主要考查了二次根式有意義的條件，如云南卷第13題、青海卷第10題等.

（2）考查基本原理.

“數(shù)與式”部分的基本原理主要包括數(shù)與式的運算法則、科學記數(shù)法、冪的運算性質(zhì)、分式的性質(zhì)、乘法公式、因式分解等. 其中，運算法則和分式的性質(zhì)主要通過設置相關數(shù)與式的運算試題來考查；科學記數(shù)法是大多數(shù)試卷都會考查的內(nèi)容，此類試題一般會設置豐富多彩的情境，如四川宜賓卷第6題以我國航天事業(yè)取得的成就為背景考查用科學記數(shù)法表示較大數(shù)，山東青島卷第1題以我國古代數(shù)學文化為背景考查用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)；冪的運算性質(zhì)一般設置為選擇題，把多個性質(zhì)分布在每個選項中進行綜合考查，如遼寧撫順卷第3題，而四川巴中卷第3題更是把冪的運算性質(zhì)和二次根式的性質(zhì)結合起來進行考查；對乘法公式和因式分解的考查通常是運用公式進行代數(shù)式的運算，如江蘇鹽城卷第19題在整式的化簡中綜合考查了平方差公式和完全平方公式，廣東深圳卷第17題在分式化簡中綜合考查了提公因式法和公式法分解因式等.

2. 聚焦對關鍵能力的考查

核心素養(yǎng)在初中階段的九個主要表現(xiàn)中，與“數(shù)與式”部分關系較為密切的主要有運算能力、抽象能力、推理能力、幾何直觀、應用意識和創(chuàng)新意識. 2022年全國各地區(qū)中考“數(shù)與式”試題主要聚焦于對運算能力、抽象能力和推理能力的考查.

（1）考查運算能力.

運算能力主要是指根據(jù)法則和運算律進行正確運算的能力. 初中階段的運算內(nèi)容主要分布在數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)中，但“數(shù)與式”部分的運算是基礎. 因此，中考試題在“數(shù)與式”部分首先突出對運算能力的考查. 例如，山東煙臺卷第14題以“24點”游戲為背景，考查了有理數(shù)的混合運算；北京卷第17題以解答題的形式考查了實數(shù)的混合運算；內(nèi)蒙古赤峰卷第11題考查了整式的化簡求值，并滲透了整體思想；而遼寧鞍山卷第17題考查的分式化簡求值類題目，更是各地中考試題在“數(shù)與式”部分最常設置的題型.

（2）考查抽象能力.

初中階段的抽象能力主要表現(xiàn)在數(shù)學概念、關系與方法的抽象上. 對“數(shù)與式”部分相關概念的獲得和運算法則的總結，能進一步發(fā)展學生的數(shù)感和符號意識，提高學生的抽象能力. 因此，對抽象能力的考查也是本部分試題的應有之義. 例如，云南卷第2題考查了正負數(shù)的意義，貴州六盤水卷第18題考查了列代數(shù)式，山東煙臺卷第13題考查了學生從“數(shù)值轉(zhuǎn)換機”中獲得運算程序的抽象能力.

（3）考查推理能力.

幾何課程是訓練推理與證明能力的主要途徑，而代數(shù)課程在訓練代數(shù)推理能力方面也起著不可替代的作用. 隨著《標準（2022年版）》增加了代數(shù)推理的內(nèi)容，一些中考試卷設置了考查代數(shù)推理能力的試題，如河北卷第22題、重慶A卷第23題、浙江嘉興卷第19題等.

3. 指向?qū)诵乃仞B(yǎng)的考查

2022年全國各地區(qū)中考“數(shù)與式”部分的試題普遍體現(xiàn)了對數(shù)學核心素養(yǎng)的考查要求. 具體表現(xiàn)為：（1）注重問題情境的設置，如江蘇鎮(zhèn)江卷第10題以“地形對氣溫的影響”為情境考查有理數(shù)的混合運算，四川達州卷第15題以“黃金比”為情境考查二次根式和分式的運算，湖南長沙卷第16題以“二維碼”為情境考查乘方的意義、冪的性質(zhì)等內(nèi)容；（2）設置探究性試題，如山東泰安卷第17題考查數(shù)字的變化規(guī)律，安徽卷第18題給出系列等式讓學生發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并進行表達和證明，重慶A卷第6題讓學生發(fā)現(xiàn)圖形中蘊含的規(guī)律；（3）體現(xiàn)對學習過程的考查，如江西卷第14題考查分式混合運算的過程，青海西寧卷第26題考查對因式分解的即時學習和應用過程；（4）設置跨學科試題，如浙江杭州卷第6題考查了利用分式的加、減運算對物理公式進行變形，江西卷第4題以化學知識為背景進行命制，湖北鄂州卷第6題以生物學知識為背景進行命制.

二、優(yōu)秀試題分析

1. 數(shù)的相關概念

例1 （內(nèi)蒙古·鄂爾多斯卷）如圖1，數(shù)軸上點A表示的數(shù)的相反數(shù)是（ ? ）.

目標解析：此題主要考查相反數(shù)和數(shù)軸的概念，要求能用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)，借助數(shù)軸理解相反數(shù)的意義，并掌握求有理數(shù)相反數(shù)的方法. 此題把相反數(shù)和數(shù)軸相結合，體現(xiàn)了對數(shù)形結合思想的考查，對學生的抽象能力有一定的要求.

解法分析：需要先根據(jù)數(shù)軸確定點A表示的數(shù)是-2. 在確定-2的相反數(shù)時，既可以根據(jù)相反數(shù)的定義（只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)），確定答案為2，也可以借助數(shù)軸，根據(jù)-2關于原點的對稱點為2，得出答案選C.

試題分析：此題取材于人教版《義務教育教科書·數(shù)學》（以下統(tǒng)稱“人教版教材”）七年級上冊“1.2.3 相反數(shù)”的內(nèi)容. 相反數(shù)的概念是歷年來各地中考經(jīng)常考查的概念，通常是從“數(shù)”的角度根據(jù)定義進行考查. 此題把相反數(shù)和數(shù)軸相結合，突出了從“形”的角度進行考查，從而賦予了試題更豐富的內(nèi)涵.

類題賞析：（內(nèi)蒙古·包頭卷）若a，b互為相反數(shù)，c的倒數(shù)是4，則3a + 3b - 4c的值為（ ? ）.

【評析】該題把相反數(shù)、倒數(shù)和整式求值問題結合起來，從“運算”的角度突出對相反數(shù)的考查，即互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0.

2. 數(shù)與式的性質(zhì)

例2 （四川·巴中卷）下列運算正確的是（ ? ）.

目標解析：此題主要考查冪的運算性質(zhì)、二次根式性質(zhì)和負指數(shù)冪的意義，要求了解整數(shù)指數(shù)冪的意義和基本性質(zhì)，了解二次根式的概念和性質(zhì). 試題把多個知識點設置在四個選項中，體現(xiàn)了對基礎知識的綜合考查.

解法分析：根據(jù)冪的乘方性質(zhì)可以直接得出答案選C；也可以用排除法，根據(jù)二次根式和負指數(shù)冪的意義排除掉選項A和選項B，再根據(jù)同底數(shù)冪相除的性質(zhì)排除選項D，從而得出答案C.

試題分析：此題把教材中考查相關知識點的題目以選擇題的形式進行了整合，符合中考試題要體現(xiàn)對知識綜合考查的要求. 學生常因?qū)ο嚓P知識點遺忘或掌握不牢固而出錯，這就要求在復習基礎知識時，不能停留在簡單識記的層面，而應深入挖掘知識的本質(zhì)，明確知識的來龍去脈. 例如，解答此題時，學生即使遺忘了冪的運算性質(zhì)，也可以根據(jù)乘方的意義得出正確答案.

類題賞析：（山東·棗莊卷）下列運算正確的是（ ? ）.

（A）3a2 - a2 = 3

（B）a3 ÷ a2 = a

（C）（-3ab2）2 = -6a2b4

（D）（a + b）2 = a2 + ab + b2

【評析】此題是把冪的基本性質(zhì)、合并同類項和乘法公式結合起來進行了綜合考查.

3. 數(shù)的運算

例3 （山東·煙臺卷）小明和同學們玩撲克牌游戲. 游戲規(guī)則是：從一副撲克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四張，根據(jù)牌面上的數(shù)字進行混合運算（每張牌上的數(shù)字只能用一次），使得運算結果等于24. 小明抽到的牌如圖2所示，試幫小明列出一個結果等于24的算式 ? ? ? ? ? .

目標解析：此題主要考查有理數(shù)的混合運算，要求掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方及簡單的混合運算，指向?qū)\算能力的考查. 試題設置為根據(jù)游戲規(guī)則列出算式，要求能運用有理數(shù)的運算解決簡單的問題，指向?qū)靡庾R的考查. 此題以開放題的形式呈現(xiàn)，既考查了學生的發(fā)散性思維能力，又考查了學生的逆向思維能力，這些都指向?qū)?chuàng)新意識的考查.

解法分析：首先，提取題目中的關鍵信息，即2，3，5，6四個數(shù)必須都用且只能用一次，使結果為24，列出算式，然后根據(jù)結果按照規(guī)則“湊”出算式. 試題設置為開放題，答案不唯一. 從不同的角度思考可以得到不同的答案，如5 × 6 - 2 × 3，6 × （5 - 3） × 2，（3 + 5） × 6 ÷ 2等.

試題分析：此題取材于北師大版《義務教育教科書·數(shù)學》（以下統(tǒng)稱“北師大版教材”）七年級上冊“2.11 有理數(shù)的混合運算”第66頁“做一做”的內(nèi)容，以經(jīng)典的“24點”游戲為背景，突破了傳統(tǒng)的給出算式求結果的考查方式，而是給出結果列算式，體現(xiàn)了試題的開放性. 這有利于考查學生的發(fā)散性思維能力，避免學生因不能綜合考慮各種運算或不注意括號的運用而找不到解題思路.

類題賞析：（2021年山東·日照卷）數(shù)學上有很多著名的猜想，“奇偶歸一猜想”就是其中之一，它至今未被證明，但研究發(fā)現(xiàn)，對于任意一個小于7 × 1011的正整數(shù)，如果是奇數(shù)，則乘3加1；如果是偶數(shù)，則除以2，得到的結果再按照上述規(guī)則重復處理，最終總能夠得到1. 對任意正整數(shù)m，按照上述規(guī)則，恰好實施5次運算結果為1的m所有可能取值的個數(shù)為（ ? ）.

（A）8 ? （B）6 （C）4 （D）2

【評析】此題以數(shù)學文化為背景，考查有理數(shù)的混合運算，解決問題需要從運算結果為1出發(fā)，按照規(guī)則，逆向逐次計算即可求出m的所有可能的取值. 此題對學生的逆向思維能力要求較高.

4. 式的運算

例4 （江西卷）如圖3所示是某同學化簡分式[x+1x2-4-1x+2÷3x-2]的部分運算過程.

（1）上面的運算過程中第 步出現(xiàn)了錯誤；

（2）試寫出完整的解答過程.

目標解析：此題主要考查分式的混合運算、約分、通分、因式分解，要求學生能利用分式的基本性質(zhì)進行約分和通分，能進行分式的加、減、乘、除運算. 試題指向?qū)\算能力的考查，要求先找出錯誤，再糾錯并寫出完整解答過程，指向?qū)W生學習過程的考查.

解法分析：求解第（1）小題，需要認真閱讀解題過程的前三個步驟，從中找出錯誤之處，其中前兩步分別需要根據(jù)公式法、分解因式和通分的知識進行判斷，第③步需要注意將括號內(nèi)的分式進行減法運算時分子中符號的變化. 第（2）小題要求寫出完整的解答過程，這里需要在第（1）小題的基礎上，對第③步進行糾錯，再正確利用約分對分式進行化簡，最后要注意檢查結果是否為最簡分式.

試題分析：分式的混合運算問題在各個版本教材的相關內(nèi)容中都有出現(xiàn). 此類題目也是各地中考在“數(shù)與式”部分最常設置的題型. 究其原因，是因為此類試題能綜合考查因式分解、通分、約分、最簡分式、數(shù)的運算等內(nèi)容，對學生的運算能力的要求較高. 學生常犯的錯誤主要有：用錯公式，通分和約分出錯，符號出錯，與解分式方程混淆，沒有化成最簡分式，等等. 此題取材于學生的錯題資源，針對學生常犯的錯誤設置問題，這也要求我們在復習階段不要盲目追求做題的數(shù)量，應多引導學生進行題后反思，強化計算時步步有據(jù)、及時檢查的學習習慣.

類題賞析：（浙江·臺州卷）如圖4所示的解題過程中，第①步出現(xiàn)錯誤，但最后所求的值是正確的，則圖中被污染的x的值是 ? ?.

【評析】此題考查對分式化簡求值的糾錯，針對的是另一類常見錯誤：混淆分式化簡與解分式方程. 另外，此題設置成過程錯誤、結果正確的形式，有利于引導學生進行題后檢查時不能只關注結果，更要關注解題過程.

5. 代數(shù)推理能力

例5 （浙江·嘉興卷）設[a5]是一個兩位數(shù)，其中a是十位上的數(shù)字（1 ≤ a ≤ 9）. 例如，當a = 4時，[a5]表示的兩位數(shù)是45.

（1）嘗試：

① 當a = 1時，152 = 225 = 1 × 2 × 100 + 25；

② 當a = 2時，252 = 625 = 2 × 3 × 100 + 25；

③ 當a = 3時，352 = 1 225 = ? ? ? ? ? ? ；

……

（2）歸納：[a52]與[100aa+1+25]有怎樣的大小關系？試說明理由.

（3）運用：若[a52]與100a的差為2 525，求a的值.

目標解析：此題考查了數(shù)字的變化規(guī)律、完全平方公式、整式的運算、代數(shù)式的比較等內(nèi)容，要求能發(fā)現(xiàn)數(shù)字變化中的規(guī)律，能用乘法公式進行簡單計算，并通過計算進行說理，考查了代數(shù)推理能力.

解法分析：求解第（1）小題，需要認真觀察當a = 1和a = 2時的式子，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并根據(jù)這個規(guī)律得到a = 3時的結果，即3 × 4 × 100 + 25.

求解第（2）小題，需要先理解式子“[a5]”的意義，可以寫成10a + 5，比較[a52]與[100aa+1+25]的大小. 可以利用作差法，得[a52-100aa+1+25]= [10a+52-100aa+1+25=0]. 也可以根據(jù)第（1）小題得到的規(guī)律，通過式子的變形進行驗證，即[a52]= [10a+52]=[100a2+100a+25]=[100aa+1+25]，體現(xiàn)了解法的多樣性.

第（3）小題的求解略.

試題分析：此題改編自人教版教材八年級上冊第十四章“整式的乘法與因式分解”的數(shù)學活動1，教材中給出了前三個算式，要求寫出一般的規(guī)律并給出證明，考查了從特殊到一般的數(shù)學思想，對學生的符號意識和推理能力都有較高的要求. 此題是在題干中給出了“[a5]”的定義，需要學生先理解式子“[a5]”的意義. 在第（1）小題中，給出了當a分別取1，2時的算式，要求寫出a取3時的算式. 對于一般規(guī)律，是在第（2）小題直接給出的，讓學生說明理由. 第（3）小題主要是與一元二次方程的知識相結合，體現(xiàn)了從一般到特殊的思路.

總體來看，例5降低了教材中數(shù)學活動的難度，符合中考試題對難度的要求. 同時，突出了特殊與一般的數(shù)學思想，加強了知識之間的聯(lián)系，豐富了試題的內(nèi)涵. 此題也啟示教師在復習時要回歸教材，重視對教材資源的挖掘和使用，提高復習的針對性.

類題賞析：（河北卷）發(fā)現(xiàn)：兩個已知正整數(shù)之和與這兩個正整數(shù)之差的平方和一定是偶數(shù)，且該偶數(shù)的一半也可以表示為兩個正整數(shù)的平方和.

驗證：如[2+12+2-12=10]為偶數(shù). 試把10的一半表示為兩個正整數(shù)的平方和；

探究：設“發(fā)現(xiàn)”中的兩個已知正整數(shù)為m，n，試論證“發(fā)現(xiàn)”中的結論正確.

【評析】與例5相比，此題考查的知識點相對較少，但對學生的代數(shù)推理能力提出了更高的要求. 題目先以文字表述的方式給出了一個數(shù)學“發(fā)現(xiàn)”，接著進行了特例驗證，在此基礎上要求用符號推理的方式對此題中的“發(fā)現(xiàn)”進行證明. 解決此題的關鍵是正確理解“兩個已知正整數(shù)之和與這兩個正整數(shù)之差的平方和一定是偶數(shù)，且該偶數(shù)的一半也可以表示為兩個正整數(shù)的平方和”的意思，這也是此題的難點.

6. 創(chuàng)設問題情境

例6 （湖南·長沙卷）當今大數(shù)據(jù)時代，“二維碼”具有存儲量大、保密性強、追蹤性高等特點，它已被廣泛應用于我們的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期間，區(qū)區(qū)“二維碼”已經(jīng)展現(xiàn)出無窮威力. 看似“碼碼相同”，實則“碼碼不同”. 通常，一個“二維碼”由1 000個大大小小的黑白小方格組成，其中大約80%的小方格專門用做糾錯碼和其他用途的編碼，這相當于1 000個方格只有200個方格作為數(shù)據(jù)碼. 根據(jù)相關數(shù)學知識，這200個方格可以生成2200個不同的數(shù)據(jù)二維碼，現(xiàn)有四名網(wǎng)友對2200的理解如下：

YYDS（永遠的神）：2200就是200個2相乘，它是一個非常非常大的數(shù)；

DDDD（懂的都懂）：2200等于2002；

JXND（覺醒年代）：2200的個位數(shù)字是6；

QGYW（強國有我）：我知道210 = 1 024，103 =1 000，所以我估計2200比1060大.

其中對2200的理解錯誤的網(wǎng)友是 ? ? ? （填寫網(wǎng)名字母代號）.

目標解析：此題考查了乘方的意義、冪的性質(zhì)、數(shù)字規(guī)律探究、比較數(shù)的大小等知識. 要求理解乘方的意義，考查了學生的符號意識和抽象能力；通過尋找數(shù)字的變化規(guī)律，考查了特殊與一般的數(shù)學思想和學生的探究能力；通過比較數(shù)的大小，考查了轉(zhuǎn)化思想和學生的推理能力.

解法分析：根據(jù)乘方的意義，可以判斷網(wǎng)友“YYDS”的理解正確，網(wǎng)友“DDDD”的理解錯誤.

判斷網(wǎng)友“JXND”的理解需要探究2200的個位數(shù)字的規(guī)律：由21 = 2，22 = 4，23 = 8，24 = 16，25 = 32，26 = 64，可知2n的尾數(shù)按照2，4，8，6的順序每四個一循環(huán)，因此2200的個位數(shù)字是6.

判斷網(wǎng)友“QGYW”的理解需要比較2200與1060的大小，結合兩個冪的特征和題目中給出的條件，可以把2200與1060變成指數(shù)相同的冪. 根據(jù)冪的乘方性質(zhì)，可得2200 = （210）20 = （1 024）20，1060 = （103）20 =1 00020，從而有2200 > 1060. 所以理解錯誤的網(wǎng)友是“DDDD”.

試題分析：數(shù)學素養(yǎng)的形成和發(fā)展離不開具體的情境與問題，素養(yǎng)立意的中考命題導向也要重視試題情境的創(chuàng)設. 此題以生活中常見的二維碼為情境，挖掘二維碼中蘊含的數(shù)學元素，引導學生會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界. 通過展示四位網(wǎng)友對2200的不同理解，讓學生通過數(shù)學運算和推理進行判斷，從而引導學生會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界. 此題的難點和易錯點是判斷網(wǎng)友“QGYW”的理解，即比較2200與1060的大小. 學生的困難主要是不能靈活運用冪的基本性質(zhì)對2200與1060進行轉(zhuǎn)化. 此題啟示我們在平時的教學和復習中，要注重創(chuàng)設問題情境，讓學生在問題解決的過程中掌握知識、提升能力、發(fā)展素養(yǎng).

類題賞析：（四川·宜賓卷）《數(shù)書九章》是中國南宋時期杰出數(shù)學家秦九韶的著作，書中提出了已知三角形三邊a，b，c求面積的公式，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實. 一為從隅，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式，即為S =[14c2a2-c2+a2-b222]. 現(xiàn)有周長為18的三角形的三邊滿足a∶b∶c = 4∶3∶2，則用以上給出的公式求得這個三角形的面積為 ? ? ? ? .

【評析】此題主要考查了二次根式的運算. 試題以中國古代數(shù)學文化為背景，介紹了用“秦九韶公式”求三角形面積的方法，既考查了學生的運算能力，又展現(xiàn)了我國古代的數(shù)學成就，有利于增強學生的民族自豪感，激發(fā)學生的愛國熱情，滲透育人價值.

7. 設置探究性試題

例7 （山東·泰安卷）將從1開始的連續(xù)自然數(shù)按如圖5所示的規(guī)律排列.

若有序數(shù)對（n，m）表示第n行，從左到右第m個數(shù)，如（3，2）表示6，則表示99的有序數(shù)對是? ? ? .

目標解析：此題主要考查對數(shù)字排列規(guī)律的探究，要求理解有序數(shù)對（n，m）的意義，能用含n，m的式子描述試題中數(shù)字的排列規(guī)律，考查了學生的符號意識和抽象能力；通過尋找表示99的有序數(shù)對，考查了從特殊到一般的數(shù)學思想和學生的推理能力.

解法分析：解決此題的關鍵是發(fā)現(xiàn)所給材料中蘊含的規(guī)律，并能用式子表示規(guī)律. 首先，根據(jù)第n行的最后一個數(shù)是n2，確定99 = 102 - 1在第10行倒數(shù)第二個位置；再根據(jù)第n行有（2n - 1）個數(shù)，得出第10行的數(shù)有19個，從而得到表示99的有序數(shù)對是（10，18）.

試題分析：此題改編自青島版《義務教育教科書·數(shù)學》七年級上冊第三章“有理數(shù)的運算”綜合練習第12題. 教材題目是把“-1，2，-3，4，-5，6，

-7，…”這列數(shù)按如圖5所示的形式排列起來，求第8行從左數(shù)第2個數(shù)是多少. 例7去掉了數(shù)字的符號規(guī)律，引入有序數(shù)對表示數(shù)的位置，把教材中題目的設問改編為已知數(shù)，求它的位置. 學生解題時的難點在于不易發(fā)現(xiàn)數(shù)列中每行最后一個數(shù)的規(guī)律. 教師在教學中要引導學生從特殊位置的數(shù)開始，按照從特殊到一般的思路進行規(guī)律探究.

類題賞析：（四川·德陽卷）古希臘的畢達哥拉斯學派對整數(shù)進行了深入的研究，尤其注意形與數(shù)的關系，“多邊形數(shù)”也稱為“形數(shù)”，就是形與數(shù)的結合物. 用點排成的圖形如圖6所示.

其中，圖6（a）的點數(shù)叫做三角形數(shù)，從上至下第一個三角形數(shù)是1，第二個三角形數(shù)是1 + 2 = 3，第三個三角形數(shù)是1 + 2 + 3 = 6，……

圖6（b）的點數(shù)叫做正方形數(shù)，從上至下第一個正方形數(shù)是1，第二個正方形數(shù)是1 + 3 = 4，第三個正方形數(shù)是1 + 3 + 5 = 9，……

……

依此類推，圖6（d）中第五個正六邊形數(shù)是 ? ? .

【評析】此題是從幾何圖形的角度探究規(guī)律，以畢達哥拉斯學派的“多邊形數(shù)”為背景，給出了點的排列方式，解題時需要認真觀察圖形，結合前兩個圖形中三角形數(shù)和正方形數(shù)的規(guī)律，類比探究出六邊形數(shù)的規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律列出算式計算結果.

8. 設置跨學科試題

例8 （浙江·杭州卷）照相機成像應用了一個重要原理，用公式[1f=1u+1v v≠f]表示，其中f表示照相機鏡頭的焦距，u表示物體到鏡頭的距離，v表示膠片（像）到鏡頭的距離．已知f，v，則u等于（ ? ）.

（A）[fvf-v] （B）[f-vfv]

（C）[fvv-f] （D）[v-ffv]

目標解析：此題主要考查分式的基本性質(zhì)、通分、分式的加減運算等知識，要求能利用分式的運算解決簡單問題，考查學生的運算能力和推理能力.

解法分析：解決此題可以利用分式的運算對公式進行變形：由[1u=1f-1v=v-ffv]，得[u=fvv-f]. 故答案選C；也可以把公式看成關于u的分式方程，通過解分式方程求出結果.

試題分析：《標準（2022年版）》提出要探索命制多學科融合類試題，以體現(xiàn)數(shù)學學科與其他學科之間的聯(lián)系. 此題設置為利用分式的運算對物理公式進行變形，體現(xiàn)了數(shù)學知識在物理學科中的應用. 學生容易在通分時出錯，教師教學時注意要求學生在運算時做到步步有據(jù).

類題賞析：（湖北·鄂州卷）生物學中，描述、解釋和預測種群數(shù)量的變化，常常需要建立數(shù)學模型. 在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數(shù)學模型2n來表示. 即：21 = 2，22 = 4，23 = 8，24 = 16，25 = 32，……. 試推算22 022的個位數(shù)字是（ ? ）.

（A）8 （B）6

（C）4 （D）2

【評析】此題以生物學中的細胞分裂為背景，指出解決這個問題需要建立的數(shù)學模型，進一步探究數(shù)學模型中蘊含的規(guī)律，體現(xiàn)了數(shù)學學科與生物學科的聯(lián)系.

三、復習備考建議

結合以上對2022年全國各地區(qū)中考試卷中部分“數(shù)與式”試題的分析，針對2023年中考“數(shù)與式”部分的復習備考，提出如下建議.

1. 重視對基礎知識的復習

2022年全國各地區(qū)中考“數(shù)與式”試題普遍難度較小，更多關注對基礎知識的考查. 因此，“數(shù)與式”部分的復習重點是幫助學生鞏固基礎知識. 在中考第一輪復習時，教師可以通過思維導圖等形式幫助學生完整構建該部分內(nèi)容的知識結構，引導學生把每一個知識點放在整體的知識結構體系中進行復習. 對本部分內(nèi)容的核心知識，如數(shù)軸、絕對值、相反數(shù)、同類項、分式、數(shù)與式的運算法則、冪的性質(zhì)、乘法公式等，要注重其與其他知識之間的聯(lián)系，在知識的聯(lián)系中強化對核心知識的理解. 在中考第二輪復習時，教師應引導學生重視解題的依據(jù)，在應用中強化對基礎知識的深度理解. 在中考第三輪復習時，教師應重視對錯題資源的利用，及時引導學生對基礎知識進行有針對性地查漏補缺.

2. 重視復習課中的運算教學

多數(shù)中考“數(shù)與式”試題離不開對學生運算能力的考查. 歷年中考評卷的試題分析表明，學生丟分的一大原因是運算出錯，“會而不對”的現(xiàn)象大量存在. 因此，在復習課中，教師要重視運算教學，避免只重解題思路的明晰而忽視解題過程的完善及結果的正確等眼高手低的現(xiàn)象.

3. 重視復習課中的素養(yǎng)導向

2022年全國各地區(qū)中考數(shù)學試題普遍體現(xiàn)了素養(yǎng)立意的命題導向. 就“數(shù)與式”試題來看，除了運算能力外，抽象能力、推理能力、幾何直觀、應用意識和創(chuàng)新意識也是考查的重點. 因此，在中考復習階段，教師應該精選體現(xiàn)素養(yǎng)導向的題目，如應用題、探究題、開放題和新定義題等. 同時，要特別重視解題后的反思，引導學生通過反思鞏固知識、梳理方法、感悟思想、提升素養(yǎng).

四、典型模擬題

1. 我國古代《易經(jīng)》一書中記載，遠古時期，人們通過在繩子上打結來記錄數(shù)量，即“結繩記數(shù)”. 如圖7，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結，滿七進一，用來記錄孩子出生后的天數(shù). 由圖7可知，孩子出生后的天數(shù)是（ ? ）.

（A）67 （B）124

（C）210 （D）469

答案：A.

2. 按如圖8所示的程序計算，若輸入m = 20，輸出結果是82；若輸入m = 5，輸出結果是90. 若開始輸入的數(shù)m為正整數(shù)，最后輸出的結果為58，則開始輸入的數(shù)m的所有可能的值為? ? ? ? ?.

答案：3或14.

3. 下面是小彬同學進行分式化簡的過程，請認真閱讀并完成相應任務.

[a2-1a2+2a+1+1÷aa+1]

=[a+1a-1a+12+1÷aa+1]…第一步

=[a-1a+1+1÷aa+1]…第二步

=[a-1+1a+1÷aa+1]…第三步

=[aa+1÷aa+1]…第四步

=[aa+1 ? a+1a]…第五步

= 1…第六步

任務一：填空.

① 以上化簡步驟中，第一步進行的運算是（? ? ）.

（A）整式乘法 （B）因式分解

② 第 ? ? 步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是 ? ? ? ? ?；

任務二：試直接寫出該分式化簡的正確結果；

任務三：除糾正上述錯誤外，試根據(jù)平時的經(jīng)驗，就分式的化簡過程寫出一條注意事項.

答案：任務一：① B；② 三；錯誤的原因是分式相加時，沒有對1通分（答案不唯一，合理即可）.

任務二：2.

任務三：答案不唯一. 例如，最后結果應化為最簡分式或整式；括號前是“[-]”，去掉括號后，括號里的各項均要變號；分式化簡不能與解分式方程混淆；等等.

4. 已知下列等式：① 22 - 12 = 3；② 32 - 22 = 5；③ 42 - 32 = 7；……

（1）仔細觀察前三個式子的規(guī)律，寫出第④個式子 ? ? ? .

（2）找出規(guī)律，寫出第n個式子 ? ? ? .

（3）利用（2）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算：1 + 3 + 5 + 7 + … + 997 + 999.

答案：（1）[52-42=]9.

（2）[n+12-n2=2n+1].

（3）原式 =[12+22-12+32-22+42-32+…+4992-] [4982+5002-4992]=[5002]= 250 000.

5. 閱讀與計算：閱讀以下材料，并完成相應的任務.

古希臘的幾何學家海倫在他的《度量》一書中給出了利用三角形的三邊求三角形面積的“海倫公式”：如果一個三角形的三邊長分別為a，b，c，設p =[a+b+c2]，則三角形的面積S =[pp-ap-bp-c].

我國南宋著名的數(shù)學家秦九韶，曾提出利用三角形的三邊求面積的“秦九韶公式”（三斜求積術）：如果一個三角形的三邊長分別為a，b，c，則三角形的面積S =[14a2b2-a2+b2-c222].

（1）若一個三角形的三邊長分別是5，6，7，則這個三角形的面積等于 ? ? ? ；

（2）若一個三角形的三邊長分別是[5， 6， 7]，求這個三角形的面積.

答案：（1）[66]；

（2）[262].

參考文獻：

［1］鮑建生，章建躍. 數(shù)學核心素養(yǎng)在初中階段的表現(xiàn)之二：運算能力［J］. 中國數(shù)學教育（初中版），2022（6）：3-8.

［2］王爍. 2021年中考“數(shù)與式”專題解題分析［J］. 中國數(shù)學教育（初中版），2022（1 / 2）：23-30，40.

基金項目：河南省基礎教育教學研究項目——基于核心素養(yǎng)的初中數(shù)學復習課教學策略研究（JCJYB210310041）.

作者簡介：谷曉凱（1972— ），男，中學高級教師，主要從事中學數(shù)學教育教學研究；

張海營（1964— ），男，中學高級教師，河南省特級教師，主要從事中學數(shù)學教育教學研究.