初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)抽象的理解與實(shí)踐

陳金生

［摘? 要］ 教師要想讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，就必須對(duì)數(shù)學(xué)抽象這一概念形成正確的理論理解，并對(duì)實(shí)踐的正確途徑做出探究. 教師進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的教學(xué)，要立足于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知特點(diǎn)，要讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)相對(duì)豐滿的數(shù)學(xué)抽象過程，這樣才能讓學(xué)生在建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中形成數(shù)學(xué)眼光，并且將數(shù)學(xué)眼光進(jìn)一步應(yīng)用于后續(xù)的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)中. 數(shù)學(xué)抽象有兩個(gè)端點(diǎn)：前一個(gè)端點(diǎn)是學(xué)生所能感知的現(xiàn)實(shí)世界，后一個(gè)端點(diǎn)是數(shù)學(xué)語言所描述的現(xiàn)實(shí)世界. 如果兩個(gè)端點(diǎn)以及中間的過程是科學(xué)的，那么數(shù)學(xué)抽象對(duì)于學(xué)生來說便是一種豐富的體驗(yàn)，能夠讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中充分參與，進(jìn)而獲得數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)抽象；理解；實(shí)踐

在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱新課標(biāo)）發(fā)布之前，初中數(shù)學(xué)教師在理解數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的時(shí)候，借鑒的是高中階段的相關(guān)表述，其中提及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)組成要素的時(shí)候，明確第一要素就是數(shù)學(xué)抽象. 在新課標(biāo)頒布之后，可以發(fā)現(xiàn)其中并沒有數(shù)學(xué)抽象這樣的明確提法，只是強(qiáng)調(diào)要用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界. 實(shí)際上，用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，指的就是數(shù)學(xué)抽象，只不過這種說法對(duì)初中學(xué)生而言，有著更多的失去性. 站在數(shù)學(xué)的角度看數(shù)學(xué)抽象，可以認(rèn)為數(shù)學(xué)抽象是從空間形式與數(shù)量關(guān)系中得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的思維過程. 這樣一個(gè)過程，即使在核心素養(yǎng)沒有明確提出之前，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中就已經(jīng)有著充分的體現(xiàn). 而在明確了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的組成要素之后，數(shù)學(xué)抽象有了更加獨(dú)立的地位，當(dāng)然也有了更加重要的地位. 教師要想讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，就必須借助數(shù)學(xué)抽象這一概念來形成正確的理論理解，以及付諸實(shí)踐.

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)抽象的理解

初中數(shù)學(xué)教師都知道數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形的學(xué)科，在這一表述當(dāng)中，數(shù)與形是兩個(gè)抽象的概念. 也就是說數(shù)學(xué)的研究對(duì)象并不是現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際物體，而是在對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際物體進(jìn)行抽象之后，所獲得的與數(shù)或形相關(guān)的對(duì)象. 對(duì)數(shù)學(xué)研究者以及數(shù)學(xué)教師而言，日常的工作中對(duì)數(shù)與形已有了充分的加工，這種由先天釋放機(jī)制形成的熟悉感，容易讓教師忽視學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)可能遇到的陌生感. 眾所周知，初中階段學(xué)生的思維特點(diǎn)在于形象思維與抽象思維并重，且正由形象思維向抽象思維轉(zhuǎn)化［1］. 這個(gè)轉(zhuǎn)化過程中學(xué)生會(huì)遇到諸多困難，很多時(shí)候?qū)W生難以自主解決這些困難，這就造成了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的諸多挑戰(zhàn)——通過研究可以發(fā)現(xiàn)很多挑戰(zhàn)都出現(xiàn)在數(shù)學(xué)抽象的過程中，但是如果教師忽視了數(shù)學(xué)抽象的復(fù)雜性及其對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)產(chǎn)生的障礙，教師的教與學(xué)生的學(xué)之間就會(huì)出現(xiàn)脫節(jié). 因此，一個(gè)稱職的初中數(shù)學(xué)教師一定會(huì)高度重視數(shù)學(xué)抽象過程的教學(xué)，而其前提就是對(duì)數(shù)學(xué)抽象必須有正確的理解.

這里所說的數(shù)學(xué)抽象理解，應(yīng)當(dāng)是站在學(xué)生角度的理解. 以“全等形”“全等三角形”相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)為例，雖然學(xué)生在生活中肯定會(huì)有“兩個(gè)物體一模一樣”的經(jīng)驗(yàn)性認(rèn)識(shí)（當(dāng)然這里要防止哲學(xué)意義上的“世界上沒有一模一樣的物體”的判斷干擾，關(guān)于這一話題，這里不再贅述），但是他們?cè)谏町?dāng)中也很難用數(shù)學(xué)的眼光去看待這些問題. 那么“全等形”這一知識(shí)的教學(xué)，實(shí)際上就是引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去看生活中“一模一樣的物體”. 從“一模一樣的物體”到“全等形”之間的距離的判斷，是“全等形”教學(xué)中完成數(shù)學(xué)抽象的關(guān)鍵.

換句話說，只有站在學(xué)生的角度去思考“如果面前出現(xiàn)兩個(gè)一模一樣的物體，如何建立‘全等形概念呢”這一問題，尤其是重視學(xué)生在思考這一問題時(shí)可能會(huì)有哪些具體的想法，才能將學(xué)生的思維去逐步抽絲剝繭，并最終讓其獲得數(shù)學(xué)意義上的“全等形”概念. 這樣的教學(xué)思路相對(duì)于傳統(tǒng)的教學(xué)思路或某些版本的教材編寫而言，更貼近學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際，更有助于將學(xué)生的學(xué)習(xí)出發(fā)點(diǎn)錨定在生活上，將學(xué)生的學(xué)習(xí)落腳點(diǎn)錨定在數(shù)學(xué)上. 有些教材是直接給學(xué)生兩幅相同的圖片，然后告訴他們“像這樣能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做‘全等形”. 如果教師按照這種思路去教學(xué)，實(shí)際上學(xué)生所經(jīng)歷的只是一個(gè)被動(dòng)獲得知識(shí)的過程，并不利于對(duì)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng).

所以綜合來看，關(guān)于數(shù)學(xué)抽象的教學(xué)，要立足于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知特點(diǎn)，要讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)相對(duì)完整的數(shù)學(xué)抽象過程，這樣才能讓學(xué)生在建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中形成數(shù)學(xué)思維，并且將數(shù)學(xué)思維進(jìn)一步應(yīng)用于后續(xù)的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)中.

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)抽象的實(shí)踐

實(shí)際上數(shù)學(xué)抽象有兩個(gè)端點(diǎn)：前一個(gè)端點(diǎn)是學(xué)生所能感知的現(xiàn)實(shí)世界，后一個(gè)端點(diǎn)是數(shù)學(xué)語言所描述的現(xiàn)實(shí)世界. 要讓學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象過程更完整，很大程度上取決于教師的教學(xué)思路以及實(shí)踐途徑. 有研究者認(rèn)為，初中數(shù)學(xué)抽象的培養(yǎng)關(guān)鍵點(diǎn)包括：情境創(chuàng)設(shè)，即從生活情境走向數(shù)學(xué)情境；深度學(xué)習(xí)，即從循環(huán)類比走向結(jié)構(gòu)生成；實(shí)踐體驗(yàn)，即從系統(tǒng)關(guān)聯(lián)走向綜合解決［2］. 這樣的判斷明確指出了數(shù)學(xué)抽象的出發(fā)點(diǎn)與落腳點(diǎn)，而且強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)抽象應(yīng)有的思維過程，事實(shí)證明，如果兩個(gè)端點(diǎn)以及中間的過程是科學(xué)的，那么數(shù)學(xué)抽象對(duì)于學(xué)生來說便是一個(gè)良好的體驗(yàn)，能夠讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中充分參與，進(jìn)而獲得數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng).

以上面所說的“全等形”概念教學(xué)為例. 將教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)從課本上給出的兩個(gè)相同的平面圖形，前移到學(xué)生生活中兩個(gè)相同的物體，這樣做最大的好處就是學(xué)生的認(rèn)知出發(fā)點(diǎn)為自身的生活經(jīng)驗(yàn). 教學(xué)的時(shí)候，教師可以直接讓學(xué)生舉出相關(guān)的例子. 在學(xué)生舉出相關(guān)例子之后，教師可以反問一個(gè)問題：你如何判斷這兩個(gè)物體是一模一樣的？提出這個(gè)問題的目的，不在于讓學(xué)生說出統(tǒng)一的答案，而在于驅(qū)動(dòng)學(xué)生對(duì)自己所舉的例子進(jìn)行深度思考，同時(shí)也可以為數(shù)學(xué)抽象的培養(yǎng)打下基礎(chǔ). 學(xué)生在思考的時(shí)候，思維必然會(huì)加工自己所舉例子中的那些物體，這個(gè)時(shí)候?qū)W生很容易形成“對(duì)應(yīng)”和“相同、一樣”等認(rèn)識(shí)，連起來說就是“兩個(gè)一模一樣的物體對(duì)應(yīng)的部位是相同的”——這是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中所進(jìn)行的描述. 這一描述中的“相同”在教師的意料之內(nèi)，而“對(duì)應(yīng)”則在教師的意料之外. 要知道在后續(xù)證明三角形全等的時(shí)候，特別強(qiáng)調(diào)的一點(diǎn)就是“對(duì)應(yīng)”，事實(shí)上也通常是在這個(gè)時(shí)候，教師才會(huì)強(qiáng)調(diào)“對(duì)應(yīng)”的重要性. 但是通過以上的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)學(xué)生有充分的數(shù)學(xué)抽象空間的時(shí)候，“全等形”所強(qiáng)調(diào)的“對(duì)應(yīng)”可以提前出現(xiàn)，這很顯然非常有助于學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)全等三角形性質(zhì)及判定知識(shí).

其后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步進(jìn)行簡化，將學(xué)生所舉例子中的立體圖形分成一類、平面圖形分成另一類. 學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)，如果研究對(duì)象是平面圖形，學(xué)習(xí)起來相對(duì)簡單. 于是學(xué)生就會(huì)遵循由易到難的原則去學(xué)習(xí)——這種原則認(rèn)識(shí)對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)品質(zhì)的提升來說也是有意義的. 由于前面已經(jīng)有了相對(duì)深度的學(xué)習(xí)過程，因此當(dāng)學(xué)生的觀察對(duì)象變成兩個(gè)一模一樣的平面圖形時(shí)，他們會(huì)有輕車熟路之感，讓他們總結(jié)這些圖形的規(guī)律，很多學(xué)生也會(huì)想到“重合”這個(gè)關(guān)鍵詞. 這時(shí)，只要教師稍加點(diǎn)撥，“完全重合”就會(huì)成為學(xué)生能夠自然接受的認(rèn)識(shí).

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)抽象的反思

通過上面的例子可以得出的一個(gè)基本結(jié)論：初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)抽象教學(xué)，目的在于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光.

數(shù)學(xué)眼光顯然不是天然形成的，只有經(jīng)歷了相對(duì)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)抽象訓(xùn)練，讓學(xué)生養(yǎng)成看待現(xiàn)實(shí)世界中的相關(guān)事物時(shí)帶著數(shù)學(xué)的意識(shí)，然后借助自己所學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)去加工這些實(shí)際物體，那么學(xué)生在現(xiàn)實(shí)世界當(dāng)中，才有可能從數(shù)學(xué)的角度去對(duì)這些實(shí)際事物進(jìn)行思考與判斷.

從這個(gè)角度來看，數(shù)學(xué)眼光的培養(yǎng)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的通俗表達(dá). 教師一定要站在學(xué)生的角度洞察學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)及生活經(jīng)驗(yàn)，知道怎樣借助學(xué)生經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)中的素材來創(chuàng)設(shè)情境，知道怎樣基于學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)去設(shè)計(jì)問題，以讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)完整的數(shù)學(xué)抽象過程. 大量的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)表明，當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷了這些過程之后，數(shù)學(xué)眼光就會(huì)慢慢被培養(yǎng). 學(xué)生在現(xiàn)實(shí)世界中遇到相關(guān)問題的時(shí)候，就會(huì)自然而然地從數(shù)學(xué)的角度給出或多或少的解釋與判斷，這也就意味著數(shù)學(xué)抽象的種子已經(jīng)種下，并且處于生長的狀態(tài). 如此長期堅(jiān)持，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的養(yǎng)成目標(biāo)就會(huì)真正實(shí)現(xiàn).

通過上面的分析可以發(fā)現(xiàn)，教師在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中落實(shí)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，需要基于學(xué)生視角的正確理解. 如果能夠做到這一點(diǎn)，那么數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的落地，以及通過數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)帶動(dòng)其他數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)組成要素的落地，就會(huì)在課堂上成為現(xiàn)實(shí).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 張本陸. 談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力：以“變量與函數(shù)”的教學(xué)為例［J］. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2014（01）：9-10.

［2］ 吳小兵. 初中數(shù)學(xué)抽象的要義與培養(yǎng)關(guān)鍵點(diǎn)［J］. 教學(xué)與管理，2021（07）：39-41.