深度學(xué)習(xí)下的“二面角”概念教學(xué)策略

李剛　楊軍

［摘? 要］ 文章以“二面角”的相關(guān)知識為例，探討基于深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)策略，促進(jìn)概念的理解性學(xué)習(xí).

［關(guān)鍵詞］ 高中數(shù)學(xué)；概念教學(xué)；深度學(xué)習(xí)；教學(xué)策略；二面角

問題提出

隨著信息化時代的發(fā)展，為落實立德樹人這個根本任務(wù)，培養(yǎng)現(xiàn)代社會需要的人才，教育勢必會在學(xué)習(xí)方式及教學(xué)方式上發(fā)生變革. 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》明確提出，要發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，使學(xué)生具有科學(xué)文化素養(yǎng)和終身學(xué)習(xí)能力，具有自主發(fā)展能力和溝通合作能力. 而深度學(xué)習(xí)的提出，被認(rèn)為是促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)養(yǎng)成和全面發(fā)展的重要途徑之一［1］. 數(shù)學(xué)作為思維的科學(xué)，結(jié)合學(xué)科特性，教師需要引導(dǎo)學(xué)生從知識符號的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向?qū)W科本質(zhì)和學(xué)科思想方法的理解與掌握，幫助學(xué)生實現(xiàn)“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越，這不僅符合深度學(xué)習(xí)的內(nèi)在需求，也是對數(shù)學(xué)教育的更高要求.

什么是深度學(xué)習(xí)

深度學(xué)習(xí)的概念源于對人工智能的研究，對于學(xué)生而言，深度學(xué)習(xí)是一種基于理解的學(xué)習(xí)［2］.

首先，數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)圍繞數(shù)學(xué)核心問題展開，把學(xué)習(xí)置于有意義且真實的問題情境中，并且引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)核心問題的探究過程，走向數(shù)學(xué)意義的深刻理解，優(yōu)化數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

其次，數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)重視學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，在整個過程中，教師為學(xué)生創(chuàng)設(shè)深度探究的情境，開發(fā)具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，帶領(lǐng)學(xué)生全身心參與，體驗成功、獲得發(fā)展，最終實現(xiàn)有意義的學(xué)習(xí).

最后，數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)注重挖掘知識背后的意義來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，幫助學(xué)生把握知識的本質(zhì)，幫助學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí).

二面角的深度教學(xué)探究

深度學(xué)習(xí)的主要目的是通過對核心知識的理解與掌握，培養(yǎng)學(xué)生的高階思維和關(guān)鍵能力，實現(xiàn)有意義的學(xué)習(xí). 因此，二面角的深度教學(xué)需要分析二面角這個知識點中所蘊含的高階思維和關(guān)鍵能力是什么，從而確定深度學(xué)習(xí)的目標(biāo).

二面角是人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)（必修第二冊）》第八章“立體幾何初步”第六節(jié)的知識內(nèi)容，其包括“二面角的定義”“二面角的平面角”等知識點. 二面角是高中空間立體幾何的基礎(chǔ)知識，重點研究空間角的關(guān)系，從結(jié)構(gòu)上來說是從線面關(guān)系到面面關(guān)系的過渡，在本章起著承前啟后的作用. 本節(jié)內(nèi)容蘊含了豐富的轉(zhuǎn)化思想，有關(guān)二面角的大多數(shù)問題可以空間問題平面化進(jìn)行解決，并且可以總結(jié)出“空間化平面—幾何化代數(shù)—解決代數(shù)問題—分析結(jié)果完成幾何問題”的空間幾何基本思想.

因此，深度學(xué)習(xí)下的二面角概念教學(xué)，不僅需要培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和空間想象能力，而且需要深挖知識點的整體架構(gòu)，并幫助學(xué)生建立知識脈絡(luò)，通過對二面角的不斷探究，給學(xué)生提供解決二面角問題的一般思路.

確定深度教學(xué)環(huán)節(jié)，設(shè)置教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)對深度學(xué)習(xí)的分析論述，筆者比較贊同鄭毓信教授對深度教學(xué)環(huán)節(jié)的觀點：一般地，深度教學(xué)包括四個教學(xué)環(huán)節(jié)，（1）從學(xué)生已有的知識出發(fā)，聯(lián)系學(xué)生的生活經(jīng)驗，做到知識的縱向遷移；（2）學(xué)科知識是深度教學(xué)的載體，通過問題的引領(lǐng)方式，使學(xué)生主動思維，推動知識的深度理解；（3）設(shè)置充分交流與互動環(huán)節(jié)，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激活學(xué)生對問題的思考，聯(lián)系新舊知識，實現(xiàn)有意義的學(xué)習(xí)；（4）總結(jié)學(xué)習(xí)過程，幫助學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，使深度學(xué)習(xí)真正發(fā)生.

因此，深度學(xué)習(xí)下的二面角概念教學(xué)，應(yīng)從學(xué)生已有的經(jīng)驗出發(fā)，即聯(lián)系角的相關(guān)知識，利用知識的發(fā)生發(fā)展過程創(chuàng)設(shè)真實的情境，通過問題引導(dǎo)學(xué)生層層深入，生成知識點，用具有挑戰(zhàn)性的問題，促使學(xué)生思考“為什么產(chǎn)生二面角”“為什么這樣定義”“二面角的價值是什么”，由此實現(xiàn)二面角的深度學(xué)習(xí).

導(dǎo)向深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)要求在思維維度上指向高階思維，內(nèi)容維度上聚焦學(xué)科本質(zhì)，方法維度上強(qiáng)化問題解決，評價維度上凸顯實踐創(chuàng)新. 所以本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)置如下：

（1）類比角的概念，探究生成二面角相關(guān)知識點，通過對二面角的平面角定義的再探究，對二面角進(jìn)行深度思考；通過總結(jié)，正確認(rèn)識二面角在立體幾何中的地位，幫助學(xué)生達(dá)到知識縱向和橫向的建構(gòu).

（2）從有意義的情境出發(fā)，讓學(xué)生積極參與到課堂學(xué)習(xí)中來，通過對二面角的逐步探究，培養(yǎng)學(xué)生解決一般問題的能力，然后通過問題的解決，鍛煉學(xué)生運用類比、化歸等數(shù)學(xué)思想方法的能力，最后通過本節(jié)課的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，落實核心素養(yǎng).

教學(xué)過程設(shè)計

1.創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生認(rèn)知特點的問題情境，引入二面角概念

引導(dǎo)語：在前面一節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了直線與平面的關(guān)系，那么本節(jié)課自然而然就要學(xué)習(xí)平面與平面的關(guān)系. 本節(jié)課，請同學(xué)通過折紙，看看能有什么發(fā)現(xiàn).

問題1：對折一張紙，再把紙從重合展開至水平（如圖1所示）. 在此過程中，同學(xué)們觀察紙的形狀發(fā)生了什么變化？觀察翻紙產(chǎn)生的圖形，同學(xué)們能聯(lián)想到二維平面的什么圖形？

教師引導(dǎo)：對于這樣一個開放性問題，學(xué)生可能摸不著頭腦. 本節(jié)課開始旨在用紙的張口引出角的概念，因此教師可以指著紙的張口有引導(dǎo)性地把學(xué)生的思緒集中到本節(jié)課的知識內(nèi)容上來.

設(shè)計意圖 溫故知新，通過具體的生活情境引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注本節(jié)課的知識內(nèi)容. 在紙的翻折過程中，最直觀的就是紙的張口發(fā)生了變化，因此可對紙的張口大小變化這一生活經(jīng)驗進(jìn)行提煉，引導(dǎo)性地提問：“當(dāng)紙沒有閉合時，同學(xué)們從不同角度觀察，能發(fā)現(xiàn)什么嗎？”當(dāng)有學(xué)生提出從側(cè)面看像一個角時，教師就要抓住這個閃光的想法加以引導(dǎo)，把紙的“張口”這一非數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，通過具體情境帶領(lǐng)學(xué)生逐步深入本節(jié)課知識點的學(xué)習(xí).

小組討論：觀察紙的張口所形成的“角”，同學(xué)們能發(fā)現(xiàn)它與普通的角有什么不同嗎？

小結(jié)：類比平面角概念，發(fā)現(xiàn)平面角與二面角的不同之處. 第一，平面角是由兩條射線及其一個交點組成的，而二面角是由兩個平面及其一條公共直線組成的；第二，直線上的一點可以將這條直線分割成兩條射線，而平面則被一條直線分割成兩個半平面. 通過以上類比，可以得到二面角的定義：

定義1：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角（如圖2所示），這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面.棱為AB，面分別為α，β的二面角記作二面角α－AB－β. 有時為了方便，也可在α，β內(nèi)（棱以外的半平面部分）分別取點P，Q，將這個二面角記作二面角P－AB－Q. 如果棱記作l，那么這個二面角還可以記作二面角α－l－β或二面角P－l－Q.

設(shè)計意圖 通過對本節(jié)課學(xué)習(xí)的“角”與之前學(xué)習(xí)的角進(jìn)行異同類比，促使新舊知識發(fā)生了鏈接，從而得到二面角的定義，幫助學(xué)生對本節(jié)課知識建立了結(jié)構(gòu)性認(rèn)識，并且感悟到幾何知識從一維到二維、從平面到空間的整體性和連貫性.

2. 搭建遞進(jìn)式思維過程，引入二面角的平面角概念

問題2：知道了二面角的存在，那么當(dāng)紙閉合時，二面角的大小是多少度？把對折的紙打開至垂直和水平時，二面角的大小又分別是多少度？

追問：同學(xué)們能指出0°，90°，180°的角在哪里嗎？

教師引導(dǎo)學(xué)生思考：觀察圖1對折的紙，當(dāng)紙重合時，從側(cè)面（左視圖）看，發(fā)現(xiàn)其像0°的角（垂直和水平類似）. 因此通過觀察我們找到，0°，90°，180°的角好像就在“折紙的橫截面”上.同學(xué)們想象一下，如果把“橫截面”所形成的角當(dāng)作二面角來測量大小的話，那么這個“橫截面”所形成的“角”與所在平面、棱有什么位置關(guān)系呢？

設(shè)計意圖 認(rèn)識往往是逐步明朗與不斷深入的過程，教師通過折紙的張口引入二面角，結(jié)合一般探究思路，持續(xù)引導(dǎo)學(xué)生對核心問題的明朗化與再聚焦，即怎么找出二面角的大小，所謂不憤不啟，不悱不發(fā)，從而促進(jìn)學(xué)生深入思考.

通過思考與發(fā)現(xiàn)，得到了二面角的平面角的定義：

定義2：在二面角α－l－β（如圖3所示）的棱l上任取一點O，以O(shè)為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角.

設(shè)計意圖 對概念知識的教學(xué)，如果采用“告訴式”，學(xué)生日后回想概念時，往往是記憶模糊的，究其原因就是學(xué)生沒有參與到概念的生成過程中來.類比之前學(xué)習(xí)角的過程，從角的構(gòu)成元素到角的大小，通過有引導(dǎo)性的提問，使學(xué)生認(rèn)識到問題2的本質(zhì)是找到二面角的平面角.教師應(yīng)給學(xué)生一定的思考空間，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)二面角的平面角，然后再給出定義，加深學(xué)生對二面角的平面角定義的理解與記憶.

3. 對二面角的平面角定義的再思考

問題3：根據(jù)定義，請大家思考，為什么要用與棱垂直的兩條射線定義二面角的平面角呢？換言之，用與棱不垂直的兩條射線能否定義二面角的平面角呢？

追問：（1）用之前學(xué)習(xí)的特殊角，如與棱成30°，45°，60°夾角的射線可否定義二面角的平面角呢？

（2）回顧問題2，我們能發(fā)現(xiàn)二面角的取值范圍是多少嗎？

（3）用不與棱垂直的兩條射線定義二面角的平面角會產(chǎn)生什么結(jié)果？

設(shè)計意圖 對于一般的二面角教學(xué)，可能在引出相應(yīng)概念后就結(jié)束了，而深度學(xué)習(xí)下的二面角教學(xué)則在學(xué)生掌握了一個新概念后，應(yīng)繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生深入思考這一概念的本質(zhì)，進(jìn)一步思考相關(guān)概念的合理性，真正弄清為什么這樣定義. 通過一系列追問，由一般到特殊、由淺入深，潛移默化地幫助學(xué)生建立解決問題的一般思路.

問題4：我們發(fā)現(xiàn)與棱成60°夾角的射線不能定義二面角的平面角，類比推理出與棱成30°，45°夾角的射線也不行，于是把問題由特殊推廣到一般：與棱成γ角的兩條射線（0°≤γ<90°）是否可以定義二面角的平面角呢？

教師引導(dǎo)：先弄清問題，即在二面角α－l－β中（如圖5所示），在半平面α和β內(nèi)分別作兩條射線OA，OB，它們與二面角的棱l所成的夾角均為γ（γ≠90°），記新定義的“平面角”為θ′，如果能計算出θ′的取值范圍，那么問題就得以解決.

設(shè)計意圖 雖從直觀經(jīng)驗上驗證了概念的準(zhǔn)確性，但仍應(yīng)促使學(xué)生深入思考，對概念做出必要的檢驗，從特殊推廣到一般. 經(jīng)過從簡到難、循序漸進(jìn)的教學(xué)過程，使學(xué)生對二面角的概念有了一個更加清晰、更加深刻的認(rèn)識.

對二面角深度教學(xué)的思考

1. 從表層教學(xué)向深度教學(xué)轉(zhuǎn)變

從二面角概念的深度教學(xué)來說，教師應(yīng)打通知識壁壘，啟發(fā)學(xué)生積極思考，把腦海中的零散知識條理化，幫助學(xué)生建立知識間的縱向聯(lián)系，促進(jìn)知識間的正遷移，形成按照邏輯順序由簡單到復(fù)雜、由低維到高維的結(jié)構(gòu)性認(rèn)識，把握二面角相關(guān)內(nèi)容，更好地認(rèn)識二面角與角的內(nèi)在聯(lián)系，建立關(guān)于幾何的整體性認(rèn)識.

從數(shù)學(xué)概念的深度學(xué)習(xí)來說，應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生多思考數(shù)學(xué)概念，利用數(shù)學(xué)概念解決問題和實現(xiàn)創(chuàng)新，養(yǎng)成數(shù)學(xué)素養(yǎng)，實現(xiàn)終身發(fā)展. 因此筆者認(rèn)為，在深度教學(xué)數(shù)學(xué)概念前，教師應(yīng)深度理解課標(biāo)要求、教材意圖、概念本質(zhì)、學(xué)生現(xiàn)實、教學(xué)程式，從而在教學(xué)中落實學(xué)生的“四基”，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的發(fā)生.

2. 注重概念的理解性學(xué)習(xí)，促進(jìn)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)，落實課標(biāo)要求

在深度教學(xué)數(shù)學(xué)概念中，教師應(yīng)注重學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解性學(xué)習(xí)，通過深度教學(xué)設(shè)計，力求將“冰冷死寂”的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為“充滿活氣”的數(shù)學(xué). 教師應(yīng)在理解教材、學(xué)生、教法的基礎(chǔ)上，通過真實有效的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生由淺入深地開展思維探究活動，深挖概念的教育價值，使學(xué)生不僅理解概念，還會用概念，并且體會概念中蘊含的豐富的數(shù)學(xué)思想. 在及時有效的提問與追問下，不斷激活學(xué)生思維，達(dá)到舉一反三的課程效果. 深度學(xué)習(xí)必然引發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)更深層次的理解，建構(gòu)更新認(rèn)知結(jié)構(gòu)，逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀，最終養(yǎng)成用數(shù)學(xué)去理解實際生活、理解世界萬物的良好素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 鄭毓信. “數(shù)學(xué)深度教學(xué)”的理論與實踐［J］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2019，28（05）：24-32.

［2］ 劉月霞，郭華. 深度學(xué)習(xí)：走向核心素養(yǎng)（理論普及讀本）［M］. 北京：科學(xué)教育出版社，2018.