胡滿花

［摘 要］在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師把錯答作為不可或缺的教學(xué)資源，利用錯答糾改為學(xué)生高效解惑，可幫助學(xué)生織成知識網(wǎng)絡(luò)、提升核心素養(yǎng)以及培養(yǎng)遞進(jìn)思維能力。

［關(guān)鍵詞］錯答；解惑；知識網(wǎng)絡(luò)；教學(xué)資源

［中圖分類號］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2023）05-0094-03

在“雙減”政策的背景下，為了減量不減質(zhì)、減負(fù)不減效，教師必須堅守課堂教學(xué)主陣地，不斷提高課堂教學(xué)效率。高效的課堂教學(xué)應(yīng)該是一個解惑的過程，而想要有效地解惑，首先要弄清學(xué)生的疑惑是什么。由于不同的學(xué)生對相同知識的理解與接受程度不一樣，他們的困惑也不盡相同。學(xué)生在作業(yè)中出現(xiàn)的錯答是他們困惑的真實體現(xiàn)，如何利用錯答糾改為學(xué)生高效解惑？筆者結(jié)合自己多年的教學(xué)實踐經(jīng)驗，具體來談一談。

一、在錯答糾改中提煉資源，織成知識網(wǎng)絡(luò)

在現(xiàn)行的小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，幾乎每一單元后面都安排了一個練習(xí)，旨在檢測學(xué)生是否已掌握本單元的相關(guān)知識。這個練習(xí)也是復(fù)習(xí)課，教法基本分為三個步驟：首先回憶本單元的知識，再讓學(xué)生完成練習(xí)中的題目，最后講解這些習(xí)題。這樣的教法雖然能對鞏固知識起到一定作用，但缺乏針對性和高效性。筆者認(rèn)為，練習(xí)課更應(yīng)該重視收集、整理、分析學(xué)生的錯答，在錯答中提煉復(fù)習(xí)對象，在復(fù)習(xí)中織成知識網(wǎng)絡(luò)。筆者將以六年級下冊第四單元“正比例和反比例”的錯答糾改教學(xué)為例，談?wù)勛约旱木唧w做法。

1.收集錯答，分析錯因，確定復(fù)習(xí)對象

教材對本單元知識點的處理可謂用心良苦，盡管如此，學(xué)生在具體的練習(xí)中還是常常出錯?！皥A的面積和半徑成正比例”“圓的周長與半徑不成正比例”“圓的周長一定時，直徑和π成反比例”等，類似這樣的錯誤層出不窮，出現(xiàn)錯誤的主要原因是學(xué)生在理解正比例、反比例的兩層意義時常常顧此失彼，在練習(xí)中，既不愿意像例題那樣去列舉數(shù)據(jù)，又沒有能力正確地對公式進(jìn)行變式處理。針對這種情況，筆者把整個小學(xué)階段平面圖形的周長公式、面積公式、立體圖形的體積公式等作為本節(jié)課的復(fù)習(xí)對象，并且提煉出本節(jié)課的復(fù)習(xí)重難點，即通過對相關(guān)圖形公式的分類、變形、分析、判斷，引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確掌握正比例、反比例意義的實質(zhì)，從而避免在做題時出現(xiàn)錯誤。

2.整理復(fù)習(xí)對象，分層呈現(xiàn)，蘊(yùn)含復(fù)習(xí)目標(biāo)

根據(jù)正比例、反比例的意義，筆者把相關(guān)圖形公式分成四大類：一個積和兩個因數(shù)，三個量都可以做變量；一個積和兩個因數(shù)，其中有一個因數(shù)是定量；一個積和三個因數(shù)，其中有一個因數(shù)是定量；因數(shù)中帶有平方的公式。具體對應(yīng)如下：

（1）圓柱的體積公式、平行四邊形面積公式、長方形面積公式，可分別找出成反比例關(guān)系的量和成正比例關(guān)系的量。

（2）正方形周長公式、圓的周長公式，可分別找出成正比例關(guān)系的量，明確成正比例的兩個量必須是變化的量。

（3）三角形面積公式、圓錐體積公式，可分別找出成反比例關(guān)系的量和成正比例關(guān)系的量。

（4）圓的面積公式，明確成正比例關(guān)系時比值必須一定，成反比例關(guān)系時乘積必須一定。

這種分類蘊(yùn)含著正比例和反比例意義的實質(zhì)，便于學(xué)生分析小結(jié)。

3.變通復(fù)習(xí)對象，激活思維，突破復(fù)習(xí)重難點

如果復(fù)習(xí)內(nèi)容僅僅停留在上面四類公式本身，那將大大限制學(xué)生的思維發(fā)展空間，降低本節(jié)復(fù)習(xí)課的效果。因此，在復(fù)習(xí)中筆者先指導(dǎo)學(xué)生分別運用“一個因數(shù)等于積除以另一個因數(shù)”“等式兩邊同時乘或除以同一個不為零的數(shù)，等式仍然成立”以及約分等相關(guān)知識對這些公式進(jìn)行變式處理，再分別對這些變式逐一分析、判斷，從而逐漸引導(dǎo)學(xué)生把握正比例、反比例意義的實質(zhì)，即成正比例關(guān)系、成反比例關(guān)系的兩個量必須是兩個相關(guān)聯(lián)的變量，一個量變化，另一個量也隨著變化。

4.拓展延伸，建?？椌W(wǎng)，提高復(fù)習(xí)效果

只有把簡單的知識教深刻，才能彰顯思維的層次性。在整理、判斷和分析這些公式及變式的過程中，筆者及時引導(dǎo)學(xué)生舉一反三，層層遞進(jìn)，由表及里，及時小結(jié)：在第一類公式中，可以找到一個反比例，兩個正比例；在第二類公式中，只能找到一個正比例；在第三類公式中，可以找到一個反比例，兩個正比例；在第四類公式中，因數(shù)量的平方與乘積量成正比例。這些結(jié)論將成為學(xué)生解決相關(guān)問題的有力武器。這樣的分層設(shè)計，激活了知識，發(fā)展了思維。

二、在錯答糾改中理解知識的本質(zhì)，提升核心素養(yǎng)

作為具有多年小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗的教師，筆者深知，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要引導(dǎo)學(xué)生掌握知識，更要重視培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

在六年級上冊期中復(fù)習(xí)過程中，筆者設(shè)計了這樣一道題：“照片中笑笑的身高是3 cm，她的實際身高是1.5 m。笑笑在照片中的身高是她實際身高的幾分之幾？”有學(xué)生的解答是“1.5 m =150 cm，3÷150=[3150]=[150]（cm）”。

筆者對其予以評析：“這名同學(xué)第一步能夠想到把1.5 m換算成150 cm，很細(xì)心。這樣150 cm和3 cm單位就統(tǒng)一了，最后算出的結(jié)果是[150] cm。有沒有同學(xué)能夠發(fā)現(xiàn)當(dāng)中的錯誤？”有學(xué)生回答：“這個結(jié)果不能帶單位?！?/p>

筆者繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考：“3和150的單位都是 cm，那為什么結(jié)果就沒有單位了呢？單位去哪兒了？”另一名學(xué)生接著說：“因為這里用3 cm除以150 cm，它表示的是3 cm是150 cm的幾分之幾，所以就不能寫單位?！?/p>

筆者明確地告訴學(xué)生：“其實在除法計算中，數(shù)和數(shù)相除，單位和單位也要相除。被除數(shù)和除數(shù)單位相同時，單位和單位就相當(dāng)于約分了，這時的商就沒有了單位。”至此，學(xué)生似乎明白了。筆者再順勢引導(dǎo)：“那么關(guān)于單位，你們還想到了什么呢？學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)的時候，我們都知道百分?jǐn)?shù)不能帶單位，那你們再想一想，為什么百分?jǐn)?shù)不帶單位呢？”

通過筆者的引導(dǎo)，學(xué)生終于明白百分?jǐn)?shù)表示的是一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾，用一個數(shù)除以另一個數(shù)，這些數(shù)都是相同的單位。也就是說，百分?jǐn)?shù)表示的是兩個同類數(shù)量之間的關(guān)系，所以在計算百分?jǐn)?shù)的過程中，被除數(shù)和除數(shù)的單位是相同的，也被約分了。

筆者接下來拋出問題：“單位可以參與除法計算，可以被約分。那單位能參與乘法計算嗎？面積單位為什么要帶上平方？體積單位為什么要帶上立方呢？”在筆者的引導(dǎo)下，學(xué)生明白了面積單位是兩個長度單位相乘的結(jié)果，體積單位是三個長度單位相乘的結(jié)果。例如，長方形的面積等于長×寬，長和寬的單位都是米的話，那我們在計算的時候，米×米就變成了平方米。又如，長方體的體積等于長×寬×高，長、寬、高的單位都是米的話，那么體積的單位就是米×米×米，三個米相乘就變成了立方米。

筆者繼續(xù)引導(dǎo)：“同學(xué)們，在乘法當(dāng)中，單位是可以相乘的；在除法當(dāng)中，單位也是可以相除的。那在加減法當(dāng)中，單位會有變化嗎？”有學(xué)生回答：“因為只有相同的量才能相加減，所以在加減法當(dāng)中，單位并沒有被消去，3米+5米就是8米，5米-3米=2米，這里數(shù)字發(fā)生了變化，而單位沒有改變。”

筆者通過一道錯答，引導(dǎo)學(xué)生層層遞進(jìn)，理解知識的本質(zhì)，對“單位”有了全新的認(rèn)識。如此，學(xué)生不僅知其然，而且知其所以然了。

三、在錯答糾改中提煉算理，培養(yǎng)遞進(jìn)思維能力

在課堂教學(xué)實踐中，教師除了利用錯答糾改幫助學(xué)生鞏固知識、理解知識本質(zhì)，還要重視引導(dǎo)學(xué)生在錯答糾改中學(xué)會提煉算理。下面，筆者就以五年級上冊“雞兔同籠”問題錯答糾改教學(xué)為例，來具體談一談。

在教學(xué)完“雞兔同籠”一節(jié)內(nèi)容后，筆者引導(dǎo)學(xué)生思考本節(jié)基礎(chǔ)訓(xùn)練 “拓展空間”上的一道題：有雞和兔共100只，兔的腿數(shù)比雞的腿數(shù)多40條，雞和兔各有多少只？

本題已知雞、兔的總只數(shù)和腿的條數(shù)差，求雞和兔各幾只。此題的本意是讓學(xué)生列表解決，但或許學(xué)生對解答此類題目非常自信，有許多學(xué)生都用了如下的錯誤解法：40÷（4-2）=20（只），（100-20）÷2=40（只），40+20=60（只），因此雞有60只，兔有40只。

針對這樣的解答，筆者做了如下的處理。

首先把這種解法出示在屏幕上，讓學(xué)生自己判斷正誤，學(xué)生一致認(rèn)為沒錯。有學(xué)生還說：“40只兔，每只兔4條腿，就是160條腿，而60只雞，每只雞2條腿，就是120條腿，160比120多40，60加40剛好是100?！边€有學(xué)生補(bǔ)充了他認(rèn)為正確的算理：“一只兔比一只雞多2條腿，求幾只兔比幾只雞多40條腿，就是求40里面有幾個2，得出20只，100減去20，得到80，這80只一半是雞，一半是兔?！卑嗌掀渌麑W(xué)生頻頻點頭。

接下來，筆者將題目改動為：有雞和兔共130只，雞比兔少100條腿，雞和兔各有多少只呢？學(xué)生很快按同樣的思路得出了兔有90只，雞有40只。然后筆者又讓學(xué)生再來驗算，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，90只兔和40只雞相差280條腿，而不是100條腿。至此，學(xué)生才承認(rèn)他們的這種解法是不對的。那到底錯在哪里呢？學(xué)生依然說不清。

筆者順勢引導(dǎo)：“在第一道題中，兔的腿數(shù)比雞的腿數(shù)多40條，你們就認(rèn)為兔的只數(shù)比雞多20只，就從100只里面減去20只。實際上，兔的腿數(shù)比雞的腿數(shù)多40條，并不能說明兔的只數(shù)就一定比雞的只數(shù)多，因為一只兔本來就比一只雞的腿數(shù)多，同樣多的兔和同樣多的雞相比，兔的腿數(shù)肯定比雞的腿數(shù)多，因此你們的依據(jù)是錯的。根據(jù)兔的腿數(shù)比雞的腿數(shù)多40條，我們根本無法確定減去多少只兔或減去多少只雞以后，剩下的雞和兔的只數(shù)就相等。但是我們可以換一個思路，根據(jù)兔的腿數(shù)比雞的腿數(shù)多40條這個條件，假設(shè)抓走一部分兔和雞，讓剩下的兔的腿數(shù)和雞的腿數(shù)相等。1只兔比1只雞多2條腿，2只兔比2只雞多4條腿，3只兔比3只雞多6條腿，那么幾只兔比幾只雞多40條腿呢？”

在筆者的引導(dǎo)下，學(xué)生終于想到了，是20只兔比20只雞多40條腿，應(yīng)該先抓走20只兔和20只雞。

筆者再引導(dǎo)學(xué)生思考：“抓走了20只兔和20只雞后，會出現(xiàn)什么情況呢？”

有學(xué)生回答：“抓走了20只兔和20只雞以后，剩下的兔和雞的腿數(shù)是一樣多的?！?/p>

筆者又追問：“雞的腿數(shù)和兔的腿數(shù)一樣多時，雞的只數(shù)和兔的只數(shù)又有怎樣的關(guān)系呢？”

學(xué)生通過思考以后終于想到，在腿數(shù)相等的情況下，雞的只數(shù)應(yīng)該是兔的只數(shù)的2倍。如果把兔的只數(shù)看成1份，那么雞的只數(shù)應(yīng)該是這樣的2份。把剩下的60只平均分成3份，每份是20只。也就是說剩下的60只當(dāng)中， 兔有20只，雞有40只，再分別加上之前抓走的就得到40只兔、60只雞了。至此，學(xué)生終于明白了其中的算理。

在學(xué)生理解算理的基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生用這種方法來嘗試解一下變式題。結(jié)果學(xué)生順利地得出了正確的答案：100÷（4-2）=50（只），130-50×2=30（只），30÷（1+2）=10（只），兔有10+50=60（只），雞有10×2+50=70（只）。

筆者進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考：“這個解題思路就是保證抓走一部分兔和雞以后，剩下的雞和兔的腿數(shù)是相等的。那么要保證剩下的雞和兔的腿數(shù)相等，還有別的抓法嗎？”

學(xué)生再一次陷入了沉思。有學(xué)生回答：“在第一道題中，也可以先抓走10只兔。如果先抓走10只兔，兔的腿數(shù)少40條，那剩下的雞兔的腿數(shù)一樣多。然后可以算出剩下的90只里的兔是30只，雞是60只。最后把30只兔加上抓走的10只，就是原來的兔的只數(shù)（40只）?！?/p>

全班學(xué)生對他的發(fā)言報以熱烈的掌聲。至此，學(xué)生的思維已經(jīng)完全打開了。于是，筆者順勢引導(dǎo)學(xué)生用第二種抓法，再來嘗試一下變式題，學(xué)生很順利就完成了。

看著學(xué)生意猶未盡的表情，筆者再一次給學(xué)生出示題目：有雞和兔共35只，兔比雞多2條腿，雞和兔各有多少只呢？筆者讓學(xué)生選擇自己喜歡的抓法來解決這個問題，結(jié)果學(xué)生三下五除二就完成了任務(wù)。

綜上所述，錯答案例分析是非常有效的一種教學(xué)策略，它的作用遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過單純的知識點講解。教師通過收集、整理、分析學(xué)生的錯答，很容易找準(zhǔn)學(xué)生的易錯點、薄弱點、困惑點，進(jìn)而對癥下藥，有針對性地選擇教學(xué)對象，準(zhǔn)確地提煉出教學(xué)重難點。而學(xué)生在教師的不斷引導(dǎo)下，始終處于一種帶著問題主動思考的積極學(xué)習(xí)狀態(tài)，有利于他們理解算理，打通關(guān)節(jié)，聯(lián)系前后知識，織成知識網(wǎng)絡(luò)。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 陳赟.在題組中探索高效復(fù)習(xí)的策略：小學(xué)數(shù)學(xué)高年級復(fù)習(xí)題組的設(shè)計與應(yīng)用研究[J].小學(xué)教學(xué)參考，2020（5）：83-84.

[2] 楊順.小學(xué)數(shù)學(xué)階段數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中思維導(dǎo)圖運用策略[J].課程教育研究，2020（6）：146.

[3] 楊生成，盛會.“深度學(xué)習(xí)”視域下小學(xué)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的實踐研究[J].學(xué)周刊，2020（13）：15-16.

（責(zé)編 楊偲培）