梁穎利

摘 ?要：將指數(shù)冪的拓展過程放在數(shù)系擴充的大背景下，類比初中正整數(shù)指數(shù)冪到整數(shù)指數(shù)冪的拓展過程，引導學生經(jīng)歷從整數(shù)指數(shù)冪到有理數(shù)指數(shù)冪再到實數(shù)指數(shù)冪的拓展過程，建立拓展指數(shù)冪的整體架構，理解數(shù)學運算的一致性.

關鍵詞：分數(shù)指數(shù)冪；無理數(shù)指數(shù)冪；指數(shù)冪的拓展；教學設計

一、內容和內容解析

1. 內容

分數(shù)指數(shù)冪和無理數(shù)指數(shù)冪的含義，指數(shù)冪的運算性質.

2. 內容解析

數(shù)及其運算的產生和發(fā)展是推動數(shù)學發(fā)展的重要源泉和動力，數(shù)、式、方程、函數(shù)等內容的基礎是數(shù)及其運算，函數(shù)是數(shù)及其運算的延伸和發(fā)展.

本節(jié)課是人教A版《普通高中教科書·數(shù)學》必修第一冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第四章“指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)”第一節(jié)“指數(shù)”的部分內容. 指數(shù)函數(shù)是以指數(shù)為自變量的一類函數(shù)，其定義域為實數(shù)集. 為研究指數(shù)函數(shù)，需要把指數(shù)冪運算的范圍進一步拓展. 類似于先把整數(shù)拓展到有理數(shù)，再把有理數(shù)拓展到實數(shù)，本節(jié)課將指數(shù)冪由整數(shù)指數(shù)冪拓展到有理數(shù)指數(shù)冪，然后拓展到實數(shù)指數(shù)冪，進而為指數(shù)函數(shù)的學習奠定基礎. 為了讓學生完整地體驗指數(shù)冪的拓展過程，將“指數(shù)”內容分為兩個課時，本節(jié)課是第2課時，主要內容是分數(shù)指數(shù)冪和無理數(shù)指數(shù)冪的含義和運算性質，以及指數(shù)冪的拓展過程.

在指數(shù)冪運算的拓展過程中，“整數(shù)指數(shù)冪的運算性質在有理數(shù)指數(shù)冪、實數(shù)指數(shù)冪中仍然成立”是核心思想. 對此，學生在初中學習整數(shù)指數(shù)冪時，在由正整數(shù)指數(shù)冪到負整數(shù)指數(shù)冪的拓展過程中已經(jīng)有所體會，本節(jié)課要讓學生進一步體會.

學習指數(shù)冪的運算，必須解決無理數(shù)指數(shù)冪的問題. 但是冪的指數(shù)由有理數(shù)拓展到實數(shù)，指數(shù)變?yōu)闊o理數(shù)，很難有實際背景，這完全是數(shù)學理性思維的結果. 因此，對無理數(shù)指數(shù)冪的理解是本節(jié)課教學的難點. 可以類比初中用有理數(shù)逼近無理數(shù)的經(jīng)驗，從“過剩近似值”和“不足近似值”兩個方向，用有理數(shù)指數(shù)冪逼近無理數(shù)指數(shù)冪，并在數(shù)軸上表示對應的點，從數(shù)和形兩個角度認識無理數(shù)指數(shù)冪的意義，并體會其中的極限思想.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學重點為實數(shù)指數(shù)冪的運算及其性質，教學難點為用有理數(shù)指數(shù)冪逼近無理數(shù)指數(shù)冪.

二、目標和目標解析

1. 目標

本節(jié)課教學目標設置如下.

（1）認識有理數(shù)指數(shù)冪[amn]（[a>0]，[m，n]為整數(shù)，[n>1]）和無理數(shù)指數(shù)冪的含義.

（2）了解指數(shù)冪的拓展過程.

（3）掌握指數(shù)冪的運算性質.

2. 目標解析

達成上述目標的標志如下.

（1）認識正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義[amn=amn]（[a>0]，[m，n]為正整數(shù)，[n>1]）和正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義[a-mn=1amn]（[a>0]，[m，n]為正整數(shù)，[n>1]），知道分數(shù)指數(shù)冪是根式的另外一種表達形式，并能將分數(shù)指數(shù)冪與根式互相轉化. 無理數(shù)指數(shù)冪的理解是本節(jié)課的難點，只需要讓學生知道任何正數(shù)的實數(shù)指數(shù)冪都是確定的實數(shù)，能通過逼近的方法直觀認識它，并體會其中的極限思想.

（2）通過回憶，類比初中由正整數(shù)指數(shù)冪到負整數(shù)指數(shù)冪的拓展過程，經(jīng)歷由整數(shù)指數(shù)冪到有理數(shù)指數(shù)冪的拓展過程，體會其拓展過程的核心思想是“使冪的運算性質仍然成立”，了解分數(shù)指數(shù)冪的引入不僅消除了運算性質中的一些限制，還實現(xiàn)了乘方與開方運算的統(tǒng)一. 而有理數(shù)指數(shù)冪拓展到無理數(shù)指數(shù)冪的過程是有理數(shù)指數(shù)冪逼近無理數(shù)指數(shù)冪的過程.

（3）實數(shù)指數(shù)冪的運算性質完全因襲了整數(shù)指數(shù)冪的運算性質，在操作層面上與整數(shù)指數(shù)冪的運算沒有區(qū)別，學生有一定的基礎，通過練習鞏固即可掌握.

三、教學問題診斷

本節(jié)課是“指數(shù)函數(shù)”的前一節(jié)課. 指數(shù)函數(shù)是以指數(shù)為自變量的一類函數(shù)，其定義域為實數(shù)集. 為了研究指數(shù)函數(shù)，需要把指數(shù)冪運算的范圍進一步拓展. 教材從已知的平方根、立方根的意義入手，先學習[n]次方根，再由幾個特殊的例子歸納發(fā)現(xiàn)分數(shù)指數(shù)冪與[n]次方根概念的聯(lián)系，規(guī)定了分數(shù)指數(shù)冪的意義. 在教學實踐中，這個過程學生會比較容易接受，但是學生會感覺不知道為什么要先學習根式，而是被教師牽著走. 因此，本節(jié)課從學生初中已經(jīng)熟悉的整數(shù)指數(shù)冪的定義及運算性質入手，采用在初中引入零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪的定義過程，在“使整數(shù)指數(shù)冪的運算性質仍然成立”思想的指引下，將整數(shù)指數(shù)冪拓展到分數(shù)指數(shù)冪，建立分數(shù)指數(shù)冪與[n]次方根的聯(lián)系，得到分數(shù)指數(shù)冪的意義. 既讓學生認識到分數(shù)指數(shù)冪的含義，又使學生體會到指數(shù)冪運算的拓展過程的核心思想是“使原有的運算性質仍然成立”.

無理數(shù)指數(shù)冪的理解是本節(jié)課的難點，可以類比初中用有理數(shù)逼近無理數(shù)的方法，讓學生經(jīng)歷從“過剩近似值”和“不足近似值”兩個方向用有理數(shù)指數(shù)冪逼近無理數(shù)指數(shù)冪的過程，然后在數(shù)軸上表示它們的對應點，發(fā)現(xiàn)這些點逼近一個確定的點，其對應的數(shù)就是這個無理數(shù)指數(shù)冪. 由此讓學生體會其中蘊含的極限思想，并從數(shù)和形兩個角度認識無理數(shù)指數(shù)冪是一個確定的實數(shù). 不需要對學生要求更多.

四、教學支持條件

多媒體PPT輔助教學；利用計算工具，計算[52]的近似值，幫助學生體會有理數(shù)指數(shù)冪逼近無理數(shù)指數(shù)冪的過程；利用信息技術作圖，在數(shù)軸上將[52]附近逐步放大，直觀展示逼近過程，加深學生對無理數(shù)指數(shù)冪的理解.

五、教學過程設計

1. 分數(shù)指數(shù)冪及其運算性質

問題1：某景區(qū)統(tǒng)計了近幾個月的游客人次，發(fā)現(xiàn)在免門票政策的帶動下，每月的游客人次都是上一個月游客人次的1.1倍，如果按照此規(guī)律增長下去.

（1）2個月后的游客人次為現(xiàn)在的多少倍？

（2）3個月后的游客人次為現(xiàn)在的多少倍？

（3）3個半月后的游客人次為現(xiàn)在的多少倍？

師生活動：學生回答. 回答后指出這是初中學過的冪運算[an]，當指數(shù)為正整數(shù)時，其意義是[n]個[a]自乘. 當指數(shù)為小數(shù)或分數(shù)時不會計算，需要把冪的指數(shù)拓展.

【設計意圖】第（1）小題和第（2）小題從學生認知的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，既是讓學生回顧初中指數(shù)冪及其運算的相關知識，又是搭建“腳手架”，為后面問題的提出作好鋪墊；第（3）小題是要激發(fā)認知沖突，使學生認識到拓展指數(shù)的必要性，從而引入本節(jié)課的課題和學習內容.

追問：我們以前學習過數(shù)系的擴充過程，是否可以借鑒呢？

師生活動：教師引導學生回憶數(shù)系的擴充過程，從而得到指數(shù)的拓展路徑.

【設計意圖】指數(shù)的拓展過程與數(shù)及其運算的擴充過程有關聯(lián)，通過回憶將本節(jié)課的內容放在數(shù)系擴充的大背景下進行，讓學生體會數(shù)學的整體性.

問題2：回憶初中由正整數(shù)指數(shù)冪到整數(shù)指數(shù)冪的拓展過程，零指數(shù)冪[a0]和負整數(shù)指數(shù)冪[a-n]是如何引入的？

師生活動：學生回答[a0]和[a-n]的意義，教師適當引導，使學生體會指數(shù)的拓展是為了使正整數(shù)指數(shù)冪的運算性質適用范圍得到擴充. 最后指出負整數(shù)指數(shù)冪的引入消除了運算性質中的限制，擴大了運算性質的適用范圍，簡化了運算性質. 其中，冪的乘法對應指數(shù)的加法，冪的除法對應指數(shù)的減法，引入負數(shù)后，加減運算統(tǒng)一，從而冪的乘除運算統(tǒng)一，運算性質合并為三條.

【設計意圖】學生通過回顧初中正整數(shù)指數(shù)冪到整數(shù)指數(shù)冪的拓展過程，體會指數(shù)冪運算的拓展過程的核心思想是原有的運算性質在新的范圍中仍然成立.

問題3：已知[x3=2]，求[x6]，[x9].

師生活動：學生思考并回答，[x6=x3×2=x32=22]，[x9=x3×3=x33=23]. 教師追問每一步的計算依據(jù)（即整數(shù)指數(shù)冪的運算性質）.

追問1：已知[x3=2]，求[x7].

師生活動：學生獨立思考并嘗試. 一是類比前面的問題利用整數(shù)指數(shù)冪的運算性質求解，但發(fā)現(xiàn)指數(shù)為分數(shù)，不確定能否適用；二是通過開方運算求出[x]，利用根式的運算求解. 教師展示學生出現(xiàn)的各種不同的運算過程和結果，讓學生互相評價，最后使學生感受到[n]次方根和分數(shù)指數(shù)冪之間是存在聯(lián)系的.

追問2：如果像求[x7]一樣，也通過開方運算，利用根式表示[x6]，[x9]，結果是什么呢？

師生活動：學生思考后回答，[x6=263=22]，[x9=][293=23]. 教師引導學生觀察冪的指數(shù)與被開方數(shù)的指數(shù)和根指數(shù)的關系，歸納規(guī)律，自然地得出[273]可以寫成[273]，而且根據(jù)根式的性質[2733=27=273×3]，指數(shù)冪的運算性質（如[akn=akn]）仍然成立. 推廣到一般情況，規(guī)定正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義為[amn=amn]（[a>0]，[m]，[n]為正整數(shù)，[n>1]）.

追問3：本節(jié)課開頭的問題[1.13.5]可以計算了嗎？

師生活動：學生回答，[1.13.5=1.172=1.17≈1.396].

追問4：當指數(shù)為負分數(shù)時，[a- mn]的意義是什么？

師生活動：學生回答，[a- mn=1amn]（[a>0]，[m]，[n]為正整數(shù)，[n>1]）.

【設計意圖】從實例出發(fā)，將[n]次方根與分數(shù)指數(shù)冪建立聯(lián)系，當指數(shù)6和9都是3的整數(shù)倍時，可以利用已有的整數(shù)指數(shù)冪的運算性質求解. 當指數(shù)7不是3的整數(shù)倍時，一方面可以利用已學過的[n]次方根的概念計算；另一方面，又迫切希望引入分數(shù)指數(shù)冪，并且使得整數(shù)指數(shù)冪的運算性質對分數(shù)指數(shù)冪適用. 將兩者自然地聯(lián)系起來，然后通過具體實例的歸納，從特殊到一般，從具體到抽象，建立分數(shù)指數(shù)冪與[n]次方根的關系：分數(shù)指數(shù)冪是[n]次方根的一種表現(xiàn)形式，兩者是統(tǒng)一的.

例1 ?求值：（1）[823]；（2）[1681-34].

師生活動：學生計算并回答. 之后學生指出分數(shù)指數(shù)冪的計算既可以利用概念轉化為根式計算，也可以利用運算性質計算. 教師讓學生比較兩種運算方法的簡潔性.

【設計意圖】通過具體的運算，鞏固分數(shù)指數(shù)冪的概念、意義及分數(shù)指數(shù)冪的運算性質.

例2 ?用分數(shù)指數(shù)冪的形式表示并計算下列各式（其中[a>0]）.

（1）[a2 ? a23]；

（2）[a ? a3].

師生活動：學生計算并回答. 之后學生指出把根式轉化為分數(shù)指數(shù)冪，再利用有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質進行計算，可以簡化根式的運算.

【設計意圖】通過一般表達式的運算，鞏固分數(shù)指數(shù)冪和[n]次方根的互相轉化，特別是把[n]次方根轉化為分數(shù)指數(shù)冪進行運算，把結果表示為分數(shù)指數(shù)冪的形式.

2. 無理數(shù)指數(shù)冪及其運算性質

當指數(shù)是無理數(shù)時，[ax]的意義是什么呢？如[52].

師：初中，我們通過[2]的不足近似值這一串有理數(shù)和[2]的過剩近似值這一串有理數(shù)逐步逼近認識了[2]的意義. 那么，無理數(shù)指數(shù)冪[52]的意義是什么呢？

問題4：類比初中認識無理數(shù)[2]的過程，能否探究無理數(shù)指數(shù)冪[52]的意義是什么？

師生活動：教師引導學生回顧初中通過有理數(shù)認識無理數(shù)的過程，類比思考無理數(shù)指數(shù)冪[52]的意義. 教師展示表1中的數(shù)據(jù)，并將相應的數(shù)值在數(shù)軸（如圖1）上表示，讓學生理解逐漸逼近的過程.

【設計意圖】由于無理數(shù)指數(shù)冪沒有實際背景，完全是數(shù)學理性思維的結果，而且學生還沒有極限的概念，所以對逐步逼近理解起來比較困難. 這里通過表格和數(shù)軸兩種方式展示逐步逼近的過程，用表格展示數(shù)據(jù)呈現(xiàn)具體數(shù)值，用數(shù)軸表示數(shù)值直觀展示逼近過程，兩者結合，相得益彰，加深學生對無理數(shù)指數(shù)冪的理解.

師：類比[52]的探究過程，可以知道，無理數(shù)指數(shù)冪[aα]（[a>0]，[α]為無理數(shù)）是一個確定的實數(shù)，在數(shù)軸上有唯一的點與之對應. 這樣指數(shù)冪[ax]（[a>0]）中的指數(shù)就可以取任意實數(shù)，且原有的運算性質也適用于實數(shù)指數(shù)冪.

3. 歸納小結

（1）指數(shù)冪的拓展過程如圖2所示.

（2）指數(shù)冪拓展的核心思想：整數(shù)指數(shù)冪的運算性質在有理數(shù)指數(shù)冪、實數(shù)指數(shù)冪中仍然成立.

【設計意圖】回顧本節(jié)課的主要知識和研究過程，總結指數(shù)冪拓展的核心思想和基本原則.

4. 布置作業(yè)

教材習題4.1第2 ～ 10題.

六、目標檢測設計

計算下列各式.

（1）[364932]；

（2）[23×31.53×126]；

（3）[23m323].

【設計意圖】考查學生對實數(shù)指數(shù)冪意義和運算性質的理解.

參考文獻：

［1］章建躍. 用函數(shù)圖象和代數(shù)運算的方法研究“冪指對”函數(shù)［J］. 數(shù)學通報，2020，59（10）：1-11.

［2］李大永，章紅. 基于整體把握的運算主線下的“分數(shù)指數(shù)冪”教學［J］. 數(shù)學教育學報，2016，25（1）：61-66.

［3］周星宇. 從數(shù)學內部提出問題，在運算法則下解決問題：對“分數(shù)指數(shù)冪”的教學思考［J］. 中小學數(shù)學（高中版），2019（11）：51-53.