摘?要：本文旨在分析中職階段數(shù)學中一些Geogebra應用教學案例，探究Geogebra在中職階段數(shù)學應用中的特色及其優(yōu)勢，思考如何在中職學習階段數(shù)學中更好地使用。

關(guān)鍵詞：中職數(shù)學；Geogebra；教學案例；函數(shù)向量；立體幾何

本文重點探討的重點是Geogebra在中職階段應用教學中的案例及其分析。與傳統(tǒng)的教學手段進行對比，Geogebra軟件在代數(shù)和幾何上展現(xiàn)了強大的教學功能，在基礎(chǔ)教育中的教學中有很強的應用能力。通過數(shù)形結(jié)合，學生可以直觀地了解數(shù)學知識，并且在數(shù)學學習中激發(fā)中職學生學習數(shù)學的興趣，在Geogebra的幫助下，可以更有效率地進行學習。

1?中職數(shù)學教學常用軟件介紹

在目前的數(shù)學教育中，比較常見的數(shù)學輔助軟件有mathtype、幾何畫板、mathmatica。其中mathtype用在平時編輯數(shù)學符號，它缺乏幾何作圖能力，有著不小的弊端。幾何畫板可以進行作圖功能，但是在計算代數(shù)上相對有所缺失。mathmatica功能與Geogebra有些相似，但是操作系統(tǒng)過于復雜。Geogebra另一個最大的優(yōu)勢就是軟件版權(quán)是免費的。

2?Geogebra軟件介紹

Geogebra是一款結(jié)合代數(shù)、幾何和微積分的動態(tài)數(shù)學軟件，基于Geogebra軟件在代數(shù)和幾何上的強大功能，其在基礎(chǔ)教育的教學中有很強的應用能力。

Geogebra軟件特點如下：

*可免費用于學習、教學和考評。

*功能強大、使用簡單、交互性強。

*支持多種語言。

*以趣味的方式真正觀察和體驗數(shù)學和科學。

*可適用于各種課程或項目。

*在世界上有數(shù)百萬人使用。

3?運用Geogebra軟件教學案例

由于Geogebra軟件的優(yōu)勢，必然有了讓我們利用它上課的可能，這里我們提供一些本校老師在上課時，利用Geogebra軟件的一些案例。

3.1?數(shù)形的完美應用——向量

Geogebra第三欄中專門有一“向量”圖標，通過這一強大功能，為學生建立起向量的模型及其簡單應用。

3.1.1?課本7.1平面向量的概念

Geogebra在本節(jié)課中的應用：Geogebra第三欄中專門有一個“向量”圖標，通過Geogebra，我們可以很簡單地用圖標畫多條向量，并且進行簡單的區(qū)分，不同的向量之間通過什么進行區(qū)分？左圖中的向量都是不相同的向量，利用軟件的直觀性，可以相對簡單地體現(xiàn)向量的定義：有方向、有大小的量。通過度量向量長度展現(xiàn)向量的模。

隨后可以利用Geogebra軟件中的“向量”圖標建立相等的量（圖1），再次體現(xiàn)向量的大小和方向，即引出相反向量。強調(diào)相等及相反向量的共同點——大小（模）相同。

在介紹平行向量和向量共線特點時，可以通過建立平行線，通過平移功能直觀體現(xiàn)出平行，在通過向量確定端點的前提下，拉動終點，進行觀察向量特征，得出平行向量只和方向有關(guān)，和大小無關(guān)的特點。

Geogebra在本節(jié)課中的應用思考：在向量概念一節(jié)課中，利用Geogebra充分體現(xiàn)了數(shù)與形的結(jié)合，并且還有著信息化教學中的精準，保證了數(shù)學的嚴謹性的同時，方便學生形成向量概念，顯著提高了教學的效率。

3.1.2?課本7.2向量的線性運算——加減運算

Geogebra在本節(jié)課中的應用：在向量的加法、減法運算中，我們要區(qū)分平行向量和非平行向量。在我校休閑體育專業(yè)中，曾經(jīng)利用Geogebra演示了高爾夫比賽中的過程，體現(xiàn)了向量的加法特征的同時，彰顯出向量在休閑體育專業(yè)中的應用。能夠理解向量運算的本質(zhì)，引入合理擊球的概念、和向量——擊球點到球洞、加向量——第一次擊球和第二次擊球，通過用Geogebra可以很直觀描述出兩個向量的和運算本質(zhì)，如圖1兩種情況：平行的和向量：u→+v→=w→，不平行的和向量：y=x-12。通過擊球建模向量配合Geogebra的圖像展示向量的和計算。

學生對于認識圖形是一種直觀認識，而同樣的圖形，我們可以通過不同對應的變式引出減法的特征。如圖2和圖3，教師可以這樣提問，觀察左邊的圖形向量w（c）是正確的進洞軌跡，向量u（a）是第一次擊球，問如何表示出第二次擊球向量v（b）。對于學生而言，向量v是很容易出現(xiàn)概念的，而可以很容易讓休體班的學生自己歸納出向量v是作為差向量出現(xiàn)的，v→=w→-u→/b→=c→-a→。在試著擦去另一個向量u（a），可以讓學生歸納出另一個向量關(guān)系。最后在總結(jié)和向量和差向量關(guān)系的時候，利用Geogebra很容易由v→+u→=w→推出另兩個v→=w→-u→和u→=w→-v→，得到被減向量和和向量之間關(guān)系。在建立了向量思維模型后，引入代數(shù)知識就相對比較簡單了，達到了由形到數(shù)的轉(zhuǎn)變。

Geogebra在本節(jié)課中的應用思考：向量加減的計算分為數(shù)的運算和幾何意義。而難度較大的是幾何意義，而Geogebra可以方便形象地進行教學和幫助學生建模，而在數(shù)的運算和單位向量的求解上更是便捷和準確。缺點就是利用了Geogebra后，運算難度降低，學生在思維上會產(chǎn)生一定的惰性。

球員比賽的擊球路線，展示出擊球及其軌跡并利用Geogebra用向量模擬。

3.2?圖形中的美麗——立體幾何

可以這么說，立體幾何才是我們教師利用Geogebra的主場。本章節(jié)重難點是在認識棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征后，引導學生運用這些特征描述實際中簡單物體的結(jié)構(gòu)，從而使學生把學習的眼光從課堂延伸到更廣闊的生活實際中去?？梢岳肎eogebra完成圖形的建立，確定圖形的大致結(jié)構(gòu)尋找出對應的立體幾何。在這里我們以我校陸老師在開設(shè)的一節(jié)三視圖學習的公開課作為案例進行探討和分析，如圖4。

Geogebra在本節(jié)課中的應用：美術(shù)設(shè)計班的同學在設(shè)計亭子時遇到了困擾，利用數(shù)學三視圖知識，結(jié)合Geogebra軟件進行輔助指導完善學生作品。

在本節(jié)課中學生首先分組完成了通過收集亭子素材——素描亭子——Geogebra制作亭子，讓亭子能夠在電腦中具現(xiàn)出來。在這一過程中，學生在原有相對抽象的藝術(shù)形態(tài)素描里對亭子進行了進一步整理，在制作過程中雖然也有著很多不足，但是在互相幫助和指導中，學生明顯對自己設(shè)計的亭子有了更多的了解。

回顧設(shè)計要求，再通過改變?nèi)晥D的長、寬、高，利用Geogebra所作三觀圖一一對應，確保設(shè)計合理和達到標準。進一步修改亭子中占地面積——俯視圖、可容納休憩的人數(shù)對應椅子的坐寬——左視圖、亭子的合理高度——主視圖。學生的專業(yè)知識和問題充分結(jié)合了Geogebra的強大功能，利用數(shù)學知識處理實際問題。

Geogebra在本節(jié)課中的應用思考：通過Geogebra展示改善了教學內(nèi)容的呈現(xiàn)方式，在3D繪圖區(qū)，能夠把立體幾何圖形完整、360度無死角地體現(xiàn)出來，讓學生對于簡單組合體有了更加直觀的認識，并且可以通過建模后，處理一些比較簡單的數(shù)學問題。

在整個立體幾何章節(jié)中，Geogebra完全可以大展拳腳。Geogebra在畫棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球及其簡單組合體方面有著其獨特性。首先，Geogebra在畫立體幾何圖形時，有著多元化的特征，可以通過做底面直接拉成一個棱柱，同樣也可以通過確定幾個點分別確定底面和高制作棱柱。在作圖過程中方法的多樣性，讓學生有多種選擇之余，可以進一步了解圖形的結(jié)構(gòu)特征并反饋到作圖過程中。其次，Geogebra作圖能給學生和教學帶來無比的便捷性，與手繪作圖相比，速度有了明顯提高。最后，Geogebra作圖基于程序的特征有著百分之百的正確性。

3.3?數(shù)學的基石——函數(shù)

可能有人會很奇怪，為什么會把函數(shù)放在最后？因為函數(shù)是數(shù)學的基石，沒有函數(shù)數(shù)學的骨架就沒了。一個合格的數(shù)學輔助教學軟件，函數(shù)可以說是必不可少的一部分，但是也是最能體現(xiàn)差距的一部分。讓我們來了解一下Geogebra在中職教學中的應用。

Geogebra在課本3.3簡單冪函數(shù)這節(jié)課中的應用：

本節(jié)課是在讓學生預習了冪函數(shù)定義的前提下進行的，觀察冪函數(shù)y=xa（-5

最后利用Geogebra再簡單介紹y=x12、y=x-12的性質(zhì)，幫助學生做一個簡單補充。

課后作業(yè)要求每一個學生制作符合4種情況的Geogebra冪函數(shù)圖像。

Geogebra在本節(jié)課中的應用思考：本節(jié)課，學生在繪制過程中利用Geogebra的快速呈現(xiàn)函數(shù)圖像并且易于操作的特點，讓學生在自己動手的前提下，充分感悟幾個簡單冪函數(shù)的性質(zhì)，并且加深理解。

在函數(shù)教學利用Geogebra進行教學中，有如下幾點全面性。

3.3.1?內(nèi)容全面性

中職階段的函數(shù)簡單冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)，初中階段的正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)，都能夠在Geogebra上表示出來，通過軟件能夠簡單明了地體現(xiàn)出函數(shù)圖形和函數(shù)特征。Geogebra是學生構(gòu)建模型的最好方法。

其中冪函數(shù)是最多變的函數(shù)，在實際教學中，我們完全可以通過滑動條改變指數(shù)，體現(xiàn)出不同冪函數(shù)的特征，幫助學生學習和歸納。

3.3.2?性質(zhì)的全面性

在中職階段，學生學習函數(shù)的基本性質(zhì)有定義域、最值、單調(diào)性、奇偶性和周期性。Geogebra通過讓函數(shù)在繪圖區(qū)的呈現(xiàn)，直觀給學生講解不同函數(shù)的不同性質(zhì)、特點，為學生總結(jié)規(guī)律，進行建模，其中Geogebra極值更是一步到位，幫助學生找到對應最值。在教授三角函數(shù)中，有著極大的教學價值。

3.3.3?應用的全面性

在函數(shù)解答題中，學生最難的就是建立準確的函數(shù)模型，而Geogebra的點集能夠很好地幫助觀察點的分布特點，思考對應函數(shù)特征，形成自己的模型。而一些基本的題目用Geogebra更是一目了然地得到結(jié)果。

Geogebra是一個結(jié)合幾何、代數(shù)與微積分的動態(tài)數(shù)學軟件，在各個年齡層的教學中都有著極大的作用。職業(yè)教育中數(shù)學往往是學生們最感到無力的一門，但是通過Geogebra這種合理的信息化手段，把復雜變得簡單，把抽象變得具現(xiàn)，把死板變得生動。

參考文獻：

［1］譚媛媛.基于GeoGebra的問題驅(qū)動式課堂教學實踐——以三視圖教學為例［J］.中國現(xiàn)代教育裝備，2022（14）：5255.

［2］張程艷.應用GeoGebra開展數(shù)學探究活動的教學實踐［J］.中學數(shù)學，2022（13）：9092.

［3］張平.GeoGebra軟件在初中數(shù)學信息化教學中的應用策略［J］.新課程研究，2022（21）：108110.

作者簡介：趙誼陽（1987—?），男，漢族，上海人，學士，中級，研究方向：中職數(shù)學教育信息化應用。