戴厚祥 朱濤

［摘 ?要］ 模型意識(shí)是小學(xué)數(shù)學(xué)中一種核心的基本意識(shí)，它滲透于小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各個(gè)方面，如運(yùn)算模型、方程模型、幾何圖像模型等。對(duì)小學(xué)生而言，他們幾乎每天都在進(jìn)行和模型學(xué)習(xí)有關(guān)的活動(dòng)。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“新課標(biāo)（2022年版）”）將“模型思想”更名為“模型意識(shí)”，同時(shí)明確指出：“數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)聯(lián)系的基本途徑?！保郏保萘己玫哪Ｐ鸵庾R(shí)，有助于學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界。但在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生模型意識(shí)的培養(yǎng)被情境、工具等所局限而無(wú)法得到有效實(shí)現(xiàn)。文章基于信息化大背景，融合信息技術(shù)手段，以“技術(shù)”助力數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的過(guò)程，為培養(yǎng)學(xué)生模型意識(shí)提供新路徑。

［關(guān)鍵詞］ 信息技術(shù)；模型意識(shí)；建模學(xué)習(xí)；新路徑

一、概念解讀：數(shù)學(xué)模型、模型意識(shí)與數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵

（一）數(shù)學(xué)模型

關(guān)于模型，《辭海（第七版）》是這樣描述的：與“原型”相對(duì)，即研究對(duì)象的替代品。百度詞條注釋為：依照實(shí)物的形狀和結(jié)構(gòu)按比例制成的物品。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，模型可以大體分為兩類(lèi)：第一類(lèi)是實(shí)物模型，常見(jiàn)的如汽車(chē)、地球儀、鐘表的模型等；第二類(lèi)是虛擬模型，也就是為了解釋現(xiàn)象、描述規(guī)律或闡明理論等進(jìn)行的示意性描述，如數(shù)學(xué)模型、天文學(xué)模型、經(jīng)濟(jì)學(xué)模型等。

關(guān)于數(shù)學(xué)模型，存在狹義和廣義的理解。

狹義上看，數(shù)學(xué)模型就是反映事物特征或事物之間數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。比如，張奠宙認(rèn)為：數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是反映特定的問(wèn)題或事物的數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu)［２］。徐利治認(rèn)為：數(shù)學(xué)模型是指參照事物的特征或數(shù)量關(guān)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言概括化地表達(dá)出來(lái)的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)［３］。

廣義上看，數(shù)學(xué)中的各種概念、公式和理論都可以稱(chēng)為數(shù)學(xué)模型。張欽在《基于建模思想的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)研究》中指出：“從廣義上講，小學(xué)數(shù)學(xué)課程中所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念、命題、圖表等都可以指數(shù)學(xué)模型?！保郏矗?/p>

綜上所述，數(shù)學(xué)模型可以認(rèn)為是為了解決某一問(wèn)題、達(dá)到某一目的，借助數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)事物本身的特征或?qū)ο蟮膬?nèi)在關(guān)系進(jìn)行表達(dá)所形成的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

數(shù)學(xué)模型在生活中有著廣泛的應(yīng)用。比如：在認(rèn)識(shí)圓柱和圓錐時(shí)，學(xué)生借助手邊的圓柱模型進(jìn)行觀察，這是實(shí)體數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用；數(shù)學(xué)課上，教師用計(jì)算機(jī)上可以自由拖拽的虛擬的圓柱體給學(xué)生講課，這是虛擬數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用；古人甚至用數(shù)學(xué)模型解決諸如“田忌賽馬”這樣復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題?？梢?jiàn)，模型存在于數(shù)學(xué)的不同種類(lèi)的問(wèn)題之中，有的問(wèn)題與生活緊密相關(guān)，有的問(wèn)題較為抽象，需要教師注意“直觀”與“抽象”的關(guān)系。數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)與使用不僅可以簡(jiǎn)化這些復(fù)雜的問(wèn)題，還能準(zhǔn)確刻畫(huà)某一抽象事物或復(fù)雜事件的過(guò)程，進(jìn)而彰顯內(nèi)在的演化規(guī)律，提升學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，幫助學(xué)生搭建數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界溝通的橋梁。

（二）模型意識(shí)

模型意識(shí)是新課標(biāo)（2022年版）的“十一個(gè)核心概念”之一，從原本的“模型思想”更名為“模型意識(shí)”，并在初中階段發(fā)展為“模型觀念”。無(wú)論是“意識(shí)”還是“思想”，它們都強(qiáng)調(diào)“會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”。因此，有部分學(xué)者這樣定義：“數(shù)學(xué)模型思想是指用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述現(xiàn)實(shí)世界所依賴(lài)的思想?！边@是十年前對(duì)于“模型思想”的解釋。不難看出，這種描述的側(cè)重點(diǎn)在于“數(shù)學(xué)語(yǔ)言”。同時(shí)，新課標(biāo)（2022年版）中在模型意識(shí)和模型觀念中同樣都涉及了數(shù)學(xué)語(yǔ)言。小學(xué)階段常見(jiàn)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言包含文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖像語(yǔ)言，它具有簡(jiǎn)潔、通用的特點(diǎn)，也正因如此，它為人們提供了與現(xiàn)實(shí)世界交流與表達(dá)的一種獨(dú)有的方式。綜上，筆者認(rèn)為小學(xué)階段的模型意識(shí)就是學(xué)生經(jīng)歷用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)問(wèn)題或現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的過(guò)程，有意識(shí)地運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)或描述問(wèn)題，感悟這種交流方式的意義與價(jià)值，逐步養(yǎng)成這種習(xí)慣的一種寶貴的數(shù)學(xué)意識(shí)，它也是初中方程、函數(shù)等抽象化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)的重要基礎(chǔ)。

（三）數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模不是純粹的解題，它指的是“通過(guò)建立模型的方法來(lái)求得問(wèn)題解決的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程”，一個(gè)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)建模應(yīng)至少包含這樣幾個(gè)基本步驟（如圖1）：

結(jié)合實(shí)際，有時(shí)數(shù)學(xué)建模無(wú)須經(jīng)歷所有的環(huán)節(jié)。值得關(guān)注的是，上述過(guò)程中最重要的步驟是從數(shù)學(xué)問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型這一步，一旦模型建立錯(cuò)誤，后面將前功盡棄。因而，學(xué)生需要借助過(guò)往的經(jīng)驗(yàn)，在教師的引導(dǎo)下嘗試運(yùn)用已掌握的數(shù)學(xué)語(yǔ)言去表達(dá)、描述、解釋等。根據(jù)實(shí)際教學(xué)，教師也可以把上述流程圖簡(jiǎn)化為四個(gè)步驟（見(jiàn)表1）。

就小學(xué)階段而言，低年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模往往比較形象、具體，容易理解；中、高年級(jí)的數(shù)學(xué)建模相對(duì)比較抽象，難以理解，需要借助信息技術(shù)幫助建模。

二、現(xiàn)象掃描：數(shù)學(xué)建模教學(xué)中的思維誤區(qū)

現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，模型意識(shí)本身的抽象性、建模過(guò)程的復(fù)雜與困難，導(dǎo)致教師難以掌握數(shù)學(xué)建模教學(xué)的要點(diǎn)。教師即使認(rèn)識(shí)到了模型意識(shí)的重要性，也不知道該如何滲透，即便知道了建模的一般化步驟，也不知道如何規(guī)范地開(kāi)展教學(xué)，更不知道如何進(jìn)行準(zhǔn)確評(píng)估。學(xué)生在這樣的課堂中，“看似學(xué)過(guò)了”“掌握了”，卻沒(méi)有建立真正的模型意識(shí)。從筆者聽(tīng)課的記錄和查閱知網(wǎng)等80余篇文章來(lái)看，當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)存在一些共性問(wèn)題。

（一）建模情境選擇偏離

建模的起點(diǎn)是情境，因此情境的選擇決定了建模的結(jié)果。在建模的數(shù)學(xué)課堂中，教師都會(huì)嘗試嵌入一個(gè)情境，而這樣的情境則會(huì)面臨一些質(zhì)疑：它是否是真實(shí)的？它能貼合學(xué)生的已知經(jīng)驗(yàn)嗎？它能否激發(fā)學(xué)生建模的意識(shí)？……這些問(wèn)題其實(shí)都在考驗(yàn)情境該如何更好地與課堂融合，以實(shí)現(xiàn)模型意識(shí)的優(yōu)化。比如筆者在一篇“乘法分配律”的實(shí)錄中看到，教師為了讓學(xué)生理解（50+35）×4和50×4+35×4這兩個(gè)算式之間的關(guān)聯(lián)，創(chuàng)設(shè)了如下情境：“上衣50元，褲子35元，李老師買(mǎi)了4件上衣和4條褲子，一共要付多少元？”顯然，學(xué)生在日常生活中自己購(gòu)買(mǎi)衣服的經(jīng)驗(yàn)很少，甚至幾乎沒(méi)有，因此他們很難把已有經(jīng)驗(yàn)和問(wèn)題情境密切聯(lián)系起來(lái)。此外，這種脫離學(xué)生生活實(shí)際的情境對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)也毫無(wú)吸引力，既無(wú)趣又枯燥。

建模的需求性問(wèn)題關(guān)乎建模思想培養(yǎng)的動(dòng)力問(wèn)題，學(xué)生只有對(duì)情境感興趣才愿意自主探究。相較于被動(dòng)解決問(wèn)題，學(xué)生的自主探究會(huì)更為主動(dòng)且高效。當(dāng)然，情境不能一味地追求激發(fā)學(xué)生的興趣，其內(nèi)容應(yīng)該緊扣模型需要解決的問(wèn)題或困境，讓學(xué)生能夠自然且順利地在給定的情境下使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言。建模情境中最容易被忽視的就是學(xué)生的已知經(jīng)驗(yàn)。究竟什么樣的情境才真正貼合學(xué)生呢？綜上，筆者認(rèn)為優(yōu)秀的建模情境至少滿(mǎn)足以下要求：情境設(shè)置要“有趣”，能夠調(diào)動(dòng)兒童建模的動(dòng)力；情境選擇要“合理”，符合兒童的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，同時(shí)兼顧兒童的最近發(fā)展區(qū)；情境內(nèi)容要“關(guān)聯(lián)”，能夠貼合兒童的生活實(shí)際。

（二）建模能力理解失準(zhǔn)

在建模過(guò)程中，學(xué)生有了建模的動(dòng)力后，面臨的最大問(wèn)題就是不會(huì)建模。其中最大的障礙就是學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與建模活動(dòng)之間的沖突。以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)中的“和差問(wèn)題”為例：“五年級(jí)一班、二班共有學(xué)生100人，一班比二班多6人，則兩個(gè)班各有多少人？”這樣的問(wèn)題會(huì)出現(xiàn)在三年級(jí)下冊(cè)的數(shù)學(xué)書(shū)中，往后還有“和倍”“差倍”的問(wèn)題。從實(shí)際教學(xué)來(lái)看，解決這樣的問(wèn)題一般會(huì)經(jīng)歷“分析條件——依據(jù)數(shù)量關(guān)系畫(huà)線段圖——列式解答——檢驗(yàn)答案”的過(guò)程（如圖2）。

學(xué)生在此之前已有的經(jīng)驗(yàn)是蘇教版三年級(jí)下冊(cè)的“解決問(wèn)題的策略——畫(huà)線段圖”。因此，解決“和差問(wèn)題”時(shí)，需要學(xué)生熟練掌握用線段圖的語(yǔ)言方式來(lái)描述此類(lèi)問(wèn)題，如果學(xué)生無(wú)法想到用線段圖或示意圖來(lái)表征，那么他的建模就很難進(jìn)行。相反，有了這樣的基礎(chǔ)，學(xué)生在“量”的積累下逐漸實(shí)現(xiàn)“質(zhì)”的完善，最后形成“大數(shù)=（和+差）÷2，小數(shù)=（和－差）÷2”這樣抽象的數(shù)量關(guān)系式，就可以順利完成初步的建模。在進(jìn)行建模教學(xué)中，教師要充分考慮到學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合建模內(nèi)容，讓學(xué)生不僅有話“可”說(shuō)，還要有話“能”說(shuō)。

（三）信息技術(shù)水平滯后

打破課內(nèi)外的界限，如何有效運(yùn)用信息技術(shù)建模依然是當(dāng)前數(shù)學(xué)課堂存在的問(wèn)題。筆者曾經(jīng)在聽(tīng)六年級(jí)“圓錐的體積”課中就遇到過(guò)這樣的“尷尬”。教師在給學(xué)生講解圓錐體積是等底等高的圓柱體積的三分之一時(shí)，采用的是倒水實(shí)驗(yàn)，但在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中損耗了一些水，導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)未能成功，部分學(xué)生開(kāi)始起哄，現(xiàn)場(chǎng)氣氛十分尷尬。其實(shí)這位教師是想通過(guò)實(shí)際的操作，讓學(xué)生明白三分之一是怎么來(lái)的，不過(guò)人為因素導(dǎo)致的誤差反而造成了困擾。數(shù)學(xué)教學(xué)中像這樣的實(shí)物演化的模型不在少數(shù)，因而信息技術(shù)的引入就顯得迫在眉睫，它可以規(guī)避這樣的誤差，達(dá)到理想化的模型。此外，觀察筆者所在地區(qū)當(dāng)前的課堂可以發(fā)現(xiàn)，教師在課堂中使用的信息技術(shù)較為基礎(chǔ)，常見(jiàn)的是用Powerpoint等演示文稿，部分地區(qū)裝備了“金陵微?！边@樣的教學(xué)平臺(tái)，而像“GSP幾何畫(huà)板”這樣的軟件幾乎無(wú)人使用。信息技術(shù)的滯后對(duì)數(shù)學(xué)建模來(lái)說(shuō)有著不小的影響，筆者認(rèn)為，教育信息化的發(fā)展必然會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)建模教學(xué)起到正向的促進(jìn)作用，這一點(diǎn)在很多高校也得到了驗(yàn)證，因此，小學(xué)階段要重視信息技術(shù)與數(shù)學(xué)建模的關(guān)聯(lián)性?xún)r(jià)值。

（四）建模評(píng)價(jià)方案單一

數(shù)學(xué)建模的結(jié)果最終是要回到真實(shí)情景中加以驗(yàn)證的，因此模型的正確與否應(yīng)成為評(píng)價(jià)的重要指標(biāo)之一。但是，同一個(gè)情景可能存在不同的數(shù)學(xué)模型，比如：運(yùn)算律中a－（b+c）和a－b－c雖然形式不同，但是都能夠解決同樣的問(wèn)題，因此在評(píng)價(jià)建模結(jié)果的時(shí)候不能一概而論。小學(xué)階段除了要關(guān)注結(jié)果，更重要的是關(guān)注學(xué)生經(jīng)歷建模過(guò)程時(shí)的表現(xiàn)，教師需要在建模的每一步給予學(xué)生及時(shí)的反饋，以幫助學(xué)生更好地形成模型素養(yǎng)。

三、全面解讀：信息技術(shù)在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值

教師在傳統(tǒng)的建模教學(xué)中幾乎看不到信息技術(shù)的影子。隨著教育信息化的飛速發(fā)展，教育裝備的不斷更新，信息技術(shù)與課堂的融合由淺入深，不僅可以解決技術(shù)上的難題，而且可以加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解。小學(xué)階段的教學(xué)重點(diǎn)之一就是要處理好“抽象”與“直觀”的關(guān)系，而信息技術(shù)的可視化特點(diǎn)能夠很好地解決這一問(wèn)題。小學(xué)數(shù)學(xué)課堂內(nèi)容常分為“數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐”四大板塊，建模教學(xué)滲透在不同的板塊里，下面筆者將從這四大板塊簡(jiǎn)述信息技術(shù)與建模教學(xué)的深度融合價(jià)值。

（一）“數(shù)與代數(shù)”：數(shù)形結(jié)合，化抽象為直觀

1. 數(shù)的認(rèn)識(shí)

小學(xué)階段的“數(shù)與代數(shù)”主要包含“數(shù)與運(yùn)算”“數(shù)量關(guān)系”兩個(gè)方面?！皵?shù)”主要包括整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)等，“運(yùn)算”主要包括算法、算理等；“數(shù)量關(guān)系”主要是用數(shù)或符號(hào)表達(dá)數(shù)量之間的關(guān)系，常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系主要運(yùn)用于加法模型和乘法模型。

廣義地看，教師可以把一個(gè)分?jǐn)?shù)看作一個(gè)高度抽象的模型。以學(xué)生剛認(rèn)識(shí)的1/2為例，它的引入在教材中是以一個(gè)蛋糕平均分成2塊來(lái)呈現(xiàn)的，被分出來(lái)的1/2塊蛋糕可以看成是這個(gè)分?jǐn)?shù)的直觀模型（或?qū)嵨锬Ｐ停?，它既可以表示一個(gè)結(jié)果，也可以表示部分與整體的關(guān)系，但因分?jǐn)?shù)本身過(guò)于抽象，所以不利于學(xué)生理解。當(dāng)然，教師也不可能在實(shí)際教學(xué)中讓學(xué)生準(zhǔn)備一個(gè)蛋糕分一分，因此，教師一般會(huì)讓學(xué)生在學(xué)習(xí)單上畫(huà)一畫(huà)（如圖3），這是數(shù)學(xué)表征的一種方式。這樣畫(huà)一畫(huà)雖然可以展現(xiàn)學(xué)生思考的過(guò)程，但卻難以展現(xiàn)分出的結(jié)果。若學(xué)生在平板上操作，則很容易地就把圓片一分為二，然后屏幕顯示分開(kāi)后的蛋糕，從過(guò)程到結(jié)果，一目了然（如圖4）。

因此，教師需要在保留分?jǐn)?shù)本質(zhì)屬性的基礎(chǔ)上，把它具象化、直觀化，才能有助于學(xué)生感知。這一點(diǎn)也是新課標(biāo)中強(qiáng)調(diào)的，教師既要處理好知識(shí)的直觀呈現(xiàn)方式，又要處理好“直觀”與“抽象”的關(guān)系。而利用信息技術(shù)就可以很好地達(dá)到這樣的效果。以筆者遇到的一道題為例：“一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母都加上1，分?jǐn)?shù)的大小不變。（ ?）（填×或√）”，單純解決這樣一個(gè)問(wèn)題對(duì)于六年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)并非難事，他們可以采用下面的方式解答。

舉例子，所以填“×”。歸根結(jié)底，它本身就是一個(gè)＞的數(shù)學(xué)模型，但對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，這樣的表達(dá)式太過(guò)抽象和復(fù)雜，分母和分子都處在變化之中。因此，筆者引入“GSP幾何畫(huà)板”軟件。這款軟件操作起來(lái)十分簡(jiǎn)便，能夠快速構(gòu)造圖形、函數(shù)圖像等。以大小相同的圓片為例，教師依次輸入分子和分母，會(huì)呈現(xiàn)出規(guī)律的結(jié)果（如圖5）。

從圖中可以清晰、直觀地看到隨著分子和分母“同時(shí)增加1”，涂色部分的面積在不斷變大，抽象的分?jǐn)?shù)和直觀的圖像巧妙地結(jié)合在一起，做到了真正的“數(shù)形結(jié)合”，同時(shí)，學(xué)生經(jīng)歷了這一完整的變化過(guò)程，更能感悟這一數(shù)學(xué)模型的規(guī)律價(jià)值。同樣的，屬于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的還有對(duì)小數(shù)、百分?jǐn)?shù)等這些數(shù)的認(rèn)識(shí)與理解。例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)小數(shù)后，形如0.80米所表示的含義、0.001這個(gè)小數(shù)的意義等抽象的問(wèn)題都需要技術(shù)的參與，打破學(xué)生思維的壁壘，突破手工操作的困境，將數(shù)與形建立起聯(lián)系，助力學(xué)生的思維成長(zhǎng)。

2. 數(shù)量關(guān)系

小學(xué)階段常見(jiàn)的模型分為加法模型和乘法模型，學(xué)生需要在具體情境中運(yùn)用含有符號(hào)的式子解決問(wèn)題。以乘法模型為例，教師可以在低年級(jí)的課堂中這樣引入乘法模型。

（1）趣味情景，引發(fā)思考。

動(dòng)畫(huà)播放：天空下起了小雨，小水滴齊刷刷地落下來(lái)，形成了美麗的雨幕。老師用相機(jī)拍了一張照片，請(qǐng)大家欣賞?？墒?，有一些小水滴藏在了烏云的背后，有一些露在了外面，你能算出有多少小水滴在烏云外面嗎？（出示圖片，如圖6）

（2）深入交流，感知模型。

預(yù)設(shè)：2+2+2=6（加法）；3×2=6或2×3=6（乘法）。

談話：（出示圖7）調(diào)皮的烏云被風(fēng)吹走一部分，又露出一些小水滴，你能根據(jù)這道乘法算式擺一擺嗎？（出示：4×7）明確：每行7個(gè)，有4行；每列4個(gè)，有7列。

（3）自主探索，應(yīng)用模型。

（出示圖8）將全部的雨滴展示出來(lái)，讓學(xué)生像之前一樣用兩種方法在圖上表示算式。

借助課件的動(dòng)畫(huà)演示和交互式白板的體驗(yàn)，學(xué)生的思維從單一走向開(kāi)闊。在學(xué)生初步掌握乘法模型后，課件的兩種不同呈現(xiàn)形式讓學(xué)生從兩種角度理解了乘法模型的含義。在最后自由框選小水滴的環(huán)節(jié)中，學(xué)生在數(shù)量關(guān)系的支撐下自由地探索不同的算式。

（二）“圖形與幾何”：動(dòng)態(tài)演繹，從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)

小學(xué)階段“圖形與幾何”主要包括“圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量”和“圖形的位置與運(yùn)動(dòng)”兩大主題。相較于數(shù)的認(rèn)識(shí)，圖形較為直觀、具象。從實(shí)際學(xué)情來(lái)看，學(xué)生從實(shí)際物體中抽象出幾何圖形比較輕松，但是對(duì)于理解圖形之間的關(guān)系，在某些圖形的特征的認(rèn)識(shí)上則存在困難。

1. 圖形的認(rèn)識(shí)

以蘇教版五年級(jí)上冊(cè)“三角形的面積”為例，本節(jié)課的難點(diǎn)之一就是理解和應(yīng)用“蝴蝶模型”（如圖9）。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，就是在一個(gè)梯形內(nèi)，連接對(duì)角線，△AOD的面積等于△BOC的面積，這也是小學(xué)階段五大“幾何模型”之一。

簡(jiǎn)單分析這個(gè)模型可以發(fā)現(xiàn)，要想讓學(xué)生理解這個(gè)模型，應(yīng)當(dāng)從“特殊”走向“一般”，即將梯形的上底和下底向兩邊延展，得到兩條平行線，在平行線之間去思考三角形的面積關(guān)系。（出示圖10）引導(dǎo)學(xué)生思考：涂色部分的三角形和哪個(gè)三角形的面積相等？為什么？以BC為底，像這樣面積相等的三角形，你還能畫(huà)出多少？這些問(wèn)題旨在引導(dǎo)學(xué)生思考：在這樣的兩條平行線之間畫(huà)出來(lái)的三角形都是等底等高的，所以面積相等。在畫(huà)三角形時(shí)利用交互式白板的優(yōu)勢(shì)，學(xué)生可以盡情地畫(huà)三角形，方便且快捷，在此過(guò)程中等底等高的思想被一遍遍地強(qiáng)化，為后續(xù)研究做鋪墊。接著，利用交互式白板的功能，筆者將圖10中的點(diǎn)A設(shè)置為可以在平行線上自由拖動(dòng)的點(diǎn)，將靜態(tài)的圖形轉(zhuǎn)變?yōu)閯?dòng)態(tài)的圖形，在形狀變化中讓學(xué)生思考不變的地方，即面積不變（高不變）。有了這樣的基礎(chǔ)，學(xué)生在理解圖9時(shí)就變得游刃有余，繼而可以嘗試在實(shí)際應(yīng)用中借助這個(gè)模型去解決一些復(fù)雜的問(wèn)題。如圖11，學(xué)生可以增添輔助線（虛線），將△ABC的面積轉(zhuǎn)變?yōu)榇笳叫蚊娣e的一半，然后解決問(wèn)題。巧妙的轉(zhuǎn)化，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，讓學(xué)生感悟到用模型解決復(fù)雜問(wèn)題的價(jià)值。

2. 圖形的位置

以蘇教版的“用數(shù)對(duì)確定位置”為例，圖形的位置，在生活中就是某一事物、建筑物等的位置，它在現(xiàn)實(shí)世界有著廣泛的應(yīng)用。比如2008年北京奧運(yùn)會(huì)開(kāi)幕式上的“活字表演”令人印象深刻，教師可在課上播放相關(guān)視頻，引導(dǎo)學(xué)生思考：猜一猜，張藝謀導(dǎo)演是如何指揮這么多人完成美麗的圖案的？這樣的問(wèn)題，極大地激發(fā)了學(xué)生的興趣。這是利用信息技術(shù)建立起了認(rèn)知的沖突，學(xué)生在思考這一現(xiàn)象的同時(shí)，也在初步感知數(shù)學(xué)模型的存在。

（三）“統(tǒng)計(jì)與概率”：明晰意義，透數(shù)據(jù)思本質(zhì)

“統(tǒng)計(jì)與概率”是小學(xué)階段的重要內(nèi)容之一，它是學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界的基礎(chǔ)，主要包括“數(shù)據(jù)分類(lèi)”“數(shù)據(jù)的收集、整理與表達(dá)”“隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性”。其中，平均數(shù)是統(tǒng)計(jì)中一個(gè)重要的概念模型，在計(jì)算平均數(shù)的時(shí)候，往往采用“移多補(bǔ)少”的方法。針對(duì)這一點(diǎn)，教師可以采取直觀的圖示化表達(dá)，幫助學(xué)生進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。例如：在唱歌比賽中，四位評(píng)委打分見(jiàn)表2。

教師用直方圖呈現(xiàn)后，讓學(xué)生在屏幕上拖動(dòng)，進(jìn)行“移多補(bǔ)少”的操作。結(jié)果如圖12所示：

教師引導(dǎo)學(xué)生將統(tǒng)計(jì)表中的數(shù)據(jù)和移動(dòng)完之后的數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，明確平均數(shù)是把原始數(shù)據(jù)進(jìn)行“移多補(bǔ)少”處理后的結(jié)果，它是一個(gè)虛擬存在的數(shù)，能夠反映這組數(shù)據(jù)的整體水平。有了這樣直觀的體悟，學(xué)生對(duì)平均數(shù)背后的統(tǒng)計(jì)意義會(huì)產(chǎn)生更清晰的認(rèn)知，強(qiáng)化了平均數(shù)的模型意義。

誠(chéng)然，在計(jì)算平均數(shù)的時(shí)候還存在“先合再分”的方法，只是一般情況下，教師會(huì)把它當(dāng)作計(jì)算方法進(jìn)行講解。而有了技術(shù)的支撐，教師可以將這一過(guò)程再現(xiàn)，借助方格理解算式的意義（如圖13）。

教師將每一個(gè)評(píng)委的分?jǐn)?shù)用不同顏色進(jìn)行區(qū)分，把它們先合在一起，然后平均分給4個(gè)評(píng)委，每個(gè)評(píng)委得到的分?jǐn)?shù)都不是自己原來(lái)的分?jǐn)?shù)，而是平均分出來(lái)的結(jié)果——7分，它代表的是一組數(shù)據(jù)的整體水平。信息技術(shù)的支持，能夠幫助學(xué)生深層次地理解平均數(shù)這一模型的本質(zhì)，讓學(xué)生在觀察、操作、比較中感悟“移多補(bǔ)少”和“先合后分”的不同。

（四）“綜合與實(shí)踐”：實(shí)踐檢驗(yàn)，還建模以生活

“綜合與實(shí)踐”要求學(xué)生在真實(shí)情景中運(yùn)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識(shí)與方法解決真實(shí)的問(wèn)題，是模型思想的集中體現(xiàn)。相較于其他領(lǐng)域的內(nèi)容，“綜合與實(shí)踐”因其開(kāi)放性、綜合性、自主性、應(yīng)用性等，要求教師要格外關(guān)注學(xué)生的主體地位。利用信息技術(shù)打造的智慧課堂可以完全適應(yīng)課程的要求。以蘇教版四年級(jí)下冊(cè)的“數(shù)字與信息”一課為例，筆者采用“金陵微校”作為搭建智慧課堂的平臺(tái)。

1. 課前推送，掌握學(xué)情

在執(zhí)教“數(shù)字與信息”這節(jié)課之間，筆者利用“金陵微?！逼脚_(tái)給每一位學(xué)生發(fā)送了一份學(xué)習(xí)單，讓學(xué)生先了解自己和父母的身份證號(hào)碼、出生年月日，所在地的郵政編碼，家庭住址的編號(hào)等，收集生活中常見(jiàn)的數(shù)字信息。

2. 思維參與，理解編碼

課中，筆者和學(xué)生一起交流電話號(hào)碼這樣常見(jiàn)的數(shù)字號(hào)碼，然后即時(shí)發(fā)送火車(chē)票、車(chē)牌號(hào)、郵政編碼三張圖片，組織學(xué)生討論“你知道這些圖片上的數(shù)字和符號(hào)表示什么意思嗎”，引導(dǎo)學(xué)生思考數(shù)字編碼背后的意義。

3. 游戲體驗(yàn)，玩轉(zhuǎn)編碼

在探究完身份證號(hào)碼所代表的信息后，筆者利用“金陵微校”中的軟件設(shè)計(jì)了“配對(duì)”游戲：將小明一家五口的身份證全部打亂，然后一鍵發(fā)送給學(xué)生，讓學(xué)生自己在平板上操作。被打亂的編碼給學(xué)生的認(rèn)知帶來(lái)了沖突，由于有了前面正確的認(rèn)識(shí)，學(xué)生可以在判斷中強(qiáng)化對(duì)編碼順序的理解，從而對(duì)整個(gè)編碼系統(tǒng)模型有了一個(gè)整體的感知。

4. 現(xiàn)實(shí)應(yīng)用，完善編碼

最后，筆者設(shè)置了一個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題：學(xué)校新進(jìn)了一批圖書(shū)，這是書(shū)單，如果你是圖書(shū)管理員，你打算怎么利用今天學(xué)習(xí)的知識(shí)對(duì)這些圖書(shū)進(jìn)行編碼？說(shuō)說(shuō)你的理由。模型最終還是要回到現(xiàn)實(shí)生活中去檢驗(yàn)，但是考慮到小學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)不足，教師就鼓勵(lì)學(xué)生展開(kāi)思考與設(shè)計(jì)，并同時(shí)將最終的結(jié)果和現(xiàn)實(shí)的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比即可。

五、結(jié)語(yǔ)與未來(lái)展望

建模在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中無(wú)處不在，幾乎每一節(jié)課中都存在建模的學(xué)習(xí)活動(dòng)。信息技術(shù)憑借自己的優(yōu)勢(shì)可以?xún)?yōu)化建模情境、優(yōu)化建模過(guò)程、突破建模難點(diǎn)、優(yōu)化建模方式、促進(jìn)建模評(píng)價(jià)等，而這些都是傳統(tǒng)課堂所無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。同時(shí)，新課標(biāo)（2022年版）中也指出“數(shù)學(xué)建模是一個(gè)綜合性的過(guò)程”，它的學(xué)習(xí)方式可以從“信息技術(shù)環(huán)境中的學(xué)習(xí)”展開(kāi)探究。豐富的網(wǎng)絡(luò)資源會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生不同的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。而基于信息技術(shù)環(huán)境的學(xué)習(xí)方式則是更加深度的融合，它影響著建模學(xué)習(xí)的每一步。本文通過(guò)小學(xué)數(shù)學(xué)四大板塊中信息技術(shù)全面參與建模教學(xué)的實(shí)例分析其價(jià)值與策略，具有重要的、一定的普適意義。但針對(duì)如何從學(xué)生“學(xué)”的路徑分析建模的過(guò)程，筆者后續(xù)將繼續(xù)深入探索。

參考文獻(xiàn)：

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