一題一課,問題驅(qū)動的數(shù)學(xué)思維復(fù)習(xí)課

邱志剛

[摘? 要] 不少的初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課仍以知識重現(xiàn)、典例講解和技巧應(yīng)用為主，忽視了對章節(jié)知識體系的構(gòu)建以及對學(xué)生思維能力的培養(yǎng). 文章以“二次函數(shù)”復(fù)習(xí)課為例，采取重構(gòu)教學(xué)目標(biāo)、精心設(shè)計(jì)問題的教學(xué)策略，通過問題的解決讓學(xué)生構(gòu)建起知識框架，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維能力.

[關(guān)鍵詞] 問題驅(qū)動;一題一課;數(shù)學(xué)思維;復(fù)習(xí)課

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課以知識重現(xiàn)、典例講解和技巧應(yīng)用為主，注重問題解決和解法歸類，依靠著簡單的知識回顧和反復(fù)的刷題來提高教學(xué)效率，對學(xué)生數(shù)學(xué)能力提升、核心素養(yǎng)培養(yǎng)及數(shù)學(xué)思維鍛煉沒有太大的幫助，這樣的課堂處于一種低階思維狀態(tài).

新課程標(biāo)準(zhǔn)要求培養(yǎng)和提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，由此可見數(shù)學(xué)單元（章末）復(fù)習(xí)課的必要性、重要性和實(shí)效性.而數(shù)學(xué)單元（章末）復(fù)習(xí)課的教學(xué)，應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生從已有的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”出發(fā)，將數(shù)學(xué)知識“數(shù)學(xué)化”“再創(chuàng)造”“反思”等;讓學(xué)生在最近發(fā)展區(qū)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，逐步培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問題的能力，讓學(xué)生在“問題驅(qū)動”下學(xué)會“數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)”.

筆者在教授“二次函數(shù)”復(fù)習(xí)課中，嘗試設(shè)計(jì)了一系列問題，學(xué)生在問題驅(qū)動下，再認(rèn)識概念、構(gòu)建知識體系和解決不斷生長的問題，不僅僅提升了學(xué)習(xí)能力，重要的是學(xué)生始終處于高階思維狀態(tài)，對培養(yǎng)自身的核心素養(yǎng)有較大幫助.

基本情況分析

1. 內(nèi)容及內(nèi)容分析

本節(jié)課是北師大版數(shù)學(xué)九年級下冊第二章“二次函數(shù)”復(fù)習(xí)課，以二次函數(shù)的定義和性質(zhì)、求解二次函數(shù)解析式和綜合運(yùn)用為主. 在此之前，學(xué)生已系統(tǒng)學(xué)習(xí)了上述知識，初步掌握了一些二次函數(shù)的研究方法，積累了對應(yīng)的活動經(jīng)驗(yàn). 本節(jié)復(fù)習(xí)課的學(xué)習(xí)方法和探究過程，區(qū)別于傳統(tǒng)的復(fù)習(xí)課形式，為后續(xù)學(xué)生自主構(gòu)建知識體系、梳理知識點(diǎn)、培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維奠定基礎(chǔ).

2. 學(xué)習(xí)目標(biāo)

（1）通過微課中的幾何畫板演示，借助圖象的變換建立起“二次函數(shù)”的定義與性質(zhì)的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生在觀察和思考中自主構(gòu)建知識體系，培養(yǎng)學(xué)生歸納以及建模的能力.

（2）通過開放性題目探究，進(jìn)一步理解和應(yīng)用二次函數(shù)圖象變換下的問題生成，開拓學(xué)生一題多解的能力，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力和批判性思維能力.

（3）通過對圖形線段的增刪、變換衍生出不同的問題，讓學(xué)生感受問題的進(jìn)階，培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力.

3. 教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：二次函數(shù)的定義與性質(zhì)的應(yīng)用.

難點(diǎn)：學(xué)會探索與分析二次函數(shù)圖象中線段的各種關(guān)系.

教學(xué)過程

1. 預(yù)習(xí)反饋，歸納總結(jié)

問題1：提前錄制微課，讓學(xué)生在幾何畫板演示下觀看如何建立二次函數(shù)圖象，通過圖象上下、左右平移以及180°旋轉(zhuǎn)，觀察二次函數(shù)解析式的系數(shù)與圖象之間的聯(lián)系，學(xué)生通過微課后的幾個追問進(jìn)行思考、討論和回答，學(xué)會用思維導(dǎo)圖構(gòu)建起二次函數(shù)的知識架構(gòu).

追問1：二次函數(shù)圖象是一個怎樣的圖形？形如怎樣的式子是二次函數(shù)的一般形式？

追問2：改變二次函數(shù)各項(xiàng)系數(shù)（先改變a，再改變c，最后改變b）對二次函數(shù)圖象有怎樣的影響？

追問3：你能說出二次函數(shù)各項(xiàng)系數(shù)對二次函數(shù)圖象的變化會起到哪些作用嗎？

追問4：通過合作討論，你能說出二次函數(shù)有哪些基本性質(zhì)嗎？

追問5：通過合作討論，你能總結(jié)出二次函數(shù)系數(shù)與二次函數(shù)圖象特征的關(guān)系嗎？

設(shè)計(jì)說明：通過微課學(xué)習(xí)，讓學(xué)生觀察、思考二次函數(shù)系數(shù)與圖象之間的聯(lián)系，進(jìn)一步深化和總結(jié)二次函數(shù)的性質(zhì)，并利用思維導(dǎo)圖把知識串聯(lián)起來，避免復(fù)習(xí)課中因?yàn)橹R點(diǎn)較多、較碎而重溫一遍，讓學(xué)生自主構(gòu)建知識體系. （附學(xué)生的思維導(dǎo)圖，如圖1所示）

2. 構(gòu)建模型，知識生長

問題2：如圖2所示，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖形與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，下面的信息正確的有______.

①abc>0;②4ac-b2<0;③4a-2b+c>0;④a-b+c=0;⑤a+c>0;⑥8a+c<0.

設(shè)計(jì)說明? 通過多結(jié)論問題的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生對已進(jìn)行了定義和性質(zhì)的歸納的知識體系有一個更清晰的認(rèn)識. 同時，通過知識的應(yīng)用能夠厘清知識之間的關(guān)系，進(jìn)一步幫助學(xué)生理解性質(zhì)，在結(jié)論設(shè)計(jì)中，從簡單到復(fù)雜，從特殊到一般，通過挖掘系數(shù)和圖形之間的關(guān)系促進(jìn)學(xué)生深度思考，培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力.

問題3：如果拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖形經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）和B（3，0），你能通過圖象得出哪些基本結(jié)論？

師生活動：問題3是一個開放性問題，通過這個問題打開學(xué)生的思維，進(jìn)一步讓學(xué)生思考二次函數(shù)系數(shù)與圖象之間的聯(lián)系. 設(shè)計(jì)條件不完整的問題，可以為后續(xù)發(fā)展問題增添更多的可能，也可以在得出的眾多結(jié)論中抽出若干個結(jié)論作為問題生長的基礎(chǔ). 當(dāng)學(xué)生回答完問題后，給出兩個追問.

追問1：你能求出該拋物線的關(guān)系式嗎？如果不能你覺得還需要添加什么條件？

學(xué)生回答：可以給出a或b或c的值，也可以給出第三點(diǎn)的坐標(biāo)，或者給出△ABC的面積……

追問2：選取其中一位同學(xué)給出的條件——圖象經(jīng)過點(diǎn)C（0，3），請求出該拋物線的關(guān)系式，你有多少種求解方法？

設(shè)計(jì)說明? 問題3既需要學(xué)生會用知識，又需要感悟知識間的內(nèi)在聯(lián)系. 感悟得越深，學(xué)生能提出的問題就越多，這樣的感悟有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)和開拓思維. 通過兩個追問引導(dǎo)學(xué)生在問題的研究上由淺入深、由特殊到一般. 同時，追問2讓學(xué)生清晰了解函數(shù)的解決方法具有多樣性，每一種方法就能涉及不同的知識. 教師鼓勵學(xué)生用不同的方法求解析式，這些方法的運(yùn)用能讓學(xué)生進(jìn)一步理解二次函數(shù)，培養(yǎng)其思辨能力.

問題4：在追問2的條件下，點(diǎn)D是拋物線上的一個動點(diǎn)，作DE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)AC，BC，BC與DE相交于Q點(diǎn).

追問1：當(dāng)點(diǎn)D在x軸上方， 且S=S時，求點(diǎn)D的坐標(biāo).

追問2：設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為______. （用含m的代數(shù)式表示）

追問3：追問2中的線段DQ的長為______. （用含m的代數(shù)式表示）

設(shè)計(jì)說明? 問題4中設(shè)計(jì)了三個追問，三個追問讓學(xué)生的思維能力逐步提升;考慮到學(xué)生剛學(xué)完這一章，還沒有完全構(gòu)建起知識間的體系，因此把動點(diǎn)設(shè)計(jì)在x軸上方，可以減少因符號而分類討論所帶來的麻煩. 三個追問聯(lián)系密切，環(huán)環(huán)相扣，為后面繼續(xù)提出新的問題埋下了伏筆，這樣的反復(fù)追問能讓學(xué)生的思維始終處于高階水平.

追問4：如圖4所示，當(dāng)線段DQ的長最大時，求點(diǎn)D的坐標(biāo)及DQ的最大值.

追問5：過點(diǎn)D作DH⊥BC于H，當(dāng)DH的長最大時，求點(diǎn)D的坐標(biāo)及DH的最大值.

師生活動：先讓學(xué)生獨(dú)立思考一段時間，再讓小組合作進(jìn)行思維碰撞，交換小組間不同的想法，幾分鐘后展示討論的成果.

設(shè)計(jì)說明? 隨著問題不斷生長，學(xué)生的思維得到了充分鍛煉. 以上兩個追問重在解決線段的最值問題，這是學(xué)生比較畏懼的一種題型，但通過前面三個追問的引導(dǎo)，學(xué)生基本能將這類最值問題轉(zhuǎn)化為線段的和差問題. 問題的生長，呈現(xiàn)出了由易到難、由簡到繁的難度變化，由低階到高階的思維變化. 追問5涉及的解法較多，考慮到“思維不是自然發(fā)生的，但它一定是由‘難題和疑問或‘一些困惑、混淆或懷疑引發(fā)的”，因此教師沒有把解決問題作為最終目的，而是通過小組合作、思維碰撞，讓學(xué)生得出多種解法. 實(shí)踐課堂里，學(xué)生提出了相似法、等面積法以及根的判別式法（相切）等，盡管有些方法超出了學(xué)生所學(xué)的知識，但教師可以鼓勵學(xué)生應(yīng)用這些方法. 隨著對問題的研究和解決，學(xué)生的能力得以較快發(fā)展和提升.

3. 問題拓展，遷移應(yīng)用

變式1：如圖5所示，拋物線y= -x2+2x+3中，點(diǎn)D是拋物線上的一個動點(diǎn)，連結(jié)CD，BD，當(dāng)S=S時，求點(diǎn)D的坐標(biāo).

變式2：如圖6所示，拋物線y= -x2+2x+3中，點(diǎn)E是拋物線上的頂點(diǎn)，在直線AC上，是否存在一點(diǎn)P，使得△BEP的周長最??？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.

設(shè)計(jì)說明? 課堂結(jié)束不是知識學(xué)習(xí)的終結(jié)，設(shè)計(jì)的拓展問題不能脫離原有的思維，應(yīng)達(dá)到鞏固學(xué)習(xí)的目的. 兩個變式分別對應(yīng)著面積和周長問題，在原有的基礎(chǔ)上把求線段的最值深化為求周長的最值，這樣的問題深化和延伸，讓學(xué)生經(jīng)歷知識從具體到抽象的轉(zhuǎn)變，屬于方法的再認(rèn)識和再創(chuàng)造.

4. 總結(jié)提升，課堂評價(jià)

如圖7所示，在圖6的基礎(chǔ)上作直線BC關(guān)于x軸對稱的直線BC′，交拋物線于點(diǎn)B，D，交y軸于點(diǎn)C′，連結(jié)CD.

（1）求∠BDC的正切值;

（2）將拋物線向下平移幾個單位長度后，與x軸只有一個公共點(diǎn)？

設(shè)計(jì)說明? 在圖6的條件上繼續(xù)延伸題目，既是對前面思維的一個總結(jié)，又可看作是本節(jié)復(fù)習(xí)課的教學(xué)評價(jià). 這樣的教學(xué)評價(jià)能讓教師及時了解學(xué)生對知識的掌握情況，可為下節(jié)課適當(dāng)調(diào)整教學(xué)順序，同時教師能觀察學(xué)生的思維發(fā)展趨勢，為今后的教學(xué)設(shè)計(jì)提供改進(jìn)的措施和方向.

1. 精心設(shè)計(jì)問題，構(gòu)建知識體系

常見的復(fù)習(xí)課仍以重現(xiàn)知識、重現(xiàn)方法和強(qiáng)化訓(xùn)練為主，這樣的復(fù)習(xí)更注重的是對題型的熟練，是一種典型的應(yīng)試教育，對學(xué)生理解知識間的聯(lián)系以及培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的幫助不大. 本節(jié)復(fù)習(xí)課中，教師通過幾何畫板畫出圖形變化，讓學(xué)生感受二次函數(shù)系數(shù)和圖象的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生用思維導(dǎo)圖的形式把這些關(guān)系串聯(lián)起來，有助于學(xué)生構(gòu)建知識體系. 對經(jīng)過思考后構(gòu)建的知識體系，學(xué)生的理解是深刻的，比教師簡單羅列知識點(diǎn)所帶來的效果好很多，同時讓學(xué)生不再機(jī)械記憶二次函數(shù)過多的性質(zhì).

2. 母題精挑細(xì)選，拓展學(xué)生思維

復(fù)習(xí)課里無論是多題一解還是一題多解，多強(qiáng)調(diào)以知識的運(yùn)用為主，沒有真正達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生思維的目的. 本節(jié)復(fù)習(xí)課中，教師精挑細(xì)選母題，找到富有開發(fā)空間的母題，然后由母題設(shè)計(jì)出豐富的變式題、拓展題，生長出有針對性的問題，每個問題都引起了學(xué)生極大的興趣，他們發(fā)現(xiàn)問題原來是這樣生長出來的. 每個追問讓學(xué)生產(chǎn)生了獨(dú)特的想法，教師鼓勵學(xué)生說出和分享想法，不斷拓展學(xué)生的思維. 值得指出的是，與開放題相比，由開放題帶來開放式教學(xué)是更重要的教學(xué)取向. 課堂中教師應(yīng)重視“對話教學(xué)”，即讓學(xué)生說、讓不同學(xué)生表達(dá)不同思維，并且讓學(xué)生的“思維”帶動師生進(jìn)一步“思考”. 這樣的教學(xué)才會是一個意蘊(yùn)生動、育才育人的課堂教學(xué).

3. 大膽讓教于生，內(nèi)化數(shù)學(xué)素養(yǎng)

在復(fù)習(xí)課的教學(xué)過程中，教師針對問題不斷提出新的追問，給予學(xué)生足夠的時間，讓學(xué)生通過獨(dú)立思考、小組合作、深入研討和積極展示去完成這些追問. 成果展示中，學(xué)生給出了很多教師沒有思考過的奇思妙想，這些想法體現(xiàn)了學(xué)生思維的變化，讓教師清晰了解了他們的思維發(fā)展，這樣的追問以及研討也讓學(xué)生的思維在整節(jié)課中始終處于高階狀態(tài). 學(xué)生在課堂活動中的成果展示，其實(shí)是他們自身知識內(nèi)化為思維能力的一種體現(xiàn)，教師應(yīng)當(dāng)善待這些充滿思考的成果，讓思維轉(zhuǎn)化為學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)能力.