吳靜

摘要：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的本質(zhì)是“做中學(xué)”，即通過(guò)對(duì)直觀材料的數(shù)學(xué)化操作，理解數(shù)學(xué)、解釋數(shù)學(xué)和建構(gòu)數(shù)學(xué)，具有操作性、探究性和創(chuàng)造性等特點(diǎn)。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了更好地發(fā)揮數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的作用與特性，需要關(guān)注實(shí)驗(yàn)動(dòng)機(jī)的引發(fā)、實(shí)驗(yàn)方向的明晰、實(shí)驗(yàn)思維的疏導(dǎo)、實(shí)驗(yàn)習(xí)慣的培養(yǎng)和實(shí)驗(yàn)成果的評(píng)價(jià)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；探索規(guī)律

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是為了獲得某個(gè)數(shù)學(xué)概念、探索某個(gè)數(shù)學(xué)規(guī)律或解決某個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，借助一定的物質(zhì)器材或技術(shù)手段，在思維活動(dòng)的參與下進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的一種方式。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的本質(zhì)是“做中學(xué)”，即通過(guò)對(duì)直觀材料的數(shù)學(xué)化操作，理解數(shù)學(xué)、解釋數(shù)學(xué)和建構(gòu)數(shù)學(xué)，具有操作性、探究性和創(chuàng)造性等特點(diǎn)。筆者以為，為了更好地發(fā)揮數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的作用與特性（尤其是在探索數(shù)學(xué)規(guī)律時(shí)），需要關(guān)注實(shí)驗(yàn)動(dòng)機(jī)、實(shí)驗(yàn)方向、實(shí)驗(yàn)思維、實(shí)驗(yàn)習(xí)慣、實(shí)驗(yàn)成果等方面。

一、關(guān)注實(shí)驗(yàn)動(dòng)機(jī)的引發(fā)

按理說(shuō)，經(jīng)過(guò)日常的課堂學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)積累了較為豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，應(yīng)該具有自覺(jué)運(yùn)用實(shí)驗(yàn)解決問(wèn)題的意識(shí)。事實(shí)上，在遇到問(wèn)題時(shí)，只有極少數(shù)的學(xué)生會(huì)想到實(shí)驗(yàn)的方法。其根本原因是，學(xué)生未能在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中深刻感受到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的價(jià)值。為此，教師要關(guān)注實(shí)驗(yàn)動(dòng)機(jī)的引發(fā)，從學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際出發(fā)，精心創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，促使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，讓學(xué)生在思考問(wèn)題解決時(shí)產(chǎn)生使用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的內(nèi)在需求。

（一）真問(wèn)題啟發(fā)

真問(wèn)題是指蘊(yùn)含在真實(shí)情境中，能引發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思考的問(wèn)題，具有真實(shí)性、挑戰(zhàn)性和啟發(fā)性等特點(diǎn)。真問(wèn)題能喚起學(xué)生主動(dòng)探索的興趣，還由于情境中潛藏著很多重要信息，能夠讓學(xué)生產(chǎn)生運(yùn)用實(shí)驗(yàn)開(kāi)展探究的需求。

例如，教學(xué)“表面涂色的正方體”時(shí)，教師可以出示8階（n階為“n×n×n”）表面涂色的正方體，并創(chuàng)設(shè)情境：“老師課前準(zhǔn)備了一個(gè)表面涂了顏色的正方體，將它切割成了若干個(gè)同樣大的小正方體。結(jié)果，不小心碰倒散開(kāi)了。你有辦法將它恢復(fù)成原來(lái)的樣子嗎？”學(xué)生在思考這個(gè)具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題時(shí)，自然會(huì)產(chǎn)生還原正方體的強(qiáng)烈愿望，產(chǎn)生實(shí)驗(yàn)的內(nèi)在需求。

（二）“可視化”訴求

在探索“數(shù)與運(yùn)算”中的規(guī)律時(shí)，由于研究對(duì)象過(guò)于抽象，學(xué)生容易缺乏研究動(dòng)力。對(duì)此，在創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境時(shí)，可通過(guò)變換問(wèn)題背景、改變問(wèn)題表述和呈現(xiàn)方式、調(diào)整研究對(duì)象的數(shù)量等方法，促使學(xué)生產(chǎn)生借助實(shí)驗(yàn)進(jìn)行“可視化”研究的訴求。

例如，計(jì)算“1/2+1/4+1/8+1/16”，算式的加數(shù)個(gè)數(shù)較少，學(xué)生可以直接通過(guò)通分計(jì)算得出答案，尋找計(jì)算規(guī)律的需求并不強(qiáng)烈。對(duì)此，教師增加加數(shù)個(gè)數(shù)，把題目改為“1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128”，先讓學(xué)生感受到用“通分”這個(gè)常規(guī)方法計(jì)算結(jié)果有難度，并隨著加數(shù)的增多計(jì)算壓力越來(lái)越大。然后，教師適時(shí)提供“正方形”這一實(shí)驗(yàn)工具助力學(xué)生思考，學(xué)生就會(huì)產(chǎn)生數(shù)形結(jié)合的“可視化”研究訴求，形成借助實(shí)驗(yàn)探索規(guī)律的內(nèi)驅(qū)力。

二、關(guān)注實(shí)驗(yàn)方向的明晰

小學(xué)生盡管經(jīng)驗(yàn)不足，但對(duì)如何借助實(shí)驗(yàn)探索規(guī)律有自己的想法，包括使用實(shí)驗(yàn)方法、設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)流程以及選擇實(shí)驗(yàn)工具和材料等。教師要為學(xué)生提供策劃實(shí)驗(yàn)方案的機(jī)會(huì)，于關(guān)鍵處引領(lǐng)和點(diǎn)撥，幫助學(xué)生完成探究路線圖的設(shè)計(jì)，明晰實(shí)驗(yàn)方向。

（一）規(guī)劃實(shí)驗(yàn)路線

實(shí)驗(yàn)不是一蹴而就的，通常需要經(jīng)歷觀察、猜想、舉例和驗(yàn)證等系列活動(dòng)。教師不僅要幫助學(xué)生了解實(shí)驗(yàn)的基本流程，還要讓學(xué)生掌握“從簡(jiǎn)單入手研究”“邊舉例邊觀察邊猜想”等實(shí)驗(yàn)技巧，規(guī)劃好實(shí)驗(yàn)路線。

例如，探索“多邊形內(nèi)角和”規(guī)律時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生嘗試規(guī)劃實(shí)驗(yàn)路線：先遵循由易到難的原則，以三角形為基礎(chǔ)，逐步找出四邊形、五邊形的內(nèi)角和；在此基礎(chǔ)上，觀察思考、分析歸納，初步形成猜想；再通過(guò)求六邊形、七邊形等的內(nèi)角和驗(yàn)證猜想，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

（二）選擇實(shí)驗(yàn)工具

實(shí)驗(yàn)工具和材料是數(shù)學(xué)對(duì)象的物化載體，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案時(shí)，還要考慮實(shí)驗(yàn)工具和材料的選擇。

例如，教學(xué)“3的倍數(shù)特征”時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)找2、5倍數(shù)特征的經(jīng)驗(yàn)，選擇百數(shù)表、計(jì)數(shù)器或方塊圖作為實(shí)驗(yàn)材料。通過(guò)在百數(shù)表中圈數(shù)、在計(jì)數(shù)器上撥數(shù)等方法發(fā)現(xiàn)3的倍數(shù)特征，再借助方塊圖理解特征。

小學(xué)階段，對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)工具的選擇沒(méi)有嚴(yán)格的要求，只要能夠凸顯數(shù)學(xué)對(duì)象的特點(diǎn)和變化規(guī)律，小棒、計(jì)數(shù)器、方塊圖、釘子板……甚至一張紙或一個(gè)圖形都可以。

（三）推敲實(shí)驗(yàn)方法

實(shí)驗(yàn)方法因人而異，也會(huì)隨著研究進(jìn)程的深入而改變，但對(duì)于某些具有特定規(guī)律的探索，會(huì)有與之相契合的基本實(shí)驗(yàn)方法。

例如，探索“三角形內(nèi)角和”規(guī)律時(shí)，為驗(yàn)證“三角形內(nèi)角和是180°”這一猜想，教師組織學(xué)生通過(guò)小組討論確定實(shí)驗(yàn)方法：可以采用量角器量角求和的方法，也可以借助“幾何畫板”軟件一邊改變?nèi)切涡螤钜贿厹y(cè)算內(nèi)角和，還可以用折紙、撕紙等方法。教學(xué)時(shí)，要為學(xué)生提供充足的實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備時(shí)間，讓學(xué)生精心選擇、推敲實(shí)驗(yàn)方法。當(dāng)然，實(shí)驗(yàn)過(guò)程中還會(huì)出現(xiàn)各種情況，教師要引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)調(diào)整和改變實(shí)驗(yàn)方法。

三、關(guān)注實(shí)驗(yàn)思維的疏導(dǎo)

教師要關(guān)注學(xué)生在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中可能遇到疑難問(wèn)題，關(guān)注對(duì)學(xué)生實(shí)驗(yàn)思維的疏導(dǎo)，及時(shí)為學(xué)生點(diǎn)撥、引航，排除思維障礙，助力學(xué)生順利完成實(shí)驗(yàn)。

（一）變“爭(zhēng)論”為“共識(shí)”，優(yōu)選方法

受知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、思維方式和能力水平的限制，同樣的實(shí)驗(yàn)條件，不同的學(xué)生會(huì)有不同的表現(xiàn)。教師要尊重學(xué)生的認(rèn)知差異，并利用差異組織“爭(zhēng)論”，引導(dǎo)學(xué)生修正、優(yōu)化方法，提高實(shí)驗(yàn)的效度。

例如，探索“多邊形內(nèi)角和”規(guī)律時(shí)，盡管學(xué)生在探索四邊形內(nèi)角和規(guī)律時(shí)，積累了分三角形求內(nèi)角和的經(jīng)驗(yàn)，但還不足以為探索任意多邊形內(nèi)角和規(guī)律提供有力支撐。在探索五邊形內(nèi)角和規(guī)律時(shí)，學(xué)生的實(shí)驗(yàn)探究思路出現(xiàn)了“分三角形”和“分三角形+四邊形”兩種情況。而同樣是分三角形求內(nèi)角和，有的從同一頂點(diǎn)出發(fā)向其他頂點(diǎn)有序連線，有的隨意連線。對(duì)此，教師如實(shí)呈現(xiàn)各種情況，暴露學(xué)生的問(wèn)題，并圍繞“分幾種圖形”“怎么分三角形”兩個(gè)核心問(wèn)題，組織學(xué)生爭(zhēng)論和選擇，最終獲得求多邊形內(nèi)角和的一般方法，從而為后續(xù)得到多邊形內(nèi)角和公式掃除障礙，同時(shí)幫助學(xué)生加深了對(duì)內(nèi)角和意義的理解。

（二）從“生活”到“數(shù)學(xué)”，發(fā)現(xiàn)關(guān)系

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)軒椭鷮W(xué)生通過(guò)“做”感悟和發(fā)現(xiàn)內(nèi)隱的、不易覺(jué)察的數(shù)學(xué)規(guī)律。教師要讓學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程，主動(dòng)溝通現(xiàn)實(shí)和數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系，將外在的操作活動(dòng)轉(zhuǎn)化為內(nèi)在的數(shù)學(xué)思考。

例如，教學(xué)“分?jǐn)?shù)和除法的關(guān)系”時(shí)，考慮到大部分學(xué)生因缺乏等分物體而得不到整數(shù)結(jié)果的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，無(wú)法想象出“3塊餅平均分成4份，每份是多少塊”，教師讓學(xué)生用圓片代替餅進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。當(dāng)學(xué)生的思維發(fā)生偏離，出現(xiàn)了“將3塊餅平均分成12小份，每人拿3小份”的情況時(shí)，教師啟發(fā)學(xué)生結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)，主動(dòng)將“分3小份”和“3塊餅一起分”勾連起來(lái)思考，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到每人得到的餅就是“一塊餅的3/4，是3/4塊餅”，實(shí)現(xiàn)了思維的轉(zhuǎn)化和進(jìn)階。

（三）變“集中”為“發(fā)散”，引發(fā)“創(chuàng)思”

小學(xué)生的思維源于動(dòng)作，不同的實(shí)驗(yàn)方式會(huì)積淀不同的操作經(jīng)驗(yàn)，獲得不同的數(shù)學(xué)理解。引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，是讓學(xué)生積累“做”的經(jīng)驗(yàn)并進(jìn)行數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化，變“集中”為“發(fā)散”，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的“再創(chuàng)造”。教師要尊重差異，讓學(xué)生根據(jù)自身的活動(dòng)體驗(yàn)，用自己的思維方式表達(dá)自己的“創(chuàng)思”。

例如，對(duì)于“照?qǐng)D1這樣擺下去，擺第n個(gè)正方形需要用到多少根小棒？”這個(gè)問(wèn)題，不同的學(xué)生在照樣擺正方形活動(dòng)中的感知和體驗(yàn)不同：可能是以第一個(gè)正方形為基準(zhǔn)觀察小棒的變化規(guī)律，也可能是以第一根小棒為基準(zhǔn)觀察小棒的變化規(guī)律。教師要放手讓學(xué)生基于自身的活動(dòng)體驗(yàn)，得到4+3（n-1、1+3n）等不同的規(guī)律表達(dá)。當(dāng)然，最后教師要引導(dǎo)學(xué)生溝通兩種表達(dá)之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生建立和完善認(rèn)知體系。

（四）由“一題”到“一類”，構(gòu)建模型

布魯納認(rèn)知表征理論指出，學(xué)生要經(jīng)由“動(dòng)作表征—圖像表征—符號(hào)表征”三個(gè)階段，才能真正獲得對(duì)知識(shí)的理解。通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)同樣如此，教師要適時(shí)拆除外在的活動(dòng)“支架”，引導(dǎo)學(xué)生由一道題轉(zhuǎn)向一類題，逐步建立清晰的表象，最終用抽象的符號(hào)表征知識(shí)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。

例如，教學(xué)“表面涂色的正方體”時(shí)，先讓學(xué)生通過(guò)觀察和操作，建立起 3階和4階正方體中3面、2面、1面和0面（沒(méi)有）涂色的小正方體個(gè)數(shù)和所在位置的清晰表象。在此基礎(chǔ)上，形成對(duì) 5階、6階正方體表面涂色情況的猜想，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)逐一加以檢驗(yàn)，進(jìn)一步固化表象，從而得到表面涂色的正方體的涂色規(guī)律：將表面涂色的正方體沿著棱長(zhǎng)等分成n份切開(kāi)后，3面涂色的小正方體有8個(gè)，2面涂色的小正方體有12（n-2）個(gè)，1面涂色的小正方體有6（n-2）²個(gè)，0面（沒(méi)有）涂色的小正方體有（n-2）³個(gè)。學(xué)生經(jīng)歷表象操作的過(guò)程，將感性經(jīng)驗(yàn)上升為理性認(rèn)知，不僅發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，還能用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言進(jìn)行抽象表達(dá)，建構(gòu)出數(shù)學(xué)模型。

四、關(guān)注實(shí)驗(yàn)習(xí)慣的培養(yǎng)

學(xué)生借助實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，獲得豐富的感性經(jīng)驗(yàn)。這些通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)材料的觀察和操作形成的經(jīng)驗(yàn)需要經(jīng)由數(shù)學(xué)思考和理性分析，才能獲得思維的提升。教師要及時(shí)組織學(xué)生回顧和反思實(shí)驗(yàn)過(guò)程，對(duì)接“活動(dòng)”和“思維”，由“結(jié)果”追溯“原因”，從而提升實(shí)驗(yàn)品質(zhì)，培養(yǎng)實(shí)驗(yàn)習(xí)慣。

（一）反思數(shù)據(jù)，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的習(xí)慣

實(shí)驗(yàn)結(jié)論來(lái)自實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，而實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)往往與理想數(shù)據(jù)之間存在一定的差距。反思實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，能幫助學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的特點(diǎn)，深化對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的習(xí)慣。

例如，推導(dǎo)圓的周長(zhǎng)公式時(shí)，學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作體會(huì)圓周的長(zhǎng)和直徑的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)測(cè)算出的圓周長(zhǎng)和直徑的商并非一個(gè)固定的數(shù)，甚至出現(xiàn)極端數(shù)據(jù)。這些“異常數(shù)據(jù)”常常會(huì)成為學(xué)生學(xué)習(xí)的阻力，影響公式的得出。教師如果以此為契機(jī)，讓學(xué)生基于現(xiàn)象深入思考，不僅能幫助學(xué)生順利完成公式推導(dǎo)，還能積累數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的基本經(jīng)驗(yàn)。教師不妨順勢(shì)提問(wèn)：“算出的數(shù)據(jù)各不相同，你覺(jué)得周長(zhǎng)和直徑的商會(huì)是一個(gè)固定的數(shù)嗎？出現(xiàn)不同數(shù)據(jù)的原因又是什么？”引導(dǎo)學(xué)生反思“異常數(shù)據(jù)”，進(jìn)而認(rèn)識(shí)到實(shí)驗(yàn)結(jié)論受實(shí)驗(yàn)材料、測(cè)量工具和操作方法等一系列因素的影響，出現(xiàn)誤差是正?，F(xiàn)象。

（二）反思方法，培養(yǎng)追根溯源的習(xí)慣

古人云：“知其然，更要知其所以然?！笔聦?shí)上，每個(gè)方法規(guī)律背后都有原理，有些看似不同的方法規(guī)律之間存在共通的原理。對(duì)此，教師要根據(jù)需要，及時(shí)為學(xué)生提供實(shí)驗(yàn)材料，幫助學(xué)生從現(xiàn)象追溯本源，把握方法之間的聯(lián)系，加深對(duì)規(guī)律本質(zhì)的理解。

例如，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)3的倍數(shù)特征和2、5的倍數(shù)特征“不同”時(shí)，教師不妨讓學(xué)生提出質(zhì)疑并借助實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)特征背后的原理，從而溝通3的倍數(shù)特征和2、5的倍數(shù)特征之間的內(nèi)在聯(lián)系。教師可提供方塊圖作為實(shí)驗(yàn)材料，讓學(xué)生擺一擺、圈一圈、看一看，發(fā)現(xiàn)判斷3的倍數(shù)和2、5的倍數(shù)的方法本質(zhì)上一樣的，都是先看十位，再看個(gè)位。以12為例，十位上的1代表10，10除以2沒(méi)有余數(shù)（除以5沒(méi)有余數(shù)）；個(gè)位上的2除以2沒(méi)有余數(shù)（除以5有余數(shù)）。10除以3余1；把十位余下的1個(gè)方塊和個(gè)位的2個(gè)方塊合并，除以3沒(méi)有余數(shù)。接著，由12推廣到其他的多位數(shù)，幫助學(xué)生養(yǎng)成用實(shí)驗(yàn)探索規(guī)律本質(zhì)的習(xí)慣。

（三）反思結(jié)論，培養(yǎng)一致化理解的習(xí)慣

借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，由于問(wèn)題背景是開(kāi)放的，同一數(shù)學(xué)現(xiàn)象還會(huì)得出不同的數(shù)學(xué)結(jié)論。在面對(duì)多個(gè)結(jié)論時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生借助實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)結(jié)論之間的關(guān)系，形成一致化的理解。

例如，探索“一一間隔排列”規(guī)律時(shí)，學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)初步發(fā)現(xiàn)一一間隔排列中的規(guī)律有多種情況：如直線排列，則“頭尾相同時(shí)，兩端物體個(gè)數(shù)比中間物體個(gè)數(shù)多1”“頭尾不同時(shí)，兩種物體個(gè)數(shù)同樣多”；如封閉曲線排列，則“兩種物體個(gè)數(shù)同樣多”。這意味著，關(guān)于一一間隔排列規(guī)律，學(xué)生要掌握三個(gè)不同的數(shù)學(xué)模型。對(duì)此，教師可以在學(xué)生得到排列規(guī)律后追問(wèn)“能不能只記一種”，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作，用“一一對(duì)應(yīng)”的思想統(tǒng)一三個(gè)數(shù)學(xué)模型，認(rèn)識(shí)到“首尾不同時(shí)，兩種物體正好一一對(duì)應(yīng)”“首尾相同時(shí)，則一一對(duì)應(yīng)后多出一個(gè)”，而封閉曲線排列的兩種物體變成直線排列后與首尾不同直線排列是一樣的。

五、關(guān)注實(shí)驗(yàn)成果的評(píng)價(jià)

學(xué)生是否通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)理解了數(shù)學(xué)知識(shí)，能否將實(shí)驗(yàn)探究的基本方法和操作技能等遷移至新情境，需要進(jìn)行科學(xué)評(píng)估。為此，教師要設(shè)計(jì)相應(yīng)的評(píng)價(jià)問(wèn)題，考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí)和能力，并根據(jù)學(xué)生的表現(xiàn)相機(jī)引導(dǎo)，修正或完善對(duì)知識(shí)的理解，強(qiáng)化實(shí)驗(yàn)探究要點(diǎn)。改造問(wèn)題各要素，變換情境、內(nèi)容和要求等，是常見(jiàn)的評(píng)價(jià)方式。

（一）改造背景結(jié)構(gòu)，評(píng)估理解的深刻度

同樣的研究要素，同樣的實(shí)驗(yàn)方式，在不同的問(wèn)題背景結(jié)構(gòu)下，會(huì)產(chǎn)生不同的數(shù)學(xué)規(guī)律。

例如，釘子板上多邊形的面積大小由邊上點(diǎn)子數(shù)和內(nèi)部點(diǎn)子數(shù)兩個(gè)變量決定，且關(guān)系比較復(fù)雜。學(xué)生可能對(duì)規(guī)律的掌握“只得其形而未得其神”。對(duì)此，教師可以在學(xué)生找到規(guī)律后，改變釘子板的結(jié)構(gòu)，將釘子板上每一個(gè)單位形狀由“□”改為“△”，讓學(xué)生利用剛獲得的探究經(jīng)驗(yàn)再次探索釘子板上多邊形的面積計(jì)算公式。這樣的“改造”，不僅能幫助學(xué)生固化實(shí)驗(yàn)方法，還能讓學(xué)生感受到控制變量的實(shí)驗(yàn)方法對(duì)于探索復(fù)雜規(guī)律的價(jià)值。

（二）改變研究對(duì)象，評(píng)估方法的靈活度

學(xué)生是天生的探索者，對(duì)于數(shù)量之間“變”與“不變”的規(guī)律充滿了好奇。教師可以通過(guò)改變研究對(duì)象，讓學(xué)生遷移應(yīng)用得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)論、方法解決新的問(wèn)題，從而評(píng)估學(xué)生思維的靈活度。

例如，在學(xué)生發(fā)現(xiàn)“3的倍數(shù)特征”后，教師提問(wèn)“還有什么問(wèn)題嗎”，進(jìn)一步激活學(xué)生探究的熱情，同時(shí)針對(duì)學(xué)生提出的“還有哪些數(shù)的特征也和3的倍數(shù)特征一樣看各位上數(shù)的和”相機(jī)引導(dǎo)，讓學(xué)生對(duì)10以內(nèi)未知倍數(shù)特征的數(shù)（4、6、7、8、9）進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)9的倍數(shù)也具備相同的特征，強(qiáng)化二者之間的聯(lián)系。