把握數(shù)量關(guān)系，培養(yǎng)模型意識

王欣　繆宇虹

摘要：蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級上冊《解決問題的策略》單元安排了兩道例題，引導(dǎo)學(xué)生初步學(xué)會使用假設(shè)策略。在第一課時（例1）的教學(xué)以“初步學(xué)會使用假設(shè)策略”為重點的基礎(chǔ)上，第二課時（例2）的教學(xué)以“進一步把握數(shù)量關(guān)系，培養(yǎng)模型意識”為重點：引導(dǎo)學(xué)生回顧舊知，關(guān)注問題中的數(shù)量關(guān)系；探索新知，分析問題中的數(shù)量關(guān)系；基于從舊知到新知的變化，引出更多的變化，在比較中把握“變中不變”的數(shù)量關(guān)系本質(zhì)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；模型意識；數(shù)量關(guān)系；假設(shè)策略

一、教前思考

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）將《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱“2011年版課標(biāo)”）提出的10個核心詞之一的“模型思想”演化為“模型意識”和“模型觀念”，分別作為小學(xué)階段和初中階段遞進培養(yǎng)的核心素養(yǎng)表現(xiàn)。

“模型意識主要是指學(xué)生對數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟。知道數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑；能夠認(rèn)識到現(xiàn)實生活中大量的問題都與數(shù)學(xué)有關(guān)，有意識地用數(shù)學(xué)的概念與方法予以解釋?！保?］可見，數(shù)學(xué)模型是指問題中一般化（普適）、可遷移（解決一類問題）的數(shù)學(xué)本質(zhì)——普遍規(guī)律或通用性質(zhì)。廣義地看，它是針對所有問題的；狹義地看，則是針對實際問題的。

為了更好地落實模型意識的培養(yǎng)，新課標(biāo)在小學(xué)階段“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的課程內(nèi)容中，突出了“數(shù)量關(guān)系”主題（將2011年版課標(biāo)設(shè)置的“探索規(guī)律”“式與方程”“正比例、反比例”三個主題整合為“數(shù)量關(guān)系”主題——將“方程”和“反比例”內(nèi)容調(diào)整到初中階段），其重點便在于用數(shù)和符號表達現(xiàn)實情境中數(shù)量之間的關(guān)系和規(guī)律，進而用數(shù)學(xué)模型解決實際問題［2］；同時，強調(diào)了“總量=分量+分量”和“總價=單價×數(shù)量”“路程=速度×?xí)r間”等數(shù)量關(guān)系的實際應(yīng)用［3］。由此，也為初中階段應(yīng)用“方程”（等量關(guān)系的進一步形式化表示，關(guān)鍵在于用字母表示未知數(shù)，進而用程序化的解方程方法解得未知數(shù)）、“不等式”（由相等關(guān)系到不等關(guān)系）和“函數(shù)”（由常量關(guān)系到變量關(guān)系）等模型解決實際問題，培養(yǎng)模型觀念打好基礎(chǔ)。［4］

具體來看，本課時的教學(xué)，首先引導(dǎo)學(xué)生回顧舊知，關(guān)注問題中的數(shù)量關(guān)系；其次引導(dǎo)學(xué)生探索新知，分析問題中的數(shù)量關(guān)系；最后基于從舊知到新知的變化，引出更多的變化，引導(dǎo)學(xué)生在比較中，把握“變中不變”的數(shù)量關(guān)系本質(zhì)，從而培養(yǎng)學(xué)生的模型意識。

二、教學(xué)過程

（一）回顧舊知，關(guān)注數(shù)量關(guān)系，為模型意識的培養(yǎng)做好鋪墊

師上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容？

生用假設(shè)法解決實際問題。

師課后，我們完成了相應(yīng)的復(fù)習(xí)題。（出示復(fù)習(xí)題：“在1個大盒和5個同樣的小盒里裝滿球，正好是80個。大盒裝的球是每個小盒的3倍。大盒里裝了多少個球？每個小盒呢？”）誰來說一下你是怎么做的？

生我是假設(shè)全是小盒來做的：80÷（1×3+5）＝10（個），10×3＝30（個），所以，每個小盒里裝了10個球，大盒里裝了30個球。

師在假設(shè)之前，你做了什么？

生分析數(shù)量關(guān)系。

師很好！本題中有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

生1個大盒和5個小盒一共裝了80個球;大盒裝的球是每個小盒的3倍。

師不錯。第一個數(shù)量關(guān)系中有兩個量，即大盒裝多少個球和每個小盒裝多少個球是未知的。所以，我們利用第二個數(shù)量關(guān)系，即倍數(shù)關(guān)系把什么假設(shè)成什么？

生把1個大盒假設(shè)成3個小盒。

師這樣，兩個未知量就變成一個未知量了。同時，什么變了，什么不變？

生總盒數(shù)變了，總球數(shù)不變。

在學(xué)習(xí)新知前，引導(dǎo)學(xué)生回顧舊知，一方面，幫助學(xué)生激活已有經(jīng)驗，促使學(xué)生體會到問題中的數(shù)量關(guān)系是使用假設(shè)策略的根本原因，從而為后面分析數(shù)量關(guān)系、提煉數(shù)量關(guān)系埋下伏筆；另一方面，通過相似的問題情境，為后續(xù)改變條件，引出新的問題（教材例2），進而比較問題，溝通知識之間的聯(lián)系，凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)，培養(yǎng)模型意識做好鋪墊。

（二）探索新知，分析數(shù)量關(guān)系，初步建立數(shù)學(xué)模型

師如果把這里的倍數(shù)關(guān)系“大盒裝的球是每個小盒的3倍”改成相差關(guān)系“大盒比每個小盒多裝8個球”，其他條件不變，你還會解決嗎？

（教師出示教材例2：“在1個大盒和5個同樣的小盒里裝滿球，正好是80個。大盒比每個小盒多裝8個。大盒里裝了多少個球？每個小盒呢？”學(xué)生獨立思考，小組交流完成。）

師數(shù)量關(guān)系變化了，還可以用假設(shè)策略解決嗎？你是怎樣分析的？

生可以用假設(shè)策略。我是畫示意圖來分析的：（展示畫法，如圖1）1個大圓代表1個大盒，1個小圓代表1個小盒；假設(shè)都是小盒，把1個大圓換成1個小圓，這時總球數(shù)要減8個，即6個小盒里的總球數(shù)是80-8=72（個）。

師畫圖分析數(shù)量關(guān)系及其轉(zhuǎn)化，直觀、清晰、好懂，給你點贊！現(xiàn)在數(shù)量關(guān)系變成什么了？本題能夠解答了嗎？

生（80-8）÷（1+5）=12（個），這是每個小盒裝球的個數(shù)；12+8=20（個），這是大盒裝球的個數(shù)。我講完了，大家有什么不明白的地方嗎？

生為什么要用80-8？

生因為1個大盒比1個小盒多裝8個球，所以1個大盒去掉8個球才能轉(zhuǎn)化成1個小盒，這樣總球數(shù)也要減8。

生除數(shù)為什么是5+1？

生因為原來的1個大盒轉(zhuǎn)化成了1個小盒，就可以和原來的5個小盒加在一起。

師說得真不錯！利用假設(shè)策略，也可以把本題中的兩個未知量變成一個未知量。假設(shè)后，本題中什么變了，什么不變？

生總球數(shù)變了，減少了；總盒數(shù)不變。

師是的。通過假設(shè)轉(zhuǎn)化，我們把復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變成了簡單的數(shù)量關(guān)系，問題就很容易解決了。（稍停）剛剛這種解法是把1個大盒假設(shè)為1個小盒？還有其他假設(shè)方法嗎？

生我是畫線段圖來分析的，而且，我把5個小盒假設(shè)為5個大盒。（展示畫法，如圖2）長線段表示大盒裝球的個數(shù)，短線段表示小盒裝球的個數(shù)，虛線段表示大盒比每個小盒多裝球的個數(shù)。如果把5個小盒換成5個大盒，總球數(shù)要增加5個8，即40。這時，數(shù)量關(guān)系變?yōu)椋?個大盒一共裝80+40=120（個）球。所以，可以先用120÷6=20算出大盒裝球的個數(shù)，再用20-8=12算出小盒裝球的個數(shù)。

師這樣假設(shè)后，本題中什么變了，什么不變？

生總球數(shù)變了，增加了；總盒數(shù)不變。

師很好！他不僅改變了假設(shè)方法，而且更換了分析工具。那么，請大家來比一比。先比較示意圖工具和線段圖工具，你更喜歡哪一個？為什么？

生線段圖。更簡潔，數(shù)量關(guān)系更清楚。

師再比較假設(shè)為小盒的方法和假設(shè)為大盒的方法，你更喜歡哪一種？為什么？

生假設(shè)為小盒。計算更簡捷。

通過原有問題的條件變化，自然引出新的問題。在解決教材例2的過程中，提示“數(shù)量關(guān)系變化了”，引導(dǎo)學(xué)生充分分析數(shù)量關(guān)系，初步建立數(shù)學(xué)模型；并通過追問，引導(dǎo)學(xué)生進一步體會到假設(shè)策略建立在數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上，轉(zhuǎn)化了數(shù)量關(guān)系，才使得問題很容易解決，從而初步培養(yǎng)模型意識（體會模型作用）。同時，在分析數(shù)量關(guān)系時，針對小學(xué)生的思維特點，選取學(xué)生作品，發(fā)揮示意圖、線段圖等圖形表征的直觀作用。此外，通過不同假設(shè)方法的比較，讓學(xué)生體會數(shù)量關(guān)系及其轉(zhuǎn)化是解決問題的關(guān)鍵。

（三）變化比較，提煉數(shù)量關(guān)系，充分體會數(shù)學(xué)模型

師現(xiàn)在，我們來回顧一下：上節(jié)課的復(fù)習(xí)題和本節(jié)課的例題有什么關(guān)系？

生把倍數(shù)關(guān)系“大盒裝的球是每個小盒的3倍”改成相差關(guān)系“大盒比每個小盒多裝8個球”，上節(jié)課的復(fù)習(xí)題就變成本節(jié)課的例題了。

師很好！那我們來比一比這兩道題的解決過程，什么是變化的？什么是不變的？

生上一題，我們利用倍數(shù)關(guān)系“大盒裝的球是每個小盒的3倍”把1個大盒假設(shè)成3個小盒，轉(zhuǎn)化后總球數(shù)不變，總盒數(shù)變了；本題，我們利用相差關(guān)系“大盒比每個小盒多裝8個球”把1個大盒假設(shè)成1個小盒，或把5個小盒假設(shè)成5個大盒，轉(zhuǎn)化后總球數(shù)變了，總盒數(shù)不變。

生兩道題都是利用一個數(shù)量關(guān)系把兩個未知量轉(zhuǎn)化成一個未知量，從而使復(fù)雜的問題變簡單，再利用另一個數(shù)量關(guān)系解決問題。

生它們都使用了假設(shè)的策略。

師很好！現(xiàn)在，我們再來變一變：（出示圖3）仔細(xì)觀察，我們把“1個大盒和5個小盒”變成“2個大盒和4個小盒”，怎么解決？

生還是假設(shè)都是小盒……

師假設(shè)后，本題中什么變了，什么不變？

生總球數(shù)變了，減少2個8；總盒數(shù)不變。

師可以假設(shè)都是大盒嗎？什么變了，什么不變？

生可以?？偳驍?shù)變了，增加4個8；總盒數(shù)不變。

師變?yōu)椤?個大盒和3個小盒”呢？“4個大盒和2個小盒”呢？……

……

師誰來總結(jié)一下你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律？

生都可以用假設(shè)法解決。把幾個大盒轉(zhuǎn)化成幾個小盒，總球數(shù)就減少幾個8；把幾個小盒轉(zhuǎn)化成幾個大盒，總球數(shù)就增加幾個8。

師也就是說，在相差關(guān)系中，如果把大數(shù)假設(shè)成小數(shù)，總量就會減少，如果把小數(shù)假設(shè)成大數(shù)，總量就會增加。（稍停）我們變化了問題中的數(shù)量關(guān)系以及具體數(shù)量，現(xiàn)在我們來變一變問題情境。

（教師出示練習(xí)題：“一天，1位老師帶著5個學(xué)生去公園游玩。買了一張成人票和5張兒童票，一共用去80元。每張成人票比每張兒童票貴8元。一張成人票多少元？一張兒童票呢？）

師與本課的例題相比，這道練習(xí)題什么變了，什么沒變？

生大盒子變成成人票，小盒子變成兒童票，盒子中的球變成票的價格，其他都沒變。

師沒錯，其他數(shù)量關(guān)系乃至具體數(shù)量都沒變。所以，本題怎么解答？

生假設(shè)都買的兒童票……（80-8）÷（1+5）=12（元），12+8=20（元）。

生假設(shè)都買的成人票……（80+8×5）÷（1+5）=20（元），20-8=12（元）。

師經(jīng)過了這么多的變化，我們能不能再總結(jié)一下這類問題及其解法“變中不變”的共同規(guī)律？

（教師引導(dǎo)學(xué)生得出：已知兩個每份量的倍比關(guān)系或和差關(guān)系、兩個份數(shù)以及兩個總量的和，要求兩個每份量，可以把一個每份量假設(shè)為另一個每份量，并確定相應(yīng)的總量和份數(shù)，然后利用“每份量=總量÷份數(shù)”解決問題。）

師總結(jié)出這樣的關(guān)于問題特征和解題方法的規(guī)律后，就可以用它來解決更多看似不同、實則相通的問題了。這樣的一般性數(shù)量關(guān)系及相應(yīng)的解法常被稱為一種數(shù)學(xué)模型。

基于從舊知到新知的變化，引出新知更多的變化。由此，通過多維的比較，引導(dǎo)學(xué)生尋找變中不變的本質(zhì)，從而提煉出共同的數(shù)量關(guān)系以及相應(yīng)的解題方法，形成數(shù)學(xué)模型。同時，引導(dǎo)學(xué)生將有關(guān)的數(shù)學(xué)模型遷移到更多實際問題的分析與解決中，從而充分體會數(shù)學(xué)模型的價值，將模型意識內(nèi)化于心。

參考文獻：

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