探尋題根，以變促思

魏燕紅

［摘 要］為了以變促思，現(xiàn)以人教版數(shù)學教材六年級下冊《百分數(shù)（二）》單元的變式練習為例，通過“條件不變，問題改變”“變化條件，問題不變”“互換問題和條件”“題型變化，解法不變”“條件和問題不變，解法改變”等策略，設計相應的變式練習，使學生真正掌握百分數(shù)的知識，提高學生運用百分數(shù)知識解決生活實際問題的能力。

［關鍵詞］變式練習；百分數(shù)；練習設計

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2023）09-0005-03

變式練習是指在其他教學條件不變的情況下，變化概念和規(guī)則的例證。數(shù)學教學中設計變式練習，不僅能減少大量的機械性練習，減輕學生的學習負擔，還能讓學生的作業(yè)體現(xiàn)時代氣息，使學生真正理解與掌握所學的數(shù)學知識。雖然數(shù)學題目千變?nèi)f化，但是基本概念、基本公式和基本例題這“三大基石”始終保持不變。變式練習能幫助學生在變與不變中遷移數(shù)學思想方法，實現(xiàn)舉一反三的目標。

一、變式練習在數(shù)學教學中的意義

（一）能幫助學生靈活運用數(shù)學知識

數(shù)學課本中，每節(jié)課都有一定量的課后練習和單元練習，旨在讓學生通過練習鞏固本節(jié)課所學的知識和技能。變式練習基于數(shù)學課本的練習進行改編和再創(chuàng)造，既可以幫助學困生通過練習掌握數(shù)學知識和解題方法，有利于他們后續(xù)的數(shù)學學習，又能讓學優(yōu)生主動思考、歸納解題方法，達到做一題通一類的效果。

（二）能幫助學生掌握數(shù)學思想方法

數(shù)學課本中的練習通常都是呈現(xiàn)單一的知識點，不利于學生綜合運用數(shù)學知識解決問題。因此，教師需要精心設計變式練習，將多個數(shù)學知識點融入同一個題組中，并滲透相應的數(shù)學思想方法，幫助學生感受到數(shù)學學習的價值。

（三）能提高學生的數(shù)學思維品質

思維品質是評價和衡量學生思維含金量的重要標志。學生通過完成變式練習，可以從不同的角度思考問題，培養(yǎng)思維的發(fā)散性和敏捷性；也可以對同一個題組中的題目進行一題多解，培養(yǎng)思維的深刻性和抽象性；還可以驗證自己的解題過程和答案是否正確，培養(yǎng)思維的嚴謹性和批判性。

二、變式練習在數(shù)學教學中的應用

在作業(yè)中，教師大量使用與設計變式練習，能幫助學生更好地理解數(shù)學概念，掌握數(shù)學知識和技能，發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

（一）條件不變，問題改變

每一道數(shù)學題都是由情境、條件和問題組成的，有的題目還包括多個小問題，從不同角度將相關的多個知識點融合在一起，促使學生靈活地運用所學的數(shù)學知識解決問題。教師可以對數(shù)學課本中的例題和習題進行適當改編，促進學生對問題的深入思考。例如，教學人教版數(shù)學教材六年級上冊第二單元“利率”中的例題時，教師保留例題中的條件，從不同角度改變例題的問題，促進學生了解儲蓄的意義，理解本金、利息、利率的定義以及三者之間的數(shù)量關系。

王奶奶把5000元按整存整取存入銀行，存二年定期，年利率為2.10%。

（1）到期時連本帶息取出，王奶奶可以取出多少錢？

（2）存一年后連本帶息取出，王奶奶可以取出多少錢？

（3）王奶奶存二年定期，約定轉存，存三年后連本帶息取出，王奶奶可以取出多少錢？

（4）王奶奶存二年定期，約定轉存，存四年后連本帶息取出，王奶奶可以取出多少錢？

儲蓄中的利率是百分數(shù)在生活中的應用。這樣設計變式練習，既能幫助學生養(yǎng)成勤儉節(jié)約的好習慣，又可以促進學生了解相關的金融知識，從小培養(yǎng)學生的理財意識。在解決利率問題時，學生需要理解利率的意義，了解銀行儲蓄的規(guī)則。只有這樣，才能更好地利用百分數(shù)的知識解決儲蓄問題，豐富學生的儲蓄經(jīng)驗。

（二）變化條件，問題不變

設計變式練習時，可以適當改變題目中的條件，這樣就會改變思考過程、解題過程和解題結果。例如，教學人教版數(shù)學教材六年級上冊第二單元“促銷問題”中的例題時，教師保留例題的問題不變，通過變化例題中的條件，促進學生對生活中不同的促銷方式有更加深刻的認識。

[課本原題]

某品牌的裙子搞促銷活動，在A商場打五五折促銷，在B商場按“每滿100元減50元”銷售。媽媽要買一條該品牌標價230元的裙子。

（1）在A、B兩個商場買，各應付多少錢？

（2）選擇哪個商場購買更省錢？

[變式練習]

變式1：某品牌的裙子搞促銷活動，在A商場打六五折促銷，在B商場按“每滿200元減50元”銷售。媽媽要買一條該品牌標價230元的裙子。

（1）在A、B兩個商場買，各應付多少錢？

（2）選擇哪個商場購買更省錢？

變式2：某品牌的裙子搞促銷活動，在A商場打五五折促銷，在B商場按“每滿100元減50元”銷售。媽媽要買兩條該品牌標價230元的裙子。

（1）在A、B兩個商場買，各應付多少錢？

（2）選擇哪個商場購買更省錢？

變式3：某品牌的裙子搞促銷活動，在A商場打七折促銷，VIP再享八折；在B商場按“滿100元減50元”銷售。媽媽辦理了該品牌的VIP，要買兩條該品牌標價230元的裙子。

（1）在A、B兩個商場買，各應付多少錢？

（2）選擇哪個商場購買更省錢？

在現(xiàn)實生活中，商場促銷有很多不同的方式，如七折促銷、現(xiàn)價優(yōu)惠一成、原價九折、VIP再享八折、買五送二等。因此，在解決促銷問題時，要先理解促銷方式所表示的具體含義，再把生活中的促銷問題轉變成數(shù)學問題來解決。變式練習是課本原題的升級版，其中的促銷方式更加多樣化，學生可以通過計算應付的錢或者打了幾折來比較在哪個商場購買更省錢，有效提高了學生解決問題的能力。

（三）互換問題和條件

在設計變式練習時，教師可以互換題目中的問題和條件，讓學生深入思考。這樣學生在解題過程中就要調(diào)整原來的思路，以得到正確的結果。教師也可以引導學生嘗試互換題目中的問題和條件，這樣不僅能讓題目更加多樣化，還能提高學生思維的敏捷性。例如，人教版數(shù)學教材六年級上冊第二單元“折扣”中的“做一做”，教材從學生已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，選擇學生熟悉的生活素材，提取有關折扣的數(shù)學問題，以喚醒學生的生活經(jīng)驗，激發(fā)學生自主解決問題的欲望。

折扣是商品經(jīng)濟中經(jīng)常使用的一個概念，是百分數(shù)問題在生活中的特殊應用。學生在解答有關折扣的問題時，要先弄清楚六五折、七折等折扣表示的含義，再把生活中的實際問題轉變成百分數(shù)問題，最后根據(jù)“原價×折扣=現(xiàn)價”這一數(shù)量關系解決問題。課本中的原題是以圖片方式呈現(xiàn)具體實物，出示原價和折扣，要求學生利用“原價×折扣=現(xiàn)價”這一數(shù)量關系計算現(xiàn)價；變式練習則以表格方式出示實物名稱，要求學生利用原價、折扣和現(xiàn)價之間的關系計算出其中的一項，這就需要學生把原來的數(shù)量關系進行轉化，即“現(xiàn)價÷折扣=原價”“現(xiàn)價÷原價=折扣”，以更加靈活地運用數(shù)量關系解決生活實際問題。

（四）題型變化，解法不變

設計變式練習時，教師可以改變題目的情境和內(nèi)容，但是解題方法保持不變，讓學生在不同的題目中找到相同的解題方法。例如，人教版數(shù)學教材六年級下冊《百分數(shù)（二）》，這個單元安排學生解決有關折扣、稅率、利率和促銷等與百分數(shù)有關的生活實際問題，雖然這是百分數(shù)在不同領域的應用，但都涉及百分數(shù)的數(shù)量關系。

[課本原題]

（1）爸爸給小雨買了一輛自行車，原價280元，現(xiàn)在打八五折出售。買這輛自行車用了多少錢？

（2）一個電水壺原價160元，現(xiàn)在打九折出售，與原價相比，便宜了多少錢？

[變式練習]

變式1：

（1）一條褲子原價120元，現(xiàn)在打七五折，這條褲子現(xiàn)價多少元？

（2）王爺爺某月工資中應納稅的部分是3800元，需要按3%的稅率繳納工資薪金個人所得稅。這個月他應繳納工資薪金個人所得稅多少元？

（3）張奶奶把8000元按整存整取存入銀行，存三年定期，年利率是2.75%。到期后張奶奶可以拿到多少利息？

變式2：

（1）一條褲子原價120元，現(xiàn)在降價20%，這條褲子現(xiàn)價多少元？

（2）去年水稻總產(chǎn)量是1500噸，今年比去年增產(chǎn)一成，今年水稻總產(chǎn)量是多少噸？

（3）張奶奶把8000元按整存整取存入銀行，存三年定期，年利率是2.75%。到期后連本帶息去除，張奶奶可以取出多少錢？

變式1與課本原題中的第（1）題相似，屬于“求A的幾分之幾是多少”的題型，對應的數(shù)量關系是“單位‘1×對應分率=比較量”；變式2與課本原題中的第（2）題相似，屬于“已知比一個數(shù)多（少）百分之幾的數(shù)是多少，求這個數(shù)”的題型，對應的數(shù)量關系是“單位‘1±單位‘1× n% =比較量”或“單位‘1×（單位‘1±n%）=比較量”。這里的變式1和變式2以題組的形式呈現(xiàn)，在學生解答這兩組變式題時，教師可以引導學生先比較變式1中題目之間的聯(lián)系和區(qū)別，讓學生發(fā)現(xiàn)這些題目的數(shù)量關系都相同，只是百分數(shù)在不同的生活情境中應用；再引導學生比較變式1和變式2的聯(lián)系與區(qū)別，讓學生發(fā)現(xiàn)這兩組變式題的數(shù)量關系雖然不同，但都是百分數(shù)在生活中的具體應用。

（五）條件和問題不變，解法改變

例如，人教版數(shù)學教材六年級下冊《百分數(shù)（二）》中的一道變式拓展題。

一批筆記本，按50%的利潤定價出售，當售出80%后，剩下的筆記本打折出售，結果獲得的利潤是預定的88%，剩下的筆記本出售時是按定價打了幾折？

教師引導學生嘗試用不同的方法分析思考，探究出多種解題思路。

[解法1]假設這批筆記本共100本，每本成本1元。

期望總利潤：1×50%×100=50（元）

期望的總售價：1×100+50=150（元）

打折后少賣的錢數(shù)：50×（1-88%）=6（元）

若全部的筆記本都打折，則少賣的錢數(shù)：6÷（1-80%）=30（元）

折扣：1-30÷150=0.8=八折

[解法2]假設這批筆記本共有100本，每本成本是1元，打折部分的百分率是x。

100×（1+50%）×80%+100×（1+50%）×（1-80%）x=100+100×50%×88%

解得：x=80%

……

將題目中的條件和問題保持不變，讓學生對同一道題目進行一題多解，利用不同的數(shù)量關系探究出不同的解題思路，這樣不僅能幫助學生溝通不同方法之間的聯(lián)系，還可以使學生對這類型的題目有更加深刻的思考和理解。

當然，無論是課本中的練習還是變式練習，都是基于課本中的數(shù)學知識，衍生出來的一系列數(shù)學問題。這些問題不僅能豐富數(shù)學練習資源，還能促進學生更加靈活地運用知識解決生活中的問題，實現(xiàn)學以致用的目的。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 夏艷.高效數(shù)學課堂的催化劑：變式教學[J].小學教學參考，2020（32）：46-47.

[2] 郁雯溪.多視角培養(yǎng)小學生數(shù)學解題能力的策略[J].基礎教育研究，2021（7）：66-67.

（責編 杜 華）