張靜 陳秀秀 趙鑫

特級(jí)教師張鶴曾說(shuō)：“如果把教師所教授的知識(shí)看做A，學(xué)生經(jīng)過(guò)學(xué)習(xí)把知識(shí)轉(zhuǎn)化為自己的思維能力看做B，教學(xué)的過(guò)程應(yīng)該是從A出發(fā)，對(duì)A進(jìn)行演繹（這個(gè)過(guò)程記為A），再到B，教學(xué)的價(jià)值恰恰就在于這個(gè)讓學(xué)生經(jīng)歷從A到A，再到B的過(guò)程?！?因此，教師首先要努力地研究A，真正地理解單元的知識(shí)結(jié)構(gòu)，才能更好地挖掘A，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)B。這樣讓學(xué)生有結(jié)構(gòu)、有邏輯地逐漸認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的過(guò)程，方能落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，才是最美好的數(shù)學(xué)教育。

理解教材“編寫(xiě)意圖”，梳理單元知識(shí)邏輯

理解教材的“編寫(xiě)意圖”，不僅要弄清楚教材中每個(gè)文字、每個(gè)符號(hào)的含義，更要理清知識(shí)點(diǎn)背后所蘊(yùn)含的思維邏輯：即從整體上建立不同學(xué)段單元知識(shí)的橫向聯(lián)系，挖掘其知識(shí)的一致性，從局部上建立每個(gè)學(xué)段單元知識(shí)的縱向聯(lián)系，挖掘其知識(shí)的連續(xù)性。下面，以人教A版高中數(shù)學(xué)必修一第二章《一元二次函數(shù)、方程、不等式》的教材解讀為例，具體說(shuō)明。

《一元二次函數(shù)、方程、不等式》是“預(yù)備知識(shí)”的第二部分，承擔(dān)著初高中銜接的重要使命，是幫助學(xué)生從初中相對(duì)具體的知識(shí)過(guò)渡到高中階段相對(duì)抽象的知識(shí)的一個(gè)重要載體，更是學(xué)生學(xué)習(xí)方式和學(xué)習(xí)心理過(guò)渡的重要載體。因此，教師一定要理清學(xué)生在小學(xué)、初中已經(jīng)學(xué)過(guò)的“相等關(guān)系”的相關(guān)內(nèi)容與高中即將學(xué)習(xí)的這個(gè)單元內(nèi)容之間的橫向和縱向的聯(lián)系。

首先，從研究邏輯上看一致性。方程和不等式的教學(xué)內(nèi)容雖然分布在不同學(xué)段、不同章節(jié)，但是研究的“基本套路”是一致的：背景（現(xiàn)實(shí)世界中的一類(lèi)現(xiàn)象）—概念（研究對(duì)象）—性質(zhì)（要素、相關(guān)要素之間的關(guān)系、變化規(guī)律）—結(jié)構(gòu)（相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系）—應(yīng)用。例如，初中研究方程的“基本套路”大多是：背景（現(xiàn)實(shí)世界中的一類(lèi)現(xiàn)象）—方程（相等關(guān)系）—等式性質(zhì)（基本性質(zhì)）—一元一次方程（特殊方程）—一元二次方程（特殊方程）—應(yīng)用?；诖?，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生通過(guò)類(lèi)比研究方程的“基本套路”，形成研究不等式的“基本套路”：背景（現(xiàn)實(shí)世界中的一類(lèi)現(xiàn)象）—不等式（不等關(guān)系）—不等式性質(zhì)（基本性質(zhì)）—基本不等式（特殊不等式）—一元二次不等式（特殊不等式）—應(yīng)用。梳理研究每個(gè)對(duì)象的“基本套路”，能夠引導(dǎo)學(xué)生成為研究“數(shù)學(xué)對(duì)象”的先行組織者，即面對(duì)一個(gè)研究對(duì)象或者數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，先從整體上規(guī)劃“基本套路”，再展開(kāi)具體研究，做到有方向、有方法，發(fā)展學(xué)生的理性思維。

其次，從思維邏輯上看一致性。方程和不等式是兩個(gè)核心的內(nèi)容，用方程去刻畫(huà)相等關(guān)系，用不等式去刻畫(huà)不等關(guān)系，從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)中最基本的數(shù)量關(guān)系，抽象方法是一致的，一般都是觀察（共同特征）、比較（比較相同和不同）、分析（看各個(gè)量的局部特征）、綜合（看各個(gè)量的整體特征）和抽象概括（用語(yǔ)言或者符號(hào)將本質(zhì)特征表達(dá)出來(lái)）；方程的變形利用的是等式的性質(zhì)，不等式的變形利用的是不等式的性質(zhì)；在不等式性質(zhì)的探究中，類(lèi)比等式的性質(zhì)（先研究相等關(guān)系自身的特性，然后再研究等式在運(yùn)算中保持的不變性），研究的順序和方法都是一致的；在方程中有一類(lèi)特殊的方程是一元二次方程，不等式中重點(diǎn)研究?jī)深?lèi)特殊的不等式，一元二次不等式和基本不等式，對(duì)于“特例”的研究一直是數(shù)學(xué)研究對(duì)象中必不可少的一部分。

最后，從思想方法上看連續(xù)性。二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式及其相互關(guān)系體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科中非常重要的觀點(diǎn)，即“聯(lián)系的觀點(diǎn)”。從知識(shí)的聯(lián)系性出發(fā)，可以提高對(duì)數(shù)學(xué)整體的認(rèn)識(shí)。函數(shù)是“聯(lián)結(jié)”方程和不等式的“紐帶”，方程和不等式是對(duì)應(yīng)函數(shù)的不同狀態(tài)。所以，利用函數(shù)的變化規(guī)律可以解決相應(yīng)方程和不等式的問(wèn)題。基于此，教師在教學(xué)《一元二次函數(shù)、方程、不等式》單元時(shí)滲透“函數(shù)的觀點(diǎn)”，能夠幫助學(xué)生在后續(xù)解決基本初等函數(shù)的方程和不等式的問(wèn)題時(shí)熟練地運(yùn)用“函數(shù)觀點(diǎn)”，這直接影響學(xué)生對(duì)于之后《函數(shù)》單元的學(xué)習(xí)和理解。

總之，理解教材的“編寫(xiě)意圖”，從橫向和縱向兩個(gè)維度深入挖掘知識(shí)之間的邏輯關(guān)系，提升“一般觀念”“一般思想方法”的指導(dǎo)意識(shí)，不僅有利于教師理解數(shù)學(xué)，更能促進(jìn)教師更好的教好數(shù)學(xué)。

合理整合教學(xué)內(nèi)容，體現(xiàn)單元整體教學(xué)

合理整合教學(xué)內(nèi)容，就是教師在理解教材“編寫(xiě)意圖”、梳理單元知識(shí)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，對(duì)整個(gè)單元的內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹亟M和整合，揭示知識(shí)間的深層聯(lián)系，從而突出知識(shí)的系統(tǒng)性和教學(xué)的方向性，這有利于發(fā)展學(xué)生的思維能力，進(jìn)而促進(jìn)核心素養(yǎng)的落地。

首先，根據(jù)知識(shí)的橫向聯(lián)系，整合單元教學(xué)內(nèi)容，體現(xiàn)單元邏輯的一致性。例如，在前文《一元二次函數(shù)、方程、不等式》的單元解讀中，我們?cè)敿?xì)闡述了方程、不等式的橫向聯(lián)系，教材也確實(shí)是按照這樣的邏輯編寫(xiě)的。但是在實(shí)際操作中，方程的相關(guān)內(nèi)容分布在初中的各個(gè)年級(jí)，跨度較大，再加上學(xué)生對(duì)研究的“基本套路”等并不熟悉，所以在教學(xué)教材基本課時(shí)的基礎(chǔ)上，增加了單元前置學(xué)習(xí)任務(wù)的梳理——“以真實(shí)問(wèn)題為統(tǒng)領(lǐng)梳理相等關(guān)系的研究路徑及方法，類(lèi)比相等關(guān)系研究不等關(guān)系”。單元前置學(xué)習(xí)任務(wù)安排在課前，學(xué)生課下完成，課上展示，教師總結(jié)提升，不占用額外課時(shí)，但卻能夠讓學(xué)生在學(xué)習(xí)新單元前回顧已有的知識(shí)系統(tǒng)，真正讓學(xué)生成為先行組織者，在已有的知識(shí)體系上，建構(gòu)新的知識(shí)體系。

再如，人教A版高中數(shù)學(xué)必修二第七章《復(fù)數(shù)的概念和四則運(yùn)算》，在教材安排的四課時(shí)基礎(chǔ)上，我們也做了適當(dāng)?shù)膶?shí)踐調(diào)整。先布置單元前置學(xué)習(xí)任務(wù)，請(qǐng)學(xué)生查閱數(shù)學(xué)史的相關(guān)資料，梳理自然數(shù)系擴(kuò)充到實(shí)數(shù)系的實(shí)際需要，抽象出從自然數(shù)系到實(shí)數(shù)系擴(kuò)充過(guò)程中遵循的“規(guī)則”，即擴(kuò)充后的數(shù)系中的加法和乘法運(yùn)算與原數(shù)系的加法和乘法運(yùn)算的協(xié)調(diào)一致，并且使加法和乘法所滿足的運(yùn)算律仍然成立。然后，讓學(xué)生在單元的第一課時(shí)中，展示自己的學(xué)習(xí)成果，然后師生一起基于學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)學(xué)習(xí)新的數(shù)系——復(fù)數(shù)系。再用兩個(gè)課時(shí)完成教學(xué)中安排的所有四課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容，第一課時(shí)內(nèi)容為復(fù)數(shù)的概念（代數(shù)表示、幾何表示、分類(lèi)、復(fù)數(shù)相等），第二課時(shí)為復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算（加減乘除）。調(diào)整后的課時(shí)設(shè)計(jì)，學(xué)生覺(jué)得充實(shí)，學(xué)得更有意義。

其次，根據(jù)知識(shí)的縱向聯(lián)系，整合單元教學(xué)內(nèi)容，體現(xiàn)單元思想連續(xù)性。以人教A版高中數(shù)學(xué)必修二第六章《平面向量及其應(yīng)用》單元中“平面向量的應(yīng)用”部分為例具體說(shuō)明。教材針對(duì)“平面向量的應(yīng)用”部分共安排了5課時(shí)的內(nèi)容，將正弦定理和余弦定理的內(nèi)容分割開(kāi)來(lái)。在解讀教材的過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)這部分內(nèi)容被安排在平面向量的應(yīng)用部分，意圖為向量的應(yīng)用提供一個(gè)重要載體，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)用向量方法解決平面幾何問(wèn)題所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想、掌握用向量運(yùn)算解決平面幾何問(wèn)題的基本要領(lǐng)和方法的同時(shí)，完善對(duì)三角形的認(rèn)知結(jié)構(gòu)：從初中對(duì)三角形的定性研究和對(duì)直角三角形的定量研究推廣到現(xiàn)在對(duì)一般三角形的定量研究。為此，我們?cè)趯?shí)踐中對(duì)教材順序進(jìn)行了合理的整合，在向量運(yùn)算及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法上發(fā)力，將通過(guò)向量運(yùn)算解決幾何問(wèn)題一個(gè)背景一用到底，一節(jié)課一氣呵成即可推導(dǎo)出三角形邊角關(guān)系?；诖耍覀儗?課時(shí)的內(nèi)容做出了調(diào)整：第一課時(shí)：平面幾何中的向量方法；第二課時(shí)：用向量方法研究三角形的邊角關(guān)系；第三課時(shí)：正余弦定理的應(yīng)用；第四課時(shí)：正余弦定理的應(yīng)用舉例；第五課時(shí)：向量在物理中的應(yīng)用舉例。調(diào)整之后課時(shí)雖然沒(méi)有太大變化，但是學(xué)生的整體觀和解決問(wèn)題的能力有了很大提升。

實(shí)踐證明，通過(guò)合理的整合單元教學(xué)內(nèi)容，從整體角度在一定程度上減少了課時(shí)，但減少課時(shí)不是重點(diǎn)，重點(diǎn)是在整合過(guò)程中建立知識(shí)之間的本質(zhì)聯(lián)系，整體把握教學(xué)目標(biāo)與和課程內(nèi)容，這也有利于學(xué)生建構(gòu)系統(tǒng)的知識(shí)體系，提升思維能力，發(fā)展核心素養(yǎng)。

落實(shí)每個(gè)單元教學(xué)，發(fā)展學(xué)生的思維能力

落實(shí)每個(gè)單元教學(xué)，就是在合理整合教學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，在每個(gè)單元課時(shí)前、單元課時(shí)中、單元課時(shí)后，設(shè)計(jì)揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)活動(dòng)。通過(guò)具體的實(shí)踐可以發(fā)現(xiàn)，要想真正有效地落實(shí)每個(gè)單元的教學(xué)內(nèi)容，不僅要在單元課時(shí)上下功夫，單元課時(shí)前的前置學(xué)習(xí)、單元課時(shí)后的單元作業(yè)和單元檢測(cè)一樣必不可少。這樣連續(xù)的教學(xué)活動(dòng)，才能更有效地發(fā)展學(xué)生的思維和能力。

首先，單元課時(shí)前布置前置學(xué)習(xí)任務(wù)。任務(wù)的設(shè)置要內(nèi)容具體，知識(shí)簡(jiǎn)單，形式多樣。前置學(xué)習(xí)的目的有兩個(gè)，第一個(gè)目的是從教師的角度了解學(xué)情，即備學(xué)生。課堂教學(xué)前，教師不僅要基于教材解讀和分析了解單元知識(shí)結(jié)構(gòu)，更要了解學(xué)生在學(xué)習(xí)本單元前對(duì)已有知識(shí)的掌握情況、知識(shí)漏洞、認(rèn)知困難等。這就需要教師通過(guò)布置前置學(xué)習(xí)任務(wù)詳細(xì)了解學(xué)生的學(xué)情，并根據(jù)掌握的情況對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行調(diào)整，確保教學(xué)對(duì)學(xué)生更具有針對(duì)性。第二個(gè)目的是從學(xué)生的角度了解學(xué)習(xí)內(nèi)容，即讓學(xué)生在較短的時(shí)間內(nèi)，在任務(wù)的引領(lǐng)下回顧已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，將已有經(jīng)驗(yàn)類(lèi)比遷移到對(duì)本單元的學(xué)習(xí)上。這樣“溫故”的過(guò)程能夠?yàn)閷W(xué)生快速進(jìn)入本單元或本課時(shí)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

其次，單元課時(shí)中要?jiǎng)?chuàng)設(shè)合適的情境，提出能夠揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展系列化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)。曾經(jīng)聽(tīng)過(guò)這樣一個(gè)有趣的故事：一個(gè)男孩說(shuō)自己教一只小狗講話了。但當(dāng)他的朋友要求小狗表演時(shí)，這條狗除了叫什么也不會(huì)。于是他的朋友對(duì)此提出質(zhì)疑：“我記得你說(shuō)教過(guò)小狗說(shuō)話的？”“是的，我教它了，”自稱教練的男孩答道，“我教過(guò)它說(shuō)話，但是我沒(méi)說(shuō)過(guò)它學(xué)會(huì)了”。這個(gè)故事聽(tīng)起來(lái)很好笑，但在我們的教學(xué)中卻不足為奇。作為教師，我們常常會(huì)在教學(xué)中遇到挫折時(shí)，發(fā)自內(nèi)心地抱怨“我教了，但他們沒(méi)有學(xué)會(huì)。”受到前文故事的啟發(fā)，我們可以得知：學(xué)并不是由教引起的。教，就其本身而言，永遠(yuǎn)不會(huì)引發(fā)學(xué)。只有當(dāng)學(xué)習(xí)者對(duì)學(xué)習(xí)進(jìn)行成功的嘗試時(shí)才會(huì)引發(fā)學(xué)習(xí)。教師不能把自己理解的數(shù)學(xué)內(nèi)容傳授學(xué)生，學(xué)生必須自己去獲得。那么，學(xué)生如何才能在教師的引領(lǐng)下獲得知識(shí)呢？這就需要教師根據(jù)具體的課型創(chuàng)設(shè)適合學(xué)生的問(wèn)題情境，即在課堂上以一個(gè)真實(shí)的問(wèn)題情境或一個(gè)有意義的數(shù)學(xué)情境為統(tǒng)領(lǐng)，引導(dǎo)學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中，掌握該單元涉及的不同知識(shí)，讓學(xué)生在反思分析的過(guò)程中形成概念或者定理等，這樣才能使學(xué)生在主動(dòng)探索的過(guò)程中，真正將印在課本上的學(xué)科知識(shí)轉(zhuǎn)化為學(xué)科思維能力。例如，在《一元二次函數(shù)、方程、不等式》單元第五課時(shí)的教學(xué)中，教師以“類(lèi)比用一次函數(shù)的圖像求解一元一次不等式，能否用有關(guān)二次函數(shù)的知識(shí)來(lái)研究一元二次不等式的解法？”這個(gè)問(wèn)題為統(tǒng)領(lǐng)展開(kāi)教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生在自主探究、合作交流中解決問(wèn)題。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生在借助初中用一次函數(shù)的觀點(diǎn)解決一元一次方程、不等式的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，進(jìn)一步體會(huì)如何利用函數(shù)觀點(diǎn)、數(shù)形結(jié)合的思想方法解決有關(guān)一元二次不等式的問(wèn)題，這種思想方法的滲透途徑遠(yuǎn)比教師講授的效果要好得多。因?yàn)樗菍W(xué)生在新的問(wèn)題情境中主動(dòng)探索出來(lái)的成果，能夠真正落實(shí)到后續(xù)其他方程與不等式問(wèn)題的解決中，進(jìn)一步體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性和聯(lián)系性?？梢?jiàn)，課堂教學(xué)需要教師基于教學(xué)內(nèi)容精心設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，通過(guò)具體的情境和問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探索知識(shí)。整體設(shè)計(jì)，分步實(shí)施，才能促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的整體理解和把握，逐步發(fā)展核心素養(yǎng)。

最后，單元課時(shí)后教師要設(shè)計(jì)好課后單元作業(yè)和單元檢測(cè)的內(nèi)容，以鞏固單元學(xué)習(xí)效果。通過(guò)教學(xué)實(shí)踐可以發(fā)現(xiàn)，單元作業(yè)和單元檢測(cè)內(nèi)容的有效設(shè)計(jì)必須包含四個(gè)要素：明確的目標(biāo)、適當(dāng)?shù)臄?shù)量、明顯的梯度和及時(shí)的批改和反饋。以單元檢測(cè)具體來(lái)說(shuō)，單元檢測(cè)中設(shè)計(jì)的每一道題目都要有明確的目標(biāo)，要依據(jù)單元的知識(shí)明細(xì)表布置考題的內(nèi)容。一是簡(jiǎn)單題目的設(shè)計(jì)，每個(gè)知識(shí)點(diǎn)都要設(shè)計(jì)一道題，而且一道題只考察單一知識(shí)點(diǎn)，這樣目標(biāo)就非常明確，就是要從每個(gè)學(xué)生的完成數(shù)據(jù)中了解每個(gè)學(xué)生存在的問(wèn)題，這樣的反饋更聚焦，輔導(dǎo)的針對(duì)性也更強(qiáng)。二是要確保中檔題和難題有分層，且要控制數(shù)量不宜過(guò)多，試題數(shù)量要匹配考試時(shí)間，保證全班90%以上的學(xué)生都能完全做完。對(duì)于學(xué)生完成的檢測(cè)試卷，教師要及時(shí)批改和反饋，反饋的不僅是考試的分?jǐn)?shù)，而是要讓學(xué)生對(duì)照單元知識(shí)細(xì)目表分析自己存在的知識(shí)漏洞，并在教師的指導(dǎo)下整理錯(cuò)題，不斷提升。

總而言之，從“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”，需要不同學(xué)段的教師都能夠高站位地理解數(shù)學(xué)，從教材分析出發(fā)，理解教材的編寫(xiě)意圖，厘清單元知識(shí)的結(jié)構(gòu)與邏輯。在此基礎(chǔ)上，對(duì)知識(shí)進(jìn)行重構(gòu)，加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系。此外，還要精心設(shè)計(jì)單元課時(shí)前、單元課時(shí)中、單元課時(shí)后的教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在真問(wèn)題的引領(lǐng)下有結(jié)構(gòu)有邏輯地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)。這樣學(xué)生12年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才是連貫的、不割裂的，數(shù)學(xué)思維才能得到更好的發(fā)展。

【本文系北京市教育學(xué)會(huì)“十四五”教育科研2022年度課題“基于高中數(shù)學(xué)新教材編寫(xiě)意圖的單元教學(xué)設(shè)計(jì)策略研究”（課題編號(hào)：MY2022-001）的研究成果之一?！?/p>