高中數(shù)學建模教學中的問題及解決途徑

摘 要：高中數(shù)學建模教學能夠有效鍛煉學生學以致用的能力，而調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)高中數(shù)學建模教學中存在一些問題，導(dǎo)致學生不能有效地建立正確的數(shù)學模型。為改變這一現(xiàn)狀，高中數(shù)學教師應(yīng)做好對以往數(shù)學建模教學過程的反思以及對經(jīng)驗教訓(xùn)的總結(jié)，以尋找有針對性的解決途徑。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學；建模教學；問題；解決途徑

中圖分類號：G427 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：2097-1737（2023）12-0032-03

引 ?言

眾所周知，數(shù)學建模是從數(shù)學視角出發(fā)，運用數(shù)學語言表征現(xiàn)實事物邏輯關(guān)系的一種思維活動[1]。為保證數(shù)學建?；顒拥捻樌_展，教師不僅需要儲備相關(guān)的數(shù)學知識，還需要掌握數(shù)學建模的相關(guān)理論。在高中數(shù)學教學實踐中，教師應(yīng)充分認識到數(shù)學建模的重要性，做好數(shù)學建模教學規(guī)劃，并結(jié)合具體教學內(nèi)容制訂實施細則，為建模教學活動的開展奠定堅實基礎(chǔ)。

一、高中數(shù)學建模教學中的問題

（一）數(shù)學建模知識講解不夠系統(tǒng)

部分高中數(shù)學教師將數(shù)學建模和應(yīng)用題解答混為一談，將教學的重點放在如何運用數(shù)學知識解決相關(guān)的應(yīng)用題上，在實踐中，要么不講解數(shù)學建模知識，要么講解的數(shù)學建模知識不夠深入。多數(shù)教師只是按照課本中的內(nèi)容簡單介紹數(shù)學建模，導(dǎo)致學生掌握的數(shù)學建模知識不夠系統(tǒng)，應(yīng)用時常常感覺力不從心，或者因忽略某一環(huán)節(jié)而得出錯誤結(jié)果[2]。例如，制訂一個“課下時間段學生體育鍛煉考核”的評分制，需要構(gòu)建每天得分y和每天鍛煉時間x（分鐘）的模型。要求如下：（1）在區(qū)間（0，90）上為增函數(shù)；（2）每天參加運動時間為0，得分為0；（3）每天運動達標時間為30分鐘，得分為3分；（4）每天最多得分不超過6分。

部分學生構(gòu)建模型時只是單純地從數(shù)學角度進行思考，未結(jié)合實際情況進行驗證，結(jié)果構(gòu)建了錯誤的數(shù)學模型。根據(jù)實際情況可知，隨著學生鍛煉時間的增加，其得分的增長是逐漸放緩的，因此，構(gòu)建對數(shù)類型的模型才更加符合題意。

（二）學生數(shù)學建模存在認知障礙

高中數(shù)學建模涉及的情境與人們的生活密切相關(guān)，其中一些情境會涉及一些術(shù)語[3]。大多數(shù)學生因缺乏對社會時事的關(guān)注，對題目中的一些術(shù)語感到陌生，不理解其含義，進而無法判斷需要構(gòu)建的模型類型。例如當面對這樣的題目：“王先生購買的股票A連續(xù)四個跌停，則至少需要幾個漲停才能不虧損？（其中，跌停、漲停分別表示比前一天收市價下跌、上漲10%）”大部分學生缺乏股票知識，即便題干中給出“跌?！焙汀皾q?！钡母拍?，仍不能充分理解其含義，更不知道如何運用數(shù)學語言進行表達，導(dǎo)致無法構(gòu)建出正確模型。

（三）學生無法找到參數(shù)邏輯關(guān)系

數(shù)學建模對學生提煉有用知識及分析問題的能力要求較高[4]。部分學生會因問題情境的文字描述較多或?qū)?nèi)容較為陌生，而不能迅速從中提煉出有用信息，無法找到參數(shù)之間的邏輯關(guān)系，無法構(gòu)建對應(yīng)的數(shù)學模型。例如：“某環(huán)線公交車內(nèi)外線同時運行，內(nèi)、外環(huán)線長均為30 km，不考慮兩線的長度差異，要求內(nèi)環(huán)線和外環(huán)線公交車平均速度分別為20 km/h，30 km/h。

現(xiàn)內(nèi)、外環(huán)線共有18輛公交車全部投入運營。不考慮公交車進站、出站，要使內(nèi)外環(huán)線乘客的最長候車時間之差在1分鐘以內(nèi)，問內(nèi)、外環(huán)線需各投入幾輛公交車運行？當兩線乘客候車最長時間之和最小時呢？”該情境雖然文字描述不多，但是一些學生對“內(nèi)外環(huán)線”并不了解，而且題干中參數(shù)之間的邏輯關(guān)系并不明顯，所以學生讀完題目后一頭霧水，既無法判斷模型類型，又不知道如何切入。

（四）學生不注重數(shù)學建模方法總結(jié)

高中數(shù)學中需要通過構(gòu)建模型解決問題的情境類型較多。學生提高數(shù)學建模水平，做好不同情境類型以及數(shù)學建模技巧的總結(jié)尤為重要。然而部分學生并未認識到總結(jié)的重要性，而是將時間放在做更多的題上，構(gòu)建出數(shù)學模型并得出正確結(jié)果后便將習題放在一邊，不進行總結(jié)，導(dǎo)致數(shù)學建模水平提升緩慢。

二、高中數(shù)學建模教學問題解決途徑

（一）做好建模理論知識的系統(tǒng)講解

為了給學生數(shù)學建?；顒拥捻樌_展奠定堅實的基礎(chǔ)，教師在教學實踐中應(yīng)正確處理建模知識與數(shù)學知識傳授之間的關(guān)系，將數(shù)學建模理論知識講解融入教學活動，給學生帶來無形的影響。

首先，做好教學規(guī)劃，制訂教學目標。教師在教學中應(yīng)認真分析教學內(nèi)容與數(shù)學建模知識之間的契合點，結(jié)合自身教學經(jīng)驗做好系統(tǒng)的教學規(guī)劃。同時，結(jié)合教學進度制訂教學目標，并將教學目標細化到每一個課時上，保證教學目標的順利達成。

其次，注重課堂互動，嚴把教學質(zhì)量。部分數(shù)學建模理論知識需要學生理解與記憶。在實踐中為了防止學生產(chǎn)生枯燥感，進一步增強學生的學習體驗，幫助學生更好地把握數(shù)學建模注意事項，教師要注重在課堂上圍繞問題與學生積極互動，進一步加深學生對數(shù)學建模理論知識的印象，促使學生自覺地將理論知識作為數(shù)學建模的重要依據(jù)。

最后，給予學生引導(dǎo)，做好知識整理。教師在教學中要創(chuàng)設(shè)學生感興趣的問題情境，引導(dǎo)學生參與數(shù)學建模的過程，總結(jié)數(shù)學建模的步驟，同時，預(yù)留時間讓學生應(yīng)用思維導(dǎo)圖做好數(shù)學建模理論知識的歸納。

例如，“建立函數(shù)模型解決實際問題”的教學實踐活動，要求學生首先自主完成課本內(nèi)容的閱讀與學習。學生通過學習不難得出數(shù)學建模需要在觀察實際情景的基礎(chǔ)上完成如下步驟：發(fā)現(xiàn)和提出問題—收集數(shù)據(jù)—分析數(shù)據(jù)—建立模型—檢驗?zāi)Ｐ汀蠼鈫栴}。之后，學生認真回顧所學數(shù)學模型，運用思維導(dǎo)圖做好對不同數(shù)學模型特點的總結(jié)，以及呈現(xiàn)數(shù)學建模應(yīng)注意的細節(jié)等，在頭腦中形成系統(tǒng)的知識網(wǎng)絡(luò)，為順利構(gòu)建數(shù)學模型，解決實際問題提供保障。

（二）注重培養(yǎng)學生的語言理解能力

在高中數(shù)學建模教學中，為幫助學生克服認知障礙，教師應(yīng)注重培養(yǎng)學生的語言理解能力，這里的“語言”主要是數(shù)學語言。在實踐中，教師應(yīng)注重以下內(nèi)容的認真落實。

其一，高中數(shù)學中的很多問題情境都來源于生活，在教學實踐中要引導(dǎo)學生養(yǎng)成多關(guān)注生活、善于閱讀的良好習慣。其中，學生關(guān)注生活時應(yīng)具備從數(shù)學視角分析問題的意識，鍛煉學以致用的能力；開展閱讀活動時應(yīng)做好數(shù)學相關(guān)術(shù)語的積累，通過查閱資料搞清楚其含義，防止因?qū)πg(shù)語不熟悉而不能順利建立數(shù)學模型。

其二，在數(shù)學建?；顒又?，熟練掌握數(shù)學語言是基礎(chǔ)。因此，在實踐中，教師應(yīng)要求學生建立文字與數(shù)學語言之間的對應(yīng)關(guān)系，以更好地尋找數(shù)學建模的切入點。如題目要求“制訂的方案最合理”，往往就需要學生將其與數(shù)學中的最值問題對應(yīng)起來，包括“利潤最大值”“成本最小值”“最節(jié)省材料”等概念。

例如：圖1中，l是海岸線，點P為海中的一座觀光小島。旅游公司在海岸線選擇兩點M、N設(shè)置游客接待處。其中P、M、N中任意兩點間的距離相等，均為20 km。同時，在M、N點之間設(shè)置游客集中處點Q，

游客在該點乘坐游輪前往觀光小島。統(tǒng)計得知，將每批游客從M、N向Q點集中時分別需要發(fā)車2輛和4輛。每輛汽車每千米消耗的費用為20元，每艘游輪每千米消耗的費用為120元。設(shè)∠PQM=α。

該題目需要學生在閱讀中建立其與所學數(shù)學知識之間的聯(lián)系，提出合理的問題后構(gòu)建相關(guān)模型。通過閱讀可知，其是以三角形知識為背景的費用問題，可提出問題：點M、Q的距離為多遠時，運輸每批游客的總成本最低？在此基礎(chǔ)上借助正弦定理不難構(gòu)建出對應(yīng)模型：設(shè)運輸每批游客的總成本為f（α），則根據(jù)題意，在△MPQ中，∠PMQ=，∠PQM=α，則∠MPQ=

-α，由正弦定理易得PQ=，MQ=，

QN=20-。構(gòu)建的函數(shù)模型為：f（α）=

40MQ+80QN+120PQ=400（+），a∈（，

）。借助導(dǎo)數(shù)知識不難求出當sinα=時f（α）的值最小，此時，MQ=10+。

（三）加強學生數(shù)學建模思維訓(xùn)練

構(gòu)建數(shù)學模型的關(guān)鍵在于通過讀題明確參數(shù)之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系。教學實踐中，為使學生能夠找到構(gòu)建數(shù)學模型的關(guān)鍵，教師應(yīng)加強對學生數(shù)學建模思維的訓(xùn)練，避免學生在建模過程中走彎路。一方面，教師要結(jié)合自身教學經(jīng)驗做好數(shù)學建模經(jīng)典例題的篩選，尤其在講解例題過程中多給學生預(yù)留思考的時間，引導(dǎo)其尋找構(gòu)建模型的思路，參與到數(shù)學建模的過程，進一步加深印象。另一方面，教師要結(jié)合學生的現(xiàn)有知識儲備，積極組織其開展數(shù)學建模訓(xùn)練活動，使其有效積累數(shù)學建模的相關(guān)思路，養(yǎng)成良好的數(shù)學建模習慣，樹立數(shù)學建模的自信心。

以上述“公交車在內(nèi)外環(huán)線運行”的題目為例。部分學生之所以無法構(gòu)建相關(guān)數(shù)學模型，主要是對公交車在環(huán)線運行的情境不熟悉。教師可以在課堂上設(shè)計以下問題幫助學生尋找數(shù)學建模思路：（1）若內(nèi)外環(huán)線均只有一輛公交車，怎樣表示對應(yīng)線上乘客等車的最長時間？（2）怎樣表示內(nèi)外環(huán)線乘客等車時間之差與和？（3）構(gòu)建模型時該怎樣確定自變量范圍？

學生通過畫輔助草圖，經(jīng)過思考，就能夠找到上述問題的答案：（1）若內(nèi)外環(huán)線上均只有一輛公交車，則內(nèi)外環(huán)線上乘客候車時間最長分別為×60=90、×60=60；在題目中設(shè)內(nèi)環(huán)線上投入的公交車為x輛，則內(nèi)外環(huán)線上乘客候車時間最長分別為t1=×60=、

t2=×60=；（2）乘客候車時間之差與和分別表示為|t1-t2|、t1+t2；（3）考慮到內(nèi)環(huán)線上不能沒有公交車運行，則對應(yīng)的自變量范圍為1≤x≤17且x∈N*。最終，學生構(gòu)建以下兩個函數(shù)模型：

f（x）=|t1-t2|=|-|≤1，（1≤x≤17且x∈N*）···（1）

u（x）=t1+t2=+=，（1≤x≤17且x∈N*）···（2）

模型（1）屬于含有絕對值的不等式模型，通過整理不難得到，通過解不等式組確定幾何自變量取值要求可得x=11，即內(nèi)外環(huán)線上運行的公交車數(shù)量分別為11輛和7輛。模型（2）需拼湊成對勾函數(shù)模型，借助對勾函數(shù)性質(zhì)可知，當x=10時其和最小，此時內(nèi)外環(huán)線上運行的公交車數(shù)量分別為10輛、8輛。

（四）引導(dǎo)學生做好數(shù)學建?？偨Y(jié)

在高中數(shù)學建模教學中，為更好地提升學生的建模能力，并使其充分認識到建?？偨Y(jié)的重要性，教師應(yīng)給予學生有針對性的引導(dǎo)，使其認真開展數(shù)學建?？偨Y(jié)活動。在具體教學實踐中，教師可采用以下思路對學生進行引導(dǎo)。其一，根據(jù)數(shù)學建模教學計劃，可預(yù)留一節(jié)課的時間，通過提問學生有關(guān)數(shù)學建模理論知識的問題，驅(qū)使學生主動回顧與歸納所學。同時，要求學生結(jié)合自身回答問題的情況，分析其中暴露出的數(shù)學建模知識漏洞，并及時查漏補缺，尤其要求學生圍繞“數(shù)學建模”畫出相關(guān)思維導(dǎo)圖，清晰而條理地整理理論知識。其二，要求學生積極開展數(shù)學建模心得交流活動，鼓勵其相互分享數(shù)學建模經(jīng)驗，總結(jié)不同數(shù)學模型對應(yīng)的情境特點，進而在以后的解題中根據(jù)題干中的關(guān)鍵詞迅速判斷對應(yīng)的數(shù)學模型類型，并基于對情境邏輯關(guān)系的分析完成數(shù)學模型的構(gòu)建。

以數(shù)列模型為例，高中數(shù)學中的數(shù)列模型包含等差數(shù)列模型、等比數(shù)列模型，在實踐中要求學生總結(jié)數(shù)列模型的特點。通過總結(jié)我們不難發(fā)現(xiàn)，當問題情境中含有“多”“少”等字眼時，通常需要構(gòu)建等差數(shù)列模型；當問題情境中含有“倍”、百分數(shù)時，通常需要構(gòu)建等比數(shù)列模型。當確定模型類型后，學生找到首項、公差或公比，便能順利地構(gòu)建對應(yīng)的數(shù)列模型。

結(jié) ?語

在高中數(shù)學建模教學中，為保證教學目標的順利達成，教師不能滿足現(xiàn)狀，應(yīng)做好自身教學經(jīng)驗的總結(jié)，分析教學過程中存在的問題，找到癥結(jié)所在并做出相應(yīng)的改善；同時，針對存在的問題及時查閱資料，

向經(jīng)驗豐富的教師請教，積極與同事溝通交流，尋找解決途徑，做好細節(jié)上的優(yōu)化。

[參考文獻]

田錕.高中數(shù)學建模教學的意義及策略[J].教育科學論壇，2022（16）：56-58.

劉洋.高中數(shù)學建模教學中的語言表達能力的培

養(yǎng)[J].數(shù)學教學通訊，2022（15）：52-53.

韓玉燦.新課程背景下高中數(shù)學建模教學的研究[J].中學數(shù)學，2022（03）：76-77.

林位明.基于新課程背景下高中數(shù)學建模教學研

究[J].高考，2022（05）：42-44.

作者簡介：林中獎（1981.3-），男，福建莆田人，

任教于福建省莆田第二中學，一級教師，本科學歷。