數(shù)學(xué)建模方法在高中數(shù)學(xué)解題中的探究

李俊錚

【摘要】隨著教育改革的深入推進(jìn)，高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動較之以往有了很大改變.在以往的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，受諸多因素的影響，教師過于看重理論內(nèi)容、知識點(diǎn)的傳授，忽視了學(xué)生數(shù)學(xué)知識實際應(yīng)用能力的提升.而數(shù)學(xué)建模是解決數(shù)學(xué)問題的很重要路徑，也是學(xué)生靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的表現(xiàn)，在近幾年的高考試題中，越來越注重學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力考查，而學(xué)生靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)建模方法，可以在很大程度上提高自身的數(shù)學(xué)問題處理水平，對于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力提升具有良好幫助.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模；高中數(shù)學(xué)；解題

在新課標(biāo)準(zhǔn)中提出，數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的良好方式，其可以為學(xué)生學(xué)習(xí)提供更加自主的空間，能讓學(xué)生在數(shù)學(xué)體驗中意識到數(shù)學(xué)在處理現(xiàn)實問題中的作用，可以強(qiáng)化數(shù)學(xué)學(xué)科與學(xué)生實際生活之間的關(guān)聯(lián)［1］.在高中數(shù)學(xué)解題中，通過數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用，能在極大程度上強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，更容易增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，能實現(xiàn)對學(xué)生實踐能力、創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的提升.

1 數(shù)學(xué)建模方法的相關(guān)概述

數(shù)學(xué)建模方法簡單來說就是利用數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)原理、數(shù)學(xué)方法來解決相應(yīng)數(shù)學(xué)問題的一個過程，簡單來說數(shù)學(xué)建模方法主要是針對實際中的數(shù)學(xué)問題，對其進(jìn)行提煉，抽象出特定的數(shù)學(xué)模型，然后完成模型求解，并對數(shù)學(xué)模型本身的合理性進(jìn)行驗證分析，通過模型求解得出數(shù)學(xué)問題的答案［2］.數(shù)學(xué)建模的方法主要包含了以下幾個步驟：

（1）問題分析，主要是充分理解問題的實際意義，對題目中的各項信息進(jìn)行收集整理分析，通過數(shù)學(xué)語言描述這些信息.

（2）模型假設(shè)，結(jié)合問題分析中的信息，簡化數(shù)學(xué)語言，抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上完成相關(guān)條件、符號的假設(shè).

（3）建立模型，結(jié)合數(shù)學(xué)關(guān)系對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行抽象處理，利用假設(shè)條件、符號構(gòu)建出特定的數(shù)學(xué)模型.

（4）模型求解，引導(dǎo)學(xué)生用自己學(xué)到的知識、題目中的相關(guān)數(shù)據(jù)求解出相應(yīng)的模型參數(shù)解.

（5）模型分析，對模型求解的結(jié)果進(jìn)行分析.

（6）模型檢驗，指引學(xué)生將求解的結(jié)果放到實際問題中，如果符合實際問題中的相關(guān)信息要求，證明模型分析是正確的；如果不符合實際情況，則表明模型需要進(jìn)一步改進(jìn)，應(yīng)該重新構(gòu)建模型進(jìn)行分析.

從實際生活看，有很多問題都與數(shù)學(xué)模型相關(guān)，如果學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題中可以靈活地構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，借助數(shù)學(xué)模型的方法解決，往往能獲得事半功倍的效果［3］.從數(shù)學(xué)模型的整體發(fā)展情況看，在高中數(shù)學(xué)階段涉及的模型包含了以下幾類：

（1）與數(shù)量相關(guān)的模型：主要包括函數(shù)模型、不等式模型、方程模型、數(shù)列模型、概率模型等.

（2）與形狀相關(guān)的模型：主要包括平面幾何模型、立體幾何模型.

（3）與位置相關(guān)的模型：主要包括極坐標(biāo)模型、幾何模型.

（4）與最值相關(guān)的模型，主要有線性規(guī)劃模型.

2 數(shù)學(xué)模型方法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用要點(diǎn)

2.1 與傳統(tǒng)解題方法的差異

數(shù)學(xué)建模方法主要是將數(shù)學(xué)建模思想、數(shù)學(xué)建?；顒尤谌氲綌?shù)學(xué)問題處理中的一種方式，與傳統(tǒng)的解題方法相比較，數(shù)學(xué)建模方法的特點(diǎn)在于：一是數(shù)學(xué)建模需要從題目全局入手，整體分析題目信息，并且要充分了解問題的背景；二是學(xué)生需要全程參與到題目分析中，探索問題的解決路徑，同時數(shù)學(xué)建模方法具有良好的解決策略時，往往會出現(xiàn)一題多模的情況；三是數(shù)學(xué)模型是解決數(shù)學(xué)問題的一個工具，更加關(guān)注數(shù)學(xué)模型的實際應(yīng)用性，同時在數(shù)學(xué)建模方法有特定的步驟，其結(jié)構(gòu)十分清晰［4］.

數(shù)學(xué)建模方法在培養(yǎng)學(xué)生的建模意識、數(shù)學(xué)應(yīng)用意識等方面具有良好作用，在新課標(biāo)中提出教師在日常教學(xué)中組織學(xué)生開展數(shù)學(xué)建?；顒樱P(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力培養(yǎng)，并且在新高考中，也更加關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力考查，出現(xiàn)了很多開放性的問題，更強(qiáng)調(diào)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.因此為了滿足學(xué)生的綜合發(fā)展所需，教師在平常教學(xué)中就需要特別注重學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識培養(yǎng)，引領(lǐng)學(xué)生能靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)建模方法解決實際問題.

2.2 關(guān)注數(shù)學(xué)建模思維的滲透

在教學(xué)改革不斷深入的今天，教師在日常教學(xué)中必須轉(zhuǎn)變自身的教學(xué)思維觀念，要結(jié)合時代特征更新自身的教學(xué)理念，提升自身對數(shù)學(xué)建模思想的認(rèn)知，靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思維來引領(lǐng)學(xué)生處理問題.

同時，在平常教學(xué)中，教師需要在潛移默化中融入數(shù)學(xué)建模思想，關(guān)注學(xué)生的建模方法解題能力的培養(yǎng)，教師在課堂上需要轉(zhuǎn)變自身過去的以“教材為核心”觀點(diǎn)，靈活地引入生活化內(nèi)容，讓學(xué)生能通過建模思想來處理生活中的實際問題，并且要關(guān)注學(xué)生的獨(dú)立思考，讓學(xué)生能充分意識到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價值［5］.

此外，教師還可以專門組織學(xué)生開展數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練活動，讓學(xué)生在獨(dú)立思考、合作討論中充分掌握數(shù)學(xué)建模知識，熟悉數(shù)學(xué)建模方法的運(yùn)用，促進(jìn)學(xué)生綜合發(fā)展.

3 數(shù)學(xué)建模方法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

3.1 函數(shù)模型

函數(shù)模型簡單來說就是讓學(xué)生用自己學(xué)到的數(shù)學(xué)知識，對實際問題進(jìn)行歸納、分析，然后進(jìn)行加工，建立函數(shù)關(guān)系后，實現(xiàn)對問題的處理.在高中數(shù)學(xué)知識內(nèi)容中，函數(shù)屬于最重要的知識之一，而關(guān)于函數(shù)的問題類型十分豐富，背景知識也特別廣泛，解題技巧更是豐富多樣，一直是高考的重難點(diǎn).同時在學(xué)生的現(xiàn)實生活中，關(guān)于函數(shù)的知識也比較廣泛，如最低成本、最高利潤等，都是用到了函數(shù)求最值的思想方法，因此在實際教學(xué)中，教師可以結(jié)合學(xué)生的實際狀況，引領(lǐng)學(xué)生能靈活地運(yùn)用函數(shù)模型來解決實際問題.

例1 在十一黃金周前期，某海洋館決定將水池中的水全部放掉，清洗水池，在清洗完以后，重新注入干凈的水.現(xiàn)有一個長、寬、高分別是30m、25m、5m的水池，工作人員將注水時間與注水量變化記錄了下來，詳見下表1.

結(jié)合上表1思考，在該水池中注水100min時，水池中的水有多少？列出水池中注水量與時間的關(guān)系式，思考多長時間能將水池注滿？

結(jié)合題目的信息可以知道，本題與長方體的體積相關(guān)，結(jié)合表1可以得出在注水時，每隔10min水池中的水會增加250m3，時間間隔相同下，水池中注水量的增加是一樣的，并且這一變量處于連續(xù)狀態(tài)，具備構(gòu)建一次函數(shù)的特征.學(xué)生在解題時可以結(jié)合表1中的數(shù)據(jù)變化規(guī)律，開展圖像分析，得出更加直觀的結(jié)論，假設(shè)注水時間為x，水池中注水量為y，畫出相應(yīng)的圖像，可以看出y與x的變化滿足一次函數(shù)條件，因此學(xué)生在解題中就可以構(gòu)建一次函數(shù)模型y=ax+b，其中a、b都是常數(shù).

為了求出a、b的值，可以結(jié)合表1給出的數(shù)值，通過待定系數(shù)法，得到二元一次方程組，解方程得到a、b值.如10a+b=250，20a+b=500，得出a=25，b=0，得到一次函數(shù)模型y=25x，隨后將（30，750）、（40，1000）代入一次函數(shù)模型中，驗證模型的合理性，從而得出水池中注水量與時間的關(guān)系式.

接下來是解答實際問題，當(dāng)注水100min時，y=2500，也就是水池中的水量是2500m3；水池注滿水時，水池中的注水量達(dá)到最大，水池的體積是3750m3，即y=3750時，x所對應(yīng)的值是150.因此150分鐘后水池會注滿干凈水，從而停止注水.最后對一次函數(shù)模型進(jìn)行修正，y=25x（0＜x ≤150）.

3.2 三角模型

在處理一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時，教師可以指引學(xué)生嘗試將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)變成示意圖，如果示意圖可以與三角形產(chǎn)生關(guān)系，就可以構(gòu)建相應(yīng)的三角模型，通過三角模型來完成問題的處理.在高中數(shù)學(xué)教材中，三角模型屬于幾何模型中最重要的模型之一，學(xué)生在初中階段就學(xué)習(xí)過很多關(guān)于三角形的模型，而在高中階段，不僅涉及各種基本三角模型的應(yīng)用，還有更加復(fù)雜的三角模型，學(xué)生在求解三角模型時可以通過正余弦定理、勾股定理等知識完成.

從高中數(shù)學(xué)的整體情況看，三角模型在解題中的應(yīng)用是很廣泛的，其包含了距離、路程、高度等測量問題，學(xué)生在求解三角模型的相關(guān)問題時，往往會涉及一些專業(yè)的術(shù)語，如仰角、俯角等，下面結(jié)合具體例題分析三角模型解決數(shù)學(xué)問題的方法.

例2 A觀察哨在上午11點(diǎn)收到通知，正西方向突發(fā)風(fēng)暴，朝著正東方移動，預(yù)計在2小時來到觀察哨，并繼續(xù)向前移動.同時觀察哨發(fā)現(xiàn)有一艘輪船在A北偏西60°的B點(diǎn)，一段時間后輪船來到A觀察哨北偏東60°的C點(diǎn)，并且輪船保持93km/h的速度勻速前行，最后達(dá)到A觀察哨正東方5km的小島E點(diǎn).如果該輪船在BC段的時間是CE段的4倍，問輪船能否在風(fēng)暴達(dá)到A點(diǎn)前回到E？

在本題中，結(jié)合題目可以知道B、C、E三點(diǎn)共線，然后結(jié)合題目畫出示意圖，如下圖1所示，結(jié)合示意圖抽象出三角模型，然后計算出BE長度.

結(jié)合題目信息可以得出BC=4CE，設(shè)CE=x，

則BC=4x，BE=5x，

△ABE中，∠EAB=150°，

根據(jù)正弦定理得出sinBAE=sin∠EABBE，

sinB=12x.

在△ABC中，∠CAB=120°，

根據(jù)正弦定理得出sinBAC=sin∠CABBC，

AC=433.

在△ACE中，∠CAE=30°，AE=5，

AC=433，

依據(jù)余弦定理可以得出CE2=AE2+AC2－2AE·AC·cos∠30°，

因此得出CE=933，BE=5EC=5933，

得出航行時間t=53h，也就是輪船經(jīng)過53h后來到小島E點(diǎn)，由于53＜2，從而得出輪船在風(fēng)暴達(dá)到A點(diǎn)之前就可以回到E點(diǎn).

高中學(xué)生在利用三角模型處理相關(guān)數(shù)學(xué)問題時，需要不斷地用到正弦定理、余弦定理等知識點(diǎn)，所以學(xué)生自身必須對這些知識有深層次的認(rèn)知.

4 結(jié)語

總而言之，在高中數(shù)學(xué)解題中，通過數(shù)學(xué)建模方法的應(yīng)用，可以讓學(xué)生充分體會到數(shù)學(xué)知識在實踐生產(chǎn)生活中的運(yùn)用價值，更容易幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)理論知識，解決數(shù)學(xué)實際問題，對學(xué)生綜合發(fā)展尤為有利.在今后的高中數(shù)學(xué)解題中，教師要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識的培養(yǎng)，引領(lǐng)學(xué)生靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)建模方法來處理各項數(shù)學(xué)問題，推動學(xué)生的綜合成長.

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