黃錦芹
【摘 要】家庭作業(yè)不但可以起到及時鞏固課堂所學(xué)知識的作用,還是對知識的一種檢驗(yàn)和應(yīng)用,更是教師測評學(xué)生知識掌握水平的一種最直接的手段。但是,反觀教育現(xiàn)狀,數(shù)學(xué)家庭作業(yè)內(nèi)容過于陳舊單調(diào),淪為一種形式,學(xué)生只要做完且答案和標(biāo)準(zhǔn)答案一致,就算合格,字跡工整的還可以附贈一個“優(yōu)秀”,這樣的書面作業(yè)無法反饋學(xué)生的思維過程。
【關(guān)鍵詞】理解 概念 知識 應(yīng)用 推理 證明
探究性數(shù)學(xué)家庭作業(yè)需要學(xué)生高度的自覺性和獨(dú)立的思考性,旨在讓學(xué)生通過研究一個開放性問題,進(jìn)行自主探究和表達(dá),在作業(yè)過程中必須完成理解概念、建構(gòu)模型、方法創(chuàng)新等一整套流程。結(jié)合中高年級的知識特點(diǎn)和小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,可以將探究性作業(yè)分為概念鞏固作業(yè)、知識應(yīng)用作業(yè)、推理探索類作業(yè)三種類型。
一、概念理解類作業(yè)設(shè)計(jì)策略
數(shù)學(xué)概念是通過大量的對比歸納而形成的。借助符號化的表達(dá),可以把數(shù)學(xué)概念提煉為一串表達(dá)式,而對比辨析的過程就成了隱蔽的過程性思維。因此,建構(gòu)概念的方式不同,對概念的理解程度也就不同。
(一)“描寫式”作業(yè)的設(shè)計(jì)策略
“描寫式”的概念理解作業(yè),重在對概念的復(fù)述,要求學(xué)生敘述概念的定義,直接說出自己的直覺理解,然后通過舉例證明,最后讓學(xué)生對照概念內(nèi)涵自己設(shè)計(jì)題目,以此展示對概念的深刻領(lǐng)會。譬如“平均數(shù)”這一概念,在舊版教材中幾乎都是通過計(jì)算題直接計(jì)算平均數(shù),而新版教材則側(cè)重于理解。學(xué)完了平均數(shù),為了檢測學(xué)生理解到什么程度,筆者設(shè)計(jì)了“平均數(shù)講演”的“開放性作業(yè)”,學(xué)生可以通過任何方式為平均數(shù)正名。
有個學(xué)生寫道:我是“平均數(shù)”,和“÷”是近親。我平時深居簡出,我有兩種出場方式,一種是“移多補(bǔ)少”,一種是“總數(shù)÷份數(shù)”。我是最公正不阿的法官,代表平均分的結(jié)果,雨露均沾。如有12盒月餅,分給3位嘉賓,我會給每人分配4盒。三年級學(xué)生可以通過描述、舉例、出題等方式將平均數(shù)解釋清楚。描寫式作業(yè),不僅能鞏固概念,更是對概念的一次剖析。經(jīng)過一定時間的訓(xùn)練后,一旦遇到數(shù)學(xué)概念,學(xué)生就知道該通過什么途徑分析和理解概念。
(二)“判定式作業(yè)”的設(shè)計(jì)策略
概念判定式作業(yè),側(cè)重于對概念的是非判定。學(xué)生需要預(yù)先獨(dú)立判斷概念命題:“全對還是全錯?或者改變某一條件才正確?”——這是初步判斷。然后深入解剖,看是否可以通過增刪條件將命題訂正,這一步操作促進(jìn)對與概念相關(guān)聯(lián)的子概念和次生概念的理解,形成概念鏈條。最后舉出正確的示例,使得對概念的判斷呈現(xiàn)先“破”后“立”的思維狀態(tài),全面建立概念。
如學(xué)生在學(xué)習(xí)了“面積”概念后,經(jīng)常需要對“面積”和“周長”進(jìn)行分辨。有些判斷很粗略,是一些概括性的描述,如“如果一個圖形的周長越長,就說明它的面積越大”?!爸荛L”是舊知,如果非要在此基礎(chǔ)上類比構(gòu)建“面積”概念,就必須進(jìn)行辨析。但如果不分析原因,只記住結(jié)論,那么下次一遇到變式,學(xué)生就會束手無策。若將作業(yè)改變問法,設(shè)計(jì)成“一個圖形的周長越長就能說明它的面積也越大嗎?為什么?請?jiān)噲D將你的想法通過畫圖或者描述展示出來”,學(xué)生就會想方設(shè)法證明這個命題是個偽命題,得出“有很多有凹入部分的圖形,邊緣彎彎曲曲會很長,但是面積卻出奇的小”這樣的結(jié)論。
二、知識應(yīng)用類作業(yè)設(shè)計(jì)策略
知識應(yīng)用強(qiáng)調(diào)“四能”培養(yǎng),知識應(yīng)用的核心素養(yǎng)就是建模,需要通過各種不同類型的作業(yè)來完成知識體系的構(gòu)建。既然“問題”都是分類的,那么對同一題型的提煉,關(guān)注遞進(jìn)式的題組,就是這類作業(yè)的基本設(shè)計(jì)理念。
(一)“橫向同構(gòu)”問題作業(yè)的設(shè)計(jì)策略
“橫向同構(gòu)”問題,是指有著相同構(gòu)架的問題,例題要突出本質(zhì)特征,而非本質(zhì)因素則要千變?nèi)f化,從而訓(xùn)練學(xué)生透過題干的表面看到問題的結(jié)構(gòu)本質(zhì)。解兩題(數(shù)據(jù)、結(jié)構(gòu)均相同,只是背景內(nèi)容不同)歸納共同點(diǎn),用不同方式表示問題的結(jié)構(gòu)。做第二題時就會感覺到似曾相識,做第三題時就會恍然大悟。因此,教師可以在解答題目之后,讓學(xué)生說出它們到底哪里一樣,然后指導(dǎo)學(xué)生用專業(yè)的數(shù)學(xué)符號(線段圖、表格)等提煉出模型。
(二)“縱向同構(gòu)”問題作業(yè)的設(shè)計(jì)策略
“縱向同構(gòu)”問題,是指由同一個數(shù)學(xué)問題派生出許多變式,把一道有價值的題目通過改變其中的基本元素改編成多道相關(guān)題,逐步發(fā)散學(xué)生的思維,促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)這類問題的演變形態(tài),全面掌握相關(guān)知識。學(xué)生一旦具備這種能力,之后在遇到類似問題時,不管如何變形,都能迅速找到解決的方法。
將一道簡單題逐漸增設(shè)條件加大難度,或者將直接條件改為間接條件,可以讓學(xué)生明白這類問題是縱向延伸的,其基本結(jié)構(gòu)和主軸相同。學(xué)生仍需先獨(dú)立解答兩三題,這幾題情境相同,從而體會到,明明說的是一件事,但是又偏偏不盡相同,在解答后明確描述出不同之處,最好還能指出相同點(diǎn)和內(nèi)在關(guān)聯(lián)。
比如,在學(xué)習(xí)“分段計(jì)費(fèi)”后,筆者設(shè)計(jì)這樣的作業(yè):“李叔叔要寄個快遞,快遞收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為3千克以內(nèi)保底價6元,3千克至10千克每千克加收1.5元快遞費(fèi),10千克以上每千克加收1元的快遞費(fèi)。李叔叔如果要寄2千克的包裹,要支付多少快遞費(fèi)?5千克呢?20千克呢?請畫線段圖分析快遞費(fèi)收取方案?!睂W(xué)生接觸的都是“分兩段”的“水費(fèi)”“電費(fèi)”“電話費(fèi)”等問題,設(shè)計(jì)作業(yè)將題目縱向拉伸,不斷增加段數(shù),借助線段圖深刻揭示分段計(jì)費(fèi)問題的基本構(gòu)架。這類問題還能改造成開放題,通過刪減數(shù)據(jù)條件,讓學(xué)生自己賦值提問并解答,迫使學(xué)生自覺解剖問題結(jié)構(gòu),再來設(shè)計(jì)數(shù)據(jù),提高難度。
三、推理證明類作業(yè)設(shè)計(jì)策略
推理是一種基本的數(shù)學(xué)思維,教師應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。推理證明類作業(yè)在于通過推理方式建構(gòu)知識,讓學(xué)生逐漸掌握證明、分析、推理的一般程序。
(一)“證明推理式”探究性作業(yè)的設(shè)計(jì)策略
當(dāng)學(xué)生有能力證明一個命題的真?zhèn)螘r,他頭腦中就能勾勒出基本的邏輯線索。作業(yè)就是先要將原有的線索激活,為學(xué)生創(chuàng)設(shè)情境,從而將抽象的線索變?yōu)榫唧w的證據(jù)。
概念的“判斷分析”針對知識點(diǎn),而“證明推理”則針對偏題、難題。學(xué)生在證明自己的觀點(diǎn)前要亮明觀點(diǎn),然后設(shè)法“證明”,在證實(shí)自己的觀點(diǎn)后再重申觀點(diǎn)。
(二)“遷移推理式”探究性作業(yè)的設(shè)計(jì)策略
新知的構(gòu)建,有賴于從原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去接納和同化新的觀念形態(tài),將新舊知識融為一體,納入一個“版圖”中。學(xué)生必須自己經(jīng)歷完整的知識轉(zhuǎn)化過程。遇到難題時,不同層次的學(xué)生表現(xiàn)不同,有的攻克難關(guān),挑戰(zhàn)成功,無比喜悅;無法攻克難關(guān)的學(xué)生,教師可以引導(dǎo)他們先試做一些簡單題練練手。簡單題與難題的結(jié)構(gòu)模型完全一致,可以讓學(xué)生經(jīng)歷難度緩慢提升的適應(yīng)過程,從而學(xué)生就會自覺進(jìn)行類比,找到解題的方法。經(jīng)歷完成作業(yè)的整個過程,不僅能幫助學(xué)生化難為易,而且能幫助學(xué)生進(jìn)行遷移類比。
如“已知正方形面積為2平方厘米,求圓形面積”這道題(見下圖),學(xué)生感覺很難。
探究作業(yè)設(shè)計(jì):如果解題遇阻,可以繞道做另外兩題。
(1)已知一個長方形兩鄰邊長度和為4厘米,這個長方形的周長是多少厘米?
(2)已知梯形上底與下底的和是20厘米,高是10厘米,梯形的面積是多少平方厘米?
現(xiàn)在,經(jīng)過這兩題的歷練,你受到了什么啟發(fā)?后兩題意在讓學(xué)生打破思維定式,讓學(xué)生明白不一定非得知道具體的“長”和“寬”才能求周長,也不一定非得知道具體的“上底”和“下底”數(shù)值才能求面積,知道“長與寬的和”與“上底與下底的和”這樣的“半成品”條件也同樣可以求出面積。
借此鋪墊,學(xué)生就可遷移類推:即使不清楚正方形的邊長即圓的直徑,利用正方形的面積即圓半徑的平方,也能求出圓的面積。
“遷移推理式”探究性作業(yè),注重個體差異,讓學(xué)優(yōu)生發(fā)現(xiàn)聯(lián)系,捕捉“遷移點(diǎn)”,學(xué)困生對“遷移”線索有更加清晰的勾畫。當(dāng)然,除了上述三種探究性作業(yè)類型外,日常家庭作業(yè)多是綜合運(yùn)用類的作業(yè),對描述、判斷、推理、遷移的綜合運(yùn)用,不僅能讓學(xué)生掌握靈活解題的方法,更能發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力。