關(guān)于“醫(yī)用高等數(shù)學(xué)”課中一例不定積分的教學(xué)思考

摘?要：“醫(yī)用高等數(shù)學(xué)”是一門(mén)低學(xué)時(shí)的高等數(shù)學(xué)課程，該課程的習(xí)題應(yīng)當(dāng)認(rèn)真遴選。文章針對(duì)一道不定積分習(xí)題的教學(xué)展開(kāi)了研究，記述了作者關(guān)于該題的有關(guān)教學(xué)思考。文章首先通過(guò)綜合應(yīng)用根式換元積分、湊微分、一階微分形式不變性、分部積分和三角換元積分等方法，給出了此題的五種解法。然后對(duì)于所獲得的兩個(gè)在形式上不盡相同的計(jì)算結(jié)果，指出其為原函數(shù)的不唯一性的體現(xiàn)，并進(jìn)行了具體的驗(yàn)證。在驗(yàn)證過(guò)程中，還通過(guò)構(gòu)造輔助三角形的方式，揭示了上述兩個(gè)計(jì)算結(jié)果內(nèi)在的關(guān)系。

關(guān)鍵詞：醫(yī)用高等數(shù)學(xué)；不定積分；教學(xué)思考；原函數(shù)；輔助三角形

中圖分類(lèi)號(hào)：G642.0??文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

1?概述

在醫(yī)科類(lèi)高等院校的課程設(shè)置中，“醫(yī)用高等數(shù)學(xué)”通常是基礎(chǔ)醫(yī)學(xué)、臨床醫(yī)學(xué)、預(yù)防醫(yī)學(xué)、口腔醫(yī)學(xué)、麻醉學(xué)、醫(yī)學(xué)檢驗(yàn)技術(shù)、醫(yī)學(xué)影像技術(shù)、藥學(xué)和中藥學(xué)等醫(yī)藥類(lèi)相關(guān)專(zhuān)業(yè)必修的一門(mén)自然科學(xué)類(lèi)基礎(chǔ)課。上述專(zhuān)業(yè)的培養(yǎng)計(jì)劃對(duì)于這門(mén)課程教學(xué)時(shí)數(shù)的配置一般都相對(duì)較少，任課教師需要在并不十分寬裕的學(xué)時(shí)內(nèi)完成規(guī)定的教學(xué)內(nèi)容，并且還要達(dá)到預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)。這就要求教師在授課之前應(yīng)當(dāng)對(duì)教學(xué)過(guò)程做出較為精準(zhǔn)的規(guī)劃，而本課程的習(xí)題（包括課堂練習(xí)題和課后作業(yè)題）的安排就是其中一個(gè)需要精心考慮的重要環(huán)節(jié)。

一方面，為了使醫(yī)藥類(lèi)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生能夠理解并掌握“醫(yī)用高等數(shù)學(xué)”這門(mén)課程的基本思想、基本結(jié)論和基本方法，同時(shí)也為了使這些非理工類(lèi)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生能夠順利通過(guò)本課程的考核，對(duì)其進(jìn)行一定量的習(xí)題訓(xùn)練顯然是不可或缺的；但另一方面，醫(yī)藥類(lèi)專(zhuān)業(yè)學(xué)生每學(xué)期需要完成的課業(yè)量普遍較大，為了不對(duì)他們學(xué)習(xí)醫(yī)學(xué)藥學(xué)專(zhuān)業(yè)課程的時(shí)間造成擠兌，本課程又不宜布置過(guò)多的習(xí)題，題海戰(zhàn)術(shù)更不可取，并且受培養(yǎng)計(jì)劃對(duì)本課程規(guī)定教學(xué)時(shí)數(shù)的限制，教師在課堂上也不太可能用過(guò)多的時(shí)間進(jìn)行習(xí)題講評(píng)。因此，對(duì)于“醫(yī)用高等數(shù)學(xué)”這門(mén)低學(xué)時(shí)的高等數(shù)學(xué)課程，教師在安排習(xí)題的過(guò)程中更是應(yīng)當(dāng)做到精挑細(xì)選。

筆者在“醫(yī)用高等數(shù)學(xué)”這門(mén)課程的教學(xué)實(shí)踐中，常會(huì)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容對(duì)教材里的有關(guān)習(xí)題進(jìn)行鉆研，然后從中遴選出部分題目作為課堂練習(xí)或課后作業(yè)并進(jìn)行精心講解。本文所要介紹的不定積分問(wèn)題，便是一道從筆者授課所使用的教材［1］第3章中挑選出的習(xí)題。這道習(xí)題，不僅能使用多種方法求解，而且教師在講解此題的過(guò)程中還可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)之前已經(jīng)學(xué)過(guò)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行關(guān)聯(lián)和復(fù)習(xí)，尤其是對(duì)原函數(shù)不唯一這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的鞏固頗有裨益。

2?問(wèn)題及其解法

問(wèn)題?求不定積分∫1-2x1+2xdx

解法1?先進(jìn)行根式換元t=1-2x1+2x，則t2=1-2x1+2x，據(jù)此可得x=1-t22（1+t2），進(jìn)一步在該式等號(hào)兩端同時(shí)求微分，得到dx=-2t（1+t2）2dt，然后進(jìn)行湊微分，即有

∫1-2x1+2xdx=∫t-2t（1+t2）2dt=-∫td（1+t2）（1+t2）2（1）

對(duì)于（1）式最右端不定積分中的被積表達(dá)式，根據(jù)一階微分形式不變性應(yīng)成立d11+t2=-d（1+t2）（1+t2）2，從而有

∫1-2x1+2xdx=-∫td（1+t2）（1+t2）2=∫td11+t2

=t1+t2-∫11+t2dt?（此步應(yīng)用了分部積分法）

=t1+t2-arctant+C，

最后將t=1-2x1+2x回代入上式，經(jīng)整理便可得到

∫1-2x1+2xdx=1-4x22-arctan1-2x1+2x+C。

解法2?仍作換元t=1-2x1+2x，之后另行如下推導(dǎo)，

∫1-2x1+2xdx=∫-2t2（1+t2）2dt=-2∫1+t2-1（1+t2）2dt

=-2∫11+t2dt-∫1（1+t2）2dt

=-2arctant+2∫1（1+t2）2dt（2）

為求解（2）式中的不定積分∫1（1+t2）2dt，再次進(jìn)行換元，設(shè)t=tanθ，于是dt=sec2θdθ，1+t2=sec2θ，故

∫1（1+t2）2dt=∫sec2θsec4θdθ=∫1sec2θdθ

=∫cos2θdθ=∫1+cos2θ2dθ

=12θ+14sin2θ+C0（3）

由三角恒等式可知成立sin2θ=2tanθ1+tan2θ=2t1+t2，于是從（3）式可以進(jìn)一步得到

∫1（1+t2）2dt=12arctant+t2（1+t2）+C0（4）

再將（4）式代入（2）式，經(jīng)整理后可以得到

∫1-2x1+2xdx=-arctant+t1+t2+C（5）

其中C=2C0。最后將t=1-2x1+2x代回（5）式便有

∫1-2x1+2xdx=1-4x22-arctan1-2x1+2x+C。

解法3?先將被積函數(shù)的分母進(jìn)行根式有理化，得到

∫1-2x1+2xdx=∫1-4x21+2xdx（6）

注意到（6）式右端不定積分中被積函數(shù)的分子1-4x2，是一個(gè)關(guān)于x的平方差函數(shù)的平方根，故可作三角換元。

設(shè)x=12sinu，從而dx=12cosudu，然后結(jié)合（6）式有

∫1-2x1+2xdx=∫1-4x21+2xdx=12∫1-sin2u1+sinucosudu

=12∫cos2u1+sinudu=12∫1-sin2u1+sinudu

=12∫（1-sinu）du=12u+12cosu+C

=12arcsin（2x）+1-4x22+C。

解法4?采用類(lèi)似于解法3的思路，只不過(guò)這里先將被積函數(shù)的分子進(jìn)行根式有理化，然后進(jìn)行三角換元，于是

∫1-2x1+2xdx=∫1-2x1-4x2dx

=12∫1-sinu1-sin2ucosudu?三角換元x=12sinu

=12∫（1-sinu）du=12u+12cosu+C

=12arcsin（2x）+1-4x22+C。

解法5?先將被積函數(shù)的分子進(jìn)行根式有理化，之后通過(guò)湊微分，并應(yīng)用一階微分形式不變性亦可計(jì)算出結(jié)果，具體推導(dǎo)過(guò)程如下。

∫1-2x1+2xdx=∫1-2x1-4x2dx

=∫11-4x2dx-∫2x1-4x2dx

=12∫d（2x）1-（2x）2+12∫d（1-4x2）21-4x2

=12∫d［arcsin（2x）］+12∫d（1-4x2）

=12arcsin（2x）+1-4x22+C。

3?教學(xué)注記

在這道不定積分習(xí)題的教學(xué)中，教師可以啟發(fā)或是引導(dǎo)學(xué)生采用上述各種方法進(jìn)行求解，然而學(xué)生很快會(huì)發(fā)現(xiàn)，使用不同的解法居然會(huì)得到在形式上不盡相同的計(jì)算結(jié)果。使用解法1和解法2得到的是一個(gè)結(jié)果，但若使用解法3～解法5的方法卻會(huì)得出另一個(gè)結(jié)果。對(duì)于這個(gè)情況，學(xué)生普遍會(huì)感到十分困惑。此時(shí)，就需要教師向其釋疑解惑了，教師應(yīng)當(dāng)告訴學(xué)生，這個(gè)情況的發(fā)生并不是因?yàn)樵谕茖?dǎo)過(guò)程中出現(xiàn)了計(jì)算錯(cuò)誤，而是因?yàn)槿绻粋€(gè)函數(shù)存在原函數(shù)，那么它的原函數(shù)是不唯一的。事實(shí)上，按照本課程以及教材對(duì)不定積分這一章知識(shí)點(diǎn)的編排次序，原函數(shù)不唯一這個(gè)結(jié)論在此之前的教學(xué)內(nèi)容中就已經(jīng)向?qū)W生進(jìn)行了介紹，但學(xué)生往往會(huì)忽視或是淡忘這個(gè)結(jié)論，而現(xiàn)在借助于這道不定積分習(xí)題，教師正好獲得了一個(gè)幫助學(xué)生強(qiáng)化對(duì)該結(jié)論認(rèn)識(shí)的好機(jī)會(huì)。

教師應(yīng)當(dāng)向?qū)W生指出，使用上文中的不同方法求解這道不定積分所獲得的兩個(gè)在形式上不同的計(jì)算結(jié)果，說(shuō)明

F（x）=1-4x22-arctan1-2x1+2x，

G（x）=12arcsin（2x）+1-4x22

這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)應(yīng)是相同的。據(jù)此又可以進(jìn)一步地推知f（x）=-arctan1-2x1+2x與g（x）=12arcsin（2x）這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也應(yīng)相同。教師授課時(shí)可要求學(xué)生具體計(jì)算一下f（x）與g（x）的導(dǎo)數(shù)，以驗(yàn)證上述論斷的正確性。

事實(shí)上，函數(shù)f（x）可視為是由函數(shù)y=-arctanu，u=v，與v=1-2x1+2x復(fù)合而成的，于是根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t，應(yīng)有

f′（x）=dydu·dudv·dvdx=-11+u2·12v·-4（1+2x）2=11-4x2。

另一方面，同樣由鏈?zhǔn)椒▌t，可求得函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=12·21-（2x）2=11-4x2。由此可見(jiàn)，f（x）與g（x）這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)確實(shí)是相同的，進(jìn)而可知使用前述不同方法求解這道不定積分所獲得的兩個(gè)計(jì)算結(jié)果，它們雖在形式上不盡相同，但都是正確的。

完成上述求導(dǎo)驗(yàn)證的環(huán)節(jié)之后，教師在教學(xué)中還可再進(jìn)行一點(diǎn)延伸：既然f（x）與g（x）的導(dǎo)數(shù)相同，那么根據(jù)一元函數(shù)微分學(xué)里的拉格朗日中值定理，f（x）與g（x）之間應(yīng)當(dāng)只相差一個(gè)常數(shù)，也即應(yīng)當(dāng)存在常數(shù)K，使得12arcsin（2x）=-arctan1-2x1+2x+K，以特殊值x=0代入該式，可求得常數(shù)K等于π4。從而

12arcsin（2x）=-arctan1-2x1+2x+π4（7）

如此一來(lái)，教師在講解這道不定積分的同時(shí)，還能引導(dǎo)學(xué)生對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t，以及拉格朗日中值定理等已經(jīng)講授過(guò)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行關(guān)聯(lián)和復(fù)習(xí)，可謂一舉多得。

值得一提的是，筆者在課堂教學(xué)中注意到，有部分學(xué)生會(huì)對(duì)（7）式心存疑慮，他們認(rèn)為該式盡管可以從數(shù)學(xué)理論上推導(dǎo)得出，但是其所呈現(xiàn)的角度關(guān)系從直觀上來(lái)看卻并不那么顯然，因而對(duì)其仍然會(huì)感到有些半信半疑。為幫助學(xué)生打消這個(gè)疑慮，筆者數(shù)形結(jié)合，想出了如下方法。

易見(jiàn)，欲說(shuō)明（7）式所給的角度關(guān)系是成立的，等價(jià)地只需說(shuō)明成立

arcsin（2x）=π2-2arctan1-2x1+2x（8）

為此，首先構(gòu)造輔助三角形ABC（事實(shí)上，構(gòu)造輔助三角形，是在涉及三角換元的不定積分問(wèn)題的求解中經(jīng)常采用的一種方法），其中∠ACB=π2，AB=1，CB=2x。然后延長(zhǎng)CB于D，使得BD=AB=1。最后連接AD。

由上述作法可知，△ABC和△ADC都是直角三角形，△BAD是一個(gè)等腰三角形，故可設(shè)α=∠BAD=∠BDA。另設(shè)β=∠BAC，φ=∠ABC。在Rt△ADC中，注意到

tanα=ACCD=ACCB+BD=1-4x21+2x=1-2x1+2x，故α=arctan1-2x1+2x。而在Rt△ABC中，又顯然成立β=arcsin（2x）。另由平面幾何知識(shí)可知φ=2α，故從Rt△ABC中可得β=π2-φ=π2-2α，也即確有arcsin（2x）=π2-2arctan1-2x1+2x。

這樣，教師就可為（7）式給出一個(gè)直觀的幾何解釋?zhuān)瑢W(xué)生也因此而能心悅誠(chéng)服地接受這個(gè)角度關(guān)系了。筆者發(fā)現(xiàn)，通過(guò)教師對(duì)此道習(xí)題多方位的講解，尤其是在有了上述構(gòu)造輔助三角形的經(jīng)歷之后，學(xué)生對(duì)拉格朗日中值定理以及原函數(shù)不唯一這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)都普遍加深了。

結(jié)語(yǔ)

這道不定積分習(xí)題的五種解法，涉及了根式換元積分、湊微分、一階微分形式不變性、分部積分和三角換元積分等知識(shí)點(diǎn)，幾乎涵蓋了不定積分問(wèn)題常用的各種解題技巧，通過(guò)這一道題，就能夠?qū)W(xué)生進(jìn)行較為全面的訓(xùn)練。不僅如此，教師在講解此題的過(guò)程中，還可通過(guò)教學(xué)內(nèi)容的延伸，引導(dǎo)學(xué)生加深對(duì)與之相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)的理解和認(rèn)識(shí)，從而在一定程度上就能達(dá)到事半功倍的效果。

這種教學(xué)方式，對(duì)于任課教師在培養(yǎng)計(jì)劃規(guī)定的學(xué)時(shí)內(nèi)高質(zhì)量完成本課程的既定教學(xué)內(nèi)容，對(duì)于醫(yī)藥類(lèi)專(zhuān)業(yè)學(xué)生在相對(duì)較少的學(xué)時(shí)內(nèi)掌握本課程的基本結(jié)論和方法，同時(shí)也對(duì)于避免學(xué)生機(jī)械性地刷題和重復(fù)性地練習(xí)，具有十分積極的意義。因此，教師對(duì)于“醫(yī)用高等數(shù)學(xué)”這門(mén)課程的習(xí)題安排，必須要給予足夠的重視，在教學(xué)準(zhǔn)備中，應(yīng)當(dāng)對(duì)教材里的習(xí)題認(rèn)真進(jìn)行鉆研，嘗試多角度發(fā)掘習(xí)題的教法，并精心設(shè)計(jì)習(xí)題的講解過(guò)程，這樣才能有助于自身在這門(mén)低學(xué)時(shí)高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)中達(dá)到較好的教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)：

［1］李霞，彭繼世.醫(yī)用高等數(shù)學(xué)［M］.第2版.北京：北京大學(xué)醫(yī)學(xué)出版社，2018.

［2］秦俠，呂丹.醫(yī)用高等數(shù)學(xué)［M］.第7版.北京：人民衛(wèi)生出版社，2018.

［3］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院.數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）［M］.第五版.北京：高等教育出版社，2019.

［4］陳紀(jì)修，於崇華，金路.數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）［M］.第二版.北京：高等教育出版社，2004.

［5］熱木孜亞·熱布哈提.醫(yī)用高等數(shù)學(xué)對(duì)醫(yī)學(xué)院校的重要性［J］.科技視界，2019（16）：238239，196.

［6］王中亮.《醫(yī)用高等數(shù)學(xué)》課程評(píng)價(jià)方式改進(jìn)和相關(guān)問(wèn)題研究［J］.繼續(xù)醫(yī)學(xué)教育，2019，33（9）：5658.

［7］趙文媛，呂俊杰，何月涵，等.基于目標(biāo)導(dǎo)向、問(wèn)題導(dǎo)向及結(jié)果導(dǎo)向的教學(xué)改革探索——以醫(yī)用高等數(shù)學(xué)為例［J］.黑龍江科學(xué)，2022，13（11）：156158.

作者簡(jiǎn)介：吳海（1986—?），男，漢族，碩士，助教，研究方向：醫(yī)用高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)與研究。