“直線與橢圓的位置關(guān)系”教學(xué)實(shí)踐與反思

孔志文 李柏青 王秀彩

摘? 要：解析幾何是培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體，在課堂教學(xué)中要充分挖掘其教育價(jià)值. 在“直線與橢圓的位置關(guān)系”一課的教學(xué)中進(jìn)行嘗試，借助GeoGebra軟件作出圖形，根據(jù)幾何直觀提出研究問題，通過代數(shù)運(yùn)算解決提出的有關(guān)問題，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的直觀想象、代數(shù)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：幾何直觀；代數(shù)運(yùn)算；解析幾何

一、教學(xué)背景

“直線與橢圓的位置關(guān)系”是人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊“3.1.2 橢圓的簡單幾何性質(zhì)”第2課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容. 從代數(shù)與幾何的發(fā)展來看，高等代數(shù)與解析幾何本就是相互聯(lián)系、相互促進(jìn)的，可以說解析幾何是高等代數(shù)發(fā)展的基石. 代數(shù)為幾何提供研究方法，幾何為代數(shù)提供直觀背景. 正如我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生所說：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微. 這反映出解析幾何教學(xué)的重要思路是利用圖形建立直觀，通過代數(shù)運(yùn)算刻畫規(guī)律.

從“圓錐曲線的方程”這一章知識的內(nèi)部結(jié)構(gòu)來看，橢圓、雙曲線、拋物線的研究背景、研究問題和研究方法具有高度的相似性，因而“橢圓”相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)在全章的學(xué)習(xí)中具有基礎(chǔ)地位. 對于橢圓概念的教學(xué)，學(xué)生先在問題“橢圓具有怎樣的幾何特性？”的引領(lǐng)下進(jìn)行畫圖操作，從中發(fā)現(xiàn)橢圓的幾何特征，進(jìn)而獲得橢圓的概念，明晰研究的基礎(chǔ)與出發(fā)點(diǎn). 對于橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的教學(xué)，先根據(jù)橢圓的幾何特征建立平面直角坐標(biāo)系，然后通過代數(shù)運(yùn)算得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；對于橢圓的簡單幾何性質(zhì)的教學(xué)，在明確要研究的性質(zhì)的基礎(chǔ)上，通過橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究橢圓的范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率等. 上述過程體現(xiàn)了研究圓錐曲線的一般思路和方法，包括如何發(fā)現(xiàn)曲線的幾何特征、如何建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系、如何簡化與優(yōu)化方程、研究曲線的哪些性質(zhì)、如何運(yùn)用方程進(jìn)行研究等.

“直線與橢圓的位置關(guān)系”是在學(xué)生學(xué)習(xí)了直線與圓的位置關(guān)系之后，對于直線和二次曲線可以研究的問題有了一定的認(rèn)識的基礎(chǔ)上進(jìn)行的. 一方面，可以研究公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；另一方面，可以研究直線與二次曲線相交時(shí)產(chǎn)生的弦長、面積、角度等幾何量的性質(zhì). 有利于在問題解決中發(fā)展學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng). 從知識的前后聯(lián)系來看，在將幾何問題代數(shù)化的過程中，往往需要結(jié)合圖形來考慮，突出對坐標(biāo)法的進(jìn)一步運(yùn)用.

二、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)1：誘思.

課題引入：觀察圖1，類比圓的研究思路，思考對于橢圓接下來我們可以研究什么內(nèi)容.

【設(shè)計(jì)意圖】通過類比圓的學(xué)習(xí)過程，不僅有利于啟發(fā)學(xué)生通過思考確定橢圓的研究內(nèi)容，還可以幫助學(xué)生建立橢圓的研究結(jié)構(gòu)，再次明確一類幾何對象的研究思路和研究方法.

環(huán)節(jié)2：導(dǎo)學(xué).

問題1：你能對直線與橢圓的位置關(guān)系進(jìn)行分類嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生思考，教師借助GeoGebra軟件適時(shí)展示直線與橢圓的三種位置關(guān)系供學(xué)生觀察，如圖2所示.

追問：如何判斷直線與橢圓的位置關(guān)系？

師生活動(dòng)：教師借助GeoGebra軟件展示直線[y=][x+0.9987]與橢圓[x24+y23=1]相交的實(shí)例（此圖很容易看成是直線與橢圓相切），在學(xué)生判斷直線與橢圓有1個(gè)公共點(diǎn)后，教師并不給出結(jié)論，而是留下懸念，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究的欲望.

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生可以依據(jù)直線與橢圓公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)對直線與橢圓的位置關(guān)系進(jìn)行分類，也可以類比直線與圓的位置關(guān)系將直線與橢圓的位置關(guān)系分類為相交、相切、相離三類，最終可以通過圖形將這兩種分類統(tǒng)一起來. 觀察圖形，學(xué)生很容易初步判斷直線與橢圓之間的三種位置關(guān)系，但要想精準(zhǔn)表達(dá)這三種位置關(guān)系，就需要借助直線與橢圓的方程，通過代數(shù)運(yùn)算進(jìn)行刻畫.

環(huán)節(jié)3：示范.

【設(shè)計(jì)意圖】針對學(xué)生出現(xiàn)的問題，給出“判斷直線與橢圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)”問題的規(guī)范處理方法，促使學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)表達(dá)習(xí)慣，減少運(yùn)算錯(cuò)誤，樹立數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心. 同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生將判斷的方法用來解決之前未解決的問題，通過反思，意識到雖然直觀想象很重要，但是用代數(shù)運(yùn)算刻畫規(guī)律也必不可少.

問題3：在平面直角坐標(biāo)系中，判斷直線與橢圓的位置關(guān)系的程序是什么？

師生活動(dòng)：教師組織學(xué)生對學(xué)習(xí)成果進(jìn)行討論、補(bǔ)充、完善，最后展示流程圖，如圖4所示.

【設(shè)計(jì)意圖】通過流程圖，梳理判斷直線與橢圓位置關(guān)系的程序.

環(huán)節(jié)4：探索.

問題4：基于例1的題設(shè)，當(dāng)[m∈-7， 7]時(shí)，我們可以研究哪些問題？

師生活動(dòng)：在學(xué)生經(jīng)過小組討論后，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖中的相關(guān)幾何要素，如點(diǎn)、線段、角度、三角形等，為問題的提出作準(zhǔn)備. 在學(xué)生遇到困難時(shí)，教師適時(shí)通過GeoGebra軟件作動(dòng)態(tài)圖，并引導(dǎo)學(xué)生看圖、分析、觀察相關(guān)的幾何要素（如弦長、面積、角度等）的變化情況. 各小組同步討論，并將本小組提出的問題整理到電子白板上，準(zhǔn)備交流. 教師組織學(xué)生整理問題并完善. 教師預(yù)設(shè)以下3個(gè)問題.

【設(shè)計(jì)意圖】解析幾何是培養(yǎng)學(xué)生提出問題能力的重要載體. 引導(dǎo)學(xué)生通過小組內(nèi)的頭腦風(fēng)暴，利用幾何直觀，依托GeoGebra軟件，分析直線與橢圓相交圖中的幾何要素的變化情況，將觀察到的數(shù)學(xué)現(xiàn)象凝練成數(shù)學(xué)問題，提高數(shù)學(xué)表達(dá)能力，為接下來的學(xué)習(xí)提供研究素材.

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷用坐標(biāo)法求解有關(guān)弦長、面積、角度的問題，感悟坐標(biāo)法的普適性. 同時(shí)，感悟解析幾何問題解決的關(guān)鍵在于如何將幾何問題合理地代數(shù)化.

問題5：基于上述研究，你能總結(jié)出求直線被橢圓截得的弦長的計(jì)算程序，以及橢圓中有關(guān)角度和三角形面積問題的基本處理方法嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷用坐標(biāo)表示弦長、面積、角度等幾何量的過程，體會(huì)解析幾何的學(xué)科特點(diǎn)——幾何問題代數(shù)化.

環(huán)節(jié)5：小結(jié).

（1）本節(jié)課我們研究了直線與橢圓位置關(guān)系中的哪些內(nèi)容？

（2）我們是如何提出這些研究問題的？

（3）你能談?wù)勓芯窟@些問題的思路和方法嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過反思、交流，感悟幾何直觀在提出問題中的作用，同時(shí)感悟坐標(biāo)法在求解有關(guān)弦長、面積、角度問題中的普適性，發(fā)展理性思維，積累探究活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

三、教學(xué)過程反思

本節(jié)課中，教師通過類比圓的研究過程，引導(dǎo)學(xué)生自然而然地確定研究課題. 借助幾何直觀，以及生生之間的互相啟發(fā)和教師的引導(dǎo)，各小組通過合作大膽提出研究問題. 教師引導(dǎo)學(xué)生聚焦弦長、面積、角度等常見幾何研究對象，經(jīng)歷問題解決的過程，掌握坐標(biāo)法的應(yīng)用，突破“如何將幾何問題代數(shù)化”這一教學(xué)難點(diǎn). 本節(jié)課還有如下特點(diǎn).

1. 基于單元視角進(jìn)行設(shè)計(jì)，整體把握教學(xué)內(nèi)容

在單元整體聯(lián)系的基礎(chǔ)上，教師分別給出圓和橢圓的研究路線流程圖，學(xué)生通過類比圓的研究思路自然而然地提出本節(jié)課的研究課題. 這樣的整體設(shè)計(jì)有利于幫助學(xué)生建立知識間的聯(lián)系，不僅突出了數(shù)學(xué)知識的整體性，強(qiáng)化了學(xué)生對圓與橢圓的類比，而且為本節(jié)課研究橢圓相關(guān)問題提供了重要思路. 例如，在提問環(huán)節(jié)，很多學(xué)生提出在直線與圓的位置關(guān)系的學(xué)習(xí)中學(xué)習(xí)了弦長的求法、圓心和弦中點(diǎn)的連線與弦所在直線垂直，并基于此提出了“在直線與橢圓的位置關(guān)系中該如何求弦長？”“橢圓的中心和弦中點(diǎn)的連線與弦所在直線有什么關(guān)系？”等非常具有研究價(jià)值的問題. 同時(shí)，本節(jié)課的學(xué)習(xí)經(jīng)歷也為學(xué)生在日后進(jìn)行雙曲線和拋物線的學(xué)習(xí)積累了重要的探究活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而有利于幫助學(xué)生建立對圓錐曲線的統(tǒng)一認(rèn)知.

2. 借助信息技術(shù)，激發(fā)學(xué)生的探究欲望

直線與橢圓的位置關(guān)系明明可以通過畫圖觀察交點(diǎn)個(gè)數(shù)來判斷，為什么還要通過求解方程組確定呢？在教學(xué)過程中，筆者借助GeoGebra軟件的放大功能，分別畫出直線[y=x+0.9987]與橢圓[x24+y23=1]的圖象，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)直線與橢圓看似只有一個(gè)公共點(diǎn)，實(shí)則有兩個(gè)公共點(diǎn). 在無疑處生疑，制造“認(rèn)知沖突”. 在GeoGebra軟件的輔助下，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究的欲望.

3. 借助幾何直觀，培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力

解析幾何的研究對象是幾何對象（圖形），這是學(xué)生發(fā)展直觀想象素養(yǎng)的良好素材. 為了充分利用直線與橢圓的位置關(guān)系這一素材，筆者通過連環(huán)設(shè)問和追問，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形中的基本要素可以形成什么圖形，并思考這些圖形的性質(zhì). 對此，學(xué)生通過小組合作提出了很多有價(jià)值的問題，如弦長的最大值、三角形面積的最大值、[∠MON]是否為直角、橢圓的中心和弦中點(diǎn)連線的斜率和弦所在直線的斜率的關(guān)系、四邊形[MF1NF2]面積的最值等. 考慮到課堂教學(xué)時(shí)間有限，教師引導(dǎo)學(xué)生聚焦弦長最大值、三角形面積最大值、[∠MON]是否為直角三個(gè)問題展開探究，使得學(xué)生提出問題的能力得到培養(yǎng).

4. 在解決問題的過程中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

提出問題很重要，解決問題同樣重要. 學(xué)生在判斷直線[y=x+0.9987]和橢圓[x24+y23=1]位置關(guān)系的過程中，深切感受到了圖形直觀有可能帶來的問題，從而明確有必要尋求代數(shù)運(yùn)算的方法研究問題，進(jìn)而深刻感受到了代數(shù)運(yùn)算所具有的確定無疑的內(nèi)在力量. 在用代數(shù)運(yùn)算刻畫公共點(diǎn)的過程中，坐標(biāo)法的應(yīng)用自然而然地深入學(xué)生內(nèi)心. 對于學(xué)生自己提出的問題，教師在引導(dǎo)其認(rèn)真觀察圖形的同時(shí)帶領(lǐng)其通過精確計(jì)算判斷公共點(diǎn)個(gè)數(shù)或者計(jì)算弦長、面積等問題. 學(xué)生經(jīng)歷了相關(guān)問題的解決后，感悟到了坐標(biāo)法在解析幾何求解過程中的普適性，發(fā)展了直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等素養(yǎng).

為了更好地挖掘解析幾何課的教育價(jià)值，我們要?jiǎng)?chuàng)造有利于學(xué)生獨(dú)立思考、合作學(xué)習(xí)、主動(dòng)探究、勇于提問、敢于創(chuàng)新的教學(xué)方式，促進(jìn)“四基”“四能”在課堂教學(xué)中的落實(shí)，有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史寧中，王尚志.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》解讀［M］. 北京：高等教育出版社，2020.