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      “函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)”教學(xué)設(shè)計(jì)

      2023-07-06 21:04:37魏靜韓永強(qiáng)
      關(guān)鍵詞:概念教學(xué)極值函數(shù)

      魏靜 韓永強(qiáng)

      摘? 要:采用問題探究式教學(xué)法,圍繞“極值是什么、怎么求極值、為什么借助導(dǎo)數(shù)求極值”構(gòu)建本節(jié)概念教學(xué)課.

      關(guān)鍵詞:概念教學(xué);函數(shù);極值;導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

      一、教學(xué)內(nèi)容解析

      本節(jié)課選自人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)(選修2—2)》(以下統(tǒng)稱“教材”)第一章“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”第三節(jié)“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用”第二小節(jié),主要內(nèi)容包括極值的概念和借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,是繼函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之后,再次應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù). 同時(shí),為利用導(dǎo)數(shù)研究可導(dǎo)函數(shù)的最值作好鋪墊. 綜觀本單元的教學(xué)內(nèi)容,研究路徑可以歸結(jié)為:導(dǎo)數(shù)的正負(fù)—函數(shù)的單調(diào)性—函數(shù)的極值—函數(shù)的最大(?。┲怠瘮?shù)的綜合問題.

      函數(shù)的極值的內(nèi)涵是局部范圍內(nèi)的最大(小)值,中學(xué)階段對應(yīng)單調(diào)性的轉(zhuǎn)折. 對于連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)而言,導(dǎo)數(shù)能定量地刻畫函數(shù)的局部變化規(guī)律,是研究函數(shù)的基本工具. 有了導(dǎo)數(shù)以后,可以將函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性問題,將判斷函數(shù)的極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為判斷導(dǎo)數(shù)的變號零點(diǎn). 其思維模式如圖1所示.

      基于以上分析,確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn):函數(shù)極值的概念,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值.

      二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

      本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)置如下.

      (1)從實(shí)際情境中抽象出具有升降的函數(shù)圖象,通過觀察函數(shù)圖象的升降及其“分界點(diǎn)”的特征,歸納和抽象出函數(shù)極大(?。┲蹈拍?,體會數(shù)形結(jié)合思想、歸納和類比思想,發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和直觀想象素養(yǎng).

      (2)通過具體可導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)及其兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號的變化,發(fā)現(xiàn)并證明用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的基本原理,并通過實(shí)例明確基本原理中的條件是函數(shù)存在極值的充分條件,體會數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想,發(fā)展直觀想象素養(yǎng).

      (3)通過用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的基本原理求具體函數(shù)的極值,歸納、整理求極值的步驟,體會算法思想,感悟數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理之間的關(guān)系,發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

      三、學(xué)生學(xué)情分析

      1. 已經(jīng)具備的認(rèn)知基礎(chǔ)

      本節(jié)課的授課對象為高二學(xué)生,已經(jīng)學(xué)習(xí)過導(dǎo)數(shù)的概念與基本運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,初步具備運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的基本思想分析和解決函數(shù)問題的意識. 這為本節(jié)課利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值奠定了基礎(chǔ),也為學(xué)生在活動中自主探究并抽象出極值的概念、發(fā)現(xiàn)極值和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系并得出取得極值的條件提供了可能.

      2. 可能出現(xiàn)的障礙

      學(xué)生對極限和導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)有限,函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性、“鄰域”等高等數(shù)學(xué)知識在高中階段雖然不要求掌握,但不能為后續(xù)學(xué)習(xí)造成知識的“負(fù)遷移”,授課時(shí)說明高中階段研究的與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的問題中涉及的函數(shù)都是可導(dǎo)函數(shù),但可導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)的“導(dǎo)數(shù)特征”仍然無法進(jìn)行嚴(yán)格的證明. 因此,內(nèi)容的強(qiáng)理論性增加了學(xué)習(xí)極值的概念、極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系的難度. 學(xué)生雖然有借助幾何直觀概括函數(shù)性質(zhì)和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的經(jīng)驗(yàn),但要將函數(shù)的極值點(diǎn)的幾何特征深刻到符號化水平去定性地刻畫,將圖形語言轉(zhuǎn)化為符號語言,仍然存在難度.

      基于以上分析,確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn):函數(shù)極值的概念,函數(shù)極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.

      四、教學(xué)策略分析

      采用問題探究式教學(xué)法,以恰當(dāng)?shù)膯栴}為紐帶,為學(xué)生創(chuàng)設(shè)自主探究、合作交流的空間. 教學(xué)中始終遵循“教師為主導(dǎo),學(xué)生為主體,知識為主線,發(fā)展思維為主旨”的原則.

      五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

      1. 創(chuàng)設(shè)情境,提出問題

      情境1:如圖2,在上節(jié)課提到的中國跳水運(yùn)動員高臺跳水的經(jīng)典案例中,運(yùn)動員從起跳到最高點(diǎn),圖象上升,函數(shù)單調(diào)遞增;從最高點(diǎn)到入水,圖象下降,函數(shù)單調(diào)遞減.

      情境2:2022年北京冬奧會中,中國滑雪運(yùn)動員奪得單板滑雪男子大跳臺冠軍. 讓我們一起回顧這個(gè)精彩過程. 如圖3,通過下滑、起跳、落地滑行,運(yùn)動員的運(yùn)動軌跡實(shí)現(xiàn)了“減—增—減”的過程.

      情境3:某學(xué)習(xí)小組提交了一張桂林山水的照片,如圖4(a)所示. 通過預(yù)習(xí),他們結(jié)合教材中的“探究”圖(圖4(b)),聯(lián)想到游學(xué)活動的群山,山峰的起伏對應(yīng)著函數(shù)的增減,作出圖5.

      師生活動:教師展示實(shí)踐作業(yè)成果. 學(xué)生從具體實(shí)例中抽象出函數(shù)圖象,觀察并思考曲線的單調(diào)性的變化.

      【設(shè)計(jì)意圖】緊跟時(shí)代熱點(diǎn),結(jié)合教材中的“探究”圖,調(diào)動學(xué)生的興趣,激發(fā)學(xué)生的愛國情懷.

      2. 生成概念,內(nèi)涵辨析

      問題1:觀察圖6、圖7和圖8并思考,從單調(diào)性的變化來看,圖中哪些位置比較特殊?為什么?

      師生活動:師生通過觀察、歸納得出“點(diǎn)A,B,C,D,E,F(xiàn),G,H,K都是單調(diào)性發(fā)生變化的轉(zhuǎn)折點(diǎn)”.

      追問:這些位置的函數(shù)值有什么共同特點(diǎn)?

      探究發(fā)現(xiàn)1:如圖9,點(diǎn)A的函數(shù)值是函數(shù)圖象上點(diǎn)A附近的最大值,是整個(gè)函數(shù)的最大值.

      探究發(fā)現(xiàn)2:如圖10,點(diǎn)B的函數(shù)值是函數(shù)圖象上點(diǎn)B附近的最小值,但不是整個(gè)函數(shù)的最小值.

      師生活動:放大“波峰”“波谷”附近的圖象,師生發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A,B處函數(shù)值的共同特點(diǎn)是均為“局部最值”.

      【設(shè)計(jì)意圖】通過將圖形放大,讓學(xué)生形成更直觀的感受,即函數(shù)的極值反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的局部性質(zhì),引出極值的概念,體現(xiàn)從特殊到一般的思想,發(fā)展學(xué)生的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).

      引言1:正所謂“橫看成嶺側(cè)成峰,遠(yuǎn)近高低各不同”,當(dāng)我們所站的位置不同時(shí),看待事物的角度也就不同,結(jié)果可能就不一樣.

      【設(shè)計(jì)意圖】一是更加形象直觀地表達(dá)“局部最值”;二是幫助學(xué)生樹立正確的世界觀,學(xué)會全面看待事物,落實(shí)立德樹人的育人目標(biāo).

      師生活動:教師板書課題“函數(shù)的極值”;學(xué)生在教師的引導(dǎo)下觀察圖11,生成極值的概念.

      極小值概念:函數(shù)[y=fx]在點(diǎn)[x=a]處的函數(shù)值[fa]比它在點(diǎn)[x=a]附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小,我們把[a]叫做函數(shù)[y=fx]的極小值點(diǎn),[fa]叫做函數(shù)[y=][fx]的極小值.

      極大值概念:函數(shù)[y=fx]在點(diǎn)[x=b]處的函數(shù)值[fb]比它在點(diǎn)[x=b]附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大,我們把[b]叫做函數(shù)[y=fx]的極大值點(diǎn),[fb]叫做函數(shù)[y=][fx]的極大值.

      說明:極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn);極小值和極大值統(tǒng)稱為極值;極值點(diǎn)是自變量(橫坐標(biāo));極值是函數(shù)值(縱坐標(biāo)).

      【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般,借助幾何直觀,經(jīng)歷“極值概念”的生成過程,積累從實(shí)例中抽象出數(shù)學(xué)概念的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn),體現(xiàn)類比思想,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和直觀想象素養(yǎng).

      問題2:如圖12,函數(shù)定義在閉區(qū)間[x1,x8]上,圖中哪些是極大值點(diǎn)?哪些是極小值點(diǎn)?

      追問1:點(diǎn)[x1]的函數(shù)值比它附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大,點(diǎn)[x1]是不是極大值點(diǎn)?

      師生活動:教師指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行小組合作,分享交流,質(zhì)疑探討,確認(rèn)釋疑.

      結(jié)論:極值的概念中的“附近”要求極值點(diǎn)左右有“鄰居”,端點(diǎn)不是極值點(diǎn).

      追問2:點(diǎn)[x5]是不是極大值點(diǎn)?

      如圖13(圓圈較?。?,點(diǎn)[x5]的函數(shù)值比它附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大.

      如圖14(圓圈較大),將點(diǎn)[E]附近的圓圈擴(kuò)大,發(fā)現(xiàn)點(diǎn)[x5]的函數(shù)值不滿足比它附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大.

      師生活動:教師追問,學(xué)生思考,交流討論.

      結(jié)論:“附近”體現(xiàn)了極值是函數(shù)的局部性質(zhì). “附近”不是“任意”,而是“存在”.

      【設(shè)計(jì)意圖】通過“畫圈”理解極值的概念中“附近”的含義,理解極值作為函數(shù)的“局部性質(zhì)”的內(nèi)涵,發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

      引言2:極大值對應(yīng)“波峰”,極小值對應(yīng)“波谷”,此情此景,你能聯(lián)想到哪個(gè)成語?(登峰造極)

      問題3:極大值一定大于極小值嗎?

      結(jié)論:極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系.

      問題4:函數(shù)的極大值和極小值唯一嗎?

      結(jié)論:函數(shù)的極值可以有多個(gè),也可能沒有.

      【設(shè)計(jì)意圖】通過幾何直觀,觀察得出結(jié)論,體現(xiàn)“極值”是函數(shù)的局部性質(zhì),為整體性質(zhì)“最值”的學(xué)習(xí)積累經(jīng)驗(yàn),發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

      引言3:大自然尚且起起落落,更何況人呢?人生的低谷總是難免的,我們要不懼低谷、勇攀高峰!

      【設(shè)計(jì)意圖】借助幾何直觀,鼓勵(lì)學(xué)生不懼低谷、勇攀高峰,實(shí)現(xiàn)立德樹人的育人目標(biāo).

      3. 鞏固拓展,概念應(yīng)用

      例1? 判斷下列函數(shù)是否有極值. 如果有,求出極值;如果沒有,說明理由.

      (1)[fx=2];

      (2)[fx=2x-3];

      (3)[fx=6x2-x-2];

      (4)[fx=sinx].

      師生活動:教師展示例題,學(xué)生快速判斷.

      【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)置基本初等函數(shù),借助函數(shù)圖象鞏固概念,體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想,培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

      例2? 判斷函數(shù)[fx=13x3-4x+4]是否有極值,如果有,求出極值.

      師生活動:學(xué)生在獲取圖象中遇到困難,自主思考、討論交流后,師生共同合作完成. 從單調(diào)性的角度判斷取得極值的充分性和必要性,并借助幾何直觀得出“左增右減極大值;左減右增極小值”的結(jié)論.

      【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)置三次多項(xiàng)式函數(shù)判斷極值,學(xué)生快速獲取圖象困難,“逼迫”學(xué)生回歸極值的概念.

      問題5:判斷函數(shù)的單調(diào)性,有一個(gè)非常重要的工具,是什么?

      結(jié)論:導(dǎo)數(shù). 原函數(shù)左增右減——導(dǎo)函數(shù)左正右負(fù);原函數(shù)左減右增——導(dǎo)函數(shù)左負(fù)右正.

      追問:極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于多少?怎么判斷?

      結(jié)論:極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0.

      判斷思路1:極值點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性變化的分界點(diǎn),極值點(diǎn)附近兩點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)或者左負(fù)右正,中間狀態(tài)為0.

      判斷思路2:導(dǎo)數(shù)的幾何意義,在極值點(diǎn)處的切線水平,斜率為0,導(dǎo)數(shù)值為0.

      【設(shè)計(jì)意圖】通過追問,層層展開探討,激活學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū),引導(dǎo)學(xué)生主動將新問題與原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)知識相聯(lián)系,從而自然、合理地引出用導(dǎo)數(shù)判斷極值,體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸思想,發(fā)展學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).

      師生活動:教師借助幾何畫板軟件,同時(shí)作出原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的圖象,如圖15所示. 形成幾何直觀對比,并指導(dǎo)學(xué)生得出“原函數(shù)的極值點(diǎn)對應(yīng)導(dǎo)函數(shù)的變號零點(diǎn)”的結(jié)論. 教師給出極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)的符號語言,分別如圖16和圖17所示.

      【設(shè)計(jì)意圖】極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)特征結(jié)論無法進(jìn)行嚴(yán)格證明,借助幾何畫板軟件,讓學(xué)生“看得見”“說得出”性質(zhì),引導(dǎo)學(xué)生從圖象、單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的角度判斷極值,培養(yǎng)學(xué)生會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界,突破本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn),發(fā)展學(xué)生的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).

      師生活動:回到例2,教師板書規(guī)范解答過程,學(xué)生歸納利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的步驟.

      解題步驟:確定函數(shù)定義域—函數(shù)求導(dǎo)—方程求根—列表判號—求出極值.

      解題思路如圖18所示.

      【設(shè)計(jì)意圖】通過教師的規(guī)范板書,引領(lǐng)學(xué)生總結(jié)程序化解題步驟,強(qiáng)化對重點(diǎn)知識的鞏固,對學(xué)生規(guī)范作答起到引領(lǐng)示范作用,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng).

      師生活動:由數(shù)到形,引導(dǎo)學(xué)生畫出函數(shù)的大致圖象,教師用幾何畫板軟件作出圖形,如圖19所示,對比展示,操作確認(rèn).

      【設(shè)計(jì)意圖】在“以形助數(shù),以數(shù)解形”的數(shù)形轉(zhuǎn)換過程中,體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)作為工具在研究函數(shù)問題中的優(yōu)越性,為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn),體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想,發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

      4. 目標(biāo)檢測,檢驗(yàn)效果

      目標(biāo)檢測1:判斷下列函數(shù)是否有極值. 如果有,求出極值;如果沒有,說明理由.

      (1)[fx=3x-x3];

      (2)[fx=x3].

      師生活動:學(xué)生上臺演算,教師巡視,對解題不規(guī)范現(xiàn)象加以糾正.

      思考:導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)嗎?

      結(jié)論:[fx0=0]是函數(shù)在點(diǎn)[x0]處取得極值的必要不充分條件.

      【設(shè)計(jì)意圖】鞏固利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)極值的方法,對問題的解決形成基本方法和步驟,體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想,發(fā)展學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).

      目標(biāo)檢測2:導(dǎo)函數(shù)[y=fx]的圖象如圖20所示,試找出函數(shù)[y=fx]的極值點(diǎn),并指出哪些是極大值點(diǎn),哪些是極小值點(diǎn).

      【設(shè)計(jì)意圖】通過原函數(shù)圖象和導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系,深刻理解極值的概念.

      5. 課堂小結(jié),形成系統(tǒng)

      師生活動:學(xué)生分享、教師總結(jié),生成本節(jié)課的教學(xué)思維導(dǎo)圖,如圖21所示.

      引言4:通過極值的學(xué)習(xí),大家會對《題西林壁》這首詩有更加深刻的感悟.“橫看成嶺側(cè)成峰,遠(yuǎn)近高低各不同”告訴我們要學(xué)會站在不同的視角看待問題;“不識廬山真面目,只緣身在此山中”提示我們做人做事要有全局觀. 其中蘊(yùn)含了哪些數(shù)學(xué)知識呢?區(qū)別于本節(jié)課所講的函數(shù)圖象的局部性質(zhì),哪些是函數(shù)的整體性質(zhì)?

      知識層面:什么是極值?(文字語言、圖形語言、符號語言.)

      方法層面:怎么求極值?(借助圖象和導(dǎo)數(shù).)

      思想層面:為什么借助導(dǎo)數(shù)求極值?(轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、類比歸納.)

      情感層面:“橫看成嶺側(cè)成峰,遠(yuǎn)近高低各不同”——不同的視角看問題;“不識廬山真面目,只緣身在此山中”——做人做事要有全局觀.

      【設(shè)計(jì)意圖】知識的學(xué)習(xí)是提升學(xué)生思維和能力的必經(jīng)之路,而能力的提升是我們學(xué)習(xí)知識的終極目標(biāo). 通過課堂小結(jié),引導(dǎo)學(xué)生厘清知識結(jié)構(gòu)、提煉數(shù)學(xué)方法、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想. 同時(shí),引導(dǎo)學(xué)生思考什么是函數(shù)的整體性質(zhì),為下節(jié)課教學(xué)作鋪墊.

      6. 作業(yè)布置,分層提高

      課本作業(yè):教材第29頁課后練習(xí)第2題.

      實(shí)踐作業(yè):以學(xué)習(xí)小組為單位,查閱與“極值”有關(guān)的實(shí)例.

      拓展閱讀:判斷函數(shù)[fx=x2 x≠0,1? ?x=0] 和[fx=x]是否有極值. 查閱論文《談?wù)勅私贪娼滩闹泻瘮?shù)極值的定義》《把握概念內(nèi)涵? 優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)——以“函數(shù)極值的概念”片段教學(xué)為例》了解更多與極值定義有關(guān)的問題.

      【設(shè)計(jì)意圖】課本作業(yè)意在鞏固極值的概念和用導(dǎo)數(shù)求極值的方法;實(shí)踐作業(yè)意在提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,使學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界,用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界,用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界,為下節(jié)課“函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)”的學(xué)習(xí)作鋪墊;拓展閱讀作業(yè)意在滿足數(shù)學(xué)水平層次較高學(xué)生的發(fā)展.

      六、教學(xué)設(shè)計(jì)說明

      1. 整合教材,挖掘內(nèi)涵

      奧蘇貝爾曾說,影響學(xué)習(xí)的最重要的因素就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么,要探明這一點(diǎn),并應(yīng)據(jù)此進(jìn)行教學(xué). 高中數(shù)學(xué)要求學(xué)生在沒有學(xué)習(xí)連續(xù)可導(dǎo)鄰域等概念的情況下進(jìn)行極值的學(xué)習(xí). 對此,教材中所選取的函數(shù)均是連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù),函數(shù)圖象成“波峰”“波谷”的形狀. 但這不利于學(xué)生把握極值的概念的本質(zhì)屬性,考慮到學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和能力,參考《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》的要求,努力實(shí)現(xiàn)教材的編寫意圖,在課前明確本節(jié)課研究的函數(shù)均為連續(xù)可導(dǎo)函數(shù),并尋找合適的認(rèn)知根源:用單調(diào)性實(shí)踐作業(yè)中具有代表性的成果創(chuàng)設(shè)情境引入新課—對函數(shù)圖象進(jìn)行“畫圈搜索”局部最值點(diǎn)—尋找波峰、波谷(連續(xù)函數(shù)單調(diào)性的轉(zhuǎn)折點(diǎn))—導(dǎo)數(shù)值等于0的點(diǎn)(連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)的駐點(diǎn))—導(dǎo)函數(shù)的變號零點(diǎn)(極值點(diǎn)). 借助圖象的幾何直觀,把數(shù)學(xué)知識的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)形態(tài). 把高等數(shù)學(xué)中非連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)的極值判斷及定義解讀安排在課后作業(yè)拓展閱讀部分,既不影響主體知識建構(gòu),又能使學(xué)有余力的學(xué)生得到進(jìn)一步發(fā)展.

      2. 貼近生活,立德樹人

      結(jié)合教材“探究”中的函數(shù)圖象和學(xué)生實(shí)踐作業(yè)成果,緊跟時(shí)代熱點(diǎn),創(chuàng)造合適情境,借助信息技術(shù)輔助教學(xué),創(chuàng)設(shè)機(jī)會和空間讓學(xué)生通過合作討論、分享交流充分展示自我,經(jīng)歷極值概念發(fā)生發(fā)展的探究過程,在課堂中通過“橫看成嶺側(cè)成峰,遠(yuǎn)近高低各不同”“登峰造極”“群山起伏,不懼低谷”等情境,不斷激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,對學(xué)生展示的小組成果給予充分肯定,對小組疑惑加以適時(shí)引導(dǎo),學(xué)生在和諧歡快的數(shù)學(xué)課堂中收獲知識和信心,樹立正確的世界觀,落實(shí)立德樹人的育人目標(biāo).

      3. 滲透思想,提升素養(yǎng)

      “極值”只是教學(xué)的載體,解決問題所運(yùn)用的徐利治先生提出的“關(guān)系—映射—反演(RMI)”原理及滲透的轉(zhuǎn)化與化歸思想才是本節(jié)課的靈魂. 通過將原函數(shù)極值問題轉(zhuǎn)化為判斷導(dǎo)函數(shù)的變號零點(diǎn),再將結(jié)果反演解釋原函數(shù)極值的過程,發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力和邏輯思維. 從單調(diào)性到極值再到最值,引導(dǎo)學(xué)生體會單元教學(xué)的根本,遵循“研究對象在變,思想方法不變,研究套路不變”,使對學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等素養(yǎng)的培養(yǎng)落地生根. 因此,本文從教學(xué)實(shí)際出發(fā),結(jié)合現(xiàn)場點(diǎn)評教師的建議,選取與本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容結(jié)合最緊密的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)調(diào)整了教學(xué)目標(biāo).

      參考文獻(xiàn):

      [1]中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)[M]. 北京:人民教育出版社,2020.

      [2]章建躍. 高中數(shù)學(xué)教科書教學(xué)設(shè)計(jì)與指導(dǎo)(選擇性必修第二冊)[M]. 上海:華東師范大學(xué)出版社,2022.

      [3]余小芬. 把握概念內(nèi)涵? 優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì):以“函數(shù)極值的概念”片段教學(xué)為例[J]. 上海中學(xué)數(shù)學(xué),2019(4):11-13,18.

      [4]甘志國. 談?wù)勅私贪娼滩闹泻瘮?shù)極值的定義[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志,2011(5):15-16.

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