李青霞

摘? 要：“探究活動(dòng)：從圓到球”一課以球?yàn)檠芯繉?duì)象，引導(dǎo)學(xué)生類比、模仿圓的研究?jī)?nèi)容和研究思路，探索研究球的新方法和新結(jié)論，完整體現(xiàn)了開(kāi)展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)教學(xué)的典型歷程. 學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出的一系列有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題，有力推動(dòng)了探究活動(dòng)的深入，凸顯了數(shù)學(xué)探究的教育價(jià)值.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)探究活動(dòng)；球的幾何性質(zhì)；類比；模仿；自主創(chuàng)新

“探究活動(dòng)：從圓到球”一課的主題選定、整體構(gòu)想和實(shí)施步驟都體現(xiàn)了設(shè)計(jì)團(tuán)隊(duì)的智慧，為實(shí)現(xiàn)良好的教學(xué)活動(dòng)效果奠定基礎(chǔ)，也為教師開(kāi)展此類活動(dòng)提供了可以類比、模仿的典型案例. 在活動(dòng)設(shè)計(jì)與實(shí)施的過(guò)程中，學(xué)生直面問(wèn)題，從類比、模仿到自主創(chuàng)新，經(jīng)歷了從無(wú)到有、從零到一的思維發(fā)展過(guò)程，提升了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

一、主要特點(diǎn)

“探究活動(dòng)：從圓到球”一課圍繞的數(shù)學(xué)問(wèn)題是“由圓的幾何性質(zhì)類比探究球的幾何性質(zhì)”，讓學(xué)生經(jīng)歷選題、開(kāi)題、做題、結(jié)題到課堂交流的過(guò)程. 在成果展示課上，學(xué)生侃侃而談，表達(dá)成果，互相學(xué)習(xí)，沉浸于濃濃的學(xué)術(shù)交流氛圍之中. 筆者認(rèn)為，該課例至少有如下三個(gè)突出特點(diǎn).

1. 探究活動(dòng)教學(xué)的設(shè)計(jì)、組織、實(shí)施過(guò)程完整，具有示范性

數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的教學(xué)一般要經(jīng)歷擬定計(jì)劃、課前實(shí)施、形成報(bào)告和課上分享的過(guò)程. 在該課例的探究過(guò)程中，學(xué)生先將“球的幾何性質(zhì)”這一主題細(xì)化為七個(gè)具體問(wèn)題，然后分工合作，各自通過(guò)觀察、抽象、探索、猜測(cè)和論證，從發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題到分析和解決問(wèn)題，最終形成獨(dú)立的研究報(bào)告，并利用課堂展示、交流、質(zhì)疑、反思合作完成了對(duì)球及其幾何性質(zhì)的全面認(rèn)識(shí)，完整體現(xiàn)了數(shù)學(xué)探究活動(dòng)應(yīng)該具有的典型歷程.

該課例自主創(chuàng)造的探究主題具有特色. 其一，以球的幾何性質(zhì)為研究主題，類比圓的幾何性質(zhì)，整合了小學(xué)、初中、高中學(xué)段的兩個(gè)重要幾何研究對(duì)象，體現(xiàn)了整體設(shè)計(jì)理念；其二，研究路徑分為定義概念、推導(dǎo)性質(zhì)、建立聯(lián)系、實(shí)踐應(yīng)用四個(gè)層面，遵循了幾何圖形研究的一般思路；其三，研究?jī)?nèi)容涉及球的相關(guān)概念、平面與球、幾何體與球，還研究了球的應(yīng)用，既重視“四基”“四能”的落實(shí)，也適時(shí)融入了數(shù)學(xué)文化. 當(dāng)然，以《撐一支長(zhǎng)篙，向青草更青處漫溯》為題，將學(xué)生的研究成果集結(jié)成冊(cè)，也是頗具匠心.

2. 注重發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題，聚焦核心能力

問(wèn)題是數(shù)學(xué)探究活動(dòng)得以開(kāi)展的內(nèi)驅(qū)力. 探究的問(wèn)題要能激發(fā)學(xué)生的興趣，使學(xué)生融入問(wèn)題的探究，并產(chǎn)生強(qiáng)烈的好奇心. 在該課例中，學(xué)生已經(jīng)系統(tǒng)研究了圓的有關(guān)知識(shí)，并積累了研究幾何圖形的經(jīng)驗(yàn). 面對(duì)新的研究對(duì)象——球，驅(qū)動(dòng)學(xué)生不斷探究的正是他們自己通過(guò)類比、模仿、創(chuàng)新所發(fā)現(xiàn)和提出的問(wèn)題. 這些問(wèn)題從模糊到清晰、從機(jī)械到有意義、從直覺(jué)猜想到理性循證，最終形成了七個(gè)研究方向，分別是實(shí)例應(yīng)用、定義問(wèn)題、體積問(wèn)題、切面問(wèn)題、截面問(wèn)題、內(nèi)切球問(wèn)題、外接球問(wèn)題，幾乎涵蓋了中學(xué)階段與球相關(guān)的所有問(wèn)題.

該課例外接球組的探究問(wèn)題具有代表性. 推進(jìn)探究的問(wèn)題串是：（1）任意三角形都有外接圓嗎？唯一嗎？（2）任意三棱錐都有外接球嗎？唯一嗎？（3）如何找到三棱錐外接球的球心？如何計(jì)算外接球的半徑？（4）研究哪些三棱錐外接球的問(wèn)題呢？（5）直角三棱錐（墻角模型）的外接球的確定方法是什么？（6）正三棱錐的外接球的確定方法是什么？（7）一般三棱錐的外接球的確定方法是什么？類比“任意三角形都有外接圓”這一結(jié)論，對(duì)這些問(wèn)題圍繞“存在、唯一、作圖”這三個(gè)角度展開(kāi)探究，展現(xiàn)了學(xué)生探索幾何圖形問(wèn)題的思維能力和良好的思維品質(zhì). 此外，實(shí)例組用數(shù)學(xué)的眼光觀察生產(chǎn)生活、天文地理中有關(guān)球與圓的知識(shí)，并從數(shù)學(xué)文化中豐富認(rèn)識(shí)，也讓人耳目一新.

3. 用信息技術(shù)助力學(xué)生探究的全過(guò)程，體現(xiàn)深度融合

信息技術(shù)是學(xué)生學(xué)習(xí)、探索和解決問(wèn)題的重要輔助手段，可以為學(xué)生的自主探究啟發(fā)思路，提供直觀、豐富的資源. 在該課例中，截面組關(guān)于球的相交弦定理等內(nèi)容的直觀猜想、切面組關(guān)于三元方程和三元不等式的數(shù)形結(jié)合求解方案、外接球組關(guān)于三棱錐外接球存在且唯一的證明與演示，都涉及GeoGebra軟件的使用，實(shí)現(xiàn)了傳統(tǒng)教學(xué)手段難以達(dá)到的教學(xué)效果.

該課例運(yùn)用信息技術(shù)拓寬解決問(wèn)題的渠道，對(duì)于開(kāi)展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的教學(xué)很有啟發(fā)性. 事實(shí)上，在探究過(guò)程中生成的問(wèn)題，有些可能會(huì)被忽略而放棄，但是這些問(wèn)題可能正是提升學(xué)生探究能力、發(fā)展學(xué)生思維的契機(jī). 怎樣才能讓這些問(wèn)題盡可能得到解決呢？執(zhí)教教師借助多方資源適時(shí)豐富了學(xué)生獲取知識(shí)的渠道. 例如，實(shí)例組學(xué)生發(fā)現(xiàn)：球面不可展，那么地圖是怎么繪制的？這個(gè)問(wèn)題通過(guò)視頻會(huì)議的方式采訪了相關(guān)領(lǐng)域的大學(xué)教授得到解決. 又如，定義組學(xué)生受限于自身知識(shí)水平，難以深入探究球的性質(zhì)，于是利用電子郵件詢問(wèn)了多位大學(xué)教授，最終使得這一研究取得了突破. 另外，該課例的前期設(shè)計(jì)、師生互動(dòng)、生生互動(dòng)等教學(xué)方式的轉(zhuǎn)變，都體現(xiàn)了信息技術(shù)對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的深刻影響.

二、思考與建議

數(shù)學(xué)探究是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一類綜合實(shí)踐活動(dòng)，涉及探究問(wèn)題、探究方法、探究過(guò)程、探究結(jié)果、探究反思等要素. 從該課例的課堂展示來(lái)看，較多重視探究結(jié)果，較少?gòu)恼w上反思探究問(wèn)題、探究方法、探究過(guò)程等各環(huán)節(jié)的得與失. 如果能在探究之初作好規(guī)劃，引導(dǎo)學(xué)生更好地記錄探究的歷程，有可能在回顧與反思時(shí)，能更全面地體現(xiàn)本次探究活動(dòng)的價(jià)值.

數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效載體，恰當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)有助于激發(fā)探究熱情、形成探究氛圍. 該課例實(shí)施的周期較長(zhǎng)，活動(dòng)評(píng)價(jià)的設(shè)計(jì)較多關(guān)注結(jié)果、關(guān)注課堂，對(duì)探究過(guò)程中各小組、各成員的表現(xiàn)關(guān)注不足. 如果能構(gòu)建合理、有效的過(guò)程性評(píng)價(jià)工具，用多維評(píng)價(jià)促進(jìn)所有學(xué)生主動(dòng)思考、交流合作，及時(shí)保護(hù)學(xué)生的好奇心，激發(fā)學(xué)生的想象力，有可能使探究活動(dòng)的成果更加豐富多彩.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國(guó)教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］張定強(qiáng)，裴陽(yáng).“數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”的機(jī)制性分析［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2022（6）：15-18.