蘇國東

摘 要：基于《義務教育數學課程標準（2022年版）》相關理念，筆者嘗試將“玩轉數學”綜合與實踐活動和常規(guī)教學融合，設計出一節(jié)“填幻方”數學活動課.學生通過組隊研究、合作展示、開拓創(chuàng)新，在真實情境中發(fā)現(xiàn)和提出問題，分析和解決問題，獲得基本的數學活動經驗，感悟數學的魅力與價值，逐步形成核心素養(yǎng).

關鍵詞：玩轉數學；常規(guī)教學；數學活動；填幻方

“玩轉數學”是我市面向初中生開展的一項綜合與實踐活動，活動主要包括學生組隊研究、撰寫報告、展示答辯三個環(huán)節(jié).基于初中教材中的實驗與探究、數學活動等欄目內容，融入“玩轉數學”的活動形式，開發(fā)數學綜合與實踐活動課程，可以豐富和完善數學常規(guī)教學的內容與形式，提升學生的學習興趣，積累數學活動經驗.

1 教學實踐

“填幻方”是人教版數學七年級上冊第一章“有理數”中實驗與探究欄目的選學內容.本節(jié)課是在學生學習完用字母表示數的相關知識后設計的一節(jié)數學活動課.學生組隊開展研究，探討了幻方中的數字填寫方法以及用字母x來表示一般規(guī)律的全過程.

1.1 情境引入，問題啟發(fā)

教師將教材內容擴充，設計出如下問題情境.

幻方是一種將數字安排在正方形格子中，使每行、每列和每條斜對角線上的數字和都相等的方法，也是一種中國傳統(tǒng)游戲.三階幻方（幻方的階數是指幻方的行或列的數目）是平面幻方中最簡單的幻方，已有兩千五百多年的歷史.相傳大禹治水時，洛水中出現(xiàn)了一只“神龜”，其背上有美妙的圖案，史稱“洛書”，用現(xiàn)在的數字翻譯出來，就是三階幻方.還有人曾建議向火星發(fā)射三階幻方圖案，如果火星上有智能生物，那么他們可以從這種“數學語言”中了解到地球上也有智能生物（人類）.

如圖1，將1、2、3、4、5、6、7、8、9這9個數字分別填入9個空格中，便得到了三階幻方的一種填法，每行、每列、每條斜對角線上三個數的和都等于15.

教師在此基礎上提出新問題：同學們，你們能將-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4這9個數分別填入三階幻方的9個空格中，使每行、每列、每條斜對角線上三個數的和都相等嗎？你還能在此基礎上作出進一步的研究嗎？

學生通過不斷嘗試，探究三階幻方中的數字規(guī)律，得到了不同的填寫方法，如圖2是其中一種填法.

1.2 組隊研究，匯報展示

學生回顧推理過程，通過小組內的交流探討，得到了快速填寫幻方的規(guī)律和技巧.然后在教師的引導下，小組成員確定了研究方向，開始探索類似的連續(xù)整數的填寫方法，并提出對偶數、奇數、任意間隔的整數能否找到填寫規(guī)律等問題.以下是各個小組的研究思路和匯報展示片段.

1.2.1 連續(xù)整數填法的x表示

我們作出如下思考：第一，三階幻方不容易填，要找到一套步驟才能快速填寫；第二，換成其他數字需要重新思考填寫方法，較為繁瑣，有沒有一種通用的填法呢？

通過學習，我們知道了用字母表示數的一般方法，下面探討是否可以用含字母x的式子來表示各格子的數據，從而解決上述問題.

從上述問題的推理過程可知，中間數字的填寫最為關鍵，關于中心對稱的兩個數“互補”等.我們可以將圖1的中間數字5記為x，則4記為x-1，9記為x+4.以此類推，得到了三階幻方的連續(xù)自然數的通用填法，如圖3.從圖3可以驗證，x取任意的整數時，每行、每列和每條斜對角線上的數字和都等于3x，幻方的性質都能成立.但這種填法不利于記憶.下面總結出一種填寫的步驟，以圖3為例.

① 先填寫中間的數字x；

② 再填寫左右、上下的數字，與x的差值分別為2或-2，4或-4，即x-2，x+2，x-4，x+4；

③ 最后填寫四個角的數字，與x的差值分別為1或-1，3或-3，即x-1，x+1，x-3，x+3.填寫的位置也有要求，比如對于左下角的數字，與其相鄰的兩數是x-2和x-4，則左下角填“+”，再考慮到同一行、同一列三個數的和要等于3x，故需填“+3”，即填的數字為“x+3”.同理填寫其他三個角的數字，這樣能保證每行、每列和每條斜對角線上三個數的和均為3x.

大家可以嘗試運用這種方法解決以下思考題.

問題1：請在3×3表格中，分別填入5、6、7、8、9、10、11、12、13這9個數字，使表格每行、每列以及每條斜對角線上三個數的和都相等.

解答：令圖3中的x=9，按填寫步驟即可得到答案.

問題2：請在3×3表格中，分別填入-1、-2、-3、-4、-5、-6、-7、-8、-9這9個數字，使表格每行、每列以及每條斜對角線上三個數的和都相等.

解答：令圖3中的x=-5，按填寫步驟即可得到答案.

1.2.2 連續(xù)偶數或奇數填法的x表示

思考如下問題：既然連續(xù)整數都能填入幻方，那能否將2、4、6、8、10等連續(xù)偶數或1、3、5、7、9等連續(xù)奇數也填入幻方呢？

通過觀察可知，連續(xù)偶數是對應的連續(xù)整數的兩倍，我們已經有了如圖3的連續(xù)整數的三階幻方填法，那么把表格中的所有數字乘以2，即得到了三階幻方的連續(xù)偶數的x表示填法，如圖4.

同理，將圖4中的所有數字加上1，化簡即可得到三階幻方的連續(xù)奇數的x表示填法，如圖5.

大家可以嘗試解決以下思考題.

問題3：請在3×3表格中，分別填入-7、-5、-3、-1、1、3、5、7、9這9個數字，使表格每行、每列以及每條斜對角線上三個數的和都相等.

解答：令圖5中的x=0，即可得出答案.

1.2.3 任意間隔整數填法的x表示

上面已經得到了間隔1和間隔2（奇偶數）的整數填法，用同樣的推理方法，對于間隔3的整數，可以將圖3中每個格子的數都乘以3，化簡即可得到間隔3的整數填法的x表示，如圖6.

用同樣的方法可以推出間隔數字為N的整數填法的x表示，方法是將圖3中每個格子的數乘以N即可得到，如圖7.

大家可以嘗試解決以下思考題.

問題4：請在3×3表格中，分別填入1、5、9、13、17、21、25、29、33這9個數字，使表格每行、每列以及每條斜對角線上三個數的和都相等.

解答：令圖7中的N=4，x=4，即得到了間隔4的偶數填法，再將所有數加上1，則得到了間隔4的奇數填法，化簡得到圖8，即為本題的答案.

1.3 應用推廣，激活思維

三階幻方的x表示方法既神奇又易于推廣，使得各個小組的研究熱情十分高漲，紛紛提出了新的設想，比如對于四階、五階乃至n階幻方，能否也找得到這樣的通用表示方法，幻方的性質又能否推陳出新，讓幻方更顯數字的魅力等等.各個小組在教師提供的補充資料和指導之下，了解到四階幻方等的來由和特征，并開展了新一輪的觀察、猜想、實踐和驗證活動，形成了如下匯報展示內容.

1.3.1 四階幻方及其x表示

四階幻方是一種偶階幻方，它的特征是把1～16這16個連續(xù)整數填入4×4的方格中，可以使得每行、每列以及兩條斜對角線上四個數的和都相等.目前我們要研究的是怎樣用含x的式子表達四階幻方，其次推導出四階幻方的一些新的性質.

我們先把連續(xù)整數1～16填入4×4的方格中組成一個四階幻方，如圖9是其中一種填法.

為了揭示填幻方問題的本質，我們嘗試用上面三階幻方的方法來推出四階幻方的x表示.把圖9中的3記為x，以此類推，可以得出四階幻方的一種通用的x表示方法，如圖10.

1.3.2 推導四階幻方的新性質

為了方便表示，我們用a1，a2，a3等記號來表示圖10中的數字，如圖11.利用圖10的x表示方法可以方便快捷地得到四階幻方的一些新的性質.

例如，猜想其具有如下新性質：b2+b3=d1+d4，下面作出證明.

證明：因為b2+b3=x-2+x+12=2x+10，d1+d4=x+10+x=2x+10，

所以，b2+b3=d1+d4成立.

同理，b1+b4=d2+d3，這四個數字所在位置形狀類似梯形，故可形象地稱之為：

性質（1）：b2+b3=d1+d4；b1+b4=d2+d3（梯形）.

類似的，還可得到如下的一些新性質.

性質（2）：a1+a2+a3+a4=b1+b2+b3+b4=c1+c2+c3+c4=d1+d2+d3+d4.

性質（3）：a1+a3=d2+d4；a2+a4=d1+d3（菱形）.

性質（4）：b1+b2=a4+a3；a1+a2=b4+b3（倒梯形）.

性質（5）：c1+c2=d4+d3；c3+c4=d1+d2（小梯形）.

借助圖10的x表示均可驗證以上性質.

大家可以綜合運用以上知識解決以下思考題.

問題5：請在4×4表格中，分別填入1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23、25、27、29、31這16個數字，使表格每行、每列以及兩條斜對角線上的數字之和都相等.

解答：把圖10中的每個數乘以2，再加上1，即可得到四階幻方的連續(xù)奇數填法，如圖12.再令x=2，即得到問題的解答，如圖13.

問題6：如圖14，四階幻方中已知部分數據，求a4，d1，d2，d3代表的數字.

解答：由（3）菱形性質：a1+a3=d2+d4，得14+8=d2+6，所以，d2=16.再由（5）小梯形性質：a2+a3=d2+d3，得28+8=16+d3，所以，d3=20.同理，由a1+a2=d1+d2，得14+28=d1+16，所以，d1=26；由a1+a4=d1+d4，得14+a4=26+6，所以，a4=18.

1.4 總結反思，開拓創(chuàng)新

根據上面的推導及所學知識，小組成員還嘗試用上述方法展示出了五階幻方的x表示，學生認為六階、七階乃至n階幻方都可以用類似的方法表達，并據此可以進一步探究對應的連續(xù)奇偶數表示、間隔N的數字表示、小數填法等，以及推出n階幻方的一些新的性質.

在課堂小結階段，各個小組成員均表示，由于現(xiàn)有的知識還不夠豐富，該問題并未得到解決.相信在將來經過不斷地學習和經驗的積累，他們能夠用更多新知識和新工具去研究和解決這些問題，還可以創(chuàng)造各種新的變形幻方的填法，例如，3×4型、4×5型、錯位補角型（臺階型）等等，他們對數學問題的學習和思考會不斷向縱深方向發(fā)展.

2 結束語

在《義務教育數學課程標準（2022年版）》的理念引領下，本節(jié)課嘗試將“玩轉數學”活動融合到初中數學常規(guī)教學中，注重創(chuàng)設啟發(fā)式的教學情境，激發(fā)學生學習的興趣，鼓勵學生積極思考、組隊研究、合作展示、開拓創(chuàng)新.學生在真實情境中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，繼而組隊探索幻方填法的字母表示，通過觀察、猜測、試驗、計算、推理、驗證等方式分析問題和解決問題，獲得良好的數學活動經驗，感悟數學的魅力和應用價值，逐步形成核心素養(yǎng).

參考文獻：

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