摘? ?要： 普通高中對數(shù)學(xué)強(qiáng)潛能學(xué)生的早期識別和培養(yǎng)有利于引領(lǐng)學(xué)生的志趣，為拔尖人才的后續(xù)培養(yǎng)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。上海市上海中學(xué)通過設(shè)立數(shù)學(xué)班，以數(shù)學(xué)競賽為平臺，在數(shù)學(xué)拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)方面取得了豐碩的成果，為國家培養(yǎng)了眾多數(shù)學(xué)人才。學(xué)校根據(jù)不同層次數(shù)學(xué)競賽的特點(diǎn)，針對課堂教學(xué)、全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽、冬令營、集訓(xùn)隊(duì)、國家隊(duì)培訓(xùn)不同的階段，制定不同的培養(yǎng)方案，在每個(gè)階段培養(yǎng)學(xué)生不同的能力，促進(jìn)學(xué)生的持續(xù)提升和突破。

關(guān)鍵詞： 強(qiáng)潛能學(xué)生；數(shù)學(xué)競賽；培養(yǎng)策略

為了加快建設(shè)教育強(qiáng)國、科技強(qiáng)國、人才強(qiáng)國，推動國家原始創(chuàng)新能力的發(fā)展，我國對基礎(chǔ)學(xué)科拔尖創(chuàng)新人才的需求越來越大?，F(xiàn)代科技的原始創(chuàng)新離不開數(shù)學(xué)領(lǐng)域的強(qiáng)力支撐，現(xiàn)在世界上的發(fā)達(dá)國家均是數(shù)學(xué)強(qiáng)國，我們國家的數(shù)學(xué)研究雖然取得了長足的進(jìn)步，但是與國際領(lǐng)先水平還有一定的差距，特別是基礎(chǔ)學(xué)科還不夠強(qiáng)。因此，國家越來越重視“中學(xué)生英才計(jì)劃”的深入實(shí)施。為響應(yīng)該計(jì)劃的實(shí)施，上海市上海中學(xué)（以下簡稱“上海中學(xué)”）開展多元化的學(xué)生培養(yǎng)模式：一方面是“請進(jìn)來”，學(xué)校持續(xù)推進(jìn)上中—復(fù)旦導(dǎo)師計(jì)劃、上中—交大計(jì)劃、各類實(shí)驗(yàn)組計(jì)劃等項(xiàng)目，選拔一批學(xué)有余力的學(xué)生在復(fù)旦、交大等高校教授的指導(dǎo)下參加學(xué)術(shù)研討和科學(xué)研究，激發(fā)科學(xué)興趣，提高創(chuàng)新能力；另一方面是“走出去”，讓學(xué)生走進(jìn)高校和科研院所的實(shí)驗(yàn)室，親自動手參與高校和科研院所的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，不斷提高動手能力，體驗(yàn)科研過程。

我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)領(lǐng)域的基礎(chǔ)研究人才自主培養(yǎng)，需要進(jìn)一步強(qiáng)化普通高中數(shù)學(xué)強(qiáng)潛能學(xué)生的培養(yǎng)，繼續(xù)引導(dǎo)對數(shù)學(xué)學(xué)科感興趣的強(qiáng)潛能學(xué)生在參加層次遞升的數(shù)學(xué)競賽中獲得數(shù)學(xué)能力的提升，激活他們持續(xù)開展數(shù)學(xué)探究的熱情。筆者作為數(shù)學(xué)奧林匹克的教練，嘗試從數(shù)學(xué)競賽的視角思考數(shù)學(xué)強(qiáng)潛能學(xué)生的成長要素，探索普通高中數(shù)學(xué)強(qiáng)潛能學(xué)生培養(yǎng)的競賽驅(qū)動策略，并給予不同階段的數(shù)學(xué)強(qiáng)潛能學(xué)生針對性的培養(yǎng)策略，嘗試為這些學(xué)生不斷走向飛躍、走向數(shù)學(xué)王國以及成為未來數(shù)學(xué)拔尖創(chuàng)新人才奠定扎實(shí)的基礎(chǔ)。

筆者所在的上海中學(xué)在數(shù)學(xué)強(qiáng)潛能學(xué)生培養(yǎng)方面具備豐富而長期的實(shí)踐基礎(chǔ)。上海中學(xué)從1990年開始，在全市率先成立數(shù)學(xué)班，開展數(shù)學(xué)強(qiáng)潛能學(xué)生培養(yǎng)模式的探索。30多年來為國家培養(yǎng)了數(shù)學(xué)方面的學(xué)生1200余名，他們中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力強(qiáng)、有天賦的學(xué)生有200多名，特別有天分的學(xué)生有50余名。為促進(jìn)普通高中數(shù)學(xué)強(qiáng)潛能學(xué)生的持續(xù)提升與能力突破，學(xué)校對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有強(qiáng)烈興趣與潛能的學(xué)生給予不同階段的競賽驅(qū)動，把握不同層次數(shù)學(xué)競賽特點(diǎn)和學(xué)生能力以及素養(yǎng)培育的重點(diǎn)，根據(jù)數(shù)學(xué)強(qiáng)潛能學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展規(guī)律，制定不同的培養(yǎng)方案，形成競賽驅(qū)動策略。

一、數(shù)學(xué)強(qiáng)潛能學(xué)生的早期識別與學(xué)校集聚培育

數(shù)學(xué)強(qiáng)潛能學(xué)生的早期識別主要關(guān)注以下幾個(gè)方面12：對數(shù)學(xué)的領(lǐng)悟力與理解的深刻性，體現(xiàn)在模式遷移、方法遷移、思想遷移和創(chuàng)新與突破上；對數(shù)學(xué)的癡迷度與專注度，體現(xiàn)在釋疑的堅(jiān)持性、探究的堅(jiān)持性、成敗的堅(jiān)持性和完美的堅(jiān)持性上；數(shù)學(xué)思維的縝密性與跳躍性等。學(xué)校在每一屆學(xué)生中開設(shè)數(shù)學(xué)班，每年從上千名對數(shù)學(xué)感興趣、有較強(qiáng)的學(xué)習(xí)能力的高一新生中選拔40名左右組成數(shù)學(xué)班，創(chuàng)設(shè)專門的課程進(jìn)行培育。從1998年開始，每年又從數(shù)學(xué)班中挑選10名左右對數(shù)學(xué)領(lǐng)悟力強(qiáng)的學(xué)生組成數(shù)學(xué)小班，進(jìn)行小班化教學(xué)。課堂導(dǎo)引主要關(guān)注如下兩個(gè)方面：

1.知識的全面性

課堂教學(xué)的主要任務(wù)是完成高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行拓寬和加深，使學(xué)生能夠解決全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試的問題。本階段以知識為主線，目標(biāo)是高中數(shù)學(xué)完整的知識結(jié)構(gòu)，注重培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力和邏輯推理能力。在課程安排上要考慮系統(tǒng)性和全面性，合理地設(shè)置教學(xué)專題，使得數(shù)學(xué)競賽中的各個(gè)板塊內(nèi)容以及不同的思路方法在不同課型中螺旋式再現(xiàn)。表1羅列了課堂教學(xué)需要講授的一些內(nèi)容。

2.問題的趣味性

數(shù)學(xué)競賽問題都有一定的難度，雖然教學(xué)對象是對數(shù)學(xué)有濃厚興趣的學(xué)生，但是難題也會讓他們失去學(xué)習(xí)的興趣。因此，教師需要設(shè)置一些新穎的問題不斷吸引學(xué)生，使之保持學(xué)習(xí)興趣且不斷濃厚，盡可能避免出現(xiàn)畏難甚至厭學(xué)情緒。因此，在教學(xué)過程中要做到以下幾點(diǎn)4：一是合理選擇教學(xué)內(nèi)容；二是教學(xué)要生動有趣；三是設(shè)置適合的問題；四是注重思維的啟迪。以下面的問題為例：

設(shè)u，v，w是模為1的復(fù)數(shù)。證明：我們總能選擇“+”或者“-”，使得[±u±v±w][≤1]。5

這個(gè)問題表述簡潔，解答簡短，既能夠擴(kuò)展學(xué)生的視野，又能夠極大激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。事實(shí)上，用[u，v，w]表示復(fù)數(shù)[u，v，w]在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)，則[Δuvw]的垂心[H]對應(yīng)的復(fù)數(shù)為[u+v+w]。當(dāng)[Δuvw]是銳角或者直角三角形時(shí)，它的垂心位于[Δuvw]內(nèi)（或頂點(diǎn)上），從而位于[Δuvw]的外接圓內(nèi)（或外接圓上），于是[u+v+w≤1]。當(dāng)[Δuvw]是鈍角三角形時(shí)，不妨設(shè)[v]是鈍角頂點(diǎn)，作[v]關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)[-v]，則[-v]仍在單位圓上，且以[u，-v，w]為頂點(diǎn)的三角形時(shí)銳角三角形。由上面的證明知[u-v+w≤1]，因此結(jié)論成立。

該問題的解決需要用到垂心的復(fù)數(shù)表示，在教學(xué)過程中，學(xué)生對垂心的復(fù)數(shù)產(chǎn)生了濃厚的興趣，他們嘗試用各種辦法去尋找垂心的表示方法。解決這個(gè)問題所用到的知識調(diào)動了學(xué)生的好奇心，激發(fā)了他們的探究能力。經(jīng)過探究，學(xué)生發(fā)現(xiàn)通過熟悉的重心的復(fù)數(shù)表示再結(jié)合歐拉定理，即三角形的外心、重心、垂心三點(diǎn)共線且重心把外心和垂心的線段分為1∶2的比值，就得到了垂心的復(fù)數(shù)表示。

二、關(guān)注數(shù)學(xué)強(qiáng)潛能學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能級提升——全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽培養(yǎng)要旨

全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽由中國數(shù)學(xué)會組織，是一項(xiàng)影響力頗大的課外數(shù)學(xué)活動，全國每年約有5萬名中學(xué)生參與此項(xiàng)比賽。全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽分為一試和加試，一試考查高考規(guī)定的知識和方法，考試時(shí)間為80分鐘。加試考試時(shí)間為2小時(shí)50分鐘，從最近幾年的命題情況來看，主要是考查初等代數(shù)（包括函數(shù)、不等式、數(shù)列、多項(xiàng)式等）、初等幾何（主要考察平面幾何）、初等數(shù)論、初等組合等方面的內(nèi)容。全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽命題的基本原則是向國際數(shù)學(xué)奧林匹克靠攏，在知識方面略有擴(kuò)展。在培訓(xùn)過程中需要關(guān)注以下兩個(gè)方面：

1.知識的遞進(jìn)性

全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽是數(shù)學(xué)強(qiáng)潛能學(xué)生在課堂之外參加的第一項(xiàng)重要考試，也是學(xué)生能夠參加更高級別競賽的“敲門磚”，因此具有重要的意義。全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的培訓(xùn)是課堂教學(xué)的遞進(jìn)，所選擇的培訓(xùn)材料難度應(yīng)該適中，講授的問題應(yīng)是課堂內(nèi)容的延續(xù)和加深。教師要關(guān)注如下幾個(gè)方面的問題：一是表述的準(zhǔn)確性，即所用到的知識、定理與教材表述完全一致；二是表述的正確性，即表達(dá)要正確，不能有錯誤的成分；三是認(rèn)識的深刻性，就是深入理解知識的來龍去脈、內(nèi)涵、意義、使用條件以及注意的問題等。

2.培訓(xùn)的目的性

全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的時(shí)效性原則特別重要，由于考試時(shí)間緊，學(xué)生需要在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)做對盡可能多的題目。因此，在組織培訓(xùn)材料時(shí)，需要遵循目的性原則。所謂目的性原則1，即所選取的材料要體現(xiàn)教師的培訓(xùn)意圖，不能憑個(gè)人的喜好判斷問題的價(jià)值，要依據(jù)學(xué)生的知識、方法、能力的薄弱環(huán)節(jié)選擇材料，以利于學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。所選的培訓(xùn)問題不能過于簡單，否則培訓(xùn)效果不佳，但也不能太難，否則學(xué)生在有效的時(shí)間內(nèi)不能給出正確的解答，也不會有好的效果，故要依據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況和所掌握的知識、方法、能力選取恰當(dāng)?shù)膯栴}。

2018級的楊同學(xué)高一時(shí)參加全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽獲得了上海賽區(qū)一等獎，但沒能進(jìn)入全國中學(xué)生數(shù)學(xué)冬令營，他在考試中由于沒有做好數(shù)論題，導(dǎo)致總分與他的目標(biāo)產(chǎn)生了差距。在接下來的一年時(shí)間里，楊同學(xué)著重加強(qiáng)數(shù)論板塊的學(xué)習(xí)。他詳讀了一本初等數(shù)論教材，熟悉數(shù)論的知識體系和一般結(jié)論，通過一些數(shù)論競賽問題的專項(xiàng)練習(xí)加深數(shù)學(xué)競賽中數(shù)論問題的技巧的學(xué)習(xí)，在此基礎(chǔ)上逐步提高綜合能力，探究了與數(shù)論相關(guān)的代數(shù)和組合問題，這又加強(qiáng)了解數(shù)論問題的能力。接著在2019年的全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽中，他順利考進(jìn)冬令營，最后進(jìn)入了國家集訓(xùn)隊(duì)。

三、關(guān)注數(shù)學(xué)強(qiáng)潛能學(xué)生對數(shù)學(xué)新問題的認(rèn)知與解題表達(dá)能力——冬令營考試突破要訣

全國中學(xué)生數(shù)學(xué)冬令營由中國數(shù)學(xué)會數(shù)學(xué)競賽委員會組織，是面向高中生的頂級數(shù)學(xué)競賽之一。冬令營考試時(shí)間為兩天，學(xué)生每天要在4.5個(gè)小時(shí)內(nèi)解決三個(gè)問題，題目難度大，時(shí)間緊?；诙顮I具有題目新穎性的特點(diǎn)，我們主要采用學(xué)生自我探索的思維形式，堅(jiān)持邏輯推理與合情推理并重，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。

1.思維的創(chuàng)新性

數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)一般都是經(jīng)過模仿到理解，再通過遷移達(dá)到掌握的過程。要想創(chuàng)造性地提出新問題，那就需要建立在自身掌握的知識和方法的基礎(chǔ)上，通過合情的邏輯推理和大膽假設(shè)，提出前所未有的新結(jié)論，這對學(xué)生是很高的要求，也是高層次的數(shù)學(xué)競賽學(xué)生培養(yǎng)過程中必不可少的一環(huán)。在冬令營培訓(xùn)的具體實(shí)踐中，恰當(dāng)選取一些問題，可以逐步培養(yǎng)學(xué)生提出新問題的能力。以下面的問題為例進(jìn)行說明。

2014年地中海地區(qū)數(shù)學(xué)競賽有如下一個(gè)問題：

設(shè)[a1， a2， …， an]，[b1， b2， …， bn]是實(shí)數(shù)。證明：存在[k] [∈] [1， 2， …， n]，使得

[i=1nai-ak] ≤ [i=1nbi-ak]。1

對該問題的一個(gè)自然的推廣是當(dāng)[a1， a2， …， an]，[b1， b2， …， bn]都是復(fù)數(shù)時(shí)，有什么樣的結(jié)論。

變換問題1：設(shè)[a1， a2， …， an]，[b1， b2， …， bn]是復(fù)數(shù)。是否一定存在[k] [∈] [1， 2， …， n]，使得

[i=1nai-ak] ≤ [i=1nbi-ak]。

問題1仍然是線性結(jié)果，如果考慮歐式距離，我們得到了以下新的問題：

變換問題2：設(shè)[a1， a2， …， an]，[b1， b2， …， bn]是復(fù)數(shù)。是否一定存在[k] [∈] [1， 2， …， n]，使得

[i=1nai-ak][2] ≤ [i=1nbi-ak][2]。

事實(shí)上，對[j， k=1， 2， …， n]，記[fjk=][ bj-ak2-aj-ak2+aj-bk2-bj-bk2]。只需證明存在整數(shù)[k（1≤k≤n）]，使得[j=1nfjk≥0]，下面證明[k=1nj=1nfjk≥0]。事實(shí)上，我們有

[fjk=（bj-ak）（bj-ak）-（aj-ak）（aj-ak）+（aj-bk）（aj-bk）-（bj-bk）（bj-bk）]

[=-bjak-akbj+ajak+akaj-ajbk-bkaj+bjbk+bkbj? ? ?]

[=（aj-bj）（ak-bk）+（aj-bj）（ak-bk）.? ?]

記[aj-bj=cj， j=1， 2， …， n]，則

[k=1nj=1nfjk=k=1nj=1n（cjck+cjck）=k=1nck·j=1ncj+k=1nck·j=1ncj]

[=2c1+c2+…+cn2≥0，]

所以，必存在整數(shù)[k（1≤k≤n）]，使得[j=1nfjk≥0]成立，故本題結(jié)論成立。

對一個(gè)數(shù)學(xué)問題，學(xué)生通過不斷變換條件和結(jié)論，可以逐步培養(yǎng)提出新問題的能力。這不僅有利于學(xué)生的考試，對他們以后的學(xué)習(xí)以及將來的數(shù)學(xué)研究也有很大的幫助。例如，2019年國際數(shù)學(xué)奧林匹克金牌獲得者黃同學(xué)特別喜歡提出新問題，在平時(shí)訓(xùn)練過程中，他喜歡對題目進(jìn)行改編，變換出新的問題再嘗試突破自我思維極限。這樣的訓(xùn)練使得他提高了提出新問題的能力，也加深了對原來問題的理解和掌握。

2.表達(dá)的準(zhǔn)確性

冬令營考試題目難度大，解答都比較復(fù)雜，寫清楚問題的解答思路至關(guān)重要。有的問題解答語言文字的敘述較多，如果采用的表達(dá)方式不太合理，閱讀者會因?yàn)榭床欢斐烧`解。因此要求在平時(shí)培訓(xùn)的過程中注重培養(yǎng)學(xué)生的表達(dá)能力，通過復(fù)寫和重寫訓(xùn)練，可以逐步培養(yǎng)學(xué)生的表達(dá)能力。所謂復(fù)寫，就是重新書寫解答，主要是指在模擬訓(xùn)練結(jié)束后，學(xué)生以回憶的方式將答題紙上的解答重新書寫一遍。復(fù)寫有利于學(xué)生客觀評估和總結(jié)練習(xí)的情況，能夠優(yōu)化以后的學(xué)習(xí)。所謂新寫是重新書寫解答，這分兩個(gè)層面：一是不給出新的方法，按原來的方法，只是過程簡化，使思路更加順暢；二是給出新的方法，也就是一題多解，加深對題目的理解。具體以組合問題為例：一種方式是可以將解答“代數(shù)化”，采用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言，比如使用集合或者圖論的語言把因果關(guān)系表述清晰；另一種方式是將解答“組合化”，很多組合題用代數(shù)語言表達(dá)非常繁瑣，抓不到重點(diǎn)。此時(shí)，可以考慮畫出題目解答邏輯關(guān)系圖示的方式，用簡單的語言寫清楚問題的思路和核心步驟，在旁邊配上一些圖，通過圖示的方式說明做題的意圖，簡明扼要，重點(diǎn)突出。

四、關(guān)注數(shù)學(xué)強(qiáng)潛能學(xué)生自學(xué)能力與探索能力的培養(yǎng)——國家集訓(xùn)隊(duì)培訓(xùn)飛躍

中國數(shù)學(xué)奧林匹克國家集訓(xùn)隊(duì)組織方是中國數(shù)學(xué)會數(shù)學(xué)競賽委員會。集訓(xùn)隊(duì)考試分兩個(gè)階段，第一階段進(jìn)行兩輪4天考試，選拔15人左右組成國家隊(duì)預(yù)備隊(duì)；第二輪考試仍然進(jìn)行兩輪4天考試，選拔6人組成國家隊(duì)。與冬令營考試相比，集訓(xùn)隊(duì)考試題目難度更大，并且考試時(shí)間更長，前后持續(xù)近一個(gè)月，因此，對學(xué)生各方面能力要求都更高。對于集訓(xùn)隊(duì)學(xué)生的培訓(xùn)，我們一方面要發(fā)揮學(xué)生的特長，比如有學(xué)生初等代數(shù)水平很高，那就繼續(xù)突出該優(yōu)勢，力爭能夠做出集訓(xùn)隊(duì)難度的所有初等代數(shù)題；另一方面要補(bǔ)齊短板，對學(xué)生有欠缺的板塊進(jìn)行強(qiáng)化，力爭使學(xué)生通過集中強(qiáng)化訓(xùn)練能夠做出簡單或中等難度的相關(guān)問題。此外，集訓(xùn)隊(duì)的培訓(xùn)不能僅僅是強(qiáng)化訓(xùn)練，由于有些集訓(xùn)隊(duì)的題目源自最新的科研成果，在培訓(xùn)中要注重學(xué)生自學(xué)能力和探索能力的培養(yǎng)。

1.自學(xué)能力

在有限的培訓(xùn)時(shí)間里培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力是進(jìn)行知識儲備的重要手段。教師可以提供給學(xué)生適當(dāng)?shù)拈喿x材料，并指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會自學(xué)。自學(xué)能力不僅能保證學(xué)生知識系統(tǒng)的全面性，而且對學(xué)生以后的學(xué)習(xí)和發(fā)展有很大的幫助。在自學(xué)過程中，學(xué)生充分理解數(shù)學(xué)概念、定理、公式，并及時(shí)進(jìn)行小結(jié)和檢查，要循序漸進(jìn)，抓住重點(diǎn)，不能好高騖遠(yuǎn)。其中，閱讀是學(xué)生進(jìn)行自學(xué)的核心，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開閱讀。讀懂是閱讀的最基本要求，要理解和記憶所讀的定義、性質(zhì)和定理。熟悉定義的證明或者推理的過程，對一些經(jīng)典定理的證明方法和關(guān)鍵步驟需要深入思考，推導(dǎo)方法習(xí)得的思路，并嘗試考慮其他的證明方法。

具體來說，集訓(xùn)隊(duì)學(xué)生需要閱讀如下幾個(gè)方面的內(nèi)容：一是教材，要閱讀一些專門的數(shù)學(xué)競賽教材，在閱讀時(shí)，要做教材中的例題，閱讀題目后的評注，厘清作者對問題的思考方式和處理這類問題的切入點(diǎn)；二是解答，這包括自己做出來的題目的解答，閱讀后看能不能改進(jìn)和優(yōu)化，也要閱讀其他人的解答，從多角度認(rèn)識所做的問題，學(xué)會相互學(xué)習(xí)；三是數(shù)學(xué)研究論文，科研論文濃縮了作者最有價(jià)值的專業(yè)成果和最有深度的數(shù)學(xué)問題，代表的是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的思維制高點(diǎn)。學(xué)生做題太多，容易陷入只會短期思考的誤區(qū)，缺少深度思考的訓(xùn)練，這不利于他們進(jìn)一步發(fā)展。選取權(quán)威的科研論文進(jìn)行閱讀，有利于提升學(xué)生的持續(xù)深度思考能力。

2.探索能力

解決數(shù)學(xué)難題和進(jìn)行數(shù)學(xué)研究具有高度的相似性，兩者都是處理新的問題，已有的方法可能不再適用，都需要探索新的方法。解決數(shù)學(xué)難題的有效訓(xùn)練是進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的基礎(chǔ)。波利亞指出：“思想應(yīng)當(dāng)在學(xué)生的腦子里產(chǎn)生出來而教師僅僅只應(yīng)起一個(gè)產(chǎn)婆的作用?！?通過選擇一些有價(jià)值的問題，充分調(diào)動學(xué)生主觀能動性，進(jìn)行深度的思考和探索，可以激發(fā)學(xué)生的興趣。例如：

對任意一個(gè)凸多邊形P，一個(gè)“剪角操作”是指選取P的兩條相鄰邊AB、BC，分別取出AB、BC的中點(diǎn)D、E，從P中裁去三角形DBE，之后對剩余的凸多邊形繼續(xù)進(jìn)行這樣的操作。現(xiàn)給定面積為1的正六邊形，證明：一系列剪角操作后，剩下的凸多邊形的面積大于[23]。

2018屆的張同學(xué)在解決完這個(gè)問題后，他思考常數(shù)的最優(yōu)性，經(jīng)過長時(shí)間的思考與研究，他得到了下面的結(jié)果：

對一個(gè)面積為S的正n邊形進(jìn)行剪角操作，能減去的面積不超過[251-cos2πnS]。

這是一個(gè)基于對數(shù)學(xué)題目探究得出的結(jié)論。張同學(xué)經(jīng)過不斷嘗試，逐步把上界縮小成[13，14]，最后優(yōu)化成上面的結(jié)論，這個(gè)結(jié)論的證明也比較復(fù)雜，經(jīng)過接近半年的努力，他寫了一篇高質(zhì)量的數(shù)學(xué)論文。

對學(xué)生而言，拿到一道數(shù)學(xué)問題，給出正確的解答，再進(jìn)行反思，總結(jié)問題中的數(shù)學(xué)思想和方法是必要的。教師如果再引導(dǎo)學(xué)生將原問題做一些改變，例如對問題進(jìn)行推廣、加強(qiáng)、變形等，就可以培養(yǎng)學(xué)生的探索能力。一個(gè)成熟的數(shù)學(xué)問題是完善的，如果改變條件或者結(jié)論就變成了開放性的問題，為了保證問題的科學(xué)性，有時(shí)需要不斷變換和調(diào)整問題的條件和結(jié)論，這會給學(xué)生帶來新的挑戰(zhàn)，需要他們勇于探索。

五、關(guān)注數(shù)學(xué)強(qiáng)潛能學(xué)生的心態(tài)導(dǎo)引與總結(jié)能力培養(yǎng)——國家隊(duì)隊(duì)員培訓(xùn)主線

由于國際數(shù)學(xué)奧林匹克競爭異常激烈，參加的學(xué)生都會有心理波動，不可避免地會出現(xiàn)發(fā)揮失常的現(xiàn)象。有效緩解這種壓力，調(diào)節(jié)學(xué)生良好的心態(tài)，對于考出好成績至關(guān)重要，因此，要培養(yǎng)學(xué)生的非智力品質(zhì)，比如抗壓能力、情緒、信心、體力等。我們可以從以下幾個(gè)方面著手：

1.心態(tài)的平穩(wěn)性

考試發(fā)揮失常的一個(gè)重要的原因是考試過程中做題的狀態(tài)與自己的既定目標(biāo)出現(xiàn)偏差。學(xué)生覺得自己能夠把一場考試中所有的題目都做出來，但實(shí)際上會碰到意想不到的障礙，比如第一題沒有按照預(yù)期做出來，心態(tài)就會出現(xiàn)波動甚至出現(xiàn)不穩(wěn)定的情緒?？荚嚨念}目會涉及不同的內(nèi)容，學(xué)生對各部分內(nèi)容的掌握程度也是不一樣的，需要通盤考慮時(shí)間分配，在有限的考試時(shí)間內(nèi)，先找自己有思路或者最擅長的題目去突破，這樣成功的機(jī)會就大很多。如果能成功地尋找到突破口，一題在握就能穩(wěn)定心態(tài)。切忌拿到題目后，花了很多的時(shí)間解一道題也沒有做出來，導(dǎo)致沒有時(shí)間做其他有把握的題目，留下遺憾。2015年全國中學(xué)生數(shù)學(xué)冬令營考試第一天的第一題難度非常大，導(dǎo)致很多學(xué)生考得很不理想，部分平時(shí)表現(xiàn)很好的學(xué)生由于在第一題上花了太多時(shí)間也沒有做好而心態(tài)崩潰，導(dǎo)致第一天所有題目都沒有做出來。張同學(xué)在第一題做了一個(gè)半小時(shí)仍沒有進(jìn)展的情況下果斷放棄第一題，主攻第二題，在做好第二題的情況下穩(wěn)住了心態(tài)，又回頭經(jīng)過1小時(shí)的努力做好了第一題。在第二天的考試中他順利完成三個(gè)題目，獲得了當(dāng)年考試的全國第一名。

2.方法的總結(jié)性

讓學(xué)生總結(jié)解題的思維過程和解題心得，反思解題過程中的思維脈絡(luò)和知識運(yùn)用，可以發(fā)現(xiàn)自己的知識漏洞，以便進(jìn)行針對性的訓(xùn)練和復(fù)習(xí)。經(jīng)常性的總結(jié)訓(xùn)練可以鞏固技能技巧，提升概括問題和分析問題的能力。國家隊(duì)隊(duì)員一般都有豐富的解決難題的經(jīng)驗(yàn)，如果在做好每個(gè)問題之后還能進(jìn)行有效的總結(jié)，對于他們后續(xù)的進(jìn)一步提升有很大幫助?？偨Y(jié)的內(nèi)容不僅僅局限于特定問題的技巧、方法，一些非數(shù)學(xué)的內(nèi)容也是值得總結(jié)的，比如心態(tài)，信心等。教師可以鼓勵學(xué)生通過撰寫小論文的方式將平時(shí)學(xué)習(xí)中的心得體會、思想方法、對已有問題的再認(rèn)識、對一些競賽題目解答的整理進(jìn)行系統(tǒng)的總結(jié)。一方面，可以讓學(xué)生加深對已經(jīng)熟悉的知識、思想、方法的理解，另一方面，可以培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)等綜合能力。

六、關(guān)注數(shù)學(xué)強(qiáng)潛能學(xué)生的持續(xù)發(fā)展與因材施策——國際數(shù)學(xué)奧林匹克升華

國際數(shù)學(xué)奧林匹克試題涉及代數(shù)、幾何、數(shù)論、組合4個(gè)板塊，比賽時(shí)間是每年7月1，正式比賽分兩天，每天需要花4個(gè)半小時(shí)做3道題目，每題7分，總分42分，其中1/12左右的選手獲得金牌，2/12左右的選手獲得銀牌，3/12左右的選手獲得銅牌。國際數(shù)學(xué)奧林匹克由參賽國輪流主辦，每個(gè)國家和地區(qū)的代表隊(duì)由6名學(xué)生組成，另派1名領(lǐng)隊(duì)和1名副領(lǐng)隊(duì)。試題由各參賽國提供，由東道國組織專家組成選題委員會對這些試題進(jìn)行研究和挑選，從中挑出約30道試題作為預(yù)選題，每塊各7道到8道試題，然后由每個(gè)國家的領(lǐng)隊(duì)組成的主試委員會討論投票表決，最終產(chǎn)生6道試題作為正式考題，東道國不提供試題。試題確定后，寫成英語、法語、德語、俄語、西班牙語這五種工作語言，各國領(lǐng)隊(duì)將試題翻譯成本國語言，每位學(xué)生可以選擇兩種語言的試題。

上海中學(xué)學(xué)生先后獲得14枚國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽金牌，他們中的絕大多數(shù)都從事數(shù)學(xué)研究或者數(shù)學(xué)相關(guān)專業(yè)。關(guān)注這些金牌學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展，需要處理好數(shù)學(xué)競賽與大學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)系。實(shí)踐表明，這些學(xué)生在數(shù)學(xué)方面有特別突出的潛質(zhì)，但從事數(shù)學(xué)研究還有很漫長的學(xué)習(xí)之路，需要他們保持對數(shù)學(xué)的興趣。例如，2016屆的高同學(xué)獲得金牌后，在教師的鼓勵下開始自學(xué)高等數(shù)學(xué)并到復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系旁聽高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，這為他以后去世界一流學(xué)府深造奠定了良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

數(shù)學(xué)競賽作為一種全球性的群體智力活動，在發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)人才方面發(fā)揮著重要的作用。我們在培訓(xùn)高中數(shù)學(xué)強(qiáng)潛能學(xué)生的過程中，始終貫徹高觀點(diǎn)、低起點(diǎn)的指導(dǎo)思想，把現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想滲透到系統(tǒng)而又科學(xué)的訓(xùn)練過程中，以初等數(shù)學(xué)的基本要求為起點(diǎn)，將高等數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)和思想方法貫徹到學(xué)生的日常數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，開拓學(xué)生的視野，激發(fā)學(xué)生的興趣，發(fā)揮他們的巨大潛能。

Strategies for Driving the Development of High School Students with High Potential for Mathematics

WANG Guangting

（Shanghai High School，Shanghai， 200231）

Abstract： The early identification and training of high school students with strong mathematical potential are conducive to cultivating studentsinterests， which can lay a solid foundation for the follow-up cultivation of top-notch talents. Through the establishment of mathematics experimental classes and the platform of mathematics competitions， Shanghai High School （SHS） has been making remarkable achievements in cultivating many innovative talents in mathematics for the country. Based on different characteristics of mathematical competitions of different levels， SHS formulates different training programs in classroom teaching， National High School Mathematics League， winter camps， training teams， and national team training to cultivate students' different abilities at each stage and promote studentscontinuous improvement and breakthrough.

Key words： students with high potential，mathematical competitions，cultivation strategy

作者簡介：王廣廷，上海市上海中學(xué)高級教師，博士，主要從事數(shù)學(xué)奧林匹克教學(xué)研究。

1? 唐盛昌，馮志剛：《數(shù)學(xué)英才的早期識別與培育初探：基于案例的研究》，《數(shù)學(xué)通報(bào)》2011年第3期，第11-15頁。

2? 熊斌，蔣培杰：《國際數(shù)學(xué)奧林匹克的中國經(jīng)驗(yàn)》，《華東師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）》2021年第6期，第1-14頁。

3? 馮志剛主編：《上海中學(xué)競賽課程數(shù)學(xué)（第一、二、三、四分冊）》，華東師范大學(xué)出版社2022年版。

4? 馮躍峰：《奧林匹克數(shù)學(xué)教育的理論和實(shí)踐》，上海教育出版社2006年版，第223頁。

5? 冷崗松主編：《數(shù)學(xué)競賽問題與感悟 第二卷：研究文集（上）》，華東師范大學(xué)出版社2019年版，第31-32頁。

1? 馮躍峰：《奧林匹克數(shù)學(xué)教育的理論和實(shí)踐》，上海教育出版社2006年版，第227頁。

1? 王廣廷：《一個(gè)復(fù)數(shù)不等式的命題思考》，《中等數(shù)學(xué)》2015年第10期，第8-10頁。

1? 喬治·波利亞：《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)——對解題的理解、研究的講授》，劉景麟，曹之江，鄒清蓮譯，內(nèi)蒙古人民出版社1981年版，第158頁。

1? 熊斌，蔣培杰：《國際數(shù)學(xué)奧林匹克的中國經(jīng)驗(yàn)》，《華東師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）》2021年第6期，第1-14頁。