摘? 要：在“分割等腰三角形”的閱讀課教學中，借助“四卡閱讀法”開展數(shù)學閱讀課教學，引導學生閱讀與思考，培養(yǎng)學生解決問題的能力，發(fā)展學生的抽象能力、推理能力等數(shù)學核心素養(yǎng). 具體做法是：以先行閱讀卡、合作閱讀卡、課后閱讀卡、反饋評價卡為載體進行閱讀理解課的問題設計和活動評價，以問題鏈和活動鏈驅(qū)動學生閱讀、反思和自省，進而提升學生的閱讀素養(yǎng)，培養(yǎng)學生的理性精神.

關鍵詞：數(shù)學閱讀；四卡閱讀法；數(shù)學核心素養(yǎng)

作者簡介：萬妍青（1991— ），女，中學一級教師，主要從事初中數(shù)學微專題復習教學與數(shù)學閱讀理解研究.

蘇霍姆林斯基曾經(jīng)說過，學會學習首先要學會閱讀. 數(shù)學學習離不開數(shù)學閱讀，數(shù)學閱讀有利于提升學生的邏輯推理能力、核心素養(yǎng)和高階思維. 而數(shù)學閱讀的有效開展離不開教師精心設計的課堂活動、螺旋上升的問題鏈和富有針對性的活動評價.

“四卡閱讀法”，即以先行閱讀卡、合作閱讀卡、課后閱讀卡、反饋評價卡為載體設計的數(shù)學閱讀方法，全面涵蓋了問題的設計和活動的評價. 其中，先行閱讀卡、合作評價卡、課后閱讀卡以“基本問題—核心問題—規(guī)律總結(jié)—變式問題”的形式進行問題設計，使問題層層遞進、環(huán)環(huán)相扣，從而幫助學生提取閱讀材料中的關鍵信息. 而反饋評價卡以“分組合作學習學生組內(nèi)互評表”及“課堂匯報（展示）活動組間互評表”展開，通過組內(nèi)、組間的互評，使教師能對學情進行深入細致的分析和實證. 本文以滬教版《九年義務教育課本·數(shù)學》七年級第二學期（試用本）（以下統(tǒng)稱“教材”）第十四章“三角形”的探究活動“分割等腰三角形”為例，闡述以“四卡閱讀法”為載體設計課堂活動，提升學生的數(shù)學閱讀素養(yǎng)和數(shù)學思維活力，進而提升學生的理性精神.

一、教學設計：借助思維導圖明確內(nèi)容邏輯及教學目標

1. 內(nèi)容邏輯

不是所有的三角形都可以分割成兩個等腰三角形，也不是所有的等腰三角形都可以分割成兩個等腰三角形，它與三角形三個內(nèi)角的度數(shù)有關. 當三角形三個內(nèi)角滿足一定關系時，可以被分割成兩個等腰三角形. 教材在這兩個內(nèi)容之間留有空白，為探究活動的開展提供了空間. 因此，本節(jié)課的教學可以分為如下兩個探究活動：一是探索并歸納將一個三角形分割成兩個等腰三角形所需的條件及分割方法；二是利用上述結(jié)論求出能分割成兩個等腰三角形的等腰三角形的內(nèi)角度數(shù). 筆者通過在兩個探究活動中搭建橋梁，設計了如圖1所示的思維導圖.

2. 教學目標

由于學生已經(jīng)學習了與三角形和等腰三角形相關的知識，并經(jīng)歷了由實驗幾何獲得定理的一般過程，即通過實驗操作或經(jīng)驗積累產(chǎn)生對圖形中性質(zhì)定理的闡述，有了一定的合作、探索、交流的能力，同時具備了進一步閱讀和邏輯推理的認知基礎，因此設定了如下的教學目標.

（1）通過閱讀、操作、觀察、猜測、驗證，歸納出把一個三角形分割成兩個等腰三角形所需的條件及分割方法，提升學生的抽象能力.

（2）利用將一個三角形分割成兩個等腰三角形所需的條件，求出能分割成兩個等腰三角形的等腰三角形的內(nèi)角度數(shù)，提升學生的推理能力.

（3）經(jīng)歷探索實踐的過程，體會從特殊到一般及分類討論思想；通過小組探究的學習形式，增強學生的合作交流意識和應用意識.

二、教學實踐：設計四類閱讀卡，引導學生閱讀和思考

本節(jié)課通過設計如表1所示的四類閱讀卡，以問題鏈和活動鏈驅(qū)動學生閱讀和思考.

1. 先行閱讀卡

對于初中生而言，對先行閱讀卡中內(nèi)容的學習是需要教師給予指導的. 教師除了通過微信訂閱號向?qū)W生推送教材第120頁探究活動的微課（圖2和圖3）外，還需要根據(jù)推送的微課對所學知識點進行梳理，并通過完成先行閱讀卡上的內(nèi)容來檢測自己對所學知識的掌握程度.

在先行閱讀卡中，學生需要完成以下兩項自主預習活動.

活動1：通過閱讀教材第120頁“分割等腰三角形”材料，結(jié)合微課呈現(xiàn)的具體內(nèi)容（在△ABC中，∠BAC = 100°，∠ABC = 60°，∠ACB = 20°），判斷如圖4 ～ 8所示的5個圖中，哪個是正確的分割方式？并說明原因.

活動2：嘗試總結(jié)分割線的一般特征，并完成以下填空.

（1）用一條直線將一個三角形分成兩個三角形，這條直線一定經(jīng)過_________并與_________相交；

（2）如果一個三角形可以分割成兩個等腰三角形，被分割的角不可能是_________；

（3）要把一個三角形分割成兩個等腰三角形，通常先分割出_________個等腰三角形，再通過計算判定另外一個三角形是否是等腰三角形.

【設計意圖】根據(jù)先行閱讀卡中的兩個探究活動，學生既可以將自己的閱讀成果應用到具體問題中，也可以反思是否讀懂了閱讀材料. 活動1中，通過對圖4 ～ 8的分析，學生可以明確分割線的特征，從而厘清思路，建立幾何直觀. 活動2在活動1探究的基礎上，將分割線特征由符號語言和圖形語言轉(zhuǎn)化為文字語言. 三種語言的轉(zhuǎn)化是一個不斷反復的過程，通過直觀構(gòu)圖和推理，直到問題解決，發(fā)展學生的推理能力.

2. 合作閱讀卡

先行閱讀卡中的兩個探究活動梳理了分割線的主要特征，但是還有“是否所有的三角形都能分割成兩個等腰三角形？”“能被分割成兩個等腰三角形的三角形有什么共同特征？”兩個問題待解決. 這兩個問題的提出無疑會給學生帶來更多啟發(fā)，引發(fā)新的思考.

由于教材中對于此類三角形的特征并沒有給出具體的活動設計，因此借助螺旋式問題鏈貫穿本次活動的設計.

活動3（合作探究）：如圖9，已知△ABC的三個內(nèi)角度數(shù)，試畫出一條直線MN，將這個三角形分割成兩個等腰三角形.

借助對先行閱讀卡的探索，學生已經(jīng)清晰地梳理了分割線的特征，因此大多數(shù)學生在分割時會避開三角形中度數(shù)最小的內(nèi)角，從另外兩個內(nèi)角出發(fā)進行嘗試，再利用三角形的內(nèi)角和或外角性質(zhì)及等腰三角形的判定進行推理驗證，最終確定分割線的位置.

當學生確定分割線的位置后，筆者提出如下問題.

問題1：三角形的三個內(nèi)角滿足什么數(shù)量關系？

問題2：分割線經(jīng)過哪個內(nèi)角？

【設計意圖】通過前面的探究，學生能較快得到“對于有一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角2倍的三角形，分第三個角可得兩個等腰三角形”的推論. 在推理的過程中，學生再次經(jīng)歷了將圖形語言、符號語言轉(zhuǎn)化為文字語言的過程，體驗了數(shù)學結(jié)論、推理過程和策略方法的表達，體會了其中蘊含的思想方法.

活動4（合作探究）：如圖10，已知△ABC的三個內(nèi)角度數(shù)，試畫出一條直線MN，將這幾個三角形分割成兩個等腰三角形.

基于活動3的探索歷程，學生能自主完成活動4的探究，得出第二條推論：對于有一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角3倍的三角形，分三倍角可得兩個等腰三角形.

【設計意圖】經(jīng)歷了“提出問題—畫出圖形—總結(jié)規(guī)律—解決問題”這樣從特殊到一般的探究過程后，學生的思維過程動態(tài)地進行呈現(xiàn)和補充，從而加深對內(nèi)容的理解，提高交流表達能力及學習興趣. 學生在這種整體性、關聯(lián)性的學習中，對知識和方法的理解更加透徹，真正做到學有所悟.

問題3：內(nèi)角分別為20°，40°和120°的三角形有幾種分割方法？

問題4：內(nèi)角分別為30°，50°和100°的三角形為什么不能分割？

【設計意圖】問題3旨在培養(yǎng)學生的辯證思維，依據(jù)兩條推論，由40°是20°的2倍或120°是40°的3倍，學生可以從兩個視角進行分割. 問題4旨在培養(yǎng)學生全面思考問題的習慣，盡管100°是50°的2倍，但是在分割時卻無法保留最小內(nèi)角，由此最小內(nèi)角只有在某一范圍內(nèi)才可以利用推論進行三角形的分割. 因此，在推論中加上“一定條件”，可以保證推論的準確性，如表2所示.

【設計意圖】通過活動3和活動4的探究，學生了解到如果一個三角形能分割成兩個等腰三角形其內(nèi)角的數(shù)量關系及分割線的位置. 借助活動1 ～ 4的探究和得到的推論，設計了活動5，以考查學生的類比遷移及解決問題能力.

活動5：若一個等腰三角形可被分成兩個等腰三角形，求這個等腰三角形的內(nèi)角度數(shù).

課堂上，學生組成小組合作，通過操作、觀察、思考，借助之前的探究規(guī)律，運用分類討論和方程思想將問題進行分類，如表3所示.

【設計意圖】根據(jù)認知心理學，問題是思維活動進行的原動力和牽引力，問題的設計關系到學生思維的深度和廣度，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維就是讓他們學會思考、質(zhì)疑和應用. 通過解決合作閱讀卡中三個主題探究活動的過程，讓學生經(jīng)歷抽象、構(gòu)圖和推理活動，發(fā)展學生的抽象能力、幾何直觀和推理能力.

3. 課后閱讀卡

課后閱讀卡是合作閱讀卡內(nèi)容的延伸和拓展，主要通過三個活動展開.

活動6：在課堂中，我們借助不完全歸納法得到了將一個三角形分割成兩個等腰三角形時其內(nèi)角的數(shù)量關系和分割線的位置. 試根據(jù)問題5和問題6，對活動3和活動4的結(jié)論進一步補充說明和推理論證.

問題5：如果一個三角形能分割成兩個等腰三角形，除了有上述兩種情況外，是否還有其他情況？嘗試證明.（提示：設三個角分別為[α，β，γ]，其中[α>β].）

問題6：“在一定條件下”對結(jié)論中內(nèi)角[α]的度數(shù)大小有限制，你能嘗試探究出[α]的取值范圍嗎？試將規(guī)律補充得更加完整.

對于三角形內(nèi)角關系的探索：如圖11，在[△ABC]中，設[∠A=α]，[∠B=β，∠C=γ α>β].

由于[α>β]，作[∠BAD=β]，交BC于點D，則[△ABD]為等腰三角形（如圖12）. 若[△ACD]為等腰三角形，則分為三種情況：[① α-β=2β?α=3β;② α-β=][γ?α=90°;③ 2β=γ.]

對于角度的限制條件的探索：① 當[γ=2β]時，因為[α>β]，所以[180°-β-2β>β]. 解得[β<45°]. ② 當[α=3β]時，因為[γ>0]，所以[180°-β-3β>0]. 解得[β<45°].

由此我們將上述推論進行進一步完善.

① 當1倍角度數(shù)小于45°時，對于有一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角2倍的三角形，分第三個角可得兩個等腰三角形；對于有一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角3倍的三角形，分三倍角可得兩個等腰三角形.

② 任意直角三角形可以分割成兩個等腰三角形.

【設計意圖】由于課堂時間有限，在活動4中用不完全歸納法得到了兩條推論，借由活動6將推論進一步完善. 問題5實際是課堂推論的逆命題，學生在課后可以運用演繹推理的方法論證所有情況；問題6則是進一步探索“一定條件”的具體范圍，由此提升學生的數(shù)學論證和邏輯推理能力.

活動7：嘗試將如圖13 ～ 15所示的直角三角形分割成兩個等腰三角形. 你有什么發(fā)現(xiàn)？

【設計意圖】活動7旨在沿用合作閱讀卡中分割三角形的一般路徑，來探究將直角三角形分割成兩個等腰三角形的方法. 在分割時，依據(jù)“保留最小內(nèi)角”的原則，利用斜邊中線分割得到兩個等腰三角形，再借助幾何論證來驗證猜想，進而培養(yǎng)學生邏輯思維的嚴謹性. 同時，這樣的探究也為學生在八年級探究直角三角形的性質(zhì)埋下伏筆.

活動8：等腰三角形ABC的頂角A為36°，你會將等腰三角形ABC分割成三個小等腰三角形嗎？你有幾種方法？

【設計意圖】活動8是結(jié)論開放的問題，這樣的設計有助于激發(fā)學生的創(chuàng)新思維. 學生依據(jù)分割規(guī)律，可以得到如圖16 ～ 19所示的4種情況. 從不同的視角思考會得到不同的分割線，這也為后續(xù)的多樣化評價奠定了基礎.

4. 反饋評價卡

由于本節(jié)課是以教師引導、學生主導的閱讀探究課，因此評價的主體需交還給學生. 學生根據(jù)組內(nèi)和組間伙伴們的活動探究情況給予客觀評價.

表4呈現(xiàn)了評價目標、評價內(nèi)容、評價類型等；表5側(cè)重于對合作閱讀卡中的三個活動的評價，主要評價組內(nèi)成員在課堂中的表現(xiàn)；表6側(cè)重對課后閱讀卡的三個活動的評價，主要是組間分享交流的評價.

表4? 反饋評價卡

[課程名稱 分割等腰三角形 評價目標 1. 檢測學生對經(jīng)歷的“閱讀理解—歸納方法—實踐應用”探究過程的感悟水平；

2. 檢測學生在分組合作學習過程中在參與態(tài)度、分享合作和交流表達方面的表現(xiàn)情況 評價內(nèi)容 1. 通過閱讀、操作、觀察、猜測、驗證，歸納出把一個三角形分割成兩個等腰三角形所需的條件及分割方法；

2. 利用一個三角形分割成兩個等腰三角形所需的條件，求出能分割成兩個等腰三角形的等腰三角形的內(nèi)角度數(shù)；

3. 經(jīng)歷探索實踐的過程，體會從特殊到一般及分類討論的思想；通過小組探究的學習形式增強學生的合作交流意識 閱讀類型 □知識拓展? □數(shù)學文化? ○趣味數(shù)學? □數(shù)學應用 活動類型 □教師引導型活動? ○學生主導型活動 評價主體 ○學生（自評） ○學生（互評） □教師? □家長 評價時間 □教學實施前? ?□教學實施中? ?○教學實施后 評價類型 □診斷性評價? ?○形成性評價? ?□總結(jié)性評價 評價項目 □單元測驗? □課堂檢測? ○學生的學習匯報

○課堂表現(xiàn)? □作業(yè)表現(xiàn)? □其他數(shù)學學習活動 評價結(jié)果 完成對應評價工具的填寫，綜合評分 ]

[課題（或作業(yè)名稱）： 班級： 被評者姓名： 指導教師： 小組成員： 組長： 請在下列你認為符合被評同學相應表現(xiàn)的地方打“ √ ” 優(yōu)秀 良好 需努力 參與態(tài)度 能積極參與小組合作學習 能努力完成小組分工的任務 分享合作 善于傾聽同伴的觀點 能主動提出問題或想法 能與同伴一起探討問題和解決方案 樂于與同伴一起探討問題和解決方案 交流表達 能清楚地表達自己的觀點 能對同伴的觀點進行判斷、分析、質(zhì)疑 ][表5? 分組合作學習學生組內(nèi)互評表]

[課題（或作業(yè)名稱）： 班級： 被評者姓名： 指導教師： 小組成員： 組長： 請在下列你認為符合被評同學相應表現(xiàn)的地方打“ √ ” 優(yōu)秀 良好 需努力 合作表現(xiàn) 同伴間能充分合作，匯報時分工明確 能對同伴的研究給予積極評價 分享合作 研究成果展示形式適當 能清晰、準確地表述匯報內(nèi)容 輔助展示作品的制作生動有趣，能吸引人 交流表達 能向同學提出值得思考的問題 能嘗試對同學提出的疑問進行解答 ][表6? 課堂匯報（展示）活動組間互評表]

三、教學反思：用閱讀卡形成任務引導學生閱讀與思考，促進學生核心素養(yǎng)的發(fā)展

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》提出了“會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”，引導學生能夠運用符號運算、形式推理等數(shù)學方法，分析、解決數(shù)學問題和實際問題，發(fā)展推理能力，建立幾何直觀.

回顧整節(jié)課的教學流程，先行閱讀卡的內(nèi)容著重研究了分割線的特征，合作閱讀卡在研究了分割線特征的基礎上探索了三角形內(nèi)角的數(shù)量關系及等腰三角形的分割情況，課后閱讀卡對于合作閱讀卡中的“一定條件”從定性過渡到定量，并研究了直角三角形的分割情況；反饋評價卡側(cè)重評價了合作閱讀卡和課后閱讀卡中的6個探究活動，并采取了學生自評和互評的新形式.

本節(jié)課中，學生親歷了“閱讀—猜想—合作—應用—解惑—反思—評價—改進”的過程，通過對典型問題的多角度審視與探究，感受從特殊到一般和分類討論思想. 整個探究活動中，所有的問題都是借助已有的探究基礎為了進一步深入研究或完善而產(chǎn)生的，通過問題驅(qū)動，學生在潛移默化中提升了發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力，發(fā)展了數(shù)學核心素養(yǎng).

由此可見，以“四卡閱讀法”為載體，整合信息、深度理解是學生數(shù)學思維提升的實現(xiàn)機制，關注問題聯(lián)系、注重理性思考是提升學生數(shù)學思維的必要條件，以此實現(xiàn)學生多維度地發(fā)現(xiàn)和解決問題，從而激發(fā)學生思維的活力，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)，逐步形成理性精神.

參考文獻：

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［3］任小平. 初中數(shù)學課堂運用數(shù)字教材助力學生高階思維的培養(yǎng)：以“分割等腰三角形”的教學為例［J］. 數(shù)字教育，2019，5（4）：64-68.