［摘? 要］ 文章以“組合數(shù)”一課為例，以目標(biāo)明確、層層遞進(jìn)的問題串為導(dǎo)向，設(shè)計(jì)教學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究并深度學(xué)習(xí)，在“三新”背景下嘗試課堂問題引領(lǐng)教學(xué).

［關(guān)鍵詞］ 問題串；問題情境；類比；數(shù)學(xué)探究

增強(qiáng)問題意識(shí)是新課程六大教學(xué)理念之一，“問題”是數(shù)學(xué)的“心臟”，在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)設(shè)計(jì)合適的問題，有助于學(xué)生理解概念、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，有助于學(xué)生了解知識(shí)的來龍去脈，有助于學(xué)生強(qiáng)化問題意識(shí)、發(fā)展探索精神. 在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，教師應(yīng)根據(jù)教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)，把主要學(xué)習(xí)內(nèi)容轉(zhuǎn)化成教學(xué)問題. 特別需要注意的是，教師應(yīng)站在學(xué)生的角度設(shè)計(jì)問題，把需要講解的知識(shí)內(nèi)容轉(zhuǎn)換成一個(gè)個(gè)合理有序、層層遞進(jìn)的問題，同時(shí)設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)陌l(fā)散性問題，培養(yǎng)學(xué)生的求異思維和創(chuàng)新能力.

在實(shí)際教學(xué)中，課堂時(shí)間（長(zhǎng)度）有限，在不能改變課堂時(shí)間（長(zhǎng)度）的條件下，只有想法改變課堂的“寬度”和“深度”，那么如何去改變呢？筆者認(rèn)為，如果將問題與數(shù)學(xué)探究有機(jī)地結(jié)合在一起，可以實(shí)現(xiàn)改變，因?yàn)檫@有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與掌握. 下文以人教A版選擇性必修第三冊(cè)“組合數(shù)”一課為例，闡述筆者的思考.

內(nèi)容解析

“組合”是學(xué)習(xí)“排列”后的第二個(gè)重要且特殊的計(jì)數(shù)模型. 本節(jié)課充分發(fā)揮問題導(dǎo)向與引領(lǐng)的作用，以及學(xué)生的主體性作用，設(shè)法營建平等、和諧、開放的教學(xué)環(huán)境，充分挖掘?qū)W生的學(xué)習(xí)潛能，使學(xué)生在自主探究、合作交流的過程中，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)，積極主動(dòng)地構(gòu)建新知. 滲透“轉(zhuǎn)化與化歸”“分類討論”“特殊到一般”“類比”等數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生構(gòu)建新知的同時(shí)提升數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).

1. 教材分析

本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是《普通高中教科書·數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)》第六章第二節(jié)的“組合數(shù)”，主要包含組合數(shù)的定義、組合數(shù)公式、組合數(shù)的性質(zhì)，是分類加法與分步乘法計(jì)數(shù)原理、排列知識(shí)的延續(xù)，也為后續(xù)研究二項(xiàng)式定理、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)、等可能事件概率做鋪墊.

2. 學(xué)情分析

通過前面的學(xué)習(xí)，兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，排列、組合的概念，大部分學(xué)生已經(jīng)比較熟悉了，他們能清楚地辨析組合與排列問題，能熟練運(yùn)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列數(shù)的計(jì)算公式，能借助列舉法處理元素個(gè)數(shù)較少的組合問題. 通過簡(jiǎn)單應(yīng)用，學(xué)生積累了一些處理計(jì)數(shù)問題的經(jīng)驗(yàn)：先分類后分步、先取后排、先特殊后一般. 這為本節(jié)課的順利推進(jìn)提供了有利條件.

3. 教學(xué)目標(biāo)

基于上述教材分析及學(xué)情分析，制定如下教學(xué)目標(biāo)：

（1）采用類比的方法探究得到組合數(shù)的定義及符號(hào)表示，理解組合數(shù)的定義.

（2）借助排列與組合的關(guān)系推導(dǎo)兩個(gè)組合數(shù)公式，在應(yīng)用公式的過程中體會(huì)兩者的差異并掌握公式特點(diǎn)及使用條件，同時(shí)發(fā)現(xiàn)組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)并進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明與應(yīng)用.

（3）通過生活實(shí)例抽象出數(shù)學(xué)模型，通過類比的方法，特殊到一般以及分類與整合的數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)源于生活又服務(wù)于生活，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí).

4. 教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：組合數(shù)的定義、組合數(shù)公式、組合數(shù)的性質(zhì).

教學(xué)難點(diǎn)：組合數(shù)公式的推導(dǎo).

教學(xué)過程

1. 創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

每年一屆的校運(yùn)會(huì)馬上就要開始了，根據(jù)學(xué)校安排，要在各班的非運(yùn)動(dòng)員中招募志愿者參加志愿服務(wù)活動(dòng).

問題1 高二（6）班有非運(yùn)動(dòng)員12人，從中招募3名志愿者分別參加跳遠(yuǎn)、跳高、鉛球的志愿活動(dòng)，請(qǐng)問有幾種不同的方法？

師生活動(dòng)：提問個(gè)別學(xué)生，其他同學(xué)聆聽，教師總結(jié)歸納，共同抽象出排列模型，回憶排列數(shù)公式.

設(shè)計(jì)意圖 一方面從身邊的生活創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣與積極性，同時(shí)讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)源于生活又服務(wù)于生活；另一方面回顧上節(jié)課學(xué)習(xí)的排列的概念及計(jì)數(shù)方法.

問題2 高二（6）班有非運(yùn)動(dòng)員12人，從中招募3名志愿者，請(qǐng)問有幾種不同的方法？

師生活動(dòng)：教師啟發(fā)學(xué)生思考問題1與問題2的區(qū)別與聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生回顧組合的定義.

設(shè)計(jì)意圖 通過設(shè)計(jì)容易產(chǎn)生混淆的問題，引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，促使學(xué)生尋找一種新的計(jì)數(shù)方法，激發(fā)學(xué)生的求知欲，從而引出新課.

追問1：這是一個(gè)什么問題？結(jié)果能用列舉法表示嗎？

師生活動(dòng)：師生通過分析得出這是一個(gè)組合問題，但很少有學(xué)生能列出正確答案，原因是12這個(gè)數(shù)太大，一一列舉很煩瑣，不容易得出結(jié)果. 由于列舉法適合處理元素較少的組合問題，隨著元素個(gè)數(shù)的增加，操作越來越麻煩，因此教師提出了追問2.

追問2：有沒有更便捷的方法？能否像排列數(shù)公式那樣，找到可以求解所有組合問題的公式呢？

設(shè)計(jì)意圖 列舉法不能列舉所有組合問題的結(jié)果，需要引入新的計(jì)數(shù)方法，使學(xué)生明白引入新知的必要性.

2. 類比探究，構(gòu)建概念

問題3 排列與組合是兩個(gè)平行概念，能否用類比的方法進(jìn)行探究？（用PPT展示排列數(shù)的定義）從哪些方面進(jìn)行類比探究呢？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧上節(jié)課學(xué)習(xí)排列時(shí)的知識(shí)點(diǎn)，共同分析得出可以從定義、計(jì)數(shù)方法、符號(hào)表示、公式、應(yīng)用等方面進(jìn)行類比探究.

追問1：組合與組合數(shù)是同一概念嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生回答“不同，可以從特殊情況加以分析”.

追問2：如果問題2的結(jié)果用C來表示，那么結(jié)果是多少呢？

設(shè)計(jì)意圖 教師引導(dǎo)學(xué)生用類比的方法對(duì)組合進(jìn)行探究，既回顧了排列的相關(guān)內(nèi)容，又為組合的探究指明了方向. 培養(yǎng)學(xué)生觀察、思考、分析能力，以及抽象概括能力.

3. 合作交流，探究公式

問題4 通過辨析排列與組合的概念知道，排列是“既選又排”，而組合是“只選不排”，能否利用這個(gè)關(guān)系，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理，推導(dǎo)組合數(shù)公式呢？即C等于多少？

師生活動(dòng)：（1）探討研究方案：從特殊到一般的思想以及排列與組合的關(guān)系入手，探究組合數(shù)公式.

（2）制定探究過程：分成6個(gè)小組進(jìn)行探究（組內(nèi)進(jìn)行交流、討論、合作）. 具體安排如下：第1、第2小組從3個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素，探究組合數(shù)與排列數(shù)的關(guān)系；第3、第4小組從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素，探究組合數(shù)與排列數(shù)的關(guān)系；第5、第6小組從5個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素，探究組合數(shù)與排列數(shù)的關(guān)系.

（3）展示探究成果.

（4）歸納猜想證明.

（5）分析公式特點(diǎn).

師生活動(dòng)：每個(gè)小組派一個(gè)代表就本小組的探究結(jié)果與全班同學(xué)一起分享、交流（邊投影結(jié)果邊解說），教師適時(shí)提問、點(diǎn)評(píng)、總結(jié). 當(dāng)學(xué)生分組展示完C與A，C與A，C與A的關(guān)系后，教師追問如下.

追問1：這三個(gè)特殊情形能否推廣到更一般的情況呢？結(jié)論是什么？（A=CA）

追問2：這個(gè)結(jié)論有什么實(shí)際意義呢？

追問3：通過前面的學(xué)習(xí)，知道排列數(shù)公式有兩個(gè)，那么組合數(shù)公式有幾個(gè)呢？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生歸納結(jié)論A=CA，通過分步乘法計(jì)數(shù)原理解釋此公式的實(shí)際意義，通過變形得到組合數(shù)公式有兩個(gè)，共同分析兩個(gè)公式的特點(diǎn)、規(guī)定及使用條件.

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生體會(huì)用特殊到一般思想解決問題的思路，通過小組分工、交流探討、合作學(xué)習(xí)，鍛煉學(xué)生的合作精神及集體意識(shí)；通過給足思考的時(shí)間以及上臺(tái)交流的舞臺(tái)與空間，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)語言組織能力、交流表達(dá)能力、歸納猜想能力、推理論證能力，以及思考問題、分析問題、解決問題的能力，最終實(shí)現(xiàn)“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界”“用數(shù)學(xué)的思維思考世界”“用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”.

4. 公式應(yīng)用，探究性質(zhì)

例1 計(jì)算下列式子的值.

（1）C；（2）C；（3）C；（4）C.

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成計(jì)算后，教師逐個(gè)提問，學(xué)生回答，最后教師總結(jié)“計(jì)算C與C采用乘積公式更好，計(jì)算C與C采用階乘公式更好”，并引導(dǎo)學(xué)生理解階乘公式的計(jì)算技巧及約分特點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生熟悉組合數(shù)公式的特點(diǎn)，并應(yīng)用組合數(shù)公式解決簡(jiǎn)單問題，鞏固組合數(shù)公式的同時(shí)為引出組合數(shù)的性質(zhì)1做鋪墊.

問題5 觀察計(jì)算結(jié)果，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了什么？能解釋你的發(fā)現(xiàn)嗎？

生：如果兩個(gè)組合數(shù)上標(biāo)的兩個(gè)數(shù)之和等于下標(biāo)，那么這兩個(gè)組合數(shù)相等.

師：用數(shù)學(xué)符號(hào)怎么表示呢？

生：C=C.

追問：剛才從兩組特殊的組合數(shù)猜想到C=C，同學(xué)們能證明這個(gè)式子嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生分組交流后派代表匯報(bào)如下，從組合數(shù)的意義來看，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素與從n個(gè)不同元素中取出剩下的n減m個(gè)元素是一一對(duì)應(yīng)的，所以組合數(shù)相等. 從組合數(shù)公式入手，我們采用階乘公式來驗(yàn)證（投影解題過程）. 最后教師進(jìn)行評(píng)價(jià).

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)觀察、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、猜想以及推理論證等能力.

問題6 （1）計(jì)算C+C的值；

（2）已知C=C，求n的值.

設(shè)計(jì)意圖 通過變式題組訓(xùn)練，一方面強(qiáng)化組合數(shù)公式的應(yīng)用，訓(xùn)練從常數(shù)到單變量，由淺入深，層層遞進(jìn)；另一方面鞏固組合數(shù)的性質(zhì)1，再次體會(huì)其大化小、繁化簡(jiǎn)的轉(zhuǎn)化功能.

問題7 從含有班長(zhǎng)的12名志愿者中招募3名志愿者，有幾種不同的方法？

追問1：從含有班長(zhǎng)的12名志愿者中招募3名志愿者，若班長(zhǎng)必須參加，有幾種不同的方法？

追問2：從含有班長(zhǎng)的12名志愿者中招募3名志愿者，若班長(zhǎng)不能參加，有幾種不同的方法？

設(shè)計(jì)意圖 利用組合知識(shí)解決生活中的實(shí)際問題，一方面讓學(xué)生再次體會(huì)數(shù)學(xué)源于生活又服務(wù)于生活的理念，另一方面讓學(xué)生初步嘗試解決特殊條件下的組合問題，在此基礎(chǔ)上掌握此類問題的解決方法，為引出組合數(shù)的性質(zhì)2做鋪墊.

問題8 上述三個(gè)問題之間有何聯(lián)系？同學(xué)們能嘗試寫出幾個(gè)類似的特殊結(jié)論嗎？

問題9 這些結(jié)論能推廣到一般的形式嗎？是什么？同學(xué)們能否證明它們呢？

師生活動(dòng)：學(xué)生派代表發(fā)言，針對(duì)問題8，學(xué)生得出如C=C+C，C=C+C的結(jié)論，教師補(bǔ)充、說明、評(píng)價(jià)，師生共同分析其合理性. 針對(duì)問題9，學(xué)生得出多種形式的結(jié)論，如C=C+C，C=C+C，教師及時(shí)肯定這些結(jié)論都是正確的，公式的本質(zhì)是一樣的，只是呈現(xiàn)的形式不同，書本上習(xí)慣用前者來表示.

設(shè)計(jì)意圖 培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、類比、分析等能力，培養(yǎng)學(xué)生大膽質(zhì)疑的學(xué)習(xí)習(xí)慣，以及辯證統(tǒng)一的思維能力，讓學(xué)生明白歸納猜想的結(jié)論未必正確，要進(jìn)行推理證明.

5. 課堂小結(jié)，理解升華

問題10 本節(jié)課我們重點(diǎn)學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)、方法、數(shù)學(xué)思想？

教學(xué)反思

1. 以問題串為導(dǎo)向，設(shè)計(jì)教學(xué)情境，課堂生成水到渠成，課堂效率事半功倍

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》倡導(dǎo)教師要善于設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)膯栴}串幫助學(xué)生探究新知，理解新知，設(shè)法突破學(xué)習(xí)障礙，從而更好地掌握新知. 筆者認(rèn)為，的確如此，要?jiǎng)?chuàng)造性地使用教材，就應(yīng)該善于設(shè)計(jì)問題，掐點(diǎn)地提出問題，好的問題能激發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí). 因此，問題串的設(shè)計(jì)是決定教學(xué)效果的主要因素，尤其是能突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)、突顯關(guān)鍵點(diǎn)的問題串的設(shè)計(jì)，是上好一節(jié)課的關(guān)鍵.

本節(jié)課共設(shè)計(jì)了10個(gè)大問題，在一些大問題下又設(shè)計(jì)了若干個(gè)追問. 追問是考慮學(xué)生的個(gè)體差異，依據(jù)學(xué)情和課堂的進(jìn)展、學(xué)生的疑惑而設(shè)計(jì)的. 追問要以解決或深入理解問題為目的，體現(xiàn)問題的驅(qū)動(dòng)性、啟發(fā)性、關(guān)聯(lián)性. 本節(jié)課以層層遞進(jìn)的問題串為導(dǎo)向，不斷向?qū)W生提供參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，加上教師適當(dāng)引導(dǎo)，幫助學(xué)生在自主探究與合作交流的過程中真正理解和掌握本節(jié)課內(nèi)容，很好地體現(xiàn)了“以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)”的新課程理念，切實(shí)做到了“學(xué)生為學(xué)習(xí)的主人，教師為組織者、引導(dǎo)者、參與者”，起到了事半功倍的效果.

2.以生活中熟悉的例子創(chuàng)設(shè)問題情境，自然、切題，富有生活氣息

“問題”被喻為數(shù)學(xué)的“心臟”，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師精心設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問題，創(chuàng)設(shè)問題情境，以數(shù)學(xué)問題為前提組織教學(xué)是非常重要的. 它是激發(fā)學(xué)生積極思考、掌握知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要手段，是教師輸出信息并獲得反饋信息的重要途徑.

本節(jié)課通過創(chuàng)設(shè)“校運(yùn)會(huì)志愿者”這一學(xué)生熟悉的生活情境，趁機(jī)提出所要探究的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生從身邊的數(shù)學(xué)知識(shí)入手，體會(huì)數(shù)學(xué)源于生活又服務(wù)于生活的課程理念，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣與積極性，為探究新知做足了準(zhǔn)備. 同時(shí)提出的問題讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，激發(fā)他們的數(shù)學(xué)思維，既引導(dǎo)學(xué)生回顧上節(jié)課學(xué)習(xí)的排列知識(shí)、組合的定義，又自然地引入新知.

3.以公式探究為明線，思想方法、能力素養(yǎng)為暗線，分層探究，深度理解

本節(jié)課始終圍繞組合數(shù)公式進(jìn)行探究，注重啟發(fā)學(xué)生的思維，激發(fā)學(xué)生自主探究. 在教學(xué)中，教師拋出一個(gè)問題后不要急著給出答案，舍得給學(xué)生想的時(shí)間、說的機(jī)會(huì)，等個(gè)別學(xué)生說完后繼續(xù)傾聽其他學(xué)生不同的想法，讓學(xué)生的思維過程充分暴露出來后再進(jìn)行補(bǔ)充、歸納、點(diǎn)評(píng). 例如，在組合數(shù)公式的推導(dǎo)中，教師給學(xué)生提供了口頭表達(dá)、上臺(tái)展示、小組討論、合作交流的機(jī)會(huì)，為學(xué)生搭建了展示思維過程的舞臺(tái). 在知識(shí)的生成過程中，可以利用特殊到一般的方法引導(dǎo)學(xué)生探究，例如，組合數(shù)公式、組合數(shù)性質(zhì)的探究，都是先引導(dǎo)學(xué)生從較小的組合數(shù)與排列數(shù)入手，再計(jì)算較大的組合數(shù)，最后計(jì)算一般的帶字母的組合數(shù)C.從特殊到一般，從具體到抽象，遵循知識(shí)的發(fā)生發(fā)展規(guī)律，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律. 盡量做到問題層層遞進(jìn)、由淺入深，在知識(shí)的理解過程中滲透轉(zhuǎn)化與化歸、特殊到一般、分類討論等重要數(shù)學(xué)思想方法，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).

作者簡(jiǎn)介：黃金明（1982—），本科學(xué)歷，高級(jí)教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作，曾獲第八屆全國數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩大賽全國一等獎(jiǎng)、教育部“部級(jí)優(yōu)課”、福建省第二屆教師教學(xué)技能大賽三明市第一名等榮譽(yù)，三明市教學(xué)名師培養(yǎng)對(duì)象，三明市學(xué)科帶頭人.

基金項(xiàng)目：三明市2023年度“名師名校長(zhǎng)培養(yǎng)對(duì)象”專項(xiàng)課題“大單元教學(xué)背景下‘高中數(shù)學(xué)單元起始課教學(xué)校本研究”（ZXKTM-2331）.