課堂因思維而綻放光芒

楊吟 金麗霞

【摘? ?要】分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)在教學(xué)中具有承上啟下的作用，屬于分?jǐn)?shù)知識(shí)系統(tǒng)中的一個(gè)基本概念。教師通過(guò)對(duì)教學(xué)內(nèi)容、學(xué)情的分析，確立了教學(xué)目標(biāo)，嘗試從“以問(wèn)引學(xué)，激發(fā)思維熱情；探究規(guī)律，發(fā)展推理意識(shí)；練習(xí)應(yīng)用，滲透等價(jià)思想”等實(shí)踐過(guò)程，提升學(xué)生的思維水平。

【關(guān)鍵詞】分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)；演繹推理；數(shù)學(xué)思想；等價(jià)類思想

【課前思考】

《分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)》是人教版教材五年級(jí)下冊(cè)“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”單元中的教學(xué)內(nèi)容。這一課以分?jǐn)?shù)意義、分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系及應(yīng)用為基礎(chǔ)，是后續(xù)進(jìn)行約分、通分的基本依據(jù)，和商不變性質(zhì)、比的基本性質(zhì)具有內(nèi)在一致性。因此，分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)在教學(xué)中具有承上啟下的作用，屬于分?jǐn)?shù)知識(shí)系統(tǒng)中的一個(gè)基本概念。教材在編排上通過(guò)兩個(gè)層次推進(jìn)：第一層次讓學(xué)生先借助動(dòng)手操作和直觀圖式，發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)的等值關(guān)系；再觀察等值分?jǐn)?shù)中分子和分母的變化規(guī)律，引發(fā)猜想，進(jìn)行驗(yàn)證；最后概括總結(jié)出分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程運(yùn)用了不完全歸納思想，滲透了合情推理。第二層次讓學(xué)生根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，以及整數(shù)除法中商不變的規(guī)律，自主完成分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)的演繹推理過(guò)程。兩個(gè)層次兩種推理相互印證，促進(jìn)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)的理解，也使學(xué)生獲得等價(jià)類思想的熏陶。

從學(xué)情的角度思考，《分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)》這一內(nèi)容的教學(xué)起點(diǎn)在哪里？學(xué)生的疑問(wèn)點(diǎn)在哪里？思維的增量又在哪里呢？為此，筆者對(duì)70名五年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了前測(cè)。

問(wèn)題1：在[12]、[36]、[46]、[48]、[612]、[812]、[23]中，有大小一樣的分?jǐn)?shù)嗎？請(qǐng)你找一找。

調(diào)查結(jié)果顯示，學(xué)生基本上都能從中找出大小一樣的分?jǐn)?shù)。這說(shuō)明學(xué)生已經(jīng)具備利用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)判斷分?jǐn)?shù)的大小的能力，這為探究分子、分母的變化規(guī)律提供了認(rèn)知基礎(chǔ)。

問(wèn)題2：你能比較出[14]和[28]的大小嗎？將你的思考過(guò)程用寫(xiě)一寫(xiě)或畫(huà)一畫(huà)的方式表示出來(lái)。

從問(wèn)題2的前測(cè)結(jié)果（如表1）可以看出，學(xué)生具有判斷兩個(gè)分?jǐn)?shù)相等的能力，且表示方法多樣：大部分學(xué)生選擇方法1，用畫(huà)直觀圖的方法說(shuō)明分?jǐn)?shù)的等值關(guān)系；也有小部分學(xué)生利用分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，將分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)進(jìn)行說(shuō)明；僅有2名學(xué)生把分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為除法，用商不變性質(zhì)來(lái)說(shuō)明。可見(jiàn)，將分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)和商不變性質(zhì)聯(lián)系起來(lái)，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)存在一定的困難。

從前測(cè)可知，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的意義掌握較好，教師應(yīng)放手讓學(xué)生自主探索，經(jīng)歷猜測(cè)、驗(yàn)證、總結(jié)的不完全歸納過(guò)程而將教學(xué)的重點(diǎn)轉(zhuǎn)向引導(dǎo)學(xué)生利用分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系及商不變規(guī)律進(jìn)行驗(yàn)證，利用演繹推理說(shuō)明結(jié)論的合理性，打通知識(shí)內(nèi)在關(guān)聯(lián)，從而讓學(xué)生初步感受數(shù)學(xué)研究的科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，發(fā)展推理意識(shí)，提升思維水平。

基于上述對(duì)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)情的分析，筆者確立了以下教學(xué)目標(biāo)。

1.深刻理解分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，能初步運(yùn)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)體會(huì)等價(jià)類思想。

2.經(jīng)歷“猜想—質(zhì)疑—驗(yàn)證—分析”等探究活動(dòng)，發(fā)展提問(wèn)能力，增強(qiáng)對(duì)合情推理和演繹推理的體驗(yàn)。

3.體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)探究、合作學(xué)習(xí)的樂(lè)趣。

【教學(xué)實(shí)踐】

一、以問(wèn)引學(xué)，激發(fā)思維熱情

根據(jù)前測(cè)結(jié)果，對(duì)于分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，學(xué)生已經(jīng)積累了很多感性經(jīng)驗(yàn)。教師可以利用學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，調(diào)動(dòng)他們已有的知識(shí)儲(chǔ)備，讓他們主動(dòng)地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引領(lǐng)后續(xù)的自主探究。

v教學(xué)片段1

師：你們聽(tīng)說(shuō)過(guò)“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”嗎？誰(shuí)能說(shuō)一說(shuō)什么是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)？

生：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或者除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。

師：對(duì)于這個(gè)說(shuō)法，你們有什么疑問(wèn)？

生：為什么同時(shí)乘或者除以相同的數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小會(huì)不變？

生：如果是“加或減”相同的數(shù)，大小是不是就會(huì)變了？

生：這里的“相同的數(shù)”是什么數(shù)？是小數(shù)、分?jǐn)?shù)都可以嗎？

生：為什么要0除外？

（教師整理并記錄學(xué)生提出的問(wèn)題，如圖1所示）

二、探究規(guī)律，發(fā)展推理意識(shí)

（一）合情推理，初步感知性質(zhì)

分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)的學(xué)習(xí)過(guò)程主要是一個(gè)合情推理的過(guò)程。教學(xué)時(shí)，教師先設(shè)置學(xué)習(xí)支架，以“加或者減”為例，示范驗(yàn)證的方法，再引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)圖式、文字、算式等數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行多元表征，讓學(xué)生充分經(jīng)歷“猜想—驗(yàn)證—結(jié)論”的歸納推理過(guò)程，體會(huì)“發(fā)現(xiàn)”的樂(lè)趣。

v教學(xué)片段2

師：如果是加或者減相同的數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小變不變？

生：可以舉個(gè)例子來(lái)說(shuō)明。把[13]的分子和分母同時(shí)加1，變成[24]，[13]和[24]不相等。

師：看來(lái)加或者減相同的數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小是會(huì)變的。

（教師在板書(shū)中擦去“加或者減？”）

師：那么乘或者除以相同的數(shù)會(huì)不會(huì)改變分?jǐn)?shù)的大小？你們有辦法來(lái)說(shuō)明嗎？

生：我們也可以像剛才那樣舉例子進(jìn)行驗(yàn)證。

師：請(qǐng)同學(xué)們自己來(lái)舉例子說(shuō)明是否相等，然后和同桌交流分享。

（學(xué)生先獨(dú)立思考，再同桌之間相互交流，最后全班反饋）

生：我舉的例子是[24]。把[24]的分子和分母都除以2，得到[12]，利用畫(huà)圖就可發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)分?jǐn)?shù)是相等的。（如圖2）

生：我利用畫(huà)線段圖來(lái)說(shuō)明。把[23]的分子和分母都乘2，得到[46]。我發(fā)現(xiàn)[23]和[46]表示的長(zhǎng)度是一樣的。（如圖3）

生：我舉的例子是[1020]。分子和分母都除以10后是[12]，[1020]和[12]轉(zhuǎn)化成小數(shù)，都是0.5，所以它們一樣大。

生：我舉的例子是[912]。把分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為除法，即9÷12。根據(jù)商不變性質(zhì)，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)除以3，它們的大小是不變的。除法算式大小一樣，那么分?jǐn)?shù)大小也一樣。（如圖4）

（二）演繹推理，理性認(rèn)識(shí)性質(zhì)

在學(xué)生通過(guò)舉例驗(yàn)證，經(jīng)歷合情推理后，教師引導(dǎo)學(xué)生利用分?jǐn)?shù)和除法的關(guān)系，根據(jù)商不變規(guī)律，對(duì)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)進(jìn)行演繹推理。這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程不僅能幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，形成合理的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，還能讓學(xué)生比較完整地經(jīng)歷合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論、演繹推理說(shuō)明結(jié)論的過(guò)程，發(fā)展推理意識(shí)。

v教學(xué)片段3

師：你們舉的這些例子都能說(shuō)明分子和分母同時(shí)乘或者除以相同的數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小不變。

生：老師，我有疑問(wèn)。我們只是舉了幾個(gè)例子，就能證明任意分?jǐn)?shù)都是這樣的嗎？

師：這是一個(gè)有價(jià)值的好問(wèn)題。有什么辦法能證明任意分?jǐn)?shù)都是這樣的呢？我們想想什么叫任意分?jǐn)?shù)？

生：可以用字母來(lái)表示，比如[ab]。

師：如果能證明[ab]的分子和分母同時(shí)乘或者除以相同的數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小還是不變，那這個(gè)結(jié)論就是正確的。那怎么證明呢？

（教師組織學(xué)生進(jìn)行小組合作探究，然后展示交流）

生：把分?jǐn)?shù)的分子分母都乘2，然后都轉(zhuǎn)化為除法，經(jīng)過(guò)計(jì)算，得到結(jié)果相等。（如圖5）

生：把分?jǐn)?shù)的分子和分母都乘c，然后都轉(zhuǎn)化為除法，再根據(jù)商不變性質(zhì)來(lái)說(shuō)明結(jié)果相等。（如圖6）

教師借助學(xué)生的交流討論梳理論證過(guò)程，先把[ab]的分子和分母同時(shí)乘2，再延伸為乘n，從而理解n可以是除0以外的任意數(shù)。（如圖7）

（三）數(shù)形結(jié)合，深刻理解性質(zhì)

教師可聚焦分?jǐn)?shù)單位，讓學(xué)生在“度量”中尋找等值分?jǐn)?shù)。在這個(gè)過(guò)程中，教師引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的形式，借助圖形理解分?jǐn)?shù)單位和單位個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，讓學(xué)生感受到分?jǐn)?shù)單位變了，取的份數(shù)也要發(fā)生變化，此時(shí)分?jǐn)?shù)保持等價(jià)。在變與不變中，促進(jìn)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)的深度理解。

三、練習(xí)應(yīng)用，滲透等價(jià)思想

分?jǐn)?shù)不同于整數(shù)的重要特性之一就是等價(jià)性。整數(shù)中，一個(gè)數(shù)只有一種表示形式，在數(shù)軸上就表示為某一個(gè)點(diǎn)。分?jǐn)?shù)則不同，一個(gè)具體的值有無(wú)限多種表示形式，如[12]=[24]=[36]=[48]=……盡管這些分?jǐn)?shù)的表示形式各有不同，但是在同一條數(shù)軸上，它們都表示同一個(gè)點(diǎn)，這表示它們數(shù)值相等。

v教學(xué)片段4

教師出示拓展練習(xí)。

師：你能寫(xiě)出幾個(gè)和[13]相等的分?jǐn)?shù)？你能把這些數(shù)在數(shù)軸上表示出來(lái)嗎？

（學(xué)生在課件上操作，把這些數(shù)移動(dòng)到了同一個(gè)點(diǎn)上）

師：看到這一幕，你又有什么好奇的地方？

生：為什么在數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)只能表示一個(gè)整數(shù)，卻能表示那么多分?jǐn)?shù)呢？

生：這些分?jǐn)?shù)都是相等的，它們存在的意義是什么呢？

師：在數(shù)軸上，同一個(gè)點(diǎn)可以用來(lái)表示不同形式的分?jǐn)?shù)，這有什么用呢？我們來(lái)玩?zhèn)€游戲，看看你能不能從中得到一些啟發(fā)。

（教師借助課件開(kāi)展分?jǐn)?shù)比大小游戲，如[13]和[415]無(wú)法直接比較，要用與[13]相等的另外表示形式[515]與[415]進(jìn)行比較，得出[13]>[415]。教師更換分?jǐn)?shù)，如[13]和[1330]、[13]和[821]等，繼續(xù)進(jìn)行游戲，加深學(xué)生的感受）

師：你能來(lái)說(shuō)說(shuō)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)有什么用嗎？

生：同一個(gè)分?jǐn)?shù)可以寫(xiě)成不同的形式，它就能在需要的時(shí)候發(fā)揮作用。

【課后感悟】

數(shù)學(xué)課堂要深入挖掘教學(xué)內(nèi)容的思維元素，努力激發(fā)學(xué)生的思維熱情，積極引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷思考的過(guò)程，讓課堂綻放內(nèi)涵，顯現(xiàn)精彩。

一、提出問(wèn)題，有效激發(fā)思維熱情

要讓學(xué)生對(duì)知識(shí)探究產(chǎn)生好奇心、主動(dòng)性，就要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，鼓勵(lì)他們探究和解決問(wèn)題。本課教學(xué)圍繞學(xué)生的三次提問(wèn)，促進(jìn)學(xué)生深入思考。課一開(kāi)始，引出分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)非確定性結(jié)論，引發(fā)第一次提問(wèn)：“為什么同時(shí)乘或者除以相同的數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小會(huì)不變？”“如果是‘加或者減相同的數(shù)，大小是不是就會(huì)變了？”“這里的‘相同的數(shù)是什么數(shù)？是小數(shù)、分?jǐn)?shù)都可以嗎？”“為什么要0除外？”讓學(xué)生經(jīng)歷“猜想—驗(yàn)證—結(jié)論”的過(guò)程（合情推理），歸納出結(jié)論。初步得出結(jié)論后，再次引發(fā)提問(wèn)：“通過(guò)以上舉例驗(yàn)證，就能說(shuō)明這個(gè)性質(zhì)一定成立嗎？”引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合商不變性質(zhì)有層次地進(jìn)行論證（演繹推理）。最后在練習(xí)環(huán)節(jié)中，在引出與[13]相等的不同分?jǐn)?shù)形式后，引發(fā)提問(wèn)：“為什么在數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)只能表示一個(gè)整數(shù)，卻能表示那么多分?jǐn)?shù)呢？”“這些分?jǐn)?shù)都是相等的，它們存在的意義是什么呢？”使學(xué)生的思維活躍起來(lái)。通過(guò)三次引發(fā)學(xué)生提問(wèn)，層層推進(jìn)，促發(fā)學(xué)生對(duì)規(guī)律本質(zhì)的深度思考。

二、經(jīng)歷過(guò)程，切實(shí)體驗(yàn)演繹推理

在小學(xué)階段，結(jié)論性的知識(shí)通常都是采用合情推理（不完全歸納推理）的方式獲得的，其實(shí)質(zhì)是討論“是什么”。而若能適度討論“為什么”，學(xué)習(xí)就能達(dá)到“知其所以然”的更高水平。在本課中，當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷舉例后，會(huì)意識(shí)到例子是舉不完的，會(huì)產(chǎn)生“是否有別的方法來(lái)說(shuō)明”的想法，這時(shí)，教師恰當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生思考：“通過(guò)以上舉例驗(yàn)證，就能說(shuō)明這個(gè)性質(zhì)一定成立嗎？”“舉了幾個(gè)例子，就能證明任意分?jǐn)?shù)都是這樣的嗎？”啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用字母[ab]去嘗試“證明”。學(xué)生在主動(dòng)思考的過(guò)程中，想出了不一樣的方法。教師在學(xué)生交流、討論的基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生一起經(jīng)歷演繹推理過(guò)程，讓學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)一定成立的“原理”，從而體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)的嚴(yán)密和演繹推理的美妙。

三、練中有思，深刻感悟數(shù)學(xué)思想

分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)用一句話即可概括，卻蘊(yùn)含著重要的等價(jià)類思想。為了達(dá)成這個(gè)目標(biāo)，教師精心設(shè)計(jì)了一個(gè)比分?jǐn)?shù)大小的游戲：[415] 該用哪個(gè)分?jǐn)?shù)進(jìn)行比較？[1330] 呢？讓學(xué)生體會(huì)到同一個(gè)分?jǐn)?shù)雖然有不同的表示形式，卻各有各的用途。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生體驗(yàn)逐步增強(qiáng)，認(rèn)識(shí)水平不斷提升，從而對(duì)等價(jià)類思想獲得了較深刻的感悟。

數(shù)學(xué)知識(shí)本身也許是枯燥的，但探究這些知識(shí)時(shí)，感悟這些知識(shí)背后的思想方法卻是美妙的。數(shù)學(xué)課堂，正是由于思維的融入，才綻放出了耀眼的光芒！

（1.浙江省杭州二中白馬湖學(xué)校

2.浙江省杭州市長(zhǎng)河小學(xué)）