摘 要：高中新課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)施，目的在于培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，新教材的使用，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和教師的教學(xué)方法提出了更高要求.

本文通過“基本不等式”進(jìn)行問題式教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)例，闡述了問題式教學(xué)過程中如何利用問題串來幫助學(xué)生分析和解決問題，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的目的.

關(guān)鍵詞：?jiǎn)栴}式教學(xué)；核心素養(yǎng)；教學(xué)設(shè)計(jì)

中圖分類號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2023）21-0047-03

收稿日期：2023-04-25

作者簡(jiǎn)介：張青萍（1990.11-），女，福建省漳州人，學(xué)士，中學(xué)二級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

問題設(shè)計(jì)的質(zhì)量高低是問題式教學(xué)是否能成功的關(guān)鍵.部分教師設(shè)計(jì)了很多問題，但有些屬于無(wú)效提問，無(wú)法引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確找到答題采分點(diǎn)，最終教師只能強(qiáng)行將知識(shí)塞給學(xué)生，不利于培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).為此，筆者以“基本不等式”教學(xué)設(shè)計(jì)為例，探討在問題式教學(xué)中問題串應(yīng)該如何設(shè)計(jì)，學(xué)生應(yīng)該如何引導(dǎo).

1 教學(xué)內(nèi)容及目標(biāo)分析

1.1 內(nèi)容分析

本節(jié)課內(nèi)容為“基本不等式”，選自人民教育出版社A版普通高中數(shù)學(xué)教科書必修第一冊(cè)第二章《一元二次函數(shù)、方程和不等式》第2節(jié)，學(xué)生在本節(jié)課之前掌握了不等式的性質(zhì)，并學(xué)習(xí)了重要不等式，為本節(jié)課學(xué)習(xí)基本不等式奠定了基礎(chǔ).

1.2 教學(xué)目標(biāo)

（1）引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問題出發(fā)，總結(jié)出基本不等式，并掌握代數(shù)法、幾何法證明.

（2）注意基本不等式的適用范圍及取等條件，并能夠利用基本不等式解決一些簡(jiǎn)單的最值問題和實(shí)際問題［1］.

（3）培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想、證明、抽象概括、分析問題和解決問題的能力.

2 教學(xué)過程

2.1 情境引入

媽媽讓小圓去市場(chǎng)買一斤蘋果.媽媽想看小販有沒有缺少斤兩，就想稱一下蘋果重量，但家里沒有秤，只找到一臺(tái)左右臂不等長(zhǎng)的天平，其余均精確.媽媽先將蘋果放在左邊托盤稱了一次，重量為450 g，再將蘋果放在右邊托盤又稱了一次，重量為550 g，于是媽媽得到結(jié)論：蘋果重量剛好是兩次所稱重量的和的一半，即500 g，小販沒有缺少斤兩.媽媽的說法對(duì)嗎？如何證明？

設(shè)計(jì)意圖：從生活實(shí)例出發(fā)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)來源于生活，引導(dǎo)學(xué)生從中抽象出數(shù)學(xué)模型，解決數(shù)學(xué)問題，激發(fā)學(xué)生的探索欲望和學(xué)習(xí)興趣.

2.2 分析問題

問題1：大家知道天平稱重的原理嗎？

學(xué)生：杠桿原理.

追問：具體是如何操作的？

學(xué)生：在天平的兩端各有一個(gè)盤子，一端盤子放砝碼，一端盤子放物體，當(dāng)兩端平衡時(shí)，砝碼的重量即為物體的重量.

問題2：能利用天平精確稱重的關(guān)鍵在哪里？

學(xué)生：天平的左右力臂等長(zhǎng).

追問：為什么？能否給出數(shù)學(xué)解釋？

學(xué)生：假設(shè)左右力臂長(zhǎng)均為l，物體重量為M，砝碼重量為m，重力加速度為g.由lMg=lmg可得M=m，即物體重量與砝碼重量相等.

師：很好，這樣可以得到當(dāng)左右力臂不等長(zhǎng)時(shí)，物體的重量和砝碼的重量是不相等的.

問題3：媽媽的做法能否得到正確的重量呢？大家討論一下.

2分鐘以后，老師請(qǐng)同學(xué)們舉手發(fā)表意見.

學(xué)生1回答預(yù)設(shè)：我覺得可以，因?yàn)樽笥伊Ρ鄄坏乳L(zhǎng)，兩次稱得的重量一次偏輕，一次偏重，兩次相加取平均應(yīng)該正好.

學(xué)生2回答預(yù)設(shè)：我覺得不可以，因?yàn)殡m然兩次稱得的重量一次偏輕，一次偏重，兩次相加取平均不一定能剛好等于實(shí)際重量，可能還與力臂具體長(zhǎng)短有關(guān).

學(xué)生3回答預(yù)設(shè)：我也覺得兩次相加取平均不一定能剛好等于實(shí)際重量，但是與力臂具體長(zhǎng)短應(yīng)該也無(wú)關(guān).

師：能否從原理入手驗(yàn)證上述三位同學(xué)的說法究竟誰(shuí)對(duì)誰(shuí)錯(cuò)？真實(shí)重量應(yīng)該如何計(jì)算？

問題4：我們不妨假設(shè)物體實(shí)際重量為M，天平左右兩臂長(zhǎng)分別為l1和l2，兩次稱量結(jié)果分別為450 g和550 g，大家能否得到這些量之間的關(guān)系？

學(xué)生：l1M g=450l2 g，l2M g=550l1 g.

追問：能否消去l1，l2？

學(xué)生：兩式相乘得M2=247 500.

追問：根據(jù)這一計(jì)算結(jié)果，哪位同學(xué)的想法是對(duì)的？小圓媽媽的方法是否正確？

學(xué)生：5002=250 000>247 500，不難看出小圓媽媽的做法不能得到精確的重量，實(shí)際重量應(yīng)該要偏輕，并且與力臂具體長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，第三位同學(xué)想法正確.

問題5：大家能不能從這一實(shí)例中抽象出一個(gè)一般的數(shù)學(xué)不等式？

學(xué)生：兩次稱量結(jié)果設(shè)為a和b，則a+b22>ab即a+b2>ab.

追問：其中a和b有什么限制嗎？有沒有滿足什么關(guān)系？

學(xué)生：a和b都是正數(shù)，并且a與b不相等.

追問：那如果a與b相等，不等式會(huì)發(fā)生改變嗎？

學(xué)生：a=b時(shí)a+b2=ab.

追問：那大家能否將這個(gè)不等式補(bǔ)充完整？

學(xué)生：a+b2≥ab（a>0，b>0），當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立.

師：很好，這個(gè)不等式我們稱為基本不等式.大家能否給出證明？

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)置問題1和2引導(dǎo)學(xué)生回答出天平稱重的原理，為下一問作鋪墊；設(shè)置問題3讓學(xué)生自主思考、討論；設(shè)置問題4引導(dǎo)學(xué)生自行論證觀點(diǎn)的正確性；設(shè)置問題5引導(dǎo)學(xué)生將特殊轉(zhuǎn)化為一般，提高學(xué)生的抽象概括能力.通過追問，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行更深入的思考.

2.3 解決問題

問題1：我們學(xué)過哪些方法可以證明不等式？

學(xué)生：作差法，分析法，綜合法，反證法等等.

問題2：此不等式可以考慮用什么方法來證明？

學(xué)生：a+b2-ab=a+b-2ab2=a2+b2-2ab2=a-b22≥0，

所以a+b2≥ab（a>0，b>0），當(dāng)且僅當(dāng)a=b即a=b時(shí)等號(hào)成立.

師：很好，這樣我們可以得到基本不等式的證明.

師：那大家還有其它證明方法嗎？

為了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，設(shè)置如下折紙實(shí)驗(yàn)：

師：現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們拿出讓你們事先準(zhǔn)備好的三張正方形卡紙，兩大（一樣大）一小.先拿出一大一小的兩張正方形卡紙，我們不妨假設(shè)大的正方形面積為a，小的正方形面積為b.先將兩張正方形卡紙分別沿對(duì)角線折成等腰直角三角形，再將兩個(gè)等腰直角三角形沿對(duì)角線拼在一起，構(gòu)造一個(gè)兩邊分別等于兩個(gè)直角三角形直角邊的矩形，將多出來的部分切除，如圖1.

圖1 大小正方形

問題：思考兩個(gè)直角三角形的面積和與矩形面積的關(guān)系，大家能得到什么結(jié)論？

學(xué)生：兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為a和b，四個(gè)直角三角形的面積之和a+b2大于矩形的面積ab.

教師借助PPT動(dòng)態(tài)演示，直觀展現(xiàn)折紙過程，得到ab

師：接著請(qǐng)大家拿出另外一張大的正方形紙片也沿對(duì)角線折成等腰直角三角形，將兩個(gè)大三角形沿對(duì)角線拼在一起，看看又能得到什么結(jié)論？

學(xué)生：動(dòng)手折紙拼接后得到a·a=a+a2即當(dāng)a=b時(shí)ab=a+b2.

師：很好，這樣我們就得到了基本不等式ab≤a+b2（a>0，b>0）的一種幾何證明.

設(shè)計(jì)意圖：通過折紙實(shí)驗(yàn)，激發(fā)同學(xué)們的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生通過自己動(dòng)手、觀察，得出基本不等式的幾何證明，印象深刻［2］.

2.4 實(shí)際應(yīng)用

例題1 （1）用一根鐵絲做一個(gè)矩形框，當(dāng)框的面積為36 cm2.所用鐵絲最短多少？

（2）用一根長(zhǎng)為36 cm的鐵絲做一個(gè)矩形框，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，矩形的面積最大，最大面積是多少？

追問：例題中的定量是什么，變量是什么？能求解什么樣的最值問題？

設(shè)計(jì)意圖：實(shí)際應(yīng)用題可以提高學(xué)生的讀題、析題能力，并將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際生活中.通過追問，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)能夠利用基本不等式求解最值問題的特征，得出結(jié)論：對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)x，y，若xy=m（定值），則當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，x+y有最小值2m；若x+y=m（定值），則當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，xy有最大值m24.鼓勵(lì)學(xué)生自己探索推導(dǎo)，可以讓學(xué)生加深對(duì)基本不等式的理解，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

例題2 求y=x+1x（x>0）的值域.

變式：若x>2，求x+1x-2的最小值.

2.5 回顧總結(jié)

你在這節(jié)課上學(xué)到了什么？運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思維方法？學(xué)生概括總結(jié)后，教師補(bǔ)充完善.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生能夠形成這節(jié)課的知識(shí)框架，對(duì)探究過程及方法有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí).

2.6 課后鞏固

已知x>0，y>0，且2x+8y=1，求xy的最小值.

設(shè)計(jì)意圖：通過課外作業(yè)的布置，實(shí)現(xiàn)對(duì)課堂知識(shí)鞏固和加強(qiáng)的目的.不僅考查了基礎(chǔ)，還探索了實(shí)際問題，作業(yè)呈現(xiàn)方式多樣，較好地調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，感受數(shù)學(xué)帶來的樂趣，并讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活，又應(yīng)用于生活，能利用所學(xué)知識(shí)解決生活中的實(shí)際問題，做到真正學(xué)有所用，學(xué)以致用.

3 教學(xué)反思

在本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師以提出問題和解決問題為主線，使學(xué)生一直處在思考探索中，有利于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高課堂效率.教師圍繞教學(xué)目標(biāo)精心設(shè)計(jì)每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生自主完成基本不等式的探究和證明.在教師創(chuàng)設(shè)的問題情境中，教師只是在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候引導(dǎo)學(xué)生，給學(xué)生留下思考和探索的空間.通過一式多證鍛煉學(xué)生思維，拓寬學(xué)生思路.設(shè)置折紙實(shí)驗(yàn)，讓大家直觀的感知并證明基本不等式，增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.利用多媒體使課堂更加生動(dòng)活潑，例如折紙實(shí)驗(yàn)中借助PPT動(dòng)畫使整個(gè)過程更加清晰明了.通過讓學(xué)生自己編寫問題，引導(dǎo)學(xué)生自主提問，體現(xiàn)了以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)意識(shí).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 王禹桐，孔德宏.問題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)在微課設(shè)計(jì)中的應(yīng)用探究：以“拋物線的光學(xué)性質(zhì)”為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2022（04）： 29-31.

［2］ 王燕.以問題設(shè)計(jì)為手段 發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)：以“兩角和與差的余弦公式”教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2022（02）：37-39.

［責(zé)任編輯：李 璟］