在問題解決中發(fā)展模型意識(shí)

臧楠楠

摘 要：《常見的數(shù)量關(guān)系》一課，是小學(xué)階段數(shù)量關(guān)系教學(xué)的“種子課”——是在學(xué)生理解了乘法意義和加法模型，積累了大量相關(guān)的感性認(rèn)識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上教學(xué)的，要為后續(xù)學(xué)習(xí)復(fù)雜的行程問題和數(shù)量關(guān)系以及正、反比例的數(shù)學(xué)表達(dá)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。因此，本節(jié)課教學(xué)，厘清數(shù)量關(guān)系是基礎(chǔ)，回歸問題解決是手段，發(fā)展模型意識(shí)是核心。

關(guān)鍵詞：小學(xué)教學(xué)；數(shù)量關(guān)系；模型意識(shí)；問題解決

一、教學(xué)背景

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊《三位數(shù)乘兩位數(shù)》單元《常見的數(shù)量關(guān)系》一課，是小學(xué)階段數(shù)量關(guān)系教學(xué)的“種子課”——是在學(xué)生理解了乘法意義和加法模型，積累了大量相關(guān)的感性認(rèn)識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上教學(xué)的，要為后續(xù)學(xué)習(xí)復(fù)雜的行程問題和數(shù)量關(guān)系以及正、反比例的數(shù)學(xué)表達(dá)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是在具體情境中認(rèn)識(shí)“總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量”“路程=速度×?xí)r間”這兩個(gè)常見的數(shù)量關(guān)系，并能運(yùn)用這兩個(gè)數(shù)量關(guān)系解決簡單的實(shí)際問題。本節(jié)課教學(xué)，看似簡單，實(shí)則不易。其一，一些教師讓學(xué)生過多、過碎地去記憶數(shù)量關(guān)系，沒有厘清數(shù)量關(guān)系之間的“關(guān)系”，更沒有滲透模型意識(shí)。其二，教學(xué)的數(shù)量關(guān)系與解決實(shí)際問題嚴(yán)重脫節(jié)，一度出現(xiàn)學(xué)生會(huì)說、會(huì)填卻不會(huì)用的場景，忽視了學(xué)生應(yīng)用意識(shí)和解決問題能力的培養(yǎng)；最后，教學(xué)中“重知識(shí)，輕方法”的現(xiàn)象尤為突出，不利于學(xué)生掌握數(shù)量關(guān)系的一般研究方法。筆者以為，本節(jié)課教學(xué)，厘清數(shù)量關(guān)系是基礎(chǔ)，回歸問題解決是手段，發(fā)展模型意識(shí)是核心。

二、教學(xué)過程

（一）在對比中厘清數(shù)量關(guān)系

師 （出示蘇炳添奧運(yùn)會(huì)百米跑成績9秒83的海報(bào)圖片）同學(xué)們，認(rèn)識(shí)他嗎？圖中隱藏著什么信息？

生 蘇炳添跑100米用了9秒83。

生 蘇炳添跑100米的路程用了9秒83的時(shí)間，速度很快！

師 對這位同學(xué)提到的路程、時(shí)間、速度這三個(gè)詞，你們有什么想問的嗎？

生 什么是速度？

生 我會(huì)比快慢，為什么還要學(xué)速度？

生 三者是什么關(guān)系？

生 速度怎么寫？

師 就讓我們帶著這些有價(jià)值的問題開始今天這節(jié)課吧。你們會(huì)比快慢嗎？（出示圖1）猴子和松鼠誰快？為什么？松鼠和小兔誰快？

生 松鼠比猴子快。因?yàn)樗鼈冏叩臅r(shí)間一樣，松鼠走得更遠(yuǎn)，所以松鼠快。

生 松鼠也比小兔快。因?yàn)樗鼈冏叩穆烦桃粯樱墒笥玫臅r(shí)間更少，所以松鼠快。

師 （出示圖2）時(shí)間相同比路程，路程相同比時(shí)間，這確實(shí)是常用的比快慢的方法。但這兩種比快慢的方法，都是在特殊情況下使用的，一般情況是路程不同，時(shí)間也不同，（出示表1）松鼠和小貓誰快呢？

（學(xué)生匯報(bào)交流，教師總結(jié)，得到圖3。）

師 一下子想出了這么多方法，同學(xué)們真厲害！對比一下這些方法，它們有什么聯(lián)系呢？

生 ①、②兩種方法都是把時(shí)間轉(zhuǎn)化成1分鐘，一個(gè)是列式，一個(gè)是畫圖，本質(zhì)是一樣的；③、④兩種方法分別把時(shí)間轉(zhuǎn)化成3分鐘和6分鐘。幾種方法都是轉(zhuǎn)化成相同時(shí)間比路程。

師 為什么不選擇相同路程比時(shí)間呢？

生 麻煩。

生 相同路程比時(shí)間，時(shí)間越長，速度越慢，得“反”過來思考。

師 轉(zhuǎn)化成相同時(shí)間比路程，你更喜歡轉(zhuǎn)化成幾分鐘？

生 1分鐘，這樣更簡單。

師 同學(xué)們，（出示圖4）又來了兩位動(dòng)物比快慢。

（學(xué)生小聲嘀咕，覺得教師寫錯(cuò)了。）

師 （課件補(bǔ)上時(shí)間）現(xiàn)在補(bǔ)上時(shí)間呢？你有什么想說的？

生 比快慢，與路程和時(shí)間兩個(gè)量都有關(guān)，缺一不可。

師 剛剛我們都是結(jié)合路程和時(shí)間兩個(gè)量來比快慢，它們有什么相同點(diǎn)？

生 都是轉(zhuǎn)換成相同時(shí)間比路程，最好是1分鐘。

師 單位時(shí)間（1分鐘、1小時(shí)、1秒）里所走的路程叫作速度，也就是：路程÷時(shí)間=速度。根據(jù)這個(gè)數(shù)量關(guān)系式，還可以推出其他的數(shù)量關(guān)系式嗎？

生 速度×?xí)r間=路程。

生 路程÷速度=時(shí)間。

師 學(xué)會(huì)了速度的數(shù)量關(guān)系式，小青卻發(fā)現(xiàn)了一個(gè)神奇的現(xiàn)象，（出示圖5）小青的速度和飛船的速度都是8千米，你同意嗎？你有什么好辦法？

（1）“神舟七號(hào)”飛船在太空中5秒飛行了約40千米，它每秒飛了約（? ）。

40÷5=8（千米）

（2）小青騎自行車，2小時(shí)騎了16千米，他每小時(shí)騎了（? ）。

16÷2=8（千米）

生 不同意。它們雖然都是8千米，但時(shí)間不一樣，一個(gè)是1秒，一個(gè)是1小時(shí)。要把它們轉(zhuǎn)換成相同的時(shí)間。

師 （板書：千米/秒，千米/小時(shí)）數(shù)學(xué)上，我們把這樣的單位叫作復(fù)名數(shù)單位，斜杠表示“每”和“1”的意思，讀作千米每秒、千米每小時(shí)。那你覺得速度的單位好在哪里？

生 速度的單位可以體現(xiàn)速度與路程、時(shí)間兩個(gè)量都有關(guān)系。

生 速度的單位能看出速度的求法是路程÷時(shí)間。

生 “千米/秒”這樣的單位讀起來能讓人感受到快慢：嘀嗒1秒，飛船就飛出去8千米，實(shí)在是太快了！

（二）在解決問題中遷移應(yīng)用

1.解決生活中的路程問題

師 同學(xué)們，（出示表2）這是南京到青島不同年份的列車速度表，這里的空你會(huì)填嗎？根據(jù)什么數(shù)量關(guān)系？

（指名學(xué)生口述填空。）

師 南京到北京大約1000千米，按照300千米/小時(shí)的速度，乘坐高鐵3.5小時(shí)一定能到達(dá)北京嗎？

生 能。

生 不一定能。因?yàn)?00千米/小時(shí)是高鐵運(yùn)行的平均速度，還要考慮停靠站的時(shí)間，要聯(lián)系實(shí)際想問題。

師 觀察表格，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生 路程相同，速度越快，時(shí)間越短；速度越慢，時(shí)間越長。

師 感受了現(xiàn)代技術(shù)的提升，我們再來感受一下古詩詞文化吧。（出示古詩《早發(fā)白帝城》）這首詩中提到的“千里江陵一日還”是真的嗎？李白是否采用了夸張的手法？提示：古時(shí)候的1千里=500千米。

生 1千里=500千米，一日=24小時(shí)，船的速度=500÷24

≈21（千米/小時(shí)），這在當(dāng)時(shí)是可以實(shí)現(xiàn)的，并不夸張，所以是真的。

師 那如果李白生活在現(xiàn)代，改乘飛機(jī)，飛機(jī)的速度是800千米/小時(shí)，你覺得這首詩可以怎么改？

生 千里江陵一時(shí)還。

（學(xué)生哈哈大笑。）

2.自主學(xué)習(xí)價(jià)格的數(shù)量關(guān)系

師 生活中還有一組常見的量：單價(jià)、數(shù)量、總價(jià)。它們的數(shù)量關(guān)系，老師想留給你們自己研究，請四人一組商討一下研究提綱。

（學(xué)生自主確立研究提綱，研究數(shù)量關(guān)系，證明數(shù)量關(guān)系，自主推導(dǎo)其他數(shù)量關(guān)系。）

師 我們一起來回顧一下兩個(gè)數(shù)量關(guān)系的研究歷程。（出示圖6）我們都是先列表發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，然后數(shù)形結(jié)合體會(huì)數(shù)量關(guān)系，最后應(yīng)用數(shù)量關(guān)系解決問題。

（三）在梳理中建立數(shù)學(xué)模型

師 （出示圖7）請同學(xué)們利用這個(gè)線段圖，結(jié)合一天的學(xué)校生活創(chuàng)編情境。

（教師匯總學(xué)生回答。）

師 如果用一道數(shù)量關(guān)系式概括所有，你會(huì)嗎？

（學(xué)生討論，總結(jié)得出“總數(shù)=每份數(shù)×份數(shù)”。）

師 總數(shù)=每份數(shù)×份數(shù)，其實(shí)就是二年級(jí)學(xué)的幾個(gè)幾相加。那么，今天推導(dǎo)出來的其他數(shù)量關(guān)系式又有什么關(guān)聯(lián)呢？你能用學(xué)過的知識(shí)概括嗎？

（學(xué)生交流，教師總結(jié)，出示圖8。）

師 是的呀，每份數(shù)=總數(shù)÷份數(shù)，份數(shù)=總數(shù)÷每份數(shù)，其實(shí)就是兩種平均分。希望同學(xué)們以后也能像今天這樣用聯(lián)系的眼光看問題。

三、教學(xué)反思

（一）厘清數(shù)量關(guān)系是基礎(chǔ)

《常見的數(shù)量關(guān)系》一課，教學(xué)重點(diǎn)是對“關(guān)系”的理解和把握。我們既要厘清數(shù)量關(guān)系內(nèi)部各個(gè)量之間的關(guān)系，也要厘清多個(gè)數(shù)量關(guān)系之間的關(guān)系，同時(shí)要厘清數(shù)量關(guān)系與乘法意義的關(guān)系，甚至還要厘清“衍生”的數(shù)量關(guān)系與除法平均分的關(guān)系。

本節(jié)課，教師巧妙地利用烏龜和獵豹比快慢，讓學(xué)生在質(zhì)疑的過程中強(qiáng)烈地感受到速度與路程和時(shí)間兩個(gè)量都有關(guān)系。教師還利用小青和飛船比速度的活動(dòng)，讓學(xué)生自然產(chǎn)生使用一個(gè)新（統(tǒng)一）單位的強(qiáng)烈需求。這樣一個(gè)表示速度的復(fù)合單位，不是以告知的方式強(qiáng)迫學(xué)生接受，而是在交流中順勢生成的，并且讓學(xué)生充分體會(huì)到它的作用。如此，學(xué)生深化了對速度概念內(nèi)涵的理解，厘清了數(shù)量關(guān)系內(nèi)部各個(gè)量之間的關(guān)系。教師又聯(lián)系生活實(shí)際，以青島與南京之間的列車速度為素材創(chuàng)設(shè)問題情境，幫助學(xué)生靈活運(yùn)用不同的數(shù)量關(guān)系解決實(shí)際問題，厘清多個(gè)數(shù)量關(guān)系之間的關(guān)系。最后，讓學(xué)生結(jié)合一天的學(xué)習(xí)生活創(chuàng)編情境，厘清多個(gè)數(shù)量關(guān)系與乘法和除法的關(guān)系。這樣的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生內(nèi)化并徹底厘清了所學(xué)的數(shù)量關(guān)系。

（二）回歸問題解決是手段

數(shù)學(xué)知識(shí)從問題解決中來，還應(yīng)該回歸到問題解決中去。只有在解決實(shí)際問題中才能彰顯數(shù)學(xué)知識(shí)的生命力，這就好比在游泳中學(xué)游泳。

本節(jié)課，在學(xué)生掌握了“路程÷時(shí)間=速度”以及衍生出的兩個(gè)數(shù)量關(guān)系式“速度×?xí)r間=路程”“路程÷速度=時(shí)間”后，教師選用了兩組具有現(xiàn)實(shí)意義的素材。以青島與南京之間的列車速度為素材創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生反復(fù)運(yùn)用不同的數(shù)量關(guān)系來解答，不斷加深對三個(gè)數(shù)量內(nèi)部之間關(guān)系的理解，初步感受從變化的角度去分析數(shù)量關(guān)系，體會(huì)到數(shù)量之間總是相互依存、相互影響的，其中存在一個(gè)變量，就會(huì)導(dǎo)致另外一個(gè)量同時(shí)發(fā)生變化。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的內(nèi)在邏輯，使學(xué)生體會(huì)到了用數(shù)量關(guān)系解決實(shí)際問題的便捷性。又引用李白的詩《早發(fā)白帝城》并提出質(zhì)疑，讓學(xué)生自主選擇合適的數(shù)量關(guān)系式來判斷，于發(fā)展推理意識(shí)的同時(shí)鍛煉了估算能力。這樣學(xué)科融合的題型一下子就抓住了學(xué)生的眼球，讓數(shù)量關(guān)系在應(yīng)用中自然嫻熟。當(dāng)追問如果李白生活在現(xiàn)代改乘飛機(jī)，古詩該如何改編時(shí)，學(xué)生的情感體驗(yàn)達(dá)到了峰值。原來，應(yīng)用數(shù)量關(guān)系還能夠創(chuàng)編古詩，這不正是在用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界嗎？

（三）發(fā)展模型意識(shí)是核心

模型意識(shí)分為建模和用模兩方面。數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種方式，更是一種過程。它需要經(jīng)歷對原始問題分析、假設(shè)、抽象的數(shù)學(xué)加工過程，同時(shí)要經(jīng)歷選擇數(shù)學(xué)工具、方法和模型的過程，最后還要經(jīng)歷模型求解、模型驗(yàn)證和模型再分析、再求解的迭代過程。

本節(jié)課正是讓學(xué)生完整經(jīng)歷了這樣一個(gè)數(shù)學(xué)建模的過程。首先，從原始問題“比快慢”入手，回顧“相同時(shí)間比路程和相同路程比時(shí)間”兩種方法，進(jìn)而產(chǎn)生一般情況下如何比快慢的疑惑，學(xué)生通過列表、畫圖等策略總結(jié)出數(shù)量關(guān)系。接著，基于線段圖，結(jié)合一天的學(xué)習(xí)生活創(chuàng)編情境，學(xué)生直觀地感受到除了“速度×?xí)r間=路程”“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”兩組數(shù)量關(guān)系，還有多種多樣的數(shù)量關(guān)系。學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)常見的數(shù)量關(guān)系之間有著一定的內(nèi)在聯(lián)系。然后，進(jìn)一步抽象，將“衍生”的數(shù)量關(guān)系和兩種平均分緊密勾連。這樣的學(xué)習(xí)歷程，讓學(xué)生不僅得到了知識(shí)層面的提升，還獲得了方法層面的進(jìn)步，使其以后在自主研究問題時(shí)，能夠復(fù)刻出這樣的“微科研”過程。從原始問題出發(fā)，采取已有的解決問題的策略對問題進(jìn)行加工，用聯(lián)系的眼光去看問題，尋求合適的模型，并對所要建構(gòu)的模型進(jìn)行驗(yàn)證分析，甚至是解構(gòu)和重構(gòu)，這能讓學(xué)生在培養(yǎng)抽象概括能力的同時(shí)，塑造理性精神，發(fā)展模型意識(shí)。