經(jīng)歷建模過(guò)程 培養(yǎng)模型意識(shí)

經(jīng)輝

【摘 要】一個(gè)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模過(guò)程，就是從數(shù)學(xué)的角度觀察具體情境中的現(xiàn)象、提出具體問(wèn)題，進(jìn)而運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想解釋現(xiàn)象、構(gòu)建模式，然后再處理具體現(xiàn)象，最后用數(shù)學(xué)語(yǔ)言加以表述。本文從“任務(wù)驅(qū)動(dòng)，運(yùn)用模型解決問(wèn)題；圖形結(jié)合，形成算法感悟模型；異中求同，優(yōu)化算法建構(gòu)模型；多維溝通，算法關(guān)聯(lián)完善模型”四個(gè)方面闡述“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”這節(jié)課中關(guān)于培養(yǎng)模型意識(shí)的一點(diǎn)做法及思考。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教學(xué) 建模思想 模型意識(shí)

小學(xué)階段偏重于培養(yǎng)學(xué)生的“模型意識(shí)”，即對(duì)數(shù)學(xué)模型的初步感悟、運(yùn)用，而初中階段偏重于培養(yǎng)學(xué)生的“模型觀念”。數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)研究的主要方法之一，建模思維是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)思維之一。一個(gè)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模過(guò)程，就是從數(shù)學(xué)的角度觀察具體情境中的現(xiàn)象、提出具體問(wèn)題，進(jìn)而運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想解釋現(xiàn)象、構(gòu)建模式，然后再處理具體現(xiàn)象，最后用數(shù)學(xué)語(yǔ)言加以表述。

“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”是蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)第四單元“分?jǐn)?shù)除法”的起始課。運(yùn)算課要處理好算理和算法的關(guān)系。算理解決為什么這樣算的問(wèn)題，算法解決怎樣算的問(wèn)題。只有在理解算理的基礎(chǔ)上得出算法，繼而優(yōu)化算法，熟練算法，才是計(jì)算教學(xué)的基本路徑，也是培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算課模型意識(shí)的需要。

片段一：任務(wù)驅(qū)動(dòng)，運(yùn)用模型解決問(wèn)題

課件出示：說(shuō)一說(shuō)數(shù)量關(guān)系，并根據(jù)數(shù)量關(guān)系列式。

（1）量杯里裝有800毫升果汁，平均分給2個(gè)學(xué)生，問(wèn)每個(gè)學(xué)生飲用了多少毫升果汁？

（2）量杯里裝有0.4升果汁，平均分給2個(gè)學(xué)生，問(wèn)每個(gè)學(xué)生飲用了多少升果汁？

（3）量杯里裝有升果汁，平均分給2個(gè)學(xué)生，問(wèn)每個(gè)學(xué)生飲用了多少升果汁？

師：請(qǐng)同學(xué)們先說(shuō)一說(shuō)，再完成學(xué)習(xí)單。

生1：我選第（1）題，總毫升數(shù)÷學(xué)生數(shù)=每個(gè)學(xué)生飲用的毫升數(shù)，算式是800÷2=400（毫升）。

生2：我選第（2）題，總升數(shù)÷學(xué)生數(shù)=每個(gè)學(xué)生飲用的升數(shù)，算式是0.4÷2=0.2（升）。

生3：我選第（3）題，總升數(shù)÷學(xué)生數(shù)=每個(gè)學(xué)生飲用的升數(shù)，算式是 ÷2。

師：這三題有什么相同點(diǎn)？

生1：數(shù)量關(guān)系都是相同的，都是把總數(shù)平均分成兩份，求每份是多少。

生2：如果將一整數(shù)或小數(shù)平均分為多份，求每份是多少，應(yīng)該用除法求解。

生3： ÷2算式雖然沒學(xué)過(guò)，但我可以想辦法解決。

【思考】教師精心設(shè)計(jì)一個(gè)“分果汁”的大問(wèn)題情境，將整數(shù)除以整數(shù)、小數(shù)除以整數(shù)和分?jǐn)?shù)除以整數(shù)融入教學(xué)素材中，目的是改變學(xué)生被動(dòng)學(xué)習(xí)的狀態(tài)，促使學(xué)生積極調(diào)動(dòng)已有的知識(shí)儲(chǔ)備來(lái)解決問(wèn)題，并主動(dòng)進(jìn)行知識(shí)關(guān)聯(lián)，建構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)。這3個(gè)問(wèn)題的解決都運(yùn)用了“總數(shù)÷份數(shù)=每份數(shù)”這一數(shù)量關(guān)系模型，問(wèn)題（1）（2）無(wú)論是數(shù)量關(guān)系還是算法都是學(xué)生已經(jīng)掌握的，將問(wèn)題（3）納入學(xué)生熟悉的問(wèn)題情境與數(shù)量關(guān)系的模型中，將舊知識(shí)與新知識(shí)、舊經(jīng)驗(yàn)與新經(jīng)驗(yàn)建立聯(lián)系，借助已有經(jīng)驗(yàn)解決新問(wèn)題的這一過(guò)程其實(shí)就是運(yùn)用已有模型解決問(wèn)題的過(guò)程，并且將已有模型由整數(shù)除以整數(shù)、小數(shù)除以整數(shù)擴(kuò)展到分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，以后還會(huì)擴(kuò)展到整數(shù)除以分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)除以整數(shù)。這一片段的設(shè)計(jì)能促進(jìn)學(xué)生思維方式、知識(shí)結(jié)構(gòu)和情感態(tài)度價(jià)值觀的相互作用，使學(xué)生建構(gòu)有結(jié)構(gòu)的、發(fā)展的認(rèn)知系統(tǒng)，并體會(huì)到模型的價(jià)值。

片段二：圖形結(jié)合，形成算法感悟模型

師： ÷2可以怎樣計(jì)算呢？先在作業(yè)紙上分一分、涂一涂、寫一寫，然后再在小組內(nèi)、課堂中交流自己的思路。

各小組匯報(bào)。

小組1：把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，升=0.8升，接著用0.8÷2=0.4（升）。

小組2：把單位升轉(zhuǎn)化成毫升：升=800毫升，接著用800÷2=400（毫升）。

小組3：結(jié)合圖1，橫著分，利用整數(shù)除法的意義，可以理解為把升平均分成2份，就是把4個(gè)（計(jì)數(shù)單位）平均分成2份，每份有2個(gè)，就是。

小組4：結(jié)合圖2，豎著分，就是把分?jǐn)?shù)的分子分母同時(shí)擴(kuò)大2倍，=，分?jǐn)?shù)單位是，把8個(gè)平均分成2份，每份有4個(gè)，就是。

師：從這兩組同學(xué)的發(fā)言中，我們不難發(fā)現(xiàn)，除法計(jì)算就是把計(jì)數(shù)單位不斷細(xì)分。

小組5：結(jié)合圖2，我們組有不同的理解。把平均分為2份，求每份是多少，就是求的，也就是× ，所以 ÷2= × =。

圖1圖2

師：同學(xué)們的算法真多，你們分別是怎樣算的呢？

生交流。

師（小結(jié)）：分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，可以轉(zhuǎn)化成我們?cè)?jīng)學(xué)過(guò)的整數(shù)除法或小數(shù)除法；可以用分子除以整數(shù)作分子，分母固定不變；可以將除以某個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化成乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

【思考】自主探索是學(xué)生感悟的基礎(chǔ)。針對(duì)小學(xué)生的思維特性，教師可以采取手腦并用、數(shù)形結(jié)合的教學(xué)策略，有意識(shí)地把“圖”和“式”對(duì)照起來(lái)并加以分析與講解，有助于學(xué)生建立圖像語(yǔ)言與數(shù)學(xué)語(yǔ)言之間的緊密聯(lián)系，從而有效降低難度。教學(xué)中，教師放手讓學(xué)生自主探索計(jì)算方法，再引導(dǎo)學(xué)生用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)解釋自己的思考過(guò)程，學(xué)生由具體情境中的數(shù)量過(guò)渡到從計(jì)數(shù)單位的層面認(rèn)識(shí)和解決分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，感受到分?jǐn)?shù)除法也是像整數(shù)除法、小數(shù)除法一樣將計(jì)數(shù)單位不斷細(xì)分?？梢姡瑢W(xué)生的思維從具體逐步走向抽象。學(xué)生因?yàn)榻?jīng)歷了充分的探究，所以能產(chǎn)生多種計(jì)算方法，多種計(jì)算方法的交流也能使學(xué)生充分感受到遷移轉(zhuǎn)化的思想。

片段三：異中求同，優(yōu)化算法建構(gòu)模型

層次一：自由選擇算法

出示： ÷ 2， ÷ 4， ÷3， ÷3

師：請(qǐng)同學(xué)們?cè)谧鳂I(yè)單上獨(dú)立計(jì)算。

展示算法：

÷2=1.2÷2=0.6 ? ? ? ? ? ? ÷4==

÷3= = ? ? ? ? ÷3= × =

師：剛才，同學(xué)們有三種不同的算法，上面的每一道題都可以有三種不同的算法嗎？請(qǐng)同學(xué)們先小組討論。

生交流。

小組1：÷2不能轉(zhuǎn)化成整數(shù)除以整數(shù)，因?yàn)椴皇窃诰唧w的問(wèn)題情境中。其他幾種方法都可以。

÷2＝＝

÷2= × =

小組2：÷4同樣因?yàn)椴皇窃诰唧w情境中，不能轉(zhuǎn)化成整數(shù)除以整數(shù)，也不方便轉(zhuǎn)化成小數(shù)，可以用乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)的方法來(lái)做。

÷4= × =

小組3： ÷3與÷2的算法一樣，有三種算法。

小組4： ÷3只有一種算法。

小組5：我們發(fā)現(xiàn)有些方法并不是對(duì)所有的題都有用，但是轉(zhuǎn)化成乘整數(shù)倒數(shù)的方法對(duì)這四道題都有用。

……

層次二：選擇合適的算法

師：分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，都能轉(zhuǎn)化成乘這個(gè)整數(shù)的倒數(shù)嗎？嘗試用這種方法計(jì)算以下各題。

出示： ÷4， ÷2， ÷1， ÷5， ÷6， ÷n

呈現(xiàn)算法：

÷4= × =÷2= × =

÷1= ×1=÷5= × =

÷6= × =÷n= × =

生交流。

生1：我認(rèn)為分?jǐn)?shù)除以整數(shù)都可以轉(zhuǎn)化成乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。這6道題和前面的幾道題都可以。

生2：我想知道這個(gè)n可以表示什么數(shù)？

生3：可以表示任何數(shù)。

生4：我認(rèn)為n不能表示任何數(shù)，0就不可以，0不能作除數(shù)，也不能作分母。

生5：n可以表示除0外的任何數(shù)。

生6：分?jǐn)?shù)除以一個(gè)數(shù)（0除外）一般都可以用分?jǐn)?shù)乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)來(lái)計(jì)算。

師：分?jǐn)?shù)除以整數(shù)（0除外）通?？赊D(zhuǎn)換為乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，也就是說(shuō)分?jǐn)?shù)除以某個(gè)數(shù)相當(dāng)于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

【思考】運(yùn)算訓(xùn)練是數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)的重要內(nèi)容，是學(xué)生掌握基本知識(shí)、基本技能和提高能力的重要手段。數(shù)學(xué)運(yùn)算既然是一種技能，就需要學(xué)生在不斷的練習(xí)中鞏固，并掌握一定的計(jì)算技巧，從而提高計(jì)算的速度和正確率。層次一，讓學(xué)生自由選擇算法，明確分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)只能適用于具體情境中，分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)和“用分子除以整數(shù)作分子，分母不變”這兩種方法也有局限，如 ÷3這題就不適用。通過(guò)交流對(duì)比，學(xué)生感悟到分?jǐn)?shù)除以整數(shù)都可轉(zhuǎn)換成乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)來(lái)運(yùn)算；層次二，用層次一中習(xí)得的一般算法進(jìn)行訓(xùn)練，特別是 ÷5、 ÷6、 ÷ n這一題組的練習(xí)，把許多最簡(jiǎn)單的一般方法，逐步上升到一類型題的計(jì)算，并從不同的算式中找尋到一般方法：將分?jǐn)?shù)除以一個(gè)數(shù)，和乘上這個(gè)數(shù)的倒數(shù)建立聯(lián)系。這是學(xué)生在大量的計(jì)算及不斷的思考中，逐步形成的數(shù)學(xué)運(yùn)算模型。

片段四：多維溝通，算法關(guān)聯(lián)完善模型

（一）溝通聯(lián)系，推廣算理

出示：填一填，說(shuō)說(shuō)你有什么發(fā)現(xiàn)。

÷2= × =

800÷2=800×（ ?）= （ ?）

0.4÷2=0.4× （ ?）=（ ?）

生回答：

800÷2=800× =400

0.4÷2=0.4× =0.2

師：你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：整數(shù)除以整數(shù)，小數(shù)除以整數(shù)也都可轉(zhuǎn)化成乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)來(lái)運(yùn)算。

師：不管是整數(shù)、小數(shù)還是分?jǐn)?shù)除以整數(shù)（0除外），都相當(dāng)于乘這個(gè)整數(shù)的倒數(shù)。

（二）溝通對(duì)比，完善結(jié)構(gòu)

出示：算一算，比一比。

÷2 ÷12 ×3 ×2

×2 ×12 ÷3 ÷2

師：獨(dú)立思考，同桌驗(yàn)證。

師：說(shuō)一說(shuō)在計(jì)算時(shí)，你有什么要提醒大家的？

生：在計(jì)算時(shí)，一定要看清運(yùn)算符號(hào)，千萬(wàn)不要把分?jǐn)?shù)乘整數(shù)也轉(zhuǎn)化成乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

（三）聯(lián)系生活，縱向延伸

出示：一架客機(jī)在4秒飛了千米， ？

師：你能提一個(gè)問(wèn)題并解答嗎？

生1：我的問(wèn)題是，這架客機(jī)平均1秒鐘飛行多少千米？

列式： ÷4= × =。

生2：我的問(wèn)題是，平均每千米需要飛行多少秒？

列式：4÷ 。

師：分?jǐn)?shù)除以整數(shù)等于乘這個(gè)整數(shù)的倒數(shù)，那么整數(shù)除以分?jǐn)?shù)又該怎么計(jì)算呢？下節(jié)課我們接著學(xué)習(xí)。

【思考】對(duì)比溝通是一種判斷不同事物或事件存在的差異的數(shù)學(xué)思考方式，教師要注意運(yùn)用對(duì)比式題組，讓學(xué)生不斷加深對(duì)計(jì)算方法的認(rèn)識(shí)，感受內(nèi)在關(guān)聯(lián)，發(fā)現(xiàn)一些計(jì)算的一般方法，從而提高靈活選擇計(jì)算方法的能力。 ÷2= × =，800÷2=800×（ ）=（ ），0.4÷2=0.4×（ ）=（ ），以這三題呼應(yīng)開頭，橫向比較，通過(guò)觀察思考三種運(yùn)算方法的共性，可以找到關(guān)于整數(shù)除法、小數(shù)除法，還有分?jǐn)?shù)除法的算理與方法上的共同點(diǎn)。后面幾組題目，主要是分?jǐn)?shù)乘法與分?jǐn)?shù)除法的縱向比較，明確乘除法計(jì)算的異同，打通乘除法之間的關(guān)系。分?jǐn)?shù)除法計(jì)算包含本節(jié)課學(xué)到的分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，以及下節(jié)課要學(xué)到的整數(shù)除以分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)，最后兩題的設(shè)置，意在幫助學(xué)生深入了解分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的概念，掌握分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的計(jì)算模型，提升他們對(duì)整數(shù)除以分?jǐn)?shù)算法遷移的探究能力。

數(shù)學(xué)是一門實(shí)用性和工具性都很強(qiáng)的基礎(chǔ)課程，教師把模型意識(shí)滲透到日常課程中，能夠更進(jìn)一步地幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)。運(yùn)用現(xiàn)有的數(shù)學(xué)模型可以使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，能夠充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀積極性，提高解題的能力。這就要求教師有模型意識(shí)，通過(guò)訓(xùn)練學(xué)生的模型思維，讓他們認(rèn)識(shí)到模型思維的簡(jiǎn)便性與適用性，使其養(yǎng)成使用模型解決實(shí)際問(wèn)題的良好習(xí)慣。